数学新干线

第一部分第1节
前言
为什么要创作数学智力题?
我对数学一直没有什么好印象。在小学除了计算就是计算。在中学是公式和定理的
死记硬背。到了高中又是微积分、正余弦、又是切线等等，如果不是为了应付考试的话，
我才不愿意受那份罪呢。大学当然选了文科，所以才能够痛快地把数学扔到一边，轻轻松松的度过了大学生涯。
然而进入公司以后，发现到处都是数字、数字，简直就是数字的世界。在公司里，要用数字制定计划、用数字进行交流、用数字来处理善后工作等。感觉数字好像成了唯一的通用语言。对我这样的没有数字应用能力的人来说，不从数字的基础知识开始学是不行了。然而，我马上就碰了一鼻子灰，因为只是单纯学习知识的话，范围太狭隘了。
关键是通过数字能看出什么问题、要用数字有条理的整理问题、要用数字去立案、决定所解决的问题。当然这些是需要数字的基础知识的，随后我还知道了数学的想象力也是非常重要的。首先从根本上要有数学的想象力，在其基础上，还要具备处理数字的知识以及如何发挥数字的活用能力。虽然明白了数学的想象力至关重要，但是怎样才能掌握它呢?从此，我的艰苦奋斗开始了。
有一天，我偶然看到了杜德尼的“智力题的国王”和加德纳的“[萨姆·劳埃德的智力题百科”。这两本书通篇都是以数字、图形和逻辑等智力题的形式撰写的。根据这些问题，自己来思考、变换角度去想象，然后我体验到了当灵感闪现、问题得到解决时的那种趣味性。于是，我把它放在枕边一点点去揣摩，在享受它为我带来的乐趣的同时，慢慢的我感觉到我具有了数学的想象力。并不是简单地把公式往问题里一套就行了，而是要用自己的头脑去思考，只有是用自己的头脑思考的过程才是掌握数学联想的重要一关。
在不知不觉之间，我已经从事专门处理数字的工作了(会计、财务、计算管理)。对于在数字处理方面比较薄弱的人，我可以给他们指点迷津。并且，我还灵活运用以往的经验，在计算管理教育的教材内容中填加了数学智力题。大家都为之乐此不疲，结果就是，它在培养数学的想象力及计算管理能力方面起到了积极的作用。
为什么要“限制时间”呢?
作为计算管理教育的教材来说，在使用数学智力题的时候，我感觉到设置限制解题时间
更有效果。一旦有了时间限制，人们就会更加集中注意力。和不限制时间的场合来比较，解题时间更短、解题方法更好、正解率也更高。因此，在本书的问题当中，我在制定了5个阶段的“难易度标准”的同时也设置了“时间限制”。
而且，与以往的智力题相比本书的进步之处在于，除吸收了一些关系到商务感觉的智力题之外，还收纳了一些从数学的思考方法、想象力的观点方面的有趣的智力题。
那么请尽情地去享受智力题中的乐趣吧。
本书于1997年首次发行。这之后很荣幸得到了众多读者的好评，并且得以多次再版。在这次发行新装订版之际，又从头浏览一遍，注意到有许多地方还是不够成熟，但是，本着对原发行版本的热爱，只做了最小限度的订正。
2003年9月
沖田　浩
1分钟游戏的篇章
令人爱不释手的
数学智力题
（时间限制篇）
1分钟游戏的功能
马廷·加德纳在[aha！Insight脑筋急转弯]里提出的第
一问是“在卖泡泡糖的自动贩卖机里，有６个红色的糖、有４
个白色的糖、蓝色的糖只有１个．要给三岁的孩子买三个相同
颜色的糖，１分钱买一块糖的情况下，最多用几分钱才能买到？”
这样的问题．
答案是６分钱．在最不顺的情况下（投进去１分硬币后按指示按钮会出来１块糖），会出来２个红色的、２个白色的和１个蓝色的（蓝色的只有１个再不会出来）．所以第６次投币后出来的不是红色就是白色，无论哪个颜色都会有三个相同颜色的泡泡糖了．
像这样的问题并不是说“你花费些时间就能解决”，能否正确的转动脑筋才是重要的．
在本章节里汇集的主要是以来自灵感的直觉判断力和灵活的想象力为中心的智力题。请不要武断地给出结论，请把握正确的直觉判断能力．
还有，时间限制为１分钟．由于读提示会浪费时间，所以，本章没有附提示用语．
1、巧运火柴 1分(表示所限制的时间)
问题
用16根火柴棒摆成五个正方形。请移动两根火柴棒，使正方形变成四个。
(图略)
解题［巧运火柴］
减掉２个正方形，再新作１个正方形．
(图略)
小知识
＜最受欢迎的１０个数学问题的小道具＞
做为最受欢迎的数学问题的小道具来说，排在第１位的就是火柴了．虽然在日常生活中并不经常见到火柴，但是在解智力题时，它是很具体的实物，还能亲自动手反复推敲．并且一眼看上去，火柴智力题似乎总是很简单的样子，这就是受欢迎的秘密之所在．
第１位　　　　火柴*
第２位　　　　硬币
第３位　　　　钟表*
第４位　　　　扑克牌*
第５位　　　　计量称*
第６位　　　　骰子
第７位　　　　折纸*
第８位　　　　日历
第９位　　　　计算器
第１０位　　　细绳（带）
（*印是在本书里使用的东西）
2、1＋2＝3　　　１分
问题
１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９＋１０＋１１＋１２＋１３＋１４＋１５＋
１６＋１７＋１８＋１９＋２０
请在这些加号当中，随意把哪个［＋］换成［＝］，使左、右两边的等式成立．
解题 [1＋2＝3]
关键是怎样能够快速的计算．
从１至２０的和（１～１０的和＝５５）＋（１０×１０）＋（１～１０的和＝
５５）＝２１０
分成一半是１０５时，左边、右边都相等．
１～１０的和＝５５、１１～１４的和＝５０、也就是说１～１４的和＝１０５
因此、把１４和１５之间的＋换成＝即可．
答案
１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９＋１０＋１１＋１２＋１３＋１４
＝１５＋１６＋１７＋１８＋１９＋２０
小知识
《加法的窍门》
找出[相加等于10的那一组]连在一起。进位数用括上备忘。
(图略)
3、啊!双胞胎?
问题
丈夫临死前，给有身孕的妻子留下遗言说[如果生的是男孩就给他财产的3分之2、
如果生的是女孩就给她财产的5分之2、剩下的留给妻子]。
结果，生出来的是孪生兄妹---双胞胎。这可难坏了妻子，三个人怎样分财产才好呢?
(图略)
解题 啊!双胞胎?
男孩对妻子应得部分的比例和女孩对妻子应得部分的比例，按照遗言考虑如下所示：
(算式省略)
按上列算式的比率，算式为
男孩:妻子:女孩＝6:3:2
答案
按照男孩:妻子:女孩＝6:3:2的比率继承遗产。
4、请谁来占卜呢?     1分
问题
有人给女青年同时介绍了两个男青年。但是，女青年不知选哪一个好。
因此，决定请占卜先生来相面。
有甲、乙两位占卜先生。甲占卜先生算的准确率为70%，占卜费7万日元;乙占卜先生算
的准确率为20%，占卜费2万日元。应该请谁来占卜呢?
(图略)
解题 请谁来占卜呢?
不是普通的占卜，而是[选哪个男青年好呢?]二者选一的占卜。
[选哪个男青年好呢?]当然应该按照准确率高的占卜先生算的结果来选，要是按照准确
率低的占卜先生算的结果来选就应选相反的。
由于乙占卜先生(准确率低的占卜先生)算不对的可能性为80%，甲占卜先生(准确率高
的占卜先生)算对的可能性为70%以上，所以请乙来占卜，选相反的结果就可以了。这样不
仅准确率高而且占卜费也便宜。
答案
乙
小知识
[在木字旁边写红色]
[假使木字旁加上红的话我们读成苹果，那么木字旁加上绿的话我们读成什么呢?]
[哈密瓜]
[对，就是这个意思。那么，木字旁加上黄呢?]
[桔子，金桔也行吧?]
[说什么哪?不是说了吗?只有。]*
[啊?没想到在这儿等着我哪]
(*里的原文是借用日语音同字不同的手法，木字旁的{旁}字和的读音相同。意思
是像葡萄那样成串的金桔岂止呀?)
第一部分第2节
5、上到2层需要多少时间? 1分
问题
A君的办公室在大厦的5层，B君的办公室在同一大厦的25层。
乘电梯从1层到A君的办公室5层需要5秒钟。
那么，乘电梯到B君的办公室25层需要多少秒钟呢?假设电梯的速度是固定的。
(图略)
解题 上到2层需要多少时间?
(图略)
乘电梯从1层上到2层是一层楼的间隔。那么，从1层上到A君的办公室5层就是4层楼的间
隔。也就是说4层楼的间隔用了5秒钟。
从1层上到B君的办公室25层就是24层楼的间隔。所以，
需要(算式省略)30秒钟。
答案
30秒钟
6、剥掉一层还有一层 1分
问题
用茶色的巧克力把白色的巧克力包上，做成巧克力糖球。
茶色巧克力的厚度和白色巧克力的直径相等。茶色巧克力要比白色巧克力的材料多几
倍呢?
(图略)
解  [剥掉一层还有一层]
用半径的比来思考的话，这个巧克力糖球的半径是白色巧克力半径的3倍。
由于糖球体积的比是从半径的立方的比计算出来的，那么糖球和白色巧克力的体积的
比是：33 ：1 3  = 27 ：1
到此并没有结束。我们假设白色巧克力的体积为1，那么茶色巧克力的体积就是
27-1=26
答案
26倍。
7、半只小猫 1分
问题
听说祖父家的波丝猫生了好多小猫，喜欢猫的我兴高采烈的来到祖父家。
可是，只剩下1只小猫了。
[一共生了几只小猫呀?]
[猜猜看，要是猜中了，就把剩下的这只小猫给你。附近的宠物店听说以后，马上来买走
了所有小猫的一半和半只]
[半只?]
[是啊。然后呢，邻居家的老奶奶无论如何想要，所以就把剩下的小猫的一半和另外半只
给了她，这就是只剩下1只的原因。那么你想想看，一共生了几只小猫呢?]
(图略)
解题 半只小猫
虽然是宠物店也不会买半只小猫吧，所以我们可以设定小猫的数量(设为m)是
奇数(m＝2n-1)，用[一半和半只]做为整数来算。
由于宠物店[买走了所有的小猫的一半和半只]，所以算式为
（2n－1）－[(2n-1)/2  +1/2] = n－1
然后，因为邻居家的老奶奶拿走了[剩下的小猫的一半和另外半只]，剩余1只小猫了。所以：
(n－1) －[(n－1)/2  + 1/2] = 1
解上述算式n=4
所以，新出生的小猫是 m=2n-1=7(只)
宠物店拿走4只，邻居家的老奶奶拿走2只，还有剩下的1只。
答案
7只
2、整数之美篇章
“整数之美”的功能
整数的问题是所有数学问题的基点，是培养对数字的感观认识
的。解这些题是需要一点点试着看的。在反复推敲的过程中，就会
得到系统性的、效率性的要领。在接受反复失败的同时，也锻炼了
富有逻辑性的思考问题的能力。
高斯曾经说过“整数是数学的女王”。请看下面的例子， 你会感受到他的论点的真实
性。
(算式图省略)
1、 一张变二张、二张变四张 5分
问题
“请看我手里拿着的这把刀，这可不是那种切了头切不了尾，切了前面切不了后面的刀。正如您所看到的这样，刀出鞘时寒光凛凛，咄咄逼人哪。切一张纸给您瞧瞧。看着啊，
一张纸切成两张、两张纸成四张、四张成八张、八张成十六张、十六张成三十二张、六
十四张、一百二十八张。就好像春季三月的落花、奈良晚冬的瑞雪。瞧一瞧、看一看啊
即使是这样快的利刀，在刀刃的两面涂上癞哈蟆油的话看看怎么样啦?一张纸也切不断了。对，您看，就是这样。横着切不断、竖着切也不断、平着切还是切不断。那么把它擦下
去以后会是什么样的结果呢?一寸厚的铁板马上就变成两半儿了。看看，只是用手碰一下，
手就被切成这样了。不过您再看看，像这样的伤口什么都不需要，只要涂上一点点癞哈蟆
油马上就不疼了，血也立刻止住。请瞧一瞧、看一看……”
那么，卖癞哈蟆油的切多少回纸片能超过3万张?
