数学文化

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选修课程——数学文化

      2006年进入山东省实验中学以后，学校领导安排我给学生开一门数学选修课，结合我研究生期间所学专业，又我校许多学生非常喜爱数学，希望可以了解一些数学知识的产生历史等等，经领导同意，我开设了《数学文化》课，内容包括数的产生与发展，无穷之旅，欧氏几何与几何原本，数学与美，数学悖论，数学与金融，数学与理性等内容，在学生中反响不错。下面我把内容提纲给各位老师展示一下，欢迎大家批评指正。

      

数学文化赏识概述    今天，数学科学的迅猛发展，比以往任何时候都更牢固地确立了它作为整个科学技术的基础的地位，数学正突破传统的应用范围向几乎所有的人类知识领域渗透，并越来越直接或间接地为人类物质生产与日常生活做出贡献。数学是研究数与形的科学，它来源于生产，服务于生活。在古代埃及，尼罗河定期泛滥，重新丈量土地的需要发展了几何学；在古代中国，发达的农业生产及天文观测的需要，也促进了数学的发展。数学并不是一棵傲然孤立的大树，数学与社会文化始终是密切相关的，它是在人类的物质需求和精神生活影响下生长起来的，同时它也以自己独特的魅力对人类文化的不同领域产生深远影响。数学作为一种文化，已成为人类文明进步的标志。众所周知，柏拉图(Plato)曾在他的哲学学校门口张榜声明，不懂几何学的人不要进他的哲学学校，这并不是因为他的学校里所学的课程与几何学有多大的关系，或者非要用到几何知识不可。相反，柏拉图哲学学校里所设置的尽是些关于社会学、政治学和伦理学之类的课程。所探讨的问题也都是关于社会的、政治的和道德方面的问题，并由此而去研究人的存在、尊严和责任，以及他们所面对的上帝与未知世界的关系。显然诸如此类的课程与论题，在知识基础上与几何学没有什么直接联系，谈不上要直接以几何学为工具而去研究这类问题或学习这类课程。柏拉图之所以要求他的弟子们通晓几何学，只是立足于数学教育的文化素质原则，也就是说，不经过严格的数学训练的人是难以深入讨论他所设置的课程，以及上述一类高级论题的。据说英国律师至今要在大学里学习许多数学知识，这也不是因为英国律师学习的课程与数学工具有何直接联系，而只是出于这样的一种考虑：那就是通过严格的数学训练，使之养成一种坚定不移而又客观公正的品格，使之形成一种严格而精确的思维习惯，从而对他们的事业取得成功大有益助。再举一个更为典型的事例，那就是许多高深的数学课都是美国西点军校学生的必修课。闻名于世的美国西点军校被誉为西方名将的摇篮，建校将近两个世纪，美国许多高级将领都是西点军校的毕业生。然而以培养将帅为目标的西点军校之所以要设置许多高深的数学课程，其目的并不在于未来实战指挥中要以这些数学知识为工具，而主要是出于如下的原则：那就是只有经过严格的数学训练，才能使学员们在军事行动中，把那种特殊的活力与灵活的快速性互相结合起来，才能使学员们具有把握军事行动的能力和适应性，从而为他们驰骋于疆场打下坚实的基础。可以说，当如上所说的种种学生，后来真正成为哲学大师、著名律师或运筹帷幄的将帅时，实际上早把学生时代所学到的那些具体的数学知识忘得一干而净了，但他们当年所受到的数学训练，却一直在他们的事业和生存方式中起着重要作用，直至受用终身。总之，从柏拉图哲学学校到美国的西点军校之所以如此重视数学训练，无不渊源于提高数学文化素质的原则。下面让我们从更多的事例、更多的方面来领略数学文化的风采。 第一节 《几何原本》与理性思维《几何原本》 欧几里得（Euclid，公元前330—公元前275）通过收集、整理前人和别人的成果并加以自己的独特的构造设计完成了一部划时代的著作《几何原本》。全书13卷，共有467个命题。在开卷里，欧几里得首先精心选择了23个定义；其次分别列出了五个公设和五个公理（按亚里士多德规定：公理是一切科学所共有的真理，而公设则是各门科学所特有的原理）；最后，欧几里得通过逻辑演绎由公设和公理（并依据相应的定义）逐一引出了467个命题。《几何原本》的第一卷到第四卷主要是直边形和圆的基本性质及有关的命题；第五卷是比例理论，这一卷把比例关系的理论推广到不可公度的量从而避免了无理数；第六卷是利用比例理论讨论和研究相似形的问题；第七、八、九卷是数论理论，它讨论研究了有关整数和整数之比性质的有关命题；第十卷是不可公度量的分类；第十一、十二、十三卷是立体几何的有关命题。对于欧几里得的贡献，人们给予了高度的评价。欧几里得系统地收集、整理、筛选了古希腊已有的数学成果，并对此进行精心的安排和处理，不仅很好地避开了当时还没有解决的困难，更是按照逻辑方法将其组织成了一个演绎系统，从而，在人类数学史上第一次给出了一个公理化了的数学理论体系。