数学文化——理性文明的火车头(续)

2007年11月11日 星期日 上午 11:23
下面我就想就这些问题，我们分别来探索一下。不同的国家有不同的数学文化，不同的时代也有不同的数学时尚，就像我们穿衣服一样有时尚。中国数学的传统的数学影子，揭示数学文化底蕴和文化品位，最后就是介绍我们自己的文化，来争取成为21世纪的数学大国。我想分别谈一谈。我们先看一看，不同的国家有不同的数学文化，这是什么意思呢？就说两个不同的国家的政治制度学术氛围，决定了它的数学走向。比如说古希腊和中国的传统数学就不一样，古希腊的数学和中国古代数学是两种不同文化下面产生的。古希腊的数学它的背景是什么？古希腊是奴隶主之间的民主政治，男性的奴隶主他们之间有民主，奴隶没有民主，他们之间的选举，执政官来决定财政收入，决定是否战争宣战。在这样一种民主的，虽然是少部分人的民主的制度下面平等的学术交流。因为你要说服别人，大家要选举，平等的学术交流。于是它就需要构建一个公理化的数学体系，让大家来思考，比如说对顶角相等要不要证明。中国的秦汉王朝就不是这样。虽然我们春秋战国时期也非常繁荣，学术非常繁荣，但是它是封建君王的政治，知识分子比如数学家就向君王进谏说，你照我的办法办，那么你就能够成功，你就能够治理国家，你就能使国家富强，请你君王来接受我的意见去实行。这样就需要什么呢？需要丈量田亩、征税、管理土方、要管理各个粮食之间的比例。于是就有我们的《九章算术》。《九章算术》就是管理国家的官方的文书。怎么样丈量田亩，要抽税呀；税怎么抽法，苞米玉米和小麦稻米互相之间的折扣怎么样，你如果是从甲地运到乙地，这个粮食运输价格该怎么定，这些地方就是《九章算术》的内容。它是方田章，数理章，这样一些章节都是在讲怎么样管理国家。大家看看这是不是不同啊，最简单的一个就是这个，理性思维对顶角相等 A=B，这个在中国人看来这个不要证明，这个证了它干什么，这个东西一看就明白了。但是古希腊就这样证，它的几何原本就是这样证的，就是A+C是一个平角，B+C也是平角，公理3 等量减等量，大家都把C减掉，于是A=B。 这么一种证明方法，是在古希腊时代才有，而我们中国没有。中国的古代算学角这个概念都没有，它认为角不需要，只要垂直就可以了，不需要有角的概念。我想这些地方都显示出两种不同文化方面，它们确实会产生不同的数学，所以数学它是和当时的政治制度、文化、学术氛围密切相关的。
其次一个问题，我就想谈一谈不同时代不同数学的时尚。数学时尚是一阵一阵的，我刚才前面说过，古希腊时代数学的是比较严密的推理，到牛顿时代就是算，就是做，有成果就行。20世纪下半叶，数学的应用发展起来了，数学应用在我们中国还是比较缺乏，因为我们过去没有发达的工业，提不出来像样的数学物体要应用，所以我们往往在理论上面，理性方面强调比较多严格证明，这是很重要的。但是另外一点应用我们就比较落后。因为我们没有工业，缺乏强大的工业，提不出重要的问题出来，所以姜伯驹院士，北京大学姜伯驹院士他就说，20世纪下半叶，数学最大的进展是应用，你数学用得好你就赢了。这就是把下半叶计算机出现之后，把数学时尚改变了。原来仅仅是搞理论严格性，现在强调应用，这是数学的两个轮子，有的时候这个轮子转得快一点，有的时候那个轮子转得快一点，把这两个轮子都要，不是说只要一个轮子，那是不行的。第二种数学时尚，就是绝对主义和经验主义。大家都有种感觉，数学大概是绝对正确。1+1总归等于2，不会有别的事情。确实在20世纪的上半叶，绝对主义盛行，就是因为什么事情都可以错，唯独数学是不会错的。