提示
计算的时候超过想象的增长速度会让你大吃一惊的。
解题 一张变二张、二张变四张
第1回 (算式省略)= 2张     第8回 (算式省略)= 256张
第2回 (算式省略)= 4张     第9回 (算式省略)= 512张
第3回 (算式省略)= 8张     第10回 (算式省略)= 1024张
第4回 (算式省略)= 16张    第11回 (算式省略)= 2048张
第5回 (算式省略)= 32张    第12回 (算式省略)= 4096张
第6回 (算式省略)= 64张    第13回 (算式省略)= 8192张
第7回 (算式省略)=128张    第14回 (算式省略)=16384张
第15回 (算式省略)=32768张
答案 15回
小知识
把这种成倍增长的计算方法叫“积算”。其典型的例子是“老鼠计算法”。
“老鼠计算法”的出处来自于：“在一月份的一对(雌雄2只)老鼠，每个月生六对(雌雄12只)小老鼠，假设小老鼠长一个月后也是每个月生六对(雌雄12只)小老鼠，到年末总共有多少只老鼠?”
这是多么宏大的数字啊。
712×2=27682574402只
也就是说一共有(276亿8257万4402只)
1月末 (1+1×6)对×2只=71×2只
2月末 (7+7×6)对×2只 = 7×(1+6)×2=72×2只
12月末   712×2只
2、1＋2＝3、 4＋5＋6＝7＋8 5分
问题
1＋2＝3
4＋5＋6＝7＋8
9+10+11+12=13+14+15
上面的算式还真的很有意思啊。那么让我们想想后面的算式如何排列呢?
提示
注意左边最初的同类项及左、右两边同类项的数值。
解题 1＋2＝3、 4＋5＋6＝7＋8
注意到左边最初的同类项是n2这一点很重要。由于左边的同类项数是n+1、
右边的同类项数是n，所以
n2 + (n2+1) + … +(n2+n)
=(n2+n+1) = (n2+n+2)+ … +(n2+n+n)
接下来的算式是n=4和5时
16+17+18+19+20=21+22+23+24
25+26+27+28+29+30=31+32+33+34+35
答案
16+17+18+19+20=21+22+23+24
25+26+27+28+29+30=31+32+33+34+35
3、 32 + 42  = 52   15分
问题
102 + 112 + 122是两个相连的整数平方的和，请求出其整数。
102 + 112 + 122 = □2 + ○2
提示
把连着的整数设为未知数，关键是怎样设置。
解 32 + 42  = 52
把相连的小的整数设为11+n(但是n≥1)。
根据题意
(算式省略)
把上列算式整理为
(算式省略)
所以(算式省略)
解上列算式为
(n-2)(n+25)=0
由于(算式省略)、所以 n=2
因此，所求的整数是 11+n=13和11+n+1=14
所以 (算式省略)
答案
(算式省略)
小知识
有趣的数字
(算式省略)
4、十字之和 30分
问题
请把从1到9的数字填写到下图的十字架中，使横、竖的数字之和相同。每个数字只能用
一次。
(图略)
提示
横、竖的数字之和是多少，十字架中间的数字最关键。
接下来需要反复把数字填进去试，找到整数的对称性就简单了。
答案不只1个。
解题 十字之和
我们设横、竖的数字之和为S，十字架中间的数字为X(横、竖计算时都加算X)
(算式省略)
由于S是整数，所以45+X需要用2去除。也就是说X是奇数。(45+奇数=偶数)。
X=1时S=23、X=3时S=24、X=5时S=25、X=7时S=26、X=9时S=27。余下的数字自己试着填上就可以了。
答案
(图略)
第二部分第1节
5、三角形各边之和 30分
问题
请把从1到9的数字填进下图的三角形里，使每边数字的和都等于23。但是每个数字只能
使用一次。
提示
和前一道题的十字架中间的数字被重复计算一样，这道题是三角形顶角的数字被重复
计算，
答案不只1个。
解 三角形各边之和
我们设三角形各边数字之和为S，各顶角的数字依次为X，Y，Z(顶角的数字X，Y，Z被两个边重复使用。)
(算式省略)
因为 S=23，那么根据上列算式得出 X+Y+Z=24。所以可以确定 X=7、Y=8、Z=9。
8和9之间的另外两个数字的和应该是6，得6的数字是4和2、5和1这两种组合。
答案
(图略)
6、巧填奇数 20分
问题
把从1到9的数字(每个数字只能使用一次)填进3×3的方形矩阵内，使横、竖、斜线数字
之和都相等，这是很普通的矩阵数字游戏。那么，请把从1到17的奇数(每个数字只能使用一次)填进下图的3×3方形矩阵内。
提示
填在中间的格子里的数字是关键
解题 巧填奇数
把横、竖、斜线数字之和设为S，每个格子里的数字如图所示
A B C
D E F
G H I
3S=(A+B+C)+(D+E+F)+(G+H+I)=81
所以 S=27
把中间的格子里的E算在内，其和为
A+E+I=27 B+E+H=27 C+E+H=27 D+E+F=27
因此 A+B+C+D+E+F+G+H+I+3E=27x4
81+3E=108
所以 E=9
然后再按照(算式省略)算式把数字试着填进格子里，定下来17、15、13的位置。
答案
15 5 7
1 9 17
11 13 3
如右图(图略)，偶数的方形矩阵也很简单。此例题例举了0到16的偶数(0也是偶数)
14 0 10
4 8 12
6 16 2
7、难画也要画  15分
问题
请使用圆规和格尺把√2、√3、√4、√5标在一条直线上。
(图略)
提示
留意正方形的对角线。
解题 难画也要画
边长为1的正方形的对角线长度，根据勾股定理，应该等于√2。
即算式为 （12 + 12 = √22）
那么，长是1、宽是√2的长方形的对角线的长度、根据勾股定理应该等于√2。算式为
(算式省略)
那么，√5的长度也可以用同样的方法算出来。
答：
(图略)
小知识
如果不是在一条直线上，像下图那样用格尺也可以做成无理数。
(图略)
3、方程式的篇章
“方程式”的功能
在希腊的几何学中心，第欧范德斯)(246?--330?)在研究方程式
上面为后人留下宝贵的财富。人们为了歌颂他的丰功伟绩，在他的
墓碑上竟然刻着最古老的方程式的问题。
第欧范德斯生涯的6分之1在少年、12分之1在青年、又经过7分
之1后结了婚。结婚5年后有一个孩子，但是这个孩子在父亲去世的
4年前也就是父亲生涯的一半时去世了。
设第欧范德斯在X岁时去世
算式为：   (算式省略)
X=84岁。 这个问题决不是什么难题吧。
在本章里所列出的方程式和这个问题同样，都是中学1、2年级的水平，决没有使用高难度的定理。可以说是算数的延伸。
然而，掌握思考的能力是非常有用的，逻辑性的思考是方程式的生命。
1、墨斗鱼、章鱼和海星各有几只? 15分
问题
有墨斗鱼、章鱼和海星共12只，总共有87只脚。
那么请问， 墨斗鱼、章鱼和海星各有几只呢?
提示
墨斗鱼的脚是10只、章鱼的脚是8只、海星的脚是5只。
解题 墨斗鱼、章鱼和海星各有几只?
把墨斗鱼、章鱼和海星分别设为X只、Y只、Z只。
头 数: X+Y+Z=12。。。。。。①
脚合计: 10X+8Y+5Z=87。。。。。。②
所以： y = (27-5x)/3
由于Y是整数。所以必须用3除去 27-5x。因此，x=3
所以 Y=4、Z=5
答案
墨斗鱼3只、章鱼4只、海星5只。
小知识角
刚才我们计算过的[计算墨斗鱼、章鱼和海星]，是有名的鹤龟计算的应用。鹤龟计算的元祖是记载在3世纪中国的数学书[孙子算经]里面的。那时并不是鹤和龟，而是野鸡和兔子。
日本初次提到这类问题是在17世纪的[因归算歌]里，仍然是野鸡和兔子。
内容是[野鸡和兔子共有32只，数一数脚有94只。野鸡和兔子各有多少只?]
虽然用方程式很简单就能解题，但是在这里让我们用传统的假设方法做一做试试。
假设全部是野鸡的话，应该有64(32×2)只脚。由于实际有94只脚，比64只多出30只脚。
如果把这30只脚考虑成是兔子的前脚，那么兔子就有15（30÷2）只。
所以剩下的17只是野鸡。
从此以后，在日本有青蛙、犬、鸟等各种各样的动物陆续登场，最后好像一直到19世纪
前期(江户末期)定为鹤和龟了。
(图略)
（提高能力）
2次方程式的题解和公式
相加是13、相乘是36的两个数字是什么数?咋一看好像很难似的，其实很简单。用[急转弯]，首先我们考虑一下2次方程式ax2 + bx + c(a≠0)的解的公式。
把C移到右边、再用a除以两边。
(算式省略)
由于想做成平方的形式，要在两边加上(算式省略)。
(算式省略)
把左边变为平方的形式、就是
(算式省略)
根据这个算式，2次方程式ax2 + bx + c的2个解是、相加是(算式省略)、相乘是(算式省
略)。
也就是说开头的问题，相加是13、相乘是36的两个数字只要把2次方程式ax2 + bx + c解
开就行。从上列公式我们算出
X=4、9
本来这道题在使用解题公式前如果用因式分解来解题是最简单的。
x2 －13x + 36 = (x－4)(x－9) = 0
2、配错了的浓度是多少? 15分
问题
把20%的糖水和30%糖水混在一起，想配成24%的糖水，可是一不小心把比例弄反了。
请问配错了的糖水的浓度是多少?
(图略)
提示
本来打算配制的比例是多少?
解题 配错了的浓度是多少?
(图略)
本来打算配制的比例是
20%的糖水的量:30%糖水大量
=(24-20):(30-24)
=2:3
把配错了的糖水设为x%
本来应该按2:3配制，结果配制成了3:2。所以
(x-20):(30-x)=3:2
因此 x=26
答案 26%
3、球的大小 15分
问题
想把两个同样大的排球装在圆柱形的箱子里，装进去一看，像下图那样正好装满。圆柱
的底边直径为32cm，高为36cm
那么球的半径是多少cm呢?
(图略)
提示
画一个通过两个球的圆心和圆柱的中心线的平行断面图看看。
解题 球的大小
像下图这样画出通过两个球的圆心和圆柱的中心线的平行断面图。
(图略)
设球的半径为r(cm)
AB=2r
AC=36-2r
BC=32-2r
根据勾股的定理
(算式省略)
因此
(算式省略)
整理上式为
(算式省略)
由于 r小于32(圆柱的底边)，所以
r=10(cm)
答案 球的半径为10cm
4、最大的积是多少? 15分
问题
组合从0到9的数字，请排列出两组最大的积。每个数字只能用一次。
提示
两组数之和为一定时，两组数的差越小，其积也就越大。那么我们设两个组数分别为
a+b、a-b、就会得出
(a+b)(a-b)=a2－b2
所以可以得知 b=0时的积最大。
解题 最大的积是多少?
两组数的第一位数是9和8的情况下，两组数的差最小，积也最大。
下一位数是6和7，如果和9和8组合在一起，即 96和87。这两组数的差最小，积也最大。
(96-87=9、97-86=11)
同样，把接下来的位数4和5像964、875这样组合，两组数的差最小，积也最大。
再把下一位的数2和3像9642、8753那样组合，两组数的差最小，积也最大。
把最后的0和1也像96420、87531这样组合，由于两组数的差最小，所以积也就最大。
这就是我们想要的答案。
答案 96420和87531
5、同时打开 20分
问题
水槽上安装着3个水龙头。第1个龙头打开10分钟、第2个龙头打开15分钟、第3个龙头
打开30分钟后水槽里的水流完。
那么请问，如果把3个水龙头同时打开，经过几分钟水槽会空呢?
提示 注意每个龙头1分钟的流量。
解题 同时打开
设水槽里的水量为V，把第1个龙头、第2个龙头、第3个龙头打开时1分钟的流量分别设
为V1、V2、V3 于是有：
(算式省略)
设打开3个龙头后，水槽里的水流完的时间为t 于是
(算式省略)
答案 5分钟
第二部分第2节
6、牧草是边吃边长的 30分
问题
这是牛顿(1642～1727)想出来的问题。
把9头牛放牧在2英亩的牧场上，16天把牧草吃光。又把18头牛放牧在3英亩的牧场上，10天把牧草吃光。
那么请问，把35头牛放牧在5英亩的牧场上，多少天能把牧草吃光?