也正因为如此，《几何原本》就跨越地域、民族、语言和时间的一切障碍而传播到了整个世界，公理化方法作为数学的一种理论形式更为人们所普遍接受。即人们普遍有了这样的认识：所有的数学理论，都必须按照数学的定义、公理（公设）和三段论式的逻辑论证来组织，并由此构成数学结构的大厦。从而，《几何原本》事实上就已成为数学发展中高高树起的一面旗帜，西方数学乃至今日全部的数学都跟随这个飘扬的旗帜而前进着。也正是在这样的意义下，可以毫不夸张地说，《几何原本》作为人类智慧的光辉结晶，它在数学史上的作用是没有任何一本著作可以与之比拟的。综 述 把《几何原本》放在古希腊文化的系统中，并从文化史的宏观角度去进行分析，可以看到她有着更为广泛和重要的意义。《几何原本》依据柏拉图哲学、亚里士多德的逻辑学和欧几里得的精心构思，所表现出的已不仅是一种数学命题的真理特征，更为重要的是它借助数学表现了一种认识世界、表述世界的独特文化意义，并由此给人们提供一种思维的理性方式：从几个简单的原理出发，可以逻辑演绎出整个理论体系，进而表现这个理论所揭示的真理。一种数学方法能最终演化成为一种认识世界的理性思维方式，这不能不说是数学所能达到的最高的文化意义。 第二节 微积分与西方文化微积分 微积分——这部无限的交响乐是由全世界千千万万的数学工作者经历了2500年之久用才智、汗水、血泪等谱写而成的，正如著名数学家R.柯朗所指出的：“微积分乃是一种撼人心灵的智力奋斗的结晶”。微积分是自古希腊《几何原本》建立以来最伟大的成就，她是数学史上一座高峰。因此熟悉这学科的历史发展，了解人类的这一巨大精神财富、文化财富的积累过程和历代数学家艰苦卓绝的奋斗精神，对于陶冶一个人的数学思想情操，增长与提高数学意识与思维能力，形成数学世界观都将具有重要的意义。17世纪前后，正是欧洲封建主义日趋没落，新兴的资本主义急剧发展的时期，由于生产力的不断提高、科学技术的不断进步，航海、天文、力学、军事、机械都向数学提出了大量迫切需要解决的数学问题，这促使了微积分的产生和发展。牛顿、莱布尼茨于17世纪后半叶正式发明微积分，并在18世纪里获得了蓬勃发展，当19世纪的数学家们为这一学科奠定了牢固的逻辑基础时，古典微积分才基本完成，到了20世纪它又在不同的方向上有了新的发展。促使微积分理论的建立，主要有以下四类问题：第一类是研究物体运动时出现的问题，即已知物体移动的距离表示为时间的函数公式，求物体在任意时刻的速度和加速度；反之，已知物体的加速度表示为时间的函数公式，求物体的速度和距离。第二类是光学研究中出现的问题，此类问题在研究物体运行轨迹时也会遇到，即如何求取曲线的切线。第三类是在战争中火炮应用方面的问题。例如，由于炮弹的射程依赖于炮筒与地面的倾斜角度（发射角），因此，一个具体而又实际的问题就是要求得具有最远射程的发射角——从数学的角度看，这就是要求取函数的最大值（与最小值）。第四类问题包括求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心等。就微积分的创建而言，有许许多多的数学家作过贡献，而所有这些工作的一个共同特征就是运用了“无穷小方法”。微积分的建立意味着数学结束了“常量数学”时期，而进入了一个新的“变量数学”时期，具体分析为：第一，微积分的诞生结束了从古希腊以来几何学统治数学发展的历史。第二，微积分的确立改变了数学概念的来源。从古希腊开始，数学的对象都是来自直观、形象化的概念，然而微积分中的概念却更多地带有思维创造的特征而并非直接立足于直观经验。第三，微积分的创立以及微积分代数化的发展方向，不仅改变了以往以几何为主流的数学方向，更为重要的是无穷小的出现及其运算破坏了古希腊几何逻辑运演的严谨性和完美性，使人们不得不重新考虑数学的基础和数学的理论依据等问题。综 述 微积分作为一种新的数学方法，引起了众多的讨论甚至争论，如果这些讨论和争论只局限在数学家的群体之中，那就是一个纯粹的学术问题，一代解决不了留给下一代去解决。然而事实并非如此，这些讨论和争论已进入到一个宗教和哲学的层面，进而在整个西方文化的核心层面引起了争论。微积分学说与上帝的对立，使整个西方的宗教、哲学界都积极参与到这场表面上是数学而实质上则是文化的争论中去。这里不得不提到参与这场讨论与争论的有作为红衣主教的贝克莱和作为马克思主义学说创造人的马克思，这充分说明，西方的数学与文化之间存在着一种特殊的关系，西方文化中数学作为一种理性、作为一种宗教或哲学解释世界的形式有何等的重要，当数学与传统文化出现矛盾时会产生多么大的震动！ 第三节 非欧几何的创立与数学的变革非欧几何 非欧几何是人类认识史上一个富有创造性的伟大成果，它的创立，不仅带来了近百年来数学的巨大进步，而且对现代物理学、天文学以及人类时空观念的变革都产生了深远的影响。