后来歌德尔就说，这个不可能做到，有些数学是可以错的，数学很多本来就是错的，就是牛顿的微积分大家都知道，是不严格的，但是它的东西所反映的内容是对的，微积分的本质是对的，它表达方式上面有各种各样的差错，所以牛顿的数学不严格。中国古代数学比如说开方，它有的时候它也不严格，但这都是数学，它都是很好的数学，有价值的数学，所以整个数学其实是人做的。我们现代就是提倡经验主义的复兴，有许多事情大家在计算数学方面，很多就是说出来了，这好像是对的，为什么呢？我一时也说不清楚，先用了再说，所以数学也是在可以发生错误，在不断修改自己完善自己当中发展起来的。还有一种时尚的问题，就是文化的背景，理性重要还是实用重要？这我就讲一个故事，就是巴斯卡跟费马他们两个人通信。1645年通信，就提到一个事情： 有一笔赌金，甲乙两个人竞赌，输赢的概率都一样，都是1/2，谁先能够连赢累计达到5盘，就获得这笔赌金。但是一个特别的原因，突然终止了，那个时候甲赢了4局，乙赢了3局，问这笔赌金应该如何分配？这个问题是北大的史树中教授在8月份中央电视台上面也跟大家一起演讲过，他就把这个题目出给在场的观众，观众当中就说，这个应该4/7和3/7，因为一共赛了7局，你赢了4局拿4/7，我赢了3局拿3/7，这样是不是合理呢？巴斯卡和费马讨论，说是不行，不能这样做。他说我们再试一局，再试一局，假定试一局是甲赢了，甲就应该拿到全部的赌金，甲赢的概率只有1/2，所以应该是1/2×1拿到整个一笔赌金。那么如果说乙赢了呢？乙赢了就是乙应该拿1/2，因为是什么，因为甲是4局，乙也是4局，大家平分。所以乙如果赢了，乙拿1/2，甲拿1/2。好，那么根据这个概率，所以如果甲赢1/2×1 拿1/2，然后再拿1/2当中的1/2，一共加起来是3/4，这就是它的最初的概率论的产生。中国打麻将很厉害的对不对，打了那么多麻将有没有产生概率论？没有。为什么？就是因为我们是在这种实用当中，功利性的，所以赢了就完了，不深究，不细究，缺乏这种非常细致入微的思考。这种数学思考非常重要，一个数学的发展全靠这种功夫。
我前面说过的，信息论、控制论，这种东西看起来不是数学的问题，你去研究它干什么？纳什研究是几个人在那里竞争，这里面有数学吗？觉得没有数学，但是它确实有数学。这就是理性和实用之间的关系。仙农当时研究信息量，说信息量这个东西，就是烽火台吧，燃起烽火台，敌人来了；没燃烽火台，就是报平安。0和1两种，那么我们用二为底的对数取1个信息量，但是如果在纣王宠妲己的时代，那个烽火随便燃，这个概率就不准了，你这个信息量就不对了，这个敌人来的概率就不对了，这个当然是我们代仙农的想法。仙农他自己的想法怎么样呢，概率对信息量有密切的关系，比如说信息量大小。“狗咬人”不是新闻，因为狗咬人没有什么稀奇。“人咬狗”这个新闻信息量就大了，是不是？今天太阳升起，那没什么稀奇，这个信息量不大，你告诉我不告诉我都一样。今天日蚀了，哦，今天这是大事情，那么我们的信息量就很大，说事件的概率P越大，传送这个事情的信息量就越小，概率大了就没有意义了像这样的思考。我们中国传统的数学里面缺乏这样的思考，他就会去面对这样一些社会的需要去想一想，我这个信息量的大小，和一个事情发生的概率有联系，这就是他的天才之处。我觉得我们中国缺乏这样的文化，虽然我们也有烽火台，我们也传送信息，但是用什么人或者是数学文化当中有这样的精神，去思考这样一些很本质的问题，我们缺乏。不同的数学时尚还表现在数学的问题上面，问题提醒，比如说：陈景润搞的哥德巴赫猜想，那是在18世纪的提出来的问题。那个时候提出来就是数论的发生问题，但是在20世纪在信息时代，我们提出的问题就不一样了。