关于面积单位，我们假定放牧前牧草的量和每天牧草生长的量相同。并且每头牛每天吃
的牧草的数量也相同。
(图略)
提示
虽然用单纯的比例计算就可以求出结果，但是牧草在被吃掉的同时也是生长的，所以不是那么简单哪。
解题  牧草是边吃边长的
设在1英亩牧场里放牧前所生长的牧草量为u、每天生长的牧草量为v、一头牛每天吃
的牧草量为w， 那么
2u+16×2v=16×9w ……①
3u+10×3v=10×18w ……②
根据①x3-②x2、36v=72w 所以 v=2w
代入算式①， u=40w
那么我们把所求的天数设为t
5u+tx5v=tx35w
把 v=2w、u=40w 代入算式
200w+10tw=35tw
所以 t=8天
答案 8天
小知识
万有引力的发明者、微积分的创始人牛顿，非常喜欢猫咪。为了让猫咪出入自由，牛顿
在家里到处开了好多通道口。
猫咪在生小猫的时候，牛顿高兴极了。他让男仆在猫妈妈的通道口旁边开一些小洞。男
仆不明白为什么开这些小的洞，牛顿非常认真地“是小猫的通道口呀”。
7、13 + 23 + 33 + …等于多少? 30分
问题
(算式省略)
那么，(算式省略)等于多少呢?
提示
请注意n的立方可以用n个连续奇数的和表示。(例如:3的立方是3个连续奇数7、9、11之
和)
解题  13 + 23 + 33 + …等于多少？
n的立方可以用n个连续奇数的和表示，也就是说 算式13 + 23 + 33 + …+n3是从1开始的(1+2+  … +n)个连续奇数的和。
因此，算式13 + 23 + 33 +43+53+63+73+83+93+103等于(由于1～10的和=55)从1开始的55个连续奇数的和。从1开始到第55个奇数是
2n-1=2×55-1
从1开始到第n个奇数之和是根据右图等于n的平方。
所以
(算式省略)
(图略)
答案 3025
小知识
(算式省略)
所以，一般来说(1 +2 + …+n)2 =13+23+ …+n3
4、钟表的篇章
“钟表篇”的功能
钟表是智力题的代表道具。
看了雅孝司著的[令人爱不释手的直觉智力测验](中经出版)一书，
恐怕计算[两根表针一天重合几次]的人们总计也有几亿人吧?
如果是那样的话，我们也不能越过不提吧。这真是了不起的老调
新唱。
利用钟表所出的问题虽然不是很难，但是对刺激数字的感觉、逻辑性的思考能力、灵活
的想象力等却是个绝好的问题。
1、 所有的表都不准 5分
问题
在收音机报12点时，我确认了家里的表正确之后就出去散步了。
途中看见教会的大钟是12点14分。
到了目的地书店，那里的表是12点32分。
用8分钟买完东西，回来的路上教会的大钟是1点02分，到家的时候是1点14分。
由于来回走的速度都一样，所以，教会的大钟和书店的表好像都不准。
那么请问，教会的大钟和书店的表分别差几分钟呢?
(图略)
提示
用往返时间来思考。
解题 所有的表都不准
从家到教会往返用了26分(14分+12分)。由于走的速度相同，本来应该是来去都应该各
用13分。由于教会的大钟在去时用了14分，所以教会的大钟快1分钟(请确认一下回来时前
后是否符合)
从教会到书店往返用了40分(18+22)。由于走的速度相同，本来应该是来去都应该各用
20分。由于书店的表在去时用了18分，所以和教会的大钟比书店的表慢了2分。
由于教会的大钟快1分钟，所以我们得出书店的表比正确的时间慢1分。
请确认一下整个路程的前后是否符合。
(14分) (18分)
往 12:00------>12:14------>12:32
家 教会 书店
(图略)
返 13:14    (12分) (22分)
答案
教会的大钟:快1分钟
书店的表 :慢1分钟
2、停止的钟表 5分
问题
山上寺院里唯一的一个挂钟停了。
和尚到离寺院500多米远的施主家去问时间，回来后调整挂钟的时间几乎和正确的时间
相同。
那么请问，和尚是怎样来调整挂钟的时间的?
(图略)
提示 停止的钟表
可不是你认为戴着手表那样天真的问题哟。
解题  停止的钟表
出门去邻居家时，给挂钟上满弦使之走动，计算来回路程所用的时间。将其一半的时间加
在从施主家里所问的时间上，这样就调整好了寺院里挂钟的时间。
当然，要特别注意走路的方法，使往返时所用的时间相同。
3、表针在一天里重合几回? 15分
问题
钟表的长针和短针在一天的时间里重合几回呢?开始的0点不计算。
(图略)
提示
要计算最后的24点。
解题 表针在一天里重合几回?
长针在1分钟内走6度(360度除以60分)、短针在1分钟内走0.5度(360度除以12小时除
以60分)。我们设长针和短针重合一次后到再重合时需要n分，则有下列算式：
6n－360= 0.5n
解算式为
(算式省略)
也就是说长针和短针重合一次后到再重合时的时间为1小时(算式省略)、可是不能说1
天24小时长针和短针就重合23次。开始的0点不计算、最后的24点计算。所以22回重合。
答案
22回
小知识
这是从室町末期后半到江户末期在民间使用表示时间用的。是报时的钟声次数成了时间
的叫法。日出前的微明叫明六、日落后的天快黑时叫暮六、把从明六到暮六白天的时间
和从暮六到明六夜晚的时间分别分成六等份、把一天的时间分成12刻。明六的下面
是五、四数字越来越小、可是突然又变成了九(正午)、然后又是八、七、暮六、五、四。为
什么不用从一到三的数字?真是不可理解的事。
4、长针和短针成一直线 15分
问题
从3点到4点之间短针和长针相互朝相反的方向走成一条直线时是几点几分?
(图略)
提示
用怎样的算式表示短针和长针成一条直线是问题的关键。
解  长针和短针成一直线
长针在1分钟内走6度(360度除以60分)、短针在1分钟内走0。5度(360度除以12小时除
以60分)。
我们设在3点n分的时候短针和长针成一条直线(180度)长针从6n、短针从3点的位置
(由于单针在1小时转动30度、所以30度×3)转动0。5n。因此、等式
6n-(30×3+0.5n)=180    成立。
所以：(算式省略)
也就是3点49分5秒(将11分之1用十进法表示，换算成秒数约为5秒)。
答案
3点49分5秒的时候。
小知识
日出、日没的时间根据季节的变换而不同。如果把一天的时间分别分成六等份、分成
一二时刻的话，白天的一刻夏天长、冬天短(把像这样决定时刻的方法叫做不定时法)。
如果签订了夏天和冬天在同一时间内劳动的契约，夏天要比冬天的实际劳动时间多出
很多。虽然感到不合理，但是作为江户时期的人来说，夏天更容易耕作，所以好像还是很合
理的。
5、散步时间 15分
问题
12点过后出去散步去了。
出发时、回来时都看了时间，短针和长针正好交换了位置。请问，出去散步了几分钟?
(图略)
提示
在1小时之间正好有短针和长针交换的时候。短针和长针交换位置，就是说两条针前进
的角度之和是360度。
解题 散步时间
长针在1分钟内走6度(360度除以60分)、短针在1分钟内走0.5度(360度除以12小时除
以60分)。
我们假设n分钟短针和长针交换位置的话，则有
0。5n+6n=360
所以 (算式省略)
也就是约55分23秒。
(图略)
答案 55分23秒
小知识
《“刻不容缓”的一刻是几秒？》
为了在日常生活中应用不定时法，日本古代幕府的历学家沿用了古汉代的定时法，即将一天分为100刻。否则的话就难以维持正确的年历。
“刻不容缓”中的一刻，就是指的这一刻，是864秒（24小时 ×60分×60秒÷100）。
也就是一刻为12分24秒。
即便如此，好像还是不知道这到底是长还是短？
第二部分第3节
6、钟表慢几分? 15分
问题
把每小时慢3分钟的表在12点时校对了时间。这个表到指向24点时会慢多少?
(图略)
提示
请注意是[这个表到指向24点时]，而不是[到正确的时间24点时]。
解  钟表慢几分?
在正确的表从12点到24点的12个小时里，这个表慢36分(12×3)。在这36分之间又慢(算
式省略)。虽然所谓这段时间可以忽略，但还是计算到此为止好吧。
也就是 约37分48秒。
答案
约37分48秒
小知识
1999年由于有闰秒，在格林威治国际标准时间1月1日上午零点(日本时间午前9点)
之前的一瞬间在全世界范围内给标准计时加入1秒。所以，1999年比平年长1秒。
之所以设置闰秒，是由于地球的转动和计时不相符的原因。1秒钟的长短本来只是作为1个平均太阳日的86400(24小时×60分×60秒)分之1。但是，精密的天体观测的结果使人们知道地球的运行并不是那样一致的。特别是最近，由于异常气象等影响，自转速度趋向缓慢。
因此，于是,使用采用了铯133原子的原子钟重新确定了1秒钟。当比地球运动准1010倍的原子钟的标准时间与地球运动产生1秒钟的偏差时,设定了润秒以进行调整。
现在我们真的很怀念以日出、日没为基准的江户时代啊。
7、根本没什么秘密 15分
问题
安达龙光师一边指着在硬纸板上画的挂钟的文字盘一边解说着
“各位顾客，请在文字盘上选一个你喜欢的数字。我用魔杖敲着地板，从选出数字的下一位
数开始数，正好数到20时停下，我会猜中你选的数。”
有一个人在心里选了[7]，随着魔杖的声音默数着8、9。。。数到20被叫停时，龙光师马
上猜中是[7]、并且说到“我是天才吧?其实很简单，只是和各位反着数而已。”
那么龙光师是从几开始数的呢?
(图略)
提示
从数字m开始倒数到1，然后再从12倒数。
解题 根本没什么秘密
把顾客选的数字设为n，顾客数着n+1、n+2、。。。、数到20时停住，数的次数是
(20-n)次。
龙光师是从m开始倒数，数到1时再从12开始倒数。而且在停的时候龙光师的数字正好
是n
所以 (m+12)-(20-n)=n
m=8
也就是从8开始倒着数7、6、。。。、1、12、11。。。、8、7。
用这样的方法只要是从8倒着数，不论顾客选什么数字都会被猜中。
比如说顾客选[9]的时候
顾 客 9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20
龙光师 8-7- 6- 5- 4- 3- 2- 1-12-11-10-9
答案 从8开始数。
5、折纸的篇章
“折纸”的功能
折纸的游戏早在室町时代就开始了。一说到折纸，谁都会马上
想到[鹤]。从江户时代中期开始折的纸鹤，到现代其式样几乎没有
什么改变。
在此之前的各章节主要是以数字为主题的，培养的是对数字的感觉、
直觉能力、想象力及思考力。在这一章节图形成为重要的主题。
让我们一边作着折纸的游戏，一边培养以图形为基础的感觉(也可以说是对图形
的把握能力)、直感力和想象力吧。
1、 重叠  15分
问题
在一张折纸的一角放上另外一张同样大小的折纸，使两张纸的角重叠。
要想使重叠部分的面积成为一张折纸面积的2分之1，怎样重叠才好呢?
(图略)
提示
重叠部分可以看成是等边三角形。
解题 重叠
由于重叠部分是两个相同面积的三角形，所以重叠部分的面积= （边BC×边BE÷2）×2
那么，要想与折纸面积的一半(边AB×BC÷2)相等，就有：
（边BC×边BE÷2）×2 = 边AB×BC÷2
即 E正好在AB边的中间的位置。
(图略)
2、折成八分之一 5分
问题
请把纸折成是原来面积8分之1的正方形。
(图略)
提示
如果是16分之1的话，可以按照4分之1乘以4分之1折;所以8分之1可以考虑成4分之1乘以2分之1。
解题 折成八分之一
首先把折纸按照下图的顺序那样折成4分之1。
(图略)
然后再把折成4分之1的纸按照下图的顺序那样折成2分之1。
于是，以4分之1乘以2分之1即等于8分之1。
3、折成5分之1   15分
问题
请把纸折成是原来面积5分之1的正方形。
(图略)
提示
这是古希腊十字裁合法问题的应用。看到下图以后，会得到启发吗?