《几何原本》作为古希腊数学的一种总结性再创造，作为欧几里得精心雕琢的数学模式，成为古希腊文化中的一块瑰宝。但是，无论是把欧氏几何作为一种哲学的表现，还是把它作为一种基督教神的教义理性，欧氏几何中有关第五公设（即：同一平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧面两个内角的和小于两直角，则这两条直线无限延长后在这一侧相交）的论述总让人感到有某些不尽人意的遗憾，比如语言叙述冗长，与公理、公设应有的明显、直观性和不证自明的真理程度似乎有些差别。特别是，在第五公设的叙述中还隐含有直线可以无限延长的涵义，由于古希腊人在数学中对无限基本上采取了一种完全排斥的态度，因此这也引起了人们的关注和不安。出于对柏拉图哲学的领悟，或是出于对欧氏几何体系的爱护，再加上后来对神学宗教的信仰，人们一直都希望能对欧几里得的第五公设做出新的叙述或能对它进行证明将其从公设中去掉而成为一个定理。从公元前300年到公元1800年的这两千多年的时间里，几乎所有有作为的数学家、神学家都在第五公设上投入了大量的精力：哲学家、神学家希望能由此进一步完善欧氏几何的理想化地位，数学家则希望能使几何的逻辑演绎体系更加完美。然而，在长达两千多年的时间中尽管数学家使用了不同的方法，结果却都没能获得成功。这里有数学家萨开里（Saccheri 1667-1733）、兰伯特(Lambert 1728-1777)和陶里努斯(Taurinus 1794-1874)等人对非欧几何逻辑可能性的初步认识，但他们的努力离非欧几何的确立只有一步之遥。两千多年的失败历史无疑促使人们对这种证明的方法和目的等做出一定的反思，特别是由于正面的努力始终未能获得成功，因此，一些数学家就开始了反面的努力，即是希望能从相反的规定引出矛盾而用反证法证明第五公设。这种反证法的基本思想是，为证“第五公设不可证”，首先对第五公设加以否定，然后用这个否定命题和其它公理公设组成新的公理系统，并由此展开逻辑推演。假设第五公设是可证的，即第五公设可由其它公理公设推演出来，那么，在新公理系统的推演过程中一定能出现逻辑矛盾，至少第五公设和它的否定命题就是一对逻辑矛盾；反之，如果推演不出矛盾，就反驳了“第五公设可证”这一假设，从而也就间接证得“第五公设不可证”。经过了漫长的时间旅途，最终登上最高峰的非欧几何创立人是三位数学家：高斯、鲍耶和罗切夫斯基。在这三位数学家中，高斯的突出贡献在于：他清楚地认识到非欧几何像欧氏几何一样也可能被用于描述物质空间。他有明确的非欧几何观念，相当完整地完成了非欧几何的创建工作。但是，由于他害怕别人不理解，却没有将这方面的研究成果公布于世。在他去世以后，他的书信的公布才大大地推动了人们对非欧几何的认同和理解；鲍耶对非欧几何的创立也做出了杰出的贡献，他对于非欧几何在数学上的意义考虑了比较深入，对新几何的无矛盾性进行了长时间思索，并力图找到一种有关新几何无矛盾的证明；非欧几何，这个从欧几里得时代开始就纠缠数学家的噩梦，最终得到了完美的解决，而最完整、最先出版非欧几何的研究成果、并最早得到社会承认的是俄国数学家罗巴切夫斯基，他所做的主要工作是对第五公设的等价命题普列菲尔公理“过平面上直线外一点，只能引一条直线与已知直线不相交”作以否定，得到否定命题“过平面上直线外一点，至少可引两条直线与已知直线不相交”，并用这个否定命题和其它公理公设组成新的公理系统展开逻辑推演。在推演过程中，他得到一连串古怪的命题，但是经过仔细审查，却没有发现它们之间含有任何逻辑矛盾。于是，远见卓识的罗巴切夫斯基大胆断言，这个“在结果中并不存在任何矛盾”的新公理系统可构成一种新的几何，它的逻辑完整性和严密性可以和欧几里得几何相媲美。而这个无矛盾的新几何的存在，就是对第五公设可证性的反驳，也就是对第五公设不可证性的逻辑证明。由于尚未找到新几何在现实世界的原型和类比物，罗巴切夫斯基慎重地把这个新几何称之为“想象几何”，后称为非欧几何。综 述 尽管非欧几何的建立结束了数学界中的两千多年的一件“公案”，但是值得思考的是：为什么萨开里、兰伯特和陶里努斯等人已经站在了非欧几何的大门口，但却没有能够成功地跨出最后的一步？这里除了有个人的因素外，主要是整体性的文化环境，特别是思想观念在这过程中所发挥的重要作用。而高斯、鲍耶和罗切夫斯基能够创立非欧几何，一个首要的原因在于他们敢向欧氏几何的绝对真理性提出明确的挑战。因为事实上，非欧几何所表现出来的是对欧氏几何真理性、客观性和实在性的挑战。