“指导——自主学习”课题的实践困惑与回应（一）

答：就数学科而言，“指导——自主学习”教师的角色有哪些新的特质和规定性呢？我们可以从上海“进入21世纪的中小学数学教育行动纲领”（顾泠沅编著的《寻找中间地带》）得到一些启发：数学教学要“逐步提高学生自主学习的程度，从数学概念引入到数学演练，从问题情境创设到数学交流，教师的角色从知识的传授者转到学生自主学习的指导者和促进者。学生则从提高接受知识的主动性转到初步自主甚至基本自主学习。”

“指导——自主学习”的数学课堂如何真正发挥教师的指导作用？

一是提高教师的数学素养，真正成为教材的主人。教师只有对教材读懂、读透，才能站在学科的高度，使自己的课堂拥有“学科厚度”，才能 “关注、强化学科知识的概念化、科学化、规范化、学术化、逻辑化”，体现数学学科的“思维、思考和文化”的价值；也才能善于针对学生的问题和困惑，有效、有力地回应学生的质疑，明了何时应惜墨如金、何处要浓墨重彩地巧妙点拨、引导，做到游刃有余、高屋建瓴、运筹帷幄、决胜于千里之外，真正发挥“指导”的作用。

二是加强数学教师教学基本功的修炼。郑毓信教授对数学教师的基本功提出了“三个善于”的要求，即：“善于提问、善于举例、善于优化”。

就“指导——自主学习”而言，“善于提问”要做到：

第一，培养学生学会提出问题，善于发现和挖掘学生自主学习中存在的问题。要针对学生在先学即自主学习中提出和存在的问题进行教学，这是 “指导——自主学习”教改实验课堂教学的基本规定性。因此与一般的数学课堂相比，让学生学会提问，同时善于发掘学生先学中存在的问题，就成为数学课堂教师教学基本功的常规要求。

第二，巧妙设计导学提纲中的问题。导学提纲是学生先学的“指南针”，问题设计要有导向性，所设计的问题要突显本节课的教学目标，教师要善于把教材的重点、难点和关键点、易混的知识点、学生认知的盲点等蕴含、镶嵌在问题之中。同时问题要有思维的含量和思考的强度，激发学生的自学潜能，诸如多提一些拓展性的问题，力求根据学生的最近发展区提出学生的学习目标。如：除了教材中介绍的几种思考方法外，还有哪些不同的方法？

“善于举例”。抽象性常常被说成数学最为基本的一个特性。帮助学生较好地理解与掌握抽象的数学概念与数学理论，这是数学教学的一项基本任务。实现这个目标的一个基本手段就是恰当地举例——会举例，善于举例。这应当被看成数学教师的一个基本功。本次课题研讨活动中，两位数学教师在善于举例方面给了我们很好的启示。在《三角形的特性》这节课中引导学生理解三角形的定义时，教师在黑板上适时摆出一个有两条边的端点没有相连的三角形；《异分母分数加减法》当学生提出“异分母分数加减法能不能化成同分子或小数进行计算？”时教学把握时机，引导学生通过实际例子求异存同、引导优化。

“善于优化”。数学思维不可能自发地得以形成，而主要是一个文化继承的过程。从总体上说，数学学习也必然地有一个“优化”的过程，或者说，数学教师的又一重要职责，是帮助学生很好地实现思维的优化。善于优化是发挥数学教师指导作用的一个重要方面，特别是指导-自主学习的课堂更加开放、学生的思维更加活跃，想法也更加丰富多彩，奇思妙想精彩纷呈。因此教师不能迷恋于“欣赏”学生多样的想法而放弃应有的引导作用。如“三角形的特性”一课学生就提出了“三角形是由三条线段围成的图形，为什么叫三角形？三角形能不能叫三边形？”，老师及时进行回应，认为三角形也可以叫三边形，但数学定义中一般叫三角形，明确数学这一自然科学语言的确定性和精确性。

困惑：数学概念课教学怎样开展“指导——自主学习”？

有的教师提出在数学的课题研讨活动中算理教学成功的课例多，概念教学成功的课例少。于是提出了这样的问题“数学概念课教学怎样开展“指导——自主学习”？

思考：

这是个很有价值的问题，同时也是个有趣的问题，引发了我对这个问题的追寻和思考。因为在非课题研究的数学课堂的教学观摩中，出现的情况正好与此相反，即“概念教学的多，计算教学的少”。计算教学几乎成为公开课教学中被遗忘的角落，备受教师的冷落而少有人问津，即使全国数学名师的课堂也不例外。

为什么会出现这种相反的情形？我们来对比一下两类课堂的性质和两种课型的内容。

一般的数学课堂，特别是公开教学中更多展示的是教师精湛的教学技艺、独到的教材处理功力、出类拔萃的资源开发智慧等，课堂上呈现出的是“教师的优秀”。计算课教学内容简单，体现不出教师教的功力和出众的教学才艺，教师少有发挥的空间，因而教师很少青睐于计算教学；相对而言概念内容的教学，从概念的引入、概念的形成、概念的巩固等，教材给了教师较大的设计和预设空间，因而教师喜欢选择概念课的教学。