(图略)
解题 折成5分之1
像下图那样折的话，就会折成原来面积的5分之1的正方形。
小知识
古希腊十字裁合法的问题好像是从记元前开始为人所知的。像基督教的十字架那样柱
子的长的部分叫拉丁十字。
4、折成15度 15分
问题
用折纸做成45度很简单是吧。那么，请做成15度。
(图略)
提示
留意正三角形。
解题 折成15度
如图所示，把角A对折在折成两等份的MN折线上，把三角形ABE折过去。这时，由于三角形A‘BC是正三角形，角A‘BC是60度。所以角ABA‘等于30(90-60)度。
因此，其一半的角ABE、EBA‘就是15度。
(图略)
5、折成最大的正三角形 30分
问题
根据前问的解题方法虽然把三角形A‘BC折成了正三角形。但遗憾的是并不能说这个
正三角形就是在正方形的折纸上能折出的最大的正三角形。
让我们用折纸试一试，折成一个最大的正三角形吧。
(图略)
提示
请参考前问的[折成15度]。
解题 折成最大的正三角形
接着前问，这回如下图所示再把角C对折在折成两等份的PQ折线上，把三角形CBF
折过去。
当然，角CBF(=角FBC‘)也是15度。
所以，角EBF也就等于60度(90度-15度-15度)。
最后再把这样折出来的EF对折，就折出了三角形EBF。成为在正方形的折纸上面折出的
最大的正三角形。(角EBF=60度、而且EB=BF)。
(图略)
6、折成正六角形 15分
问题
请用折纸折成正六角形。
(图略)
提示
请参考前问的[折成最大的正三角形]
解题 折成正六角形
利用前问的[折成最大的正三角形]里出现的正三角形。如下图所示，只要把正三角形
的三个顶点折向正三角形的中心点O，就会折成正六角形。
(图略)
(图注解)把三个顶点折向中心点O
小知识
从正三角形直接到正六角形不管怎么说都太快了。因此，让我们来试一下折成正五角形
吧。
用折纸那样的正方形的纸折成正五角形虽然不太容易，如果使用长一点的长方形那样的
折纸就可以简单的折成。
一边看着图一边用装一次性筷子的纸袋折着试一试。在哪里见过的吧?对了!就是和在
神社院内的树枝上系着的签纸的系法是同样的。
(图略)
7、折成最大的正八角形 30分
问题
请用折纸折成一个最大的正八角形。
(图略)
提示
虽然把折纸的四个角对折过来就可以，但是，问题是怎样折呢?
(图略)
解题 折成最大的正八角形
1、把折纸沿着两根对角线对折成四折。
2、以点A为轴，把AO边折向AB边。把点O在AB边上接触的点为E，然后折出EF连线。
3、把折纸打开，返回到1、的形状，这一次是以B点为轴，把BO边折向AB边。把点O在AB边上接触的点为G。然后再折出GH连线。
4、把折纸打开如下图所示，由于有折过的印，按照折印把四个角对折过来话，就成了正
八角形。
(图略)
要想证明折出来的是否是正八角形，只要能证明GE的边长和GE‘的边长相等就可以吧。
如果假设折纸的一边AB的长为2的话，AO的长就是(算式省略)。而且AE、BG的长也是
(算式省略)。
那就是说 AG、EB的长是 2-(算式省略)
因此，GE的长是(算式省略)
另一方面GE‘的长根据勾股定理，(算式省略)
所以可以说，GE和GE‘的长是相等的。
小知识
从正六角形到正八角形，又直接跳过去了。不管怎么着正七角形就无法折了吗?藤村幸
三郞、田村三郞编著的[数学历史问题集](讲谈社)里记载着下面那样的方法。是用比筷子纸
袋更长的纸带折成的。
(图略)
提高能力
纸的规格A版。B版
在纸的规格里面有A版和B版，不管哪一种竖横之比都是(算式省略)。真的是这样的比例吗?
让我们考虑一下确认的方法。
如下图所示，从1开始按顺序去折，最后折到4图，如果用2得出的(算式省略)和竖边
相吻合的话，就可以确认横1:竖(算式省略)的比例成立。
(图略)
第二部分第4节
6、三角形的篇章
[三角形章节]的功能
尼罗河年年泛滥，却给埃及带来了适宜农作物生长的肥沃的土地和三角形。
和三角形有什么关系呢?
这是因为每次治好河水泛滥后，就要重新开始土地的测量及划分。那时为了测量直角，使用分出12等份的绳子，各边的比例为3:4:5，然后用三个人拉住绳子，做成直角三角形。
要说三角形的智力题我感觉和做几何差不多。然而在几何和三角形的智力题里，即使使用同样的图形、同样的立体，但是所采用的方法在根本上是有差异的。
几何是用对图形的感觉和思考力来解的，但智力题是凭着对图形的感觉（这一点相同）、直觉能力和想象力来解的。用灵活的想象力和瞬间的一个灵感，就找到了意想不到的解决问题的方法。这真是培养这些能力的难得的好教材。
1、有多少个平行四边形? 15分
问题
在下图当中含有多少个平行四边形?
(图略)
提示
经常有计算漏下和重复的。请注意平行四边形的大小和方向。
解题  有多少个平行四边形?
根据平行四边形的大小和方向调整。假设最小的平行四边形的面积为1，
1、面积为1的
如右图，有三种样式。由于各自有6个，所以 3×6=18
2、面积为2的
共有六种样式。由于各自有3个，所以 6×3=18
3、面积为3的
共有六种样式。由于各自有1个，所以 6×1=6
4、面积为4的
共有三种样式。由于各自有1个，所以 1×3=3
以上合计18+18+6+3=45
答案
45个平行四边形。
2、折过来的角 15分
问题
把正三角形的纸如图那样折回来时，角?的度数是多少度?
提示
折过来的部分的三角形和折回来部分的三角形是全等的。这是当然的啦。
解题 折过来的角
三角形GEH、三角形HBF各角的度数如图所示。由于三角形CDF和三角形DEF是全等三角形。所以角DFC的度数是角EFC的一半。因为角EFC等于 180度-28度=152度，所以，角DFC的
度数为76度。
答案
76度。
小知识
三角形的内角之和是180度。
那么我们想想看，普通n角形的内角之和是多少度呢?由于无论是什么样的四边形都可
以分成两个三角形。所以，四边形的内角和是 180度×2=360度。五角形可以分3个、六角形
分4个三角形。由于普通的n角形可以分成(n-2)个三角形，所以n角形的内角之和等于
180度x(n-2)(但是n大于等于3)
(图略)
3、三角关系 30分
问题
如图所示，在并排三个正方形内画三个三角形。这时，在角p、角q、角r之间会成为什么
样的关系?
(图略)
提示
很明显，角r=45度。
解题 三角关系
如图所示(图略)，和EH对称排列三个正方形，画三个三角形。
角IBE是直角(90度-角q+角q)，并且IB边和BE边长度相同，所以三角形IBE是等边直角三
角形。
因此 角p+角q=45度
另外 因为角r=45度
所以 角p+角q=角r
答案
角p+角q=角r
小知识
阿拉伯的数字家萨必德·伊本·克莱(836～901)，由于对毕达哥拉斯的“ 勾股定理”只适用于直角三角形有不同见解， 所以，为了所有的三角形都能适用，他尝试着将其一般化。
在不是直角三角形的三角形ABC上，从顶点A画线B‘和C‘至底边BC上，使角AB‘B和角AC‘C各自等于角BAC。
于是 (算式省略)
因为 三角形BAC、三角形BB‘A、三角形CC‘A是相似三角形，所以
BC:AC:AB=AC:CC‘:AC‘
=AB:AB‘:BB‘
在这里 (算式省略) 根据 (算式省略)
并且 (算式省略) 根据 (算式省略)
把两个算式相加足以证明了阿拉伯数字家的论点。
(图略)
提高能力
毕达哥拉斯三角形
直角三角形的时候，根据勾股定理，算式1成立。
(算式省略)。。。。。。1
把像算式(算式省略)这样的三个边长都是整数的直角三角形叫毕达哥拉斯三角形。试着做一
做，看看怎样把毕达哥拉斯三角形的三个边(a，b，c)代入公式，求出结果。
把1的两个边用b的平方来除的话，算式为
(算式省略)
因此 (算式省略)
在这里设 -- + -- = -- -- + -- = --
(相乘时得1。m是大于n的整数)
根据(前式)－(后式)得出
(算式省略)
a是整数时，b=2mn， 所以把毕达哥拉斯三角形的三个边(a，b，c)代入公式(m是大于n的整数)，即(算式省略)
(例)
a 3 5 15 7 21 35 9 45 11 63
b 4 12 8 24 20 12 40 28 60 16
斜边 5 13 17 25 29 37 41 53 61 65
4、爬在圆筒里的虫子 15分
问题
在高10cm的圆筒底部有一条小虫，我们假设这条小虫沿着与圆筒表面成30度角的一条直
线往上面爬行。
请问爬到上面要多少cm?
提示
和圆筒的半径没有关系。
解题 爬在圆筒里的虫子
我们可以考虑成小虫爬在高10cm 、角度为30度的直角三角形的斜边AB上面。
AB=10×2=20cm
(图略)
答案
20cm
小知识
如果不是圆柱、而是[高10cm的圆锥]的情形时是怎样的呢?
只要是以30度的角度在一条直线上行进，就和圆柱的情况一样。
5、封闭四边形 30分
问题
在平行四边形ABCD外部取任意一点P。三角形ABP和三角形DCP的面积之差是多少平方cm呢?
(图略)
提示
请参考平行四边形面积的求法。
解题 封闭四边形
如下图所示，把三角形ABP的高设为H+h、三角形DCP的高设为h，那么
三角形ABP的面积=底边ABx高(H+h)除2
三角形DCP的面积=底边CDx高h除2
=底边ABx高h除2
因此，两个三角形的面积之差是
三角形ABP的面积-三角形DCP的面积
=底边ABx高(H+h)除2-底边ABx高h除2
=底边ABx高H除2
由于底边ABx高H等于平行四边形ABCD的面积，所以
三角形ABP的面积-三角形DCP的面积
=底边ABx高H除2
=(算式省略)
(图略)
6、星形角之和 30分
问题
求星形尖端的角度之和。
(图略)
提示
请参考三角形的两个内角和等于另一角的外角。(图略)
解题 星形角之和
如图所示，现在我们把星形尖端角的度数设为角a、角b、角c、角d、角e。
(图略)
我们如果注意到三角形BGD的内角角b、角d的另一角的外角的大小等于角a+角d，并且三角形CEF的内角角c、角e的另一角的外角的大小等于角c+角e。那么三角形AFG的内角和用下列算式可以表示。
(算式省略)
答案
180度
7、摸壁竞赛 30分
问题
从点A出发到X、Y的墙壁上摸一下墙，然后跑回终点B，比赛看谁跑得快。
怎样跑最先能到终点呢?而且，最近的距离是多少米?
(图略)
提示
可以考虑从终点B往回跑跑看。
解题 摸壁竞赛
我们可以考虑以Y线为中轴，找出点B的对称点B‘、再以X的延长线为中轴找出点B‘的对
称点B"。
首先，从点A开始跑，到摸着墙壁X时是向B"的方向跑的，在点P处摸到墙壁X。
然后，从点P开始跑，到摸着墙壁Y时是向B‘的方向跑的，在点Q处摸到墙壁Y。最后，从点Q朝着终点B跑。
结果跑的距离和从点A到点B"的距离相同。这是最短的距离。这个距离的长度根据三平
方定理可以得出是1300米。
(图略)
答案 1300米
第二部分第5节
7、圆的篇章
[圆的章节]的功能
为什么鸡蛋的形状接近球形呢?那是因为球形在表面面积相同的情况下，
可以有最大的内部面积。同样，圆形在周长相同的情况下，也可以得到最
大的内部面积。
那么接下来的问题就简单了。
国王给三个王子一根1000米长的绳子，让他们各自用绳子圈出自己认为是最大的土地
并且以此判断皇位的继承人。
首先大儿子圈出一个长400米、宽100米的长方形。
看到老大圈出的长方形，二儿子圈出一个边长为250米的正方形。国王看到后夸奖说
“和我想的一样”。
然而，继承王位的却是最小的儿子。那么小皇子是怎么圈的地呢?
圆的问题所达到的效果和三角形问题一样，都是在磨练我们对图形的感觉、直感能力
以及想象能力。
1、电车的内环线 15分
问题
山手线的外环线和内环线铁轨长度之差是多少米呢?我们设环形电车线路的半径是5km，外环线和内环线铁轨的中心线间隔是4m。(图略)
提示
请不要生气地说[半径是5km吗?真是乱讲]
[译者注:山手线是日本东京都市区内的环行电车，相当于我们的城铁。南北向长，接近椭圆形]
解题 电车的内环线
把内环线的半径解释为5km的话，
外环线铁轨的长度 = (算式省略)
内环线铁轨的长度 = (算式省略)
因此 外圈和里圈铁轨长度之差是
(算式省略)
按照圆周率=3.14
≒ 25
(算式省略)
所以 答案是大约25米。随便说的半径计算起来真方便呀。
答案 约25米
2、求斜线部分的面积 5分
问题
在半径为6cm的圆内画一个正六角形，请问斜线部分的面积是多少平方cm?