非欧几何的建立在西方的数学史上，是引起数学观念根本性变革的一件大事，因为对非欧几何的确认，实际上就已经意味着从古希腊以来的、以数学为代表的绝对真理观的终结；同时更是促进了西方数学在整个文化中的地位、发展方向和价值观念的重大变化，它标志着人类的数学脱离了原有文化加在数学上的各种非数学自身所应有的重负。第四节 数学与理性 综 述 就一个民族或国家的生存与发展而言，理性精神应当说是特别的重要，因为它集中地体现了人们对于外部的客观世界与自身的总体性看法或基本态度。就西方理性精神的形成和发展而言，数学应当说发挥了十分重要的作用，这就从宏观的角度最为清楚地表明了数学的文化价值。可以从以下几方面理解数学理性的主要内涵：1．    主客体的严格区分。在自然界的研究中，我们应当采取纯客观的、理智的态度，而不应掺杂有任何主观的、情感的成分。显然，从数学的角度去分析，这种客体化的研究立场是十分自然的，这正是数学研究的一个主要特征，即尽管数学对象并非现实世界中的真实存在，而只是抽象思维的产物，但是在数学研究中，我们采取纯客观的立场，也即把数学对象看成是一种不依赖于人类的独立存在，并通过严格的逻辑分析去揭示其固有的性质和相互关系。2．    对自然界的研究应当是精确的、定量的，而不应是含糊的、直觉的。这不仅直接关系到科学研究的基本方法，而且也表明了科学研究的基本目标，即是要揭示自然界内在的数学规律；另外，从根本上说，这又可以被看成“自然界是有规律的，这些规律是可以认识的”这一基本思想的具体体现和进一步展开。由于这一思想清楚地表明了“数学理性”的“数学”特征，因此，在所说的意义上，就可以被看成“数学理性”的核心所在。3．    批判的精神和开放的头脑。所谓“批判的精神”，实质上就是表明了这样一种真理观，即任何权威，或是自身的强烈信念，都不能被看成判断真理性的可靠依据；恰恰相反，一切真理都必须接受理性法庭的裁决。事实上，数学既是在古希腊，批判的精神就可被看成理性精神的一个重要内涵。例如，尽管亚里士多德是柏拉图的学生，但他仍然对柏拉图的理念论进行了尖锐的批判，“吾爱吾师，但吾更爱真理”，亚里士多德的这一名言即集中地体现了理性的批判精神。 而在对数学真理的探索过程中要求人们始终保持头脑的“开放性”。这就是说，如果一个假说或理论已被证明是错误的，那么，无论自己先前曾有过怎样强烈的信念，现在都应与之划清界限；同样地，如果一个假说或理论已经得到了理性的确证，那么，无论自己先前对此具有怎样的反感，现在又都应当自觉地去接受这一真理。4．    抽象的、超验的思维取向。数学作为“模式的科学”，她并非对真实事物或现象的直接研究，而是以抽象思维的产物——量化模式——作为直接的研究对象。也正因为如此，数学规律所反映的就并非个别事物或现象的量性特征，而是一类事物或现象的共同性质。 总之，数学对人类理性精神发展的有着特殊的意义。这正如克莱因所说的：“在最广泛的意义上说，数学是一种精神，一种理性的精神。正是这种精神，激发、促进、鼓舞和驱使人类的思维得以运用到最完善的程度，亦正是这种精神，试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活；试图回答有关人类自身存在提出的问题；努力去理解和控制自然；尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻的和最完美的内涵。”  第五节 数学与美学综 述 数学文化的美学观是构成数学文化的重要内容。古代哲学家、数学家普洛克拉斯断言：“哪里有数，哪里就有美。”开普勒也说：“数学是这个世界之美的原型”。对数学文化的审美追求已成为数学得以发展的重要原动力，以致法国诗人诺瓦利也曾高唱：“纯数学是一门科学，同时也是一门艺术”，“既是科学家同时又是艺术家的数学工作者，是大地上唯一的幸运儿”。古往今来，许多数学家、哲学家都把“美”作为决定选题、选题标准和成功标准的一种评价尺度，甚至把“美的考虑”放在高于一切的位置。著名数学家冯·诺伊曼就曾写道：“我认为数学家无论是选择题材还是判断成功的标准，主要都是美学的”。庞加莱则更明确地说：“数学家们非常重视他们的方法和理论是否优美，这并非华而不实的作风，那么到底是什么使我们感到一个解答、一个证明优美呢？ 那就是各个部分之间的和谐、对称，恰到好处的平衡。一句话，那就是井然有序、统一协调，从而使我们对整体以及细节都能有清楚的认识和理解，这正是产生伟大成果的地方。数学家L•斯思也曾指出：“在数学定理的评价中，审美的标准既重于逻辑的标准，也重于实用的标准；美观与高雅对数学概念的评价来说，比是否严格正确、是否可能应用都重要得多。”显然，这种“美学至上”的观点是片面的。因为，数学的“审美标准”与“实践的标准”事实上是互相联系的，而且美学的考虑之所以有意义，主要也就因为它能预示相应的研究是否会“富有成果”。