指导自主学习的课堂是先学后教，以学论教，教师的神圣使命是指导学生的学习和发展，教师必须高度关注学生，在学生学习的复杂过程中循循善诱，强调要把教师的“给予”有机地转化为学生自主的“习得”，以一名“优秀的教师”存在于课堂的生态环境中，课堂上更多展示的是学生学的精彩。计算教学内容简单，指导-自主学习的课堂，学生的自学潜能得到发挥，通过先学对教材内容有较全面地理解和掌握，学生的问题和质疑声，使平淡、单调的计算课教学多了一层思辩和探索的色彩。

概念课教学带给教师的挑战是，学生在先学的过程中，一些有价值的问题没有触及，有些知识的重、难点学生通过自学仅仅是“知道”，并未达成真正地理解。针对以上的分析，指导-自主学习下的概念教学要注意以下几个方面：

第一，注重在对问题的补充和提升。教师针对例题设计的导学提纲和学生先学后所提出的问题，不可能面面俱到地涵盖教材的所有知识点和教材的重难点，对于学生在先学中没有触及的问题教师要适时补充并提升。以“三角形的特性”一课为例。补充：学生在质疑环节，有关三角形的高并没有进行质疑，而认识三角形的高和怎样画高恰恰是本节课的难点，于是教师适时抛出自己的问题“能不能用自己的话说说什么叫三角形的高？”。提升：当学生提出“由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形”这句话中，‘每相邻两条线段的端点相连’为什么要加括号时，教师先引导学生进行讨论，接着追问“这句话能删掉吗？”，在追问中提升学生对三角形概念的本质属性的认识，达成学生对“围成”的数学理解。如何在学生“知道”的基础上达成对知识的理解，直至深刻的理解，需要教师基于学生先学的基础上有针对性施教，善于根据学生的理解能力进行多重解释，根据学习环境的变化进行多样演绎。

第二，遵循概念教学的规律，注重“变式”在概念教学中的运用。顾泠沅教授通过对数学课堂进行深入的观察和实验，认为中国数学教师经常无意识地、凭直觉使用变式的方式，这是教数学的一种好的方式。运用“概念性变式”的三种方法有：“实物模型和抽象图形”，帮助学生将具体经验与抽象概念联系起来；“标准图形与非标准图形”，通过对比标准的与非标准的特例来加强学生对概念本质的理解；“概念图形与非概念图形”，帮助学生区分什么是概念本身，什么与此概念无关。以“三角形的特性”一课为例，三角形的概念、三角形的高和三角形的稳定性正对应地运用 “概念性变式”的三种方法。建立的三角形的概念，教师要从定义出发，通过“概念图形与非概念图形”的对比，运用“反例”促进学生对概念的正确理解和建构；教学三角形的高，则要通过呈现三角形高的“标准图形与非标准图形”，扩大概念的处延，防止学生因教学中所使用的只是“标准变式”，而产生“三角形的高必须处于垂直的位置”，“三角形的高必定与底边相交”等错误观念，将相关实例的某些特殊性质误认为是概念的本质属性；而教学三角形的稳定性，教师刚可结合生活中的原型，如教材中呈现的自行车的三角架等通过“实物模型和抽象图形”，引导学生从不同的形象和具体的例子中归纳出三角形的稳定性。

第三，注重发挥练习的功能，精备习题。仓山小学的陈美琴老师总结了指导-自主学习备课中的三个为主“以学生为主、以自学为主，以练习为主”，很受启发。自主学习的课堂简化了一些课前情境创设，新课部分时间缩短了，练习部分时间增多了。在课题研讨课的教学中，发现有些教师仅仅把教材中的练习题当做习题集，一题一题地往下做，再进行对错的反馈。其实这是一个很大的误区，指导-自主学习的课堂因为教师教的成份少了，学生练的空间多了，因此如何有针对性地科学地设计练习，大力开发习题的功能，做到“小题大做”、“借题发挥”是教师“指导”作用的一个重要体现，也是自主学习的课堂拥有“学科深度”的一个平台。比如“三角形的特性”一课，教师设计了这样一道判断题：下面图形中哪些是三角形，哪些不是？

  

以上四个图形中，图1、图2和图3都是非概念图形，图4是概念图形，教师旨在以非概念图形为反例，突显三角形的数学本质。学生在第一学段直观认识了三角形，本节课的教学要从三角形的定义出发，重在让学生理解“围成”和“每相邻两条线段的端点相连”的三角形的结构特征。其中图1和图4这两个图形就失去了它的判断价值，因为学生在直观认识三角形时就明确三角形有三条边，它的三条边都是直的，也就是说这两个图形在二年级直观认识三角形时呈现比较合适。如果教师呈现下面这个图形让学生判断，就有利于学生对三角形定义的深刻理解。这个图形是三条线段围成的，但没有做到“每相邻两条线段的端点相连”，有利于让学生紧扣三角形的定义进行判断三角形的结构特征。

图5

余文森教授多次强调小学数学课堂教学要有足够的练习（作业）时间，让学生“在教师的眼皮底下完成作业”，其含义并不仅仅是为了提高学生自觉完成作业的主动性、提高作业的正确率，更为重要的是要让学生在教师精心设计的数学作业中触类旁通、观微知著、自醒自悟，达成学生对知识的深刻理解。