(图略)
提示
留意三角形。
解题 求斜线部分的面积
如图所示(图略)，三角形ABC和三角形OBC由于底边和高相等，所以面积相同。因此，斜线
部分的面积也就等于扇形OBC的面积。我们把所求的面积设为S，则
S=(算式省略)
=(算式省略)
答案
(算式省略)
小知识
当给我们的不是角度而是[弧线的长度]时，试试看求扇形的面积S。
弧线的长度
S=圆的面积x---------- (图略)
周长
=(算式省略)
=(算式省略)
这个结果和高是r、底边为a的三角形的面积相同，真是感到不可思议啊。
3、银杏树 5分
问题
请求出图中4片银杏树叶的面积。设大圆的半径为2cm。
(图略)
提示
请注意看图中重叠部位的白色部分。
解题 银杏树
把银杏树叶的顶间部剪下来，补在正中间的白的地方。于是，银杏树叶就成为边长是
(算式省略)的正方形。(图略)
因此，所求面积为 8平方cm
答案
8平方cm
4、比直线短 20分
问题
有一块边长为100米的正三角形土地。
为了把土地分成两等份，要在中间砌一道墙，怎样才能使墙的长度最短呢?
(图略)
提示
为什么在圆的章节里出现三角形呢?如果不这样认为的话就已经找到解题方法了。
解题 比直线短
我们砌一道以三角形顶点为中心的弧形墙。
(图略)
按照下列方法可以求出弧长。
设三角形的高为h(m)、根据勾股定理
(算式省略)
因此，三角形的面积约等于4330(平方米)
把这个面积平均分成两份，并且设圆弧的半径是r(m)
(算式省略)
圆弧长L为
L=(算式省略)
答案
砌一道以三角形顶点为中心的弧形墙。
5、三个半圆的定理 20分
问题
把直角三角形的每一边作为直径画三个半圆，请问三个半圆之间的关系?
(图略)
提示
这是勾股定理的应用问题。
解题 三个半圆的定理
半圆P的面积+半圆Q的面积
=(算式省略)
=(算式省略)
(根据勾股定理，由于(算式省略)，所以
=(算式省略)
=半圆R的面积
答案
半圆P的面积+半圆Q的面积=半圆R的面积
(图略)
小知识
即使不是正方形、半圆形，只要是以直角三角形的各边做为图形的一部分的各种图形
都是相似的。
图形P的面积+图形Q的面积= 图形R的面积的公式是永远成立的。
6、希波克拉底的定理 15分
问题
希波克拉底(BC450年左右)是希腊的哲学家。
[如图所示，把直角三角形的各边作为直径画圆时，请证明斜线部分面积的和等于直角
三角形的面积]。
(图略)
提示
这和三个半圆的定理很相似啊。
解题 希波克拉底的定理
三个半圆的定理是(P1+P2)+(Q1+Q2)=R
R是以c为直径的半圆的面积。
就右图(图略)来讲，
R=直角三角形的面积+(P2+Q2)
因此
(P1+P2)+(Q1+Q2)
=直角三角形的面积+(P2+Q2)
所以
P1+Q2=直角三角形的面积
小知识
以直角等腰三角形的直角为中心，以直角边为半径，画四分圆；以三角形斜边为直径画半圆，得到月牙儿状图形。此月牙面积等于三角形的面积。
四分圆的面积=(算式省略)
半圆的面积=(算式省略)
因此
四分圆的面积=半圆的面积
两边同时减去三角形和斜线部分之间的弓形的面积，那么
直角三角形的面积=月牙儿的面积
(图略)
提高能力
圆 = 三角形?
(图略)
请在上面1～5图中选出唯一一个不同的图形。
你会说[这不是全部都不一样吗?] 本来是这样的。在[只有同样的图形才相同]的情况
时是这样。
[相似的图形也相同]这种见解也是成立的。这种时候1和2就成为一样的了。
可是不管是哪一种也选不出来只有一个不同的图形啊?为此，要用其他的方法去看图形
了。
在橡胶薄膜上画出图形，把薄膜抻长或缩短时就会变成三角形、四角形、椭圆形、及
圆形等各种形状。
对追求图形本质的新科学来说，抻长、缩短、歪斜、重叠等都可以看成是相同的。我们
把这个叫做同相。
只有5图，无论你怎样抻长、缩短、歪斜，因为无法变成其他的图形，所以⑤和其他图
形都不一样。因此，要是选出只有一个不同图形的话，只能是选⑤图了。
7、中心点在哪儿呢? 15分
问题
有个人想在圆盘的中心点钉上钉子挂在墙上。钉子如果不在中心看起来会不顺眼，所以
尽可能的找到准确的中心位置。工具只有一个直角尺。
那么怎样做才好呢?
(图略)
提示
直角尺是木匠使用的用金属折成直角形的尺。
解题 中心点在哪儿呢?
如图所示，把直角尺的直角合在圆周的一个点上，再找到两个直角边和圆的接触点，将
两点连线。按照同样的方法再另画出一条线，两条直线的交点就是圆的中心点。这是泰勒斯定理“直径的两端和圆周上的任意一点相连后形成的角是直角”的应用。
(图略)
小知识
由于三角形的内角和为180度，所以
(算式省略)=180度。。。。。。1
由于OA、OB、OP是圆的半径，所以三角形OAP和三角形OBP是等边三角形。
由于等边三角形的两个底角相等，即
(算式省略)。。。。。。。。。。。。2
根据1、2， (算式省略)=180度
所以 (算式省略)=90度
由上列算式证明，角ABP是直角。
第二部分第6节
8、反论(奇谈怪论)的篇章
“反论章节”的功能
有两个不同大小的蛋糕，媳妇和婆婆两个人吃。婆婆说“你先请吧。”
媳妇先拿大的去吃了。婆婆看到后说“要是让我先吃，我肯定会选那个
小的是吧。” 媳妇说“母亲，您有什么不满意的吗?这不是按照您所想的
拿了吗?”
反论智力题的内容是把反论做为教材的。可以考虑成是理论问题的变形。
因此，他们的效果几乎是相同的。只是反着说而已，更能锻炼人们的直觉判断能
力。
1、 谎言村的诚实者 15分
问题
诚实村的村民一定诚实，谎言村的村民肯定说谎。这两个村相邻，村民们常有往来。
正好有人来到了这里，可是不知道是哪一个村庄。要想知道是哪一个村庄，怎样问才好
呢?
(图略)
提示
由于两村的村民来回走动，即使随便找个人问也不知道是哪个村的。如果所到的村庄是
诚实村，你可以考虑一个诚实村和谎言村的人都一样回答的问题。
解题 谎言村的诚实者
来人问到[请问你是住在这个村里的吗?]，回答如下列表格所显示的那样，如果是诚实
村的人回答是肯定的，如果是谎言村的人回答也是肯定的。
询问的人 = 诚实 询问的人 = 说谎
诚实村 是 是
谎言村 不是 不是
2、你永远不会秃 5分
问题
[你的头发很多呀，拔掉一根你的头发吧。只是拔掉一根又不会有太大的影响。你不会秃顶的。
假设没拔头发时是第n回，拔掉一根头发后是第n+1回。我们确认了第n回的情况和后来只是拔掉一根头发的第n+1的情况完全是两种不同的秃顶情况。
于是，无论拔掉多少头发都不会变成秃顶的。所以，完全把头发拔光你也不会变秃顶的]
那么，要想避开这个反论应该怎么办才好呢?
提示
让我们好好考虑一下秃顶到底是怎么一回事?
(图略)
解题 你永远不会秃
如果明白秃顶的定义是什么，像这样的反论就不成立了。
比如说，我们明确了[头发在少于3万根以下的时候叫秃顶]这个定义以后，那么假设第n回的头发是3万根+1时，拔掉一根的n+1的情况下就变成了[秃顶]。
3、三角形的两边之和等于另一边 15分
问题
[设三角形ABC的AB边的中心点为D、AC边的中心点为E、BC边的中心点为F。然后，连接各中心点D、F、E形成平行四边形ADFE。
在这个平行四边形里，AD和EF的长度相等，AE和DF的长度相等。因此，AB和AC的长度之和等于连接BD、DF、FE、EC的曲线的长度。
下面也同样，曲线BDFE的长度等于曲线BGHIFJKL的长度。 再接下来还是同样。。。。。。，
经过无数次重复之后，这个像锯齿似的曲线就会和底边BC重合。所以，三角形的两边之和等于另外一边。]
那么，怎样能回避这个反论呢?
(图略)
提示
请用显微镜看。
解题 三角形的两边之和等于另一边
不管锯齿变得怎样细小，如果用显微镜看还是锯齿。不管怎样折叠弯曲，锯齿的长度还
是等于AB+AC。
底边BC是点B和点C之间最短距离是直线，不管锯齿变得怎样细小，即使看起来好像和直线完全重合了一样，也不会变成直线。
小知识
后来成为文艺春秋出版社社长的菊池 宽最讨厌几何和数学。看到[证明三角形的两边
之和大于另一边]的考试题出来时，竟然在答案上写到[这个证明就是，连狗都知道绕开走
]
欧几里得(BC330?～ BC275?)利用[线段的长短随着它所对应的角度而变。角度越大线
段的长度就越大]的定理作出了证明。
(图略)
4、所有的圆周都相等 15分
问题
[把盘子立在桌子上在不使其滑倒的情况下旋转一圈。于是，可以看到盘子的同心圆--
盘子的底部也在一同旋转。如果在不使盘子滑倒的情况下旋转一圈的话，就形成了圆。所以，大的圆也就是盘子的圆周和小的圆也就是盘子的底部的圆周长相同。也就是说，所有圆周的长度都相等。]
那么，怎样解决这个反论呢?
(图略)
提示
画一个图试一试。
解题 所有的圆周都相等
1在进入正题之前
设三角形ABC的两边AB和AC的的中心点分别为M和N。
在BC上的任意一点D和A连接，在MN上的交点为P，那么D和P是1比1相对应
的。因此，BC上所有的点在MN上都有相对应的点。
并且，MN上所有的点在BC上也都有相对应的点。
也就是说，BC上的点和MN上的点都是1对1相对应着的。
然而，MN的长度是BC的一半。像这样不同的两条线上的点，即使每一个点都是1对1相对应，但是并不能说两条线就相等。
(图略)
2圆周长
如图所示(图略)，AB是大的圆旋转一圈的周长，PQ是同时旋转的小的圆的周长。
大圆的圆周上的点和AB线上的点是1对1相对应的。小圆的圆周上的点和PQ线上的点也是1对1相对应的。
因此，大圆的圆周上的点和小圆的圆周上的点也是1对1相对应的。
到这里和问题当中所说的意思是相同的。
如1所述，虽然说是1对1相对应的，并不能说长度就相等。因此，问题中提到的[所有圆周的长度都相等。]这一论述是不能成立的。
标题图解:能力提高
镜子照东西为什么只是左右相反呢?
镜子里照出来的影像左右是反过来的。为什么只是左右相反而不是上下倒过来呢?
面向镜子靠近看时，镜子里的影像反过来向前靠近。也就是说，镜子的功能是可以
改变前后位置的。
站在垂直放置的镜子前面，所看到的影像是上(头)在上、下(脚)在下、左在左边、右
在右边。然而，虽然面向镜子而立，镜子里的影像却是前后变换面朝向你这边。虽然镜子里的影像是上在上、下在下、左在左边、右在右边，由于前后变换着的影像和你面对面，所以左右是相反的。
站在平放在地上的镜子上面，这回你看到的是上(头)下(脚)颠倒的影像。然而，这种情
况上面应该是腹部，下面应该是背部。也就是说，上下仍然是不变的。之所以头和脚相反倒立过来，是因为前面所说的前胸和后背变换的原因。因此左右仍然是反过来的。
也就是说，只是左右相反的影像是因为镜子的功能是把上在上、下在下、左在左边、
右在右边原封不动的照下来，只是前边和后边倒过来而已。
有一种使左右不倒过来的方法。把三面镜子成直角放置，站在这种镜子的前面斜着看两
边的镜子，镜中的影像是前边和后边没有改变的。因为经过两次反射，左右相反的影像又一次被反射回来，所以看到的影像是左右没有倒过来。
5、弘法选笔 15分
问题
[弘法不用挑笔]。这个命题反过来就是[不挑笔的人是弘法]，命题里边的含义并不能说
肯定是[不是弘法的人就挑笔]。然而，把命题掉过来[挑笔的人不是弘法]的说法肯定是真的。上面是逻辑学所讲的东西。然而，[如果不对他发脾气就不学习]的命题的对偶是[如果学习就被发脾气]，这样的说法怎么也不能成立。因此，命题的对偶肯定是对的这种逻辑学上的理论是正确的吗?