审美追求作为数学发展的重要原动力，其中一个主要内容就是创造性的需要，它起着一种激活作用。冯·诺伊曼说：“数学家成功与否和他的努力是否值得的主观标准，是非常自足的、美学的、不受(或近乎不受)经验的影响。”因此，冯·诺伊曼断言：“数学思想一旦…被构思出来，这门科学就开始经历它本身所特有的生命，把它比作创造性的、受几乎一切审美因素支配的学科，就比把它比作别的事物特别是经验科学要更好一些”。可见，审美作为一种支配因素，对数学科学的发展是多么重要。数学美的主要内容一般反映在对称美、简洁美、奇异美等方面。奇异美是建立在求异思维的基础上的。比如，有理数稍一扩展，新数就被称为“无理”的；实数再一扩展，新数就被叫做“虚”的。实数之后出现“超实数”，复数之后出现“超复数”，有穷数之后又有“超穷数”……和谐是数学美的最高境界。实际上，和谐就是一个度，是一种中庸的最佳状态。比例是关于模数与整体在测量上的协调，比例给人一种和谐，莫过于黄金分割法。数学所讨论的宇宙，远比现实的所谓宇宙宏伟雄大，通常所说的宇宙只是三维空间，而数学则建立起了仅把3维空间作为一部分的4维空间、5维空间、……、n维空间。数学是一座远远地超越了我们想象的华丽宫殿，站在这个无比庄严、宏伟的宫殿前的数学家们，以崇敬赞叹的目光远眺着它的壮观、它的美妙，那些能够感受到这种数学美、宇宙美的人，是可以被称之为爱因斯坦所谓的“有宇宙宗教性的人”。如果我们的数学教学使学生感到数学的这些美，以致于对数学有很大的兴趣，无疑，这种教学将是极大的成功，它本身也是一种极高的艺术。我们太需要这种艺术了。数学是冷而严肃的，这是一方面，另一方面，数学中有艺术，有美，数学的创造过程中有数学家的情感。冷漠、严肃主要是相对于数学的真理性而言的，但是数学真理之中也凝结着数学家的情感，那情感却是热烈的、激动的。 第六节 数学与金融事 例 华尔街的两次数学革命华尔街的两次数学革命是指1952年马科维茨的证券组合选择理论和1973年布莱克－肖尔斯的期权定价理论。马科维茨所解决的是如何给出最优的证券组合问题。所谓证券组合（portfolio，原意为“文件包”）是指一组不同的证券。我们知道，在证券市场中进行任何一种证券交易都会因为其未来的不确定性而有风险。投资者如果把他所有的资金都对一种证券投资，那么就像把所有鸡蛋装在一个篮子里一样，一旦这种证券出现不测，投资者就会全赔在这种证券上。因此，为分散风险，投资者应该同时对多种证券进行交易。于是就有这样的问题：这些证券应该如何搭配为好。马科维茨是这样来考虑的：对于每种证券，他用根据历史数据所计算的证券的隔天价格差的平均值来衡量证券的收益率（可正可负）；又根据历史数据计算每天的证券价格差对平均收益率的偏离的平均值来衡量证券的风险。而一组证券的收益率和风险也同样可根据历史数据来估计。把证券间的搭配比例（可正可负，表示有的是买入，有的是卖出）作为变量，就可提出一个在怎样的搭配比例下，对于固定的收益率使其风险最小的问题。马科维茨由此提出一个所谓有效证券组合前沿的概念。这是一些特殊的证券组合，其中有一个是风险最小的证券组合，但其收益率也是所有有效证券组合中最小的；有效证券组合前沿中的其他证券组合，其风险比最小者要大，但其收益率也较大，而在有同样收益率的证券组合全体中，证券组合前沿中的那个组合的风险又最小。这样，投资者就可根据计算得到的有效证券组合前沿，在收益与风险之间进行权衡，决定他的投资组合。尽管马科维茨的研究在今天已被认为是金融经济学理论前驱工作而获得1990年的诺贝尔经济学奖，但在当年他刚提出他的理论时，计算机才问世不久，从而使他的理论成为纸上谈兵，根本无法实际计算。今天的计算技术自然早已使马科维茨的思想得到完全的实现。布莱克和肖尔斯讨论的则是如何为期权定价。期权是一种衍生证券。以布莱克和肖尔斯讨论的欧式买入期权为例，它是在某个到期日，以某个固定价格买入某种股票的权利。期权交易早在本世纪初就已出现。但在1973年芝加哥期权交易所正式开牌推出12种股票的期权交易前，期权交易始终是一种场外交易。期权可以用来减少股票交易风险。例如，某人在卖出某股票时，他当然期望股票落价而获利。但他也有可能因股票的突然涨价而蒙受损失。如果他同时买进该股票的买入期权，那么他就可以通过执行期权，低价再把股票买回，使他不但补偿了损失，甚至还能获利。也就是说，期权交易可看作股票交易的一种“保险”。期权既然也是一种可交易的证券，它就也有自己的价格。于是就要问它的价格是如何确定的。布莱克和肖尔斯在假设股票价格的相对变动为不可预测的所谓布朗运动的条件下，竟然导出了一个与实际非常吻合的期权定价公式。金融经济学界经过几年的讨论，终于承认这是一项极为重要的研究。布莱克和肖尔斯的观念并不复杂。他们认为，既然卖出股票的风险与买入期权的风险可以“对冲”，那么，它们的按一定比例的随时间变化的组合就相当于一种无风险的证券，即有固定利率的债券。由此就可导出期权价格与股票价格之间的关系，其中依赖的参数是股票的报酬率、债券的利率、期权的执行价格以及时间。布莱克--肖尔斯公式问世后立即引起大量的后继研究。在数学中，由于他们在公式推导中用到了随机分析、偏微分方程等现代数学工具，这促使许多数学家投身到衍生证券的研究中来，并且逐渐形成一个新学科－－金融数学。在金融经济学中，他们实际上提出了一种比马科维茨更进一步的思想。马科维茨只是认为不同的证券经过适当的组合可以减少风险，而布莱克和肖尔斯则认为，如果随时间不断改变这种组合（即所谓执行一种投资策略），那么在一定条件下，几种证券的组合可以用来模拟另一种证券。就像股票与期权的适当组合能相当于债券一样，股票与债券的适当组合自然也可模拟期权。这种根据各种不同需要，把风险打散、重组，并形成各种金融产品的技术就是所谓金融工程。在今天的金融市场中，它已经处于举足轻重的地位。综 述 正是这两次华尔街的数学革命，再加上计算机和通信技术的飞速发展，使得这些观念在计算和信息传递上可实现，就形成了对金融体系变革来说，比法制改革更为重要的技术变革。 第七节 数学与生命科学事 例DNA是分子生物学的重要研究对象，是遗传信息的携带者，它具有一种特别的立体结构——双螺旋结构，双螺旋结构在细胞核中呈扭曲、绞拧、打结和圈套等形状，这正好是数学中的纽结理论研究的对象。X射线计算机层析摄影仪—即CT扫描仪，它的问世是二十世纪医学中的奇迹，其原理是基于不同的物质有不同的X射线衰减系数。如果能够确定人体的衰减系数的分布，就能重建其断层或三维图像。但通过X射线透视时，只能测量到人体的直线上的X射线衰减系数的平均值（是一积分）。当直线变化时，此平均值（依赖于某参数）也随之变化，能否通过此平均值以求出整个衰减系数的分布呢？人们利用数学中的拉东变换解决了此问题，拉东变换已成为CT理论的核心。首创CT理论的A.M.Cormark（美）及第一台CT制作者C.N.Hounsfield（英）因而荣获1979年诺贝尔医学和生理学奖。另一项高技术是H.Hauptman与J.Karle合作，发明了测定分子结构的新方法，利用它可以直接显示被X射线透射的分子的立体结构。人们应用此方法，并结合利用计算机，已测出包括维生素、激素等数万种分子结构，推动了有机化学、药物学和生物学等的发展，由此可见在此两项技术中数学起了关键的作用（两发明人分享1985年的诺贝尔化学奖）。 综 述  在发现DNA化学结构和发明计算机模拟后50年的今天，一场由数学和计算科学驱动的革命正在生物学的领域发生。一系列突破性的研究正在重新定义以下领域：数学生态学、流行病学、遗传学、免疫学、神经生物学和生理学等等。美国国家科学基金会（NSF）主任科勒威尔（R. Colwell）在2000年10月向国会提交的报告中，称数学是当前所有新兴学科和研究领域的基础，要求下一年度对数学的资助要增加3倍以上，达到1.21亿美元。在这些增加的预算中，有很大的一部分被用来支持数学与其他学科的交叉研究，尤其是数学与生物学的交叉研究项目。
    尽管数学一直在现代生命科学中扮演着一定的角色，如数量遗传学、生物数学等，但生物学家真正体会到数学的重要性，还是最近十几年来的事情。基因组学是这种趋势的主要催化剂。随着DNA序列测定技术的快速发展，1990年代后期每年测定的DNA碱基序列以惊人的速度增长。以美国的基因数据库（GenBank）为例，1997年拥有的碱基序列数为1×109，次年就翻了一番，到2000年GenBank已拥有近8×109个碱基序列。同样，在蛋白质组研究和转录组研究等快速推进的过程中，各种数据也在迅猛增加。据估计，现在每年产生的生物数据量可以达到1015字节。如何管理这些“海量”数据，以及如何从中提取有用的知识，成为了对当前生物学家、数学家、计算机专家等的巨大挑战。一门新兴学科——生物信息学（bioinformatics），也应运而生。此外，对细胞和神经等复杂系统和网络的研究，导致了数学生物学(mathematical biology)的诞生。NSF为此专门启动了一项“定量的环境与整合生物学”项目，以鼓励生物学家把数学应用到生物学研究中去。几乎在同一时间，美国国立卫生研究院也设立了一项“计算生物学”的重大项目。
    数学不仅能帮助人们从已有的生物学实验和数据中抽象出模型和进行解释，它还可以用于设计和建造生物学模型，也许这些生物学模型在自然的状态下是根本不存在的。在这种意义上说，基于数学模型和假设进行的生物学实验，将更接近人们熟知的物理学和化学实验，更多地依赖于抽象和理性，不再是一门经验科学。