弘法不挑笔               相反             不挑笔的人是弘法
对面             对偶              对面
不是弘法的人就挑笔       相反             挑笔的人不是弘法
提示
[说谎!]就是[不要说谎啊]的意思，这是一种常用的表现。[如果不对他发脾气就不学
习]的真正含意是什么呢?
解题 弘法选笔
开 展对偶和三段论法等理论，必须是把命题以惯用的手法直接表达出本意来。[不被～就不]是一种惯用的手法，他的意思是[不等到被～就不]。所以，命题[如果不对他发脾气就不学习]的真正含意是[不等到被发脾气就不学习]。
把这句话掉过来说就成为[如果学习就不会被发脾气]。这很明显是正确的。因此，对偶肯定是正确的反论是不成立的。
小知识
给你命题[p->q]的时候，可以得出相反、对面、对偶等3个命题。
相反 [q->p] 相反未必是正确的。
对面 [p->q] 对面未必是正确的。
对偶 [q->p] 对偶肯定是正确的。
相反的相反、对面的对面、对偶的对偶就返回到原来的命题了。
请用算式“X = 2       X2 = 4 ”确认上面的关系。
(图略)
6、那个谎话是真的吗?    15分
问题
在一张卡片的第一面上写着
背面的话是假的(字框省略)
再看第二面时这样写着
背面的话是真的(字框省略)
第一面上的话如果是真的，第二面的话就是假的，那么第一面的话就是假的。
第二面上的话如果是真的，第一面的话就是真的，那么第一面的话是真的同时也是假的。
为了避免这样的反论，把第二面的话改写成
背面的话是假的(字框省略)
会怎么样?
提示
请从反正面都是真或者都是假来考虑一下。
解题 那个谎话是真的吗?
背面的话是假的                    背面的话是假的
如果两面的话都是真的，那么两面的话就都是假的。如果两面的话都是假的，那么两面
的话就都是真的。然而，这两个都是不可能的。所以，一个是真的，另一个就应该是假的。但是哪一个是真的弄不明白。两面都写着同样的字，哪一面是真，那一面是假，把人都弄糊涂了，真是不可思议呀。
小知识
一个村庄里唯一的一个理发师傅这样说到[这个村里的人，自己不剃胡须的人的胡子都
由我来剃。]
那么，这个理发师傅自己的胡须是自己剃还是由别人来剃呢?
如果理发师傅是自己剃的情况下，那么他就是[自己剃胡须的人]。于是，他说的[自己不
剃胡须的人的胡子都由我来剃。]的话就不对了。
如果理发师傅自己的胡须是由别人来剃的话，那么他就是[自己不剃胡须的人。]于是，
因为他说[自己不剃胡须的人的胡子都由我来剃。]的话仍然是不对了。
这是伯特兰·罗素(1872～1970)作品中有名的反论问题。
7、突然袭击的考试30分
问题
当老师对学生们宣告说[考试要搞突然袭击]时，有一个学生说
[那样考试就无法进行了。]让老师大吃一惊。他的理由是
[假设我们到期末的前一天为止考试还没有实行。那么，我们就会知道明天肯定要有考
试，就构不成突然袭击。因此，在期末的最后一天的考试就不能实行。那么期末的最后一天的前一天就成了可以考试的最后的日子。然而，在那天的前一天(期末最后一天的前前天)我们也会想到第二天是能进行考试的最后一天。这样，考试的最后一天又得提前一天。在那天的前一天我们又会想到第二天是能进行考试的最后一天，那么最后一天又要提前一天。这样一来，一天一天地把能进行考试的最后一天提前，结果突然袭击的考试就不可能进行。]
那么，请问这个学生所说的理由正确吗?
提示
知道明天是能进行考试的最后一天的条件是什么？
解题 突然袭击的考试
那么假定明天是期末的最后一天。我们之所以会知道明天肯定要有考试，是因为到今天为止(期末最后一天的前一天)考试还没有进行。那么在今天开始上课之前，考试是在今天还是明天我们不知道。所以，那个学生的理论不能成立。
我们再假定期末最后一天的前一天考试还没有实行。那么，在期末最后一天进行考试的话，对于认为在期末最后一天肯定不会有考试的学生们来说就形成了突然袭击。
还是请同学们不要认为学校进行考试是多余的吧。
第三部分第1节
9、顺序的篇章
[顺序章节]的功能
在战国时期修建城墙原木是不可缺少的。
有一次，信长让秀吉数衫树林有多少根，对于性急又脾气暴躁的
信长交代的事情，必须在最短时间内数完，并且不能漏数错数。
因此秀吉准备了一千根绳子，把绳子分别系在每棵衫树上。然后
再数余下的绳子，很轻松就知道了有多少根衫树。这在数学上是[1对1
的对应关系]的理论应用。
秀吉真是聪明啊。
从某种意义上说，智力题是把逻辑性与理论性作为问题来看待的，而顺序的智力
题最重要的是：要有序的不断积累逻辑性思考能力。
在对大脑的锻炼上，顺序智力题应当说是最适合的。
1、汉诺塔 15分
问题
有A、B、C三根柱子。如图所示，在A柱上按大小有三个圆盘叠放在一起。请把三
个圆盘挪到C柱上，从下面开始按大小顺序摆放。
但是，圆盘一回只能动一个，在小圆盘上不能放大圆盘。
(图略)
提示
把三个小圆盘从小的开始按①②③顺序排列，先不管放到哪个柱子上，如果写下来移动哪个圆盘的话，按顺序就应该是①②①③①②①。
解题 汉诺塔
如图所示。
(图略)
小知识
汉诺塔来自印度神话里的玩具。
上帝创造世界时作了三根金刚石柱子，在一根柱子上从下往上按大小顺序摞着64片黄金圆盘。
上帝命令婆罗门把圆盘从下面开始按大小顺序重新摆放在另一根柱子上。并且规定，在小圆盘上不能放大圆盘，在三根柱子之间一回只能移动一个圆盘。
有预言说，这件事完成时宇宙会在一瞬间闪电式毁灭。也有人相信婆罗门至今仍在一刻不停地搬动着圆盘。
2、 巧分油 15分
问题
在桶里装入1斗(10升)油。请用7升和3升的容器，分成两个5升。
(图略)
提示
像下面那样写下顺序，最终参考桶(10升)里留5升，7升容器里放5升。
(图略)[手顺----顺序的意思]
解题 巧分油
左边的图表用最少的次数分成两个5升。
(图略)[手顺----顺序的意思]
小知识
在江户时代初期的代表作日本数学书[尘劫记](吉田光由 1598～1672)里出现的问题叫[油分算]，本来被称为[南蛮渡]。出题的人自己是按右边的图表那样解题的。这种情况下，当然是用的次数越少越好。所以不能说是最好答案。
3、 优胜和倒数第2位是谁? 20分
问题
A～H参加的高尔夫球赛的结果是按下列那样的顺序排列的。
1.A在第三位以内
2.B的前一位是H
3.B和C之间有两个人
4.C、F在第四位以下
5.C的前一位是A
6.D在F之前
7.E比D、G成绩好。
请问优胜者和倒数第二名是哪一位?
(图略)
提示
在直线上按顺序整理名次，判断出以谁为基准是关键。
解题 优胜和倒数第2位是谁?
A在第三位以内(1)并且在第四位以下C(4)的前面，所以可以确定，A=3位、C=4位。
在B和C(4位)之间有两人，所以B不是1位就是7位。如果B=1位，和B的前一位是H相矛盾，
所以B=7位(倒数第2位)，同时可以判定H=6位。
把以上的结果在直线上做整理。
1位 2位 3位 4位 5位 6位 7位 8位
A C  H B
排名还有1位、2位、5位、8位四个，球员D、E、F、G还没有决定。
E排在D、G前边(7)，D在F前边(6)，所以第1名=E(优胜)可以确定。D、F、G不能确定。
1位 2位 3位 4位 5位 6位 7位 8位
E  A C  H B
答案
优胜者是E，倒数第二名是B。
4、假金币是这个 60分
问题
现在这里有12枚金币。里边有一枚是假的，但是看不出来。只是重量有些不同。
请用天平称三次找出假金币，并且判断一下假币比真币轻还是重?
提示
第1次称几个是问题的关键。如果第1次天平的两面相等，在后两回当中必须要找出来，
所以只能剩下4个。要是剩下2个的话，第1次天平的两面不相等就不好办了。
把12个金币画上A。B。C。D。E。F。G。H。I。J。K。L符号，第1次像下图那样称。
(图略)
解题 假金币是这个
(1)第1次两面相等时，(假币就是I。J。K。L其中之一)
第2次像下图那样称。
(图略)
①第2次两面相等时-->假币就是L。
第3次比较L和A，看看比A(真币)轻还是重。
②第2次两面不相等时-->假币就是I。J。K其中之一。
第3次比较I和J，如果两面相等，假币就是K。假币是轻还是重在称第2次时，如果I。J这一
边重的话，那么假币就轻，相反假币就重。
第3次两面不相等时，在称第2次时的I。J一边如果重的话，那么假币就重，相反轻的就是
假币。
(2)如果第1次两面不相等，而是左面重(反过来也是一样的)
①第2次像下图那样称。
(图略)
第2次两面相等时-->
剩下的两个(G。H)当中哪一个轻就是假币。还有一次称一下就会知道。
②第2次左面重时，A或B哪个重，或者F轻三选一，所以再称一回就明白了。
右边重的时候也一样，所以不管怎么样只要称三次就会找出假金币。
小知识
这个[假金币是这个]的智力题出现在第2次世界大战接近尾声时的美国，在当时引起了很大的轰动。
据说由于许多年轻人热衷于其中，还影响了美国的战斗力。
这时候，有一个参谋想出一个办法。将此智力题用德语制成传单，在德国境内从空中撒下。
果然不出所料，据说是因为德国的科学家们热衷于这个问题，从而使战争渐渐地冷却下来。
5、只许称一回 60分
问题
装满金币的袋子有4袋。但是，有一袋是假金币。并且假金币不止一袋。
我们知道真的金币一枚重10克，假金币比真金币轻1克只有9克。
只许称一回，请找出假金币。
(图略)
提示
如果假金币只有一袋就很简单了，可是…
解题 只许称一回
首先在袋子上作出A、B、C、D记号。然后从每个袋子里面按顺序取出1枚、2枚、4枚、
8枚金币称重量。
因为所称的金币是15枚(1+2+4+8=15)，所以如果都是真金币的话，应该有150克。由于假金币比真金币每一枚轻1克，所以按称的重量比150克轻多少来算，就会知道哪个袋子是装假金币的袋子。下面的表格里X印是假金币的袋子。
A
1 B
2 C
3 D
4
1  轻1克时 X
2  X
3 X X
4   X
5 X  X
6  X X
7 X X X
8    X
9 X   X
10  X  X
11 X X  X
12   X X
13 X  X X
14  X X X
15 X X X X
这是2进法的应用。
6、天平法码  60分
问题
想用天平称从1克到40克的重量，每一次加1克，最少要准备几个法码?
(图略)
提示
用a、b两个砝码称能有几种测量方法？
解题 天平法码
由于可以把法码放在天平上，用a、b两个法码(设a    (图略)
首先1克的法码是无论如何要用的。
把其次需要准备的法码设为x克，就可以称x+1克和x-1克。
由于x-1克是在1克的基础上继续加1克的重量
所以 x-1=1+1
即 x=3
根据上式可以称出 1、2=3-1、3、4=3+1克
把要准备的第三个法码社为y克，由于第二个法码可以称到4克，所以又可以称
y-4、y-3、y-2、y-1、y、y+1、y+2、y+3、y+4克的重量。
由于y-4是在4克的基础上继续加1克的重量
所以 y-4=4+1
即 y=9
因此可以称出1、2=3-1、3、4=3+1、5=9-(1+3)、6=9-3、7=9+1-3、8=9-1、9、
10=1+9、11=3+9-1、12=3+9、13=1+3+9
再把要准备的第四个法码设为z克，可以称从z-13到z+13。
和前面一样、
z-13=13+1
所以 z=27
因此可以称出到40克的重量了。
也就是说、只要分别准备1、3、9(=3的平方)、27(=3的立方)克4种法码，就可以称出
从1克到40克、每一次加1克的重量。
答案
须要准备1克、3克、9克、27克四种法码。
小知识
[天平法码]的问题是17世纪前半叶法国的数学家巴谢想出来的问题。
原来的问题是这样的。
[一个商人有一颗40磅的宝石。有一次不小心掉在地上摔成了4块。摔碎的宝石哪一个都是整磅数，用它代替天平的法码，可以称量从1磅到40磅的重量。那么请问摔碎的宝石每一块是多少磅呢?]