    古希腊著名的数学家毕达哥拉斯曾给后人留下这样一个观点：“万物皆数也”。如果他的观点是正确的，作为大自然的杰作——生命，一定也是按照数学方式设计而成的。因此，数学不仅仅能够提升生命科学研究，使生命科学成为抽象的和定量的科学，而且是揭示生命奥秘的必由之路。第八节 数学与军事综 述 从人类早期的战争开始，数学就无所不在，不论是发射弩箭还是挖掘地道，数学就像冥冥之中的命运之神一样在起作用。虽然战争是个令人讨厌的话题，但战争却是人类不可避免的。提起数学与军事，人们可能更多地想到数学可以用来帮助设计新式武器，比如阿基米德的传闻故事：阿基米德所住的 Syracuse 王国遭到罗马人的攻击，国王 Heron 请其好友阿基米德帮忙设计了各式各样的弩炮、军用器械，利用拋物镜面聚太阳光线，焚毁敌人船舰等。当然，这样的军事应用并没有用到较高层次的数学。其实，古时数学用于军事只到这种层次。《五曹算经》中的兵曹，其所含的计算，仅止于乘除；再进一步，也不过是测量与航海。一直到二十世纪，科学发展促使武器进步，数学才真的可能与战事有密切的关系，例如数学的研究工作可能与空气动力学、流体动力学、弹道学、雷达及声纳、原子弹、密码与情报、空照地图、气象学、计算器等等有关，而直接或间接影响到武器或战术。事例一 一支高智商的反法西斯队伍 二战迫使美国政府将数学与科学技术、军事目标空前紧密地结合起来，开辟了美国数学发展的新时代。1941至1945年，政府提供的研究与发展经费占全国同类经费总额的比重骤增至86％。美国的“科学研究和发展局”（OSRD）于1940年成立了“国家防卫科学委员会（NDRC），为军方提供科学服务。1942年，NDRC又成立了应用数学组（AMP），它的任务是帮助解决战争中日益增多的数学问题。AMP和全美11所著名大学订有合同，全美最有才华的数学家都投入了遏制法西斯武力的神圣工作。AMP的大量研究涉及“改进设计以提高设备的理论精确度”以及“现有设备的最佳运用”，特别是空战方面的成果，到战争结束时共完成了200项重大研究。 在纽约州立大学，柯朗和弗里德里希领导的小组研究空气动力学、水下爆破和喷气火箭理论。超音速飞机带来的激波和声爆问题，利用“柯朗——弗里德里希——勒维的有限差分法”求出了这些课题的双曲型偏微分方程的解。布朗大学以普拉格为首的应用数学小组集中研究经典动力学和畸变介质力学，以提高军备的使用寿命。哈佛大学的G·伯克霍夫为海军研究水下弹道问题。哥伦比亚大学重点研究空对空射击学。例如，空中发射炮弹弹道学；偏射理论；追踪曲线理论；追踪过程中自己速度的观测和刻画；中心火力系统的基本理论；空中发射装备测试程序的分析；雷达。 普林斯顿大学和新墨西哥大学为空军确定“应用B－29飞机的最佳战术”。冯·诺伊曼和乌拉姆研究原子弹和计算机。维纳和柯尔莫戈洛夫研究火炮自动瞄准仪。由丹泽西为首的运筹学家发明了解线性规划的单纯形算法，使美军在战略部署中直接受益。 事例二 破译密码的解剖刀——数学 英国数学家图灵出生于一个富有家庭，1935年在剑桥大学获博士学位后去了美国的普林斯顿，他为设计理想的通用计算机提供了理论基础。1939年图灵回到英国，立即受聘于外交部通讯处。当时德国法西斯用于绝密通讯的电报机叫“Enigma”（谜），图灵把拍电报的过程看成在一张纸带上穿孔，运用图灵的可计算理论，英国设计了一架破译机“Ultra”（超越）专门对付“Enigma”，破译了大批德军密码。 1941年5月21日，英国情报机关终于截获并破译了希特勒给海军上将雷德尔的一份密电。从而使号称当时世界上最厉害的一艘巨型战列舰，希特勒的“德国海军的骄傲”——“俾斯麦”号在首次出航中即葬身鱼腹。 1943年4月，日本海军最高司令部发出的绝密电波越过太平洋，到达驻南太平洋和日本占领的中国海港的各日本舰队，各舰队司令接到命令：日本联合舰队总司令长官山本五十六大将，将于4月18日上午9时45分，由6架零式战斗机保护，乘两架轰炸机飞抵卡西里湾，山本的全部属员与他同行。 这份电报当即被美国海军的由数学家组成的专家破译小组破译，通过海军部长弗兰克·诺克斯之手，马上被送到美国总统罗斯福的案头。于是，美国闪电式战斗机群在卡西里湾上空将山本的座机截住，座机在离山本的目的地卡西里只有几英里的荆棘丛中爆炸。 中途岛海战也是由于美国破译了日本密码，使日本4艘航空母舰，1艘巡洋舰被炸沉，330架飞机被击落；几百名经验丰富的飞行员和机务人员阵亡。而美国只损失了1艘航空母舰，1艘驱逐舰和147架飞机。 从此，日本丧失了在太平洋战场上的制空权和制海权。 