7、福根儿 20分
问题
有一副扑克牌。从上面开始依次是黑桃、红桃、梅花、方片，且每副牌都是按A、2、3、4。。。K的顺序排列的。
把最上面的牌扔掉，再把接下来的牌放在最下面。然后同样是把成为最上面的牌扔掉，再把接下来的牌放在最下面。
就这样一副牌一副牌重复操作下去的话，问最后剩下的一张牌是什么牌?
(图略)
提示
扑克牌开始是52张(4x13)。
按照上面的做法，最初的牌只剩下偶数牌时，只是偶数牌在重复。那么最下面的一张又
重新被放到最下面。
比如说，开始的牌有4张。经过4回(牌的张数动的次数)反复操作后，牌变成2张。这时下面的牌是开始时最下面的牌。
解题 福根儿
最初的牌只剩下偶数牌时，只是偶数牌在重复。那么最下面的一张又重新被放到最下面。
开始时扑克牌的牌数是2、4、8、16。。。。张，到剩最后一张为止扑克牌是按照牌的2等分的张数在进行。所以开始时在最下面的牌就留到最后。
也就是说，剩下的扑克牌是最初4张牌的第4张牌、最初8张牌的第8张牌、最初16张牌的第16张牌、最初32张牌的第32张牌。
由于第52张牌不属于2、4、8、16、32。。。。张数列之内，所以，需要下一些工夫。
操作52张扑克牌牌剩下32张时，放在最下面的牌是最后剩下的牌。从52张减少到32张是，中间要扔掉20张牌(52-32)。由于第20次扔的牌是奇数牌，所以是最开始从上面数第39张牌。扔掉第39张牌，把下面的第40张牌放在扑克牌的最下面。结果这个第40张牌留到最后。
最初从上面数第40张牌是在黑桃13张、红桃13张、梅花13张之后的方片A。
答案
最后剩下的一张牌是方片A。
提高能力
汉诺塔与宇宙的寿命
关于汉诺塔的由来在148页已经讲述过了。
那么，如果移动一个圆盘需要1秒钟的话，等到64个圆盘全部重新摞在一起，宇宙被毁灭是什么时候呢?
让我们来考虑一下64个圆盘重新摞好需要移动多少回吧。1个的时候当然是1次。2个的时候是3次。3个的时候像我们已经解过的题那样用了7次。4个的时候。。。。。。这实在是太累了。
因此让我们逻辑性的思考一下吧。
4个的时候能够移动最大的4的圆盘时如图所示。
(图略)
到此为止用了7次。
接下来如下图状态时用1次，在上面再放上3个圆盘时还要用7次(把3个圆盘重新摞在一起需要的次数)。
(图略)
因此，4个的时候是[3个圆盘重新摞在一起的次数]+1次+[3个圆盘重新摞在一起需要的次数]
=2x [3个圆盘重新摞在一起的次数]+1次
=15次
那么，n个的时候是
2x[(n-1)个圆盘重新摞在一起的次数]+1
由于1个的时候是1次，结果n个的时候为(算式省略)
1个圆盘的时候 (算式省略)
2个圆盘的时候 (算式省略)
3个圆盘的时候 (算式省略)
4个圆盘的时候 (算式省略)
5个圆盘的时候 (算式省略)
。。。。。。
n个圆盘的时候 (算式省略)
也就是说，n=64的时候是 (算式省略)回。
因此，如果移动一个圆盘需要1秒钟的话，
宇宙的寿命=(算式省略) 秒
用1年=60秒x60分x24小时x365天来换算的话，大约有5800亿年吧。
据说现在宇宙的年龄大约是150亿年，还差远着呢。
第三部分第2节
10、统计的篇章
“统计章节”的功能
国际收支，是把所有国家的收支合计之后应该得到0，可是每年都会
出现数百万美元的赤字，这是为什么呢?
这是由于各个国家的统计对象、精度、时机偏差、换算方法等不同
造成的。所以说统计如果不从基础上做好是不行的。
统计的定义是模糊不清的、且范围很广，在这里所涉及的主要是一些概率、排列组合、集合、还有平均的问题。
1、全胜冠军只能是梦 5分
问题
进行100次相扑比赛能胜99次的相扑运动员15连胜的概率是多少呢?
(图略)
提示
[100次比赛胜99次]的相扑运动员，虽然我们认为99连胜也不会感到奇怪。但是，那是不可能的。
解题 全胜冠军只能是梦
胜率99%的相扑运动员2连胜的概率是
0。99x0。99=0。9801约等于98%
3连胜的概率是
0。99x0。99x0。99=0。9703约等于97%
随着连胜次数的增加，概率就下降。
15连胜的概率是
0。99x0。99x0。99x。。。x0。99=0。8601
所以，只有86%的概率。横纲偶尔输一次也没有什么不可思议的。
答案
15连胜的概率是86%。
2、会开车的有3人 15分
问题
有8个人去郊外旅行。他们分别乘坐两台车，每台车上4个人。会开车的有3个人。那么有几种方式安排座位呢?
(图略)
提示
让我们试一下8个人能够乘坐的有两个驾驶席的车吧。
解题 会开车的有3人
我们设驾驶席为A、B，一般的座位是C、D、E、F、G、H。
在A、B席上坐的人是会开车的3人当中的2个人。坐在A席的人，因为3人谁都可以，所以有3种方式。坐在B席的人，是除了坐在A席以外的另两个人，所以3-1=2种方式。结果，在A、B席乘坐的方式有3×2=6种。
坐在后面座位C的人除了开车的两个人以外，因为8-2=6人当中谁都可以坐，所以有6种方式。
坐在后面座位D的人除C座以外的6-1=5人谁都可以坐。所以有5种方式。以下同样坐在E、F、G、H的人各有4种方式、3种方式、2种方式、1种方式。
因此，8个人坐的方式是
驾驶席坐的人 × 一般座位的人
=6×6×5×4×3×2×1
=4320种
让我们着实是吃了一惊啊。
答案
有4320种方式。
3、80分以上的学生有几人? 5分
问题
在50个人的班级里，英语和数学考试分数在80分以上的学生分别是35人和30人。那么请算出两科都在80分以上的学生有几人?
(图略)
提示
请画图想想看。
解题 80分以上的学生有几人?
(图略)
英语得80分以上的学生有35人，数学得80分以上的学生有30人。合计65人。
从65人里减去两科都在80分以上的学生的人数x，就会比班级的总人数50人要少。
因此
35+30-x大于等于50
所以 x大于等于15
也就是说，两科都在80分以上的学生至少有15人。
答案
15人。
4、三科都不擅长的学生有几人? 15分
问题
在50个人的班级里，语文好的学生有32人， 英语好的学生有24人，数学好的学生有16人。
其中，语文和英语好的学生有15人，英语和数学好的学生有6人，语文和数学好的学生有10人。并且，三科都好的学生有2人。
那么，请算一下三科都不拿手的学生有几人?
(图略)
提示
这个问题也画张图想想看。
解题 三科都不拿手的学生有几人?
如右图所示(图略)。箱子里画着分别有一部分重合的3个圆。我们把这样的图形冠用发明者的名字叫做[本之图]。
箱子表示总人数50人、大圆表示语文好的学生32人、中等圆表示英语好的学生24人、
小圆表示数学好的学生16人。3个圆重合的部分表示三科都好的学生2人。
1.只是语文和英语好的学生=15人(语文和英语好的学生)-2人(3科都好的学生)=13人。
同样，只是英语和数学好的学生=6人(英语和数学好的学生)-2人(3科都好的学生)= 4人。
只是语文和数学好的学生=10人(语文和数学好的学生)-2人(3科都好的学生)= 8人
2.只是语文好的学生=语文好的学生32人-只是语文和英语好的学生13人-语文和数学
好的学生8人-3科都好的学生2人=9人。
同样，只是英语好的学生=24人-4人-13人-2人=5人。
只是数学好的学生=16人-8人- 4人-2人=2人。
③因此，语文、英语、数学各科好的学生=
13+4+8+2+9+5+2=43人
所以，哪个学科都不好的学生=
全班学生的人数-各科好的学生的人数=50-43=7人
答案
三科都不擅长的学生有7人。
5、国际结婚 30分
问题
女儿和外国人结婚时举行了盛大的婚礼。
来宾共有70人。其中日本人37人、男性39人、小孩16人。并且在日本人当中有成年女性14人、男孩5人，外国人当中成年女性9人、女孩2人。
那么请问，外国人当中的成年男性有几人?
(图略)
提示
不管是日本人也好外国人也好、男性也好女性也好、大人也好小孩也好，共有三个基
准。请注意一下他们各自的两个分类。
解题 国际结婚
把整个人数用长方形来表示。
用第一基准[日本人还是外国人]表示长方形的长，用第二基准[男性还是女性]表示长
方形的宽来区别。第三基准[大人还是孩子]是在长方形当中画的一个小长方形，用它的内
侧和外侧来区别。
(图略) 图中注解---[子供]是[孩子]的意思。
1.全体人数是70人，由于日本人是37人，所以外国人是33人。
2.全体人数是70人，由于男性39人，所以女性是31人。
3.女性总共是31人，日本人的成年女性14人，外国人的成年女性9人，外国人的女孩2人，日本人的女孩6人。
4.小孩总共有16人，日本人的男孩5人，日本人的女孩6人，外国人的女孩2人，外国人的男孩3人。
5.外国人总共有33人。外国人的成年女性9人，外国人的女孩2人，外国人的男孩3人，所以外国人的成年男性有19人。
日本人的成年男性人数请自己算算看。
答案
外国人当中的成年男性有19人。
小知识
发生的次数
事情发生的概率=
全次数
*在掷一个骰子的时候，出现1个点的概率是多少?
6分之1
*在掷一个骰子的时候，1个点或6个点出现的概率是多少?
6分之1+6分之1=3分之1
*在掷一个骰子的时候，不出1个点的概率是多少?
1-6分之1=6分之5
*A、B2个人分别掷一个骰子的时候，都出现1个点的概率是多少?
6分之1x6分之1=36分之1
*在5个签中含有2个奖，按A、B顺序抽签，2人都中奖的概率是多少?
(算式省略)
如果A抽中了的话，那么B不中的概率是多少?
(算式省略)
如果A没有中的话，那么B抽中的概率是多少?
(算式省略)
6、平均增长率 5分
问题
A商品的销售数量在1994年是200000个，到2002年增加到450000个。设每年的增长率相同，那么请问，1998年销售数量是多少呢?
(图略)
提示
不是325000个。
解题 平均增长率
假设1998年的销售数量是S，从1994年到1998年5年之间的增长率是r(1998年到2002年5年之间增长率相同)那么
从1994年到1998年 200000r=S
从1998年到2002年 Sr=450000
因此
(算式省略)
=300000个
答案
1998年销售数量是300000个。
小知识
我们把像这样的平均叫做几何平均。在增长率的平均里，不是算数平均(普通的平均)而
是使用几何平均。
7、平均时速[光]? 15分
问题
乘坐[希望]号从东京到大阪出差，第2天不慌不忙的乘坐[回音]号返回了东京。
假设[希望]号的平均时速是221km，[回音]号的平均时速是138km，那么往返的平均时速
是多少km?
(图略)
提示
啊?东京到大阪的距离没有给呀?
解题 平均时速[光]?
把东京到大阪的距离设为552km看一下。
[希望]号所用的时间为
(算式省略)约等于2。5(小时)
[回音]号所用的时间为
(算式省略)=4(小时)
因此，往返的平均时速是
(算式省略)=169。8(km/小时)
答案
往返的平均时速是169。8km/小时
整个计算式为 (算式省略)=169。8
由此可以看出和东京到大阪的距离是没有关系的。
小知识
一般的来说，去时的时速为u，回来的时速为v时，
往返的平均时速是根据(算式省略)求出来的。把这个叫做u和v的协调平均。在平均速度
里面也有协调平均。
提高能力
平均值和真实感
这个表格是某一年的[不同储蓄额的劳动者储户分布]图。平均储蓄额(算数平均)竟然达到
1261万日元。对大部分的人来说就是一个没有真实感的数字。
(图表略)图表注解-----[世带数(一万世带当)]翻译为[户数(每一万户)]
为什么会这样呢?
这是极少数超高额储户异常地抬高平均值的原因。
平均值虽然代表数据的分布，可是这种情况时要用其他的代表值求得。
在数据当中把最多出现的值叫做最频繁值(大众数、并列数)。
在这里，最频繁值的某个阶层(储蓄额的幅度、根据划分的方法)200万日元以上300万
日元以下，最频繁值就是265万日元(这种储蓄额的储户最多)。
从低数不胜数开始算取中间的数值叫中央值(中数)。在这里，中央值是836万日元。
分布图的曲线
左右对称时 最频繁值=中央值=平均值
靠左边时 最频繁值    靠右边时 最频繁值>中央值>平均值
储蓄额的场合最频繁值最具有真实感数字正好相当。
本来真实感也是因人而异，你的真实感也许是中央值呢。
(图略)
第三部分第3节
11、商务感觉的篇章
[商务感觉章节]的功能
终于进入了最后的章节。
商务感觉的智力题也一样，只要是数学智力题就会有涉及到逻辑。
然而不仅仅是表面的逻辑，关键是能找出隐藏在问题背后的逻辑。
所谓隐藏在问题背后的逻辑，换句话说就是问题的本质。
为了找出问题的本质，就要对数字感觉、图形感觉、直觉判断力、
想象力、思考力等所有这些能力进行总动员。
找到了问题的本质并不能到此结束。按顺序累积逻辑性的思考方法是非常有必要
的。
商务感觉的智力题正好就是最后一道完美的工序。
1、 销售额提高了利润却没有增长 5分
问题
向部长提出表示销售额和利润的推算表时，部长说[销售额是增长了，可利润却没有增
长，真是成问题呀。这样利润率不是下降了吗]? 那么，怎么样回答好呢?
(图略)图表注解---[卖上高、利益]译为[销售额、利润]
提示
增长率不能用在普通的方格纸上画的表格来判断。
解题 销售额提高了利润却没有增长
增长率不能用在普通的方格纸上画的表格来判断。准确地看看数值，计算一下增长率或
者重新画出单对数的表格。
答案
[销售额和利润的增长率每年都是20%，因此，利率也是保持在同一水平线上的。]
小知识
(图略)
所谓单对数表格，是在方格纸上画表格。竖线上画出数字等份，横线上画出一般的刻度。
由于在单对数表格上表示增长率的线是倾斜的，所以在看增长率时一目了然。
之所以单对数表格的增长率是倾斜的，是因为竖线上画出数字等份是对数，并且方格纸
上的误差是(算式省略)。
2、减价之后的利率 5分
问题
在进货价格(原价)的基础上再加上40%的利润作为卖出价格(售价单价)，被客人还价至
20%。结果，毛利率为百分之多少呢?
毛利=买价(*)-进货价格
毛利率=[毛利]除以[买价](*)
(*)指减价后
提示
请不要说是20%什么的。
解题 减价之后的利率
我们假定进价是100日元，那么最初的定价是
100x(1+0。40)=140(日元)
然后，由于被还价20%，所以最后的卖价是
140x(1-0。20)=112(日元)
这时，毛利是
112-100=12(日元)
因此，最后的毛利率是
答案
10。7%
(图略)
小知识
《用一般式子解题》
给进货价c元加上p%的利润，再将其减价到q%，最终的毛利r%为：
降价后的毛利                c(1 + p)(1 –q) –c
r% =                            =
降价后卖价                c(1 + p)(1 –q)
(p–q) –pq
=
(1 + p)(1 –q)
把刚才问题中的数值带进去看看结果如何。
3、哪一种商品可以增加   15分
问题
如图所示。有A、B两种商品。增加哪个商品品种是好的决策呢?
A商品            B商品
年营业额         10，000千日元      8，000千日元
平均库存额        2，000千日元      1，000千日元
毛利率              40。0%            30。0%
提示
增加尽可能少的库存、尽可能大的利润的产品是有利的。
解题 哪一种商品可以增加
增加尽可能少的库存、尽可能大的利润的产品是有利的。
我们把它叫做商品投资效率(交叉比率)。即商品投资效率(%)=毛利/平均库存额
也就是说，商品的投资效率是用[是否提高了平均库存额的几倍的利润]来衡量的。又可
以用下列算式表示。
商品投资效率(%)=毛利/平均库存额=营业额/平均库存额x毛利/营业额
=商品周转率(%)x毛利率(%)
商品周转率(%)是表示[是否提高了平均库存额的几倍的营业额]的。
把所给的数字代入算式，如下表。
A商品           B商品
商品周转率           5回             8回
毛利率              40。0%          30。0%
商品投资效率        200%             240%
所以，增加B商品是有效的措施。
答：      B商品
4、营业额为什么增加了? 15分
问题
某种商品前月和当月的销售价格、销售数量如下表所示。
那么请问，销售价格的提高和销售数量的增加对销售额分别有多少影响呢?
销售价格            销售数量
上月          10，000日元          2，000个
当月          11，000日元          2，5000个
提示 销售价格x销售数量=销售额。把它用面积来表示一下看看。
解题 营业额为什么增加了?
当月    价格增加销售额增加
前月                         数
量
销                               增
售                               加
价                               销
售
额
增
加
前月  后月
根据上图所示，销售额增加的主要因素可以分为[由于价格因素的增加]和[由于数量因
素的增加]。
销售额增加的数量
=当月销售额-上月销售额
=(当月销售价格-上月销售价格)x当月数量
+(当月数量-上月数量)x上月销售价格
=[价格因素的增加]+[数量因素的增加]
把前面的数字代如算式中，即
=(11，000-10，000)x2，500+(2，500-2，000)x10，000
=2，500，000+5，000，000
答案
由于价格因素的增加 2，500，000日元
由于数量因素的增加 5，000，000日元
合计增加额 7，500，000日元
5、利润为什么增加了? 30分
问题
某种商品前月和当月的销售价格、进货价格、销售数量如下表所示。
销售价格的提高、进货成本的降低、销售数量的增加分别给毛利带来多大影响?
销售价格        进货价格       销售数量
上月    10，000日元     7，000日元     2，000个
当月    11，000日元      6，500日元     2，5000个
提示
承前问，通过把销售额、毛利用面积表示，把毛利增加的因素分为[由于价格因素的增
加]、[由于数量因素的增加]和[由于成本因素的增加]。
解题 利润为什么增加了?
当月销售价格
由于销售价因素毛利的增加
上月销售价格
由于数量因素毛利的增加
上月销售价格
由于成本因素毛利的增加
当月销售价格
上月 当月
销 售 数 量
毛利增加额
=当月毛利 - 上上月毛利
=(当月销售价格 -当月成本) x 当月数量
-(上月销售价格 -上月成本) x上月数量
所以，如图所示网状的面积表示增加的部分。相加3块网状的面积就得会出增加的毛利。
也就是
=(当月销售价格-上月销售价格)x当月数量
+(上月销售价格-上月成本)x(当月数量-上月数量)+(上月进价-当月成本) x当月数量
=[由于价格因素的增加]+[由于数量因素的增加]+[由于成本因素的增加]
因此，毛利增加的主要因素可以分为[由于价格因素的增加]、[由于数量因素的增加]和
[由于成本因素的增加]的三个部分。
把前面给出的数字代入上列算式(毛利减少时也适用)，即
=(11，000-10，000)x2，500
+(10，000-7，000)x(2，500-2，000)
+(7，000-6，500)x2，500
=2，500，000+1，500，000+1，250，000
答案
[由于价格因素的增加]是2，500，000日元
[由于数量因素的增加]是1，500，000日元
[由于成本因素的增加]是1，250，000日元
合计增加额是5，250，000日元
提高能力
机会损失
有一个公司职员，辞去了公司的工作，专门经营起拉面店来。
一天，给顾客端去做好的面(1碗600日元)时，不小心把碗打翻了。虽然重新给顾
客做了1碗，可是因为需要时间，顾客等不及生气走了。幸好又有新的顾客来，那碗面
总算没有浪费。
[虽然第1碗面的材料费损失了200日元，但是由于重新做的1碗给了新的顾客，
所以没有损失。结果也就算是损失200日元吧]拉面店老板自己安慰着自己说。他这么
的想对吗?
在计算上只是材料费损失了200日元。
不过，让我们从经营的角度来看一下。
本来，先头的顾客的材料费如果收回了的话，那么就应该有400日元的毛利(销售
额-材料费=毛利)。也就是说，不仅仅是损失了200日元的材料费，应该得的400日元
的毛利没有了。我们把像这样本来应该得到的而却失去的利润叫做机会费用。
从经营方面来看，拉面店的损失是
材料费200日元+机会费用400日元=损失600日元
如果先头的顾客不走的话，那么在经营方面也就只是损失200日元的材料费而已。
作为经营者来说，不应该只想到计算上的损失，而是必须要经常想到由于机会费用
所造成的经济损失(机会损失)。
6、提高价格和增加销售数量哪个利润大 30分
问题
新进的一种商品销售的很快，在保持售价平稳的情况下，预计销售数量能增加20%。要是保持现在的销售数量的情况下，预计销售价格能够增加20%。
那么，以提高利润为主要目标的话，采取哪个方法好呢?
(图略)
提示
不管哪个方法对于销售额来说都是相同的，可是毛利却不相同，这是为什么呢?
解题 提高价格和增加销售数量哪个利润大?
由于提高价格使销售额增长20%时，因为成本没有变化，所以增加的销售额20%的部分(售价x销售数量x20%)都是毛利。
相反，由于数量增加使销售额增长20%时，因为销售数量的增加使平均进价提高，所以增加的毛利是(销售价格-进价)x销售数量(增加前)x20%。
因此，提高价格这一方法使毛利增加的多(进价x销售数量(增加前)x20%)。
图左
销售价                销售数量增加毛利增加
销             毛利
售 进价
价
成             成本
本
销售数量                    销售数量             销售数量
《销售数量增加时》           （增加前）            （增加后）
图右
由于提价毛利增加        提价后的销售价
销售价格（提价前）
毛利                       销
售
价
成本                       成
本
销售数量
（提高价格时）
(图略)
答案 提高价格的利润大。
7、赠送和降价哪个更好? 15分
问题
1罐100日元的咖啡，[买5罐送1罐]和[买5罐便宜20%]这两种促销方法哪一种好呢?
(图略)
提示
因为商店的立场和顾客的立场不同，所以不能单纯说哪一个方法好，而是要从各个方
面来考虑。
解题 赠送和降价哪个更好?
(1)从店家的立场来看
①从1罐的售价方面来考虑的话，
[如果买5罐送1罐]的情况下，
(算式省略)=83。3(日元/罐)
[如果买5罐便宜20%]的情况下，
(算式省略)=80。0(日元/罐)
由于以[赠送]的方法1罐可以多卖3。3日元，所以说[赠送]有利。。
②从卖1件商品所得的毛利(比如说假定进价为60日元)方面来考虑的话，
[如果买5罐送1罐]的情况下，
毛利=销售额-进价
=100x5-60x(5+1)
=140(日元/件)
[如果买5罐便宜20%]的情况下，
毛利=100x5x(1-0。20)-60x5
=100(日元/件)
由于以[赠送]的方法卖1件商品所得的毛利多40日元，所以说[赠送]有利。
(进价100日元，两边就会相同)
③从销售数量方面来考虑的话，[买5罐送1罐]的方法也比[买5罐便宜20%]多卖出[赠送]的部分。
销售数量的增加，可以大量进货从而能得到更优惠的价格。并且在库存量大的情况下，
销售数量的增加，也可以减少库存。因此，[赠送]的方法很有利于店家。
以上3个观点不论哪个都有利于店家。
(2)从顾客的立场来看
站在顾客的角度来看是怎样的呢?
在顾客的立场上看，如果[赠送]的方法对顾客明显不利的话，就不会有人去买，前面的
结论也就相反了。
然而，在[买5罐送1罐]的情况下，作为顾客来说如果送1罐的话，就少付100日元，所
以感到很实惠。同样在[买5罐便宜20%]的情况下，也是有便宜了100日元的感觉。
只是也有这么想的人：[正好我只想要5罐而不是6罐，所以还是少付100日元比较好]。然而，对像咖啡这样比较便宜并且多1罐也不会占用太大地方的东西来说，[赠送]的方法还是更深受顾客的欢迎的。
参考文献
马廷·加德纳“aha! Insight  脑筋急转弯”1、2 (日经科学社)
H·E·杜德尼“智力题的国王”1-4（钻石社）
藤村幸三郎、田村三郎“数学历史智力题”（讲谈社）
中村义作“数学智力测验·20个解法”（讲谈社）
内井惣七“智力题和反论”（讲谈社）
野崎昭弘“诡辩逻辑学”（中央公论新社）
乔治·G·约瑟夫“非欧洲起源的数学”(讲谈社)
清水诚“数据分析的第一步”（讲谈社）