事例三 巴顿的战舰与浪高 军事边缘参数是军事信息的一个重要分支，它是以概率论、统计学和模拟试验为基础，通过对地形、气候、波浪、水文等自然情况和作战双方兵力兵器的测试计算，在一般人都认为无法克服、甚至容易处于劣势的险恶环境中，发现实际上可以通过计算运筹，利用各种自然条件的基本战术参数的最高极限或最低极限，如通过计算山地的坡度、河水的深度、雨雪风暴等来驾驭战争险象，提供战争胜利的一种科学依据。 1942年10月，巴顿将军率领4万多美军，乘100艘战舰，直奔距离美国4000公里的摩洛哥，计划在11月8日凌晨登陆。11月4日，海面上突然刮起西北大风，惊涛骇浪使舰艇倾斜达42°。直到11月6日天气仍无好转。华盛顿总部担心舰队会因大风而全军覆没，电令巴顿的舰队改在地中海沿海的任何其他港口登陆。巴顿回电：不管天气如何，我将按原计划行动。 11月7日午夜，海面突然风平浪静，巴顿军团按计划登陆成功。事后人们说这是侥幸取胜，这位“血胆将军”拿将士的生命作赌注。 其实，巴顿将军在出发前就和气象学家详细研究了摩洛哥海域风浪变化的规律和相关参数，知道11月4日至7日该海域虽然有大风，但根据该海域往常最大浪高波长和舰艇的比例关系，恰恰达不到翻船的程度，不会对整个舰队造成危险。相反，11月8日却是一个有利于登陆的好天气。巴顿正是利用科学预测和可靠边缘参数，抓住“可怕的机会”，突然出现在敌人面前。事例四 海湾战争--数学战 1990年伊拉克点燃了科威特的数百口油井，浓烟遮天蔽日，美国及其盟军在“沙漠风暴”以前，曾严肃地考虑点燃所有油井的后果。据美国《超级计算评论》杂志披露，五角大楼要求太平洋—赛拉研究公司研究此问题。该公司利用Navier-Stokes方程和有热损失能量方程作为计算模型，在进行一系列模拟计算后得出结论：大火的烟雾可能招致一场重大的污染事件，它将波及到波斯湾、伊朗南部、巴基斯坦和印度北部，但不会失去控制，不会造成全球性的气候变化，不会对地球的生态和经济系统造成不可挽回的损失。这样才促成美国下定决心。同时在这次战争中，美国将大批人员和物质调运到位，只用了短短一个月时间。这是由于他们运用了运筹学和优化技术。所以人们说第一次世界大战是化学战（火药），第二次是物理战（原子弹），海湾战争是数学战。事例五 不可思议的美伊战争 美伊战争给人们带来太多的震撼！从2003年3月20日正式爆发，到4月11日美军攻占巴格达。进攻者以区区十万余人的军队，在二十几天的时间里，几乎没经过像样的战斗就完全征服了一个世界中等军事强国。不少人觉得美伊战争不像一场战争，而更像一场游戏。而事实上并不奇怪，美军打的是一场由数学支撑的信息化战争。汤姆逊说：信息不仅仅是一件武器，它还是一种能够改变战争文化和定势的新技术。它能改变一切。它所带来的变化比我们看到的任何一种变化都来得强烈，比坦克、潜艇甚至原子弹都要厉害。在今天的战场上，谁拥有绝对的信息掌控权，谁就能获得胜利。美军在美伊战争中通过数据链把天空地海、本土统帅部、前方司令部和战场上每一个士兵连为一体，反应灵敏，随心所欲。以最短的时间、最小的代价、最快的速度、最大的战果，赢得胜利。过去战争打的是综合国力，现代战争打的是科学技术。任何重大的科技发明和创造，都首先和必须使用于战争，历史不止一次证明这一点。反过来说，一个国家或民族如果科技落后，感受最真切、最痛苦的也莫过于它的军队了。美国在美伊战争中使用的武器运用了人类最高级的科学发明和知识，包括牛顿力学、物体动力学、量子力学、电动力学、狭义与广义相对论、有机与无机化学、计算机网络等等（请注意：这里多数是以数学为后盾的！）。这的确是崭新的划时代意义的军事革命，即由大规模集结陆地军事力量的地面战争，转变为依靠高科技电子制导的空中控制力量，主要依靠空中作战遂行战略目的的战争。如果说它还有地面战的话，那也是新型意义下的超地面战争，同时精确制导技术已把战争带入了“精确战士”时代。有这样一组数据：美军从发现目标到实施精确打击的时间，即完成：发现——定位——瞄准——攻击——评估战果，这样一个“打击链条”所需的时间，海湾战争时是一百分钟，科索沃战争时为四十分钟，阿富汗战争时为二十分钟，而此次美伊战争只有十分钟，基本实现“发现即摧毁”。就对方而言，即“被发现即死亡”。 比较而言，伊军则是一支机械化和半机械化的军队。尽管伊军在兵力、地面兵器数量方面占有优势、空军飞机数量也相当可观；又根据前苏联的大范围前沿作战理论，伊军集结了大批装甲部队和炮兵部队，指挥结构高度集中；伊军还吸取了第一次海湾战争的教训，并学习了南联盟和车臣战争的经验，采取固守城市、寓军于民、全民皆兵的战略战术，但这样一支令人生畏的军队的防线却在短短的几天里就被数量很少的美军击破。俄罗斯军事观察家惊呼：“军事范例已经改变。其它国家最好注意，美国人已经重新书写了教科书。”
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