比如像货郎担问题，一个货郎要跑那么多村庄，要每一个村庄都要跑遍，那么有几条路线可以走，那多得不知道有多少，哪条路线能够跑遍所有的村庄最短？这个问题非常困难，现代的计算机要算好几年也未见得算得出来，这个事情是不可解答的，究竟应该怎么样才能把这个问题解决呢？我们找到一种算法，在多项式时间里面把它算出来，这就是现代是我们当今数学的第一号的困难问题，也就是常说的P=NP问题，也就是不是可以找到一个多项式的算法，它的规模是N的多少次方，而不是多少数的N次方。用多项式算法，能够把货郎担问题算出来，有没有这样的算法，这是世界上头号的数学大问题。这个问题只有今天我们能够提出来，感到需要，因为计算机发达了，需要去用算法来解决我们现在没有解决的问题。第三个问题，《红楼梦》的作者是谁？这本身是一个文学的问题。《红楼梦》的作者前80回是曹雪芹所做的，后40回是陈？？做的？复旦大学的李先平教授就做了工作了，他就请一位先生陈大康先生，每一回你把“的了吗呢”什么这些话都把它统计出来47个虚字，它出现的频率有多少，每一回就有47个频率出现，然后他就把它作句类分析，结果就划出一条线，这条线的上方是前80回，这条线的下方是后40回，显然这是两个人所作，他由此得到了一系列的问题，他给威斯康辛大学的教授做这样的工作。大家想想看，中文系里面研究《红楼梦》可以，数学系也可以研究《红楼梦》，这就是不同的数学时尚。《静静的顿河》到底是不是肖洛霍夫作的，结果最后判断下来，是他作的，也是用数学的方法。不过我很遗憾的是中国的红学家似乎对数学家这个研究不是很感兴趣，听过也就算了。其实我觉得李先平教授的理由很多，他所新发现的东西，红学家未予置信，我想在将来，在数学文化更进一步发展的时候，数学是会有更大的用处的。
下面一个问题，我想谈一谈儒家文化跟中国传统数学。这又是一个比较奇怪的一个话题，儒家文化孔老夫子又不研究数学，他跟数学有什么关系。数学在中国确实是不大受重视，数学家一般最多就是管青天监，就是管天文的，那就了不得的。不像西方的数学家很（受）礼遇，比如说欧拉是俄罗斯女王把他请去，许多数学家都待为上宾，像拉普拉斯。拿破仑就很信用一些数学家。中国的传统数学能够用，实用，能够算，这是中国的传统。思辩精神也不够，但是我们现代倒发现反过来了，中国现在的学生逻辑计算都很好，倒反而是西方，他逻辑反而不如我们，为什么我们的逻辑会强起来呢？中国传统数学不讲究逻辑的，我觉得原因就是儒家文化，大家想想看像不像，孔孟经典像不像不可动摇的公理，不可违反的，然后后面的朱熹这种大儒家，他不能够自己再做一套经典，他注疏，《四书集注》变成为一个定理，就根据公理推出来一些定理。普通老百姓要去科举考试，做一个练习就完了，做一个练习写一篇文章，他不可能成为一个经典，所以我说儒家文化里面它有演绎的成分，它就是公理定理推出来的，不可以违反这些公理的。它有这种成分给我们一种限制，或者文化上面的这样一种演绎的熏陶。我们再看一看微观的考据文化，大概在乾隆年代，雍正王朝就已经有文字狱了，到乾隆朝代一般的知识分子，就不论国事了，莫谈国事，都去钻研古代的字什么意思，怎么写，发什么音，钻到故纸堆里面去了，叫做证据的考据训诂这些工作的接近于逻辑推理，和儒家文化如果是演绎化的的话，那么考据文化是微观的演绎化，宏观的是整体的儒家文化，考据的文化就是一种微观的演绎的方法。那么这两个东西一来之后，就形成了我们的一个传统。那么大学问家梁启超他就很推崇考据文化，他的话是说，自清代考据学派200年之训练，成为一种遗传，我国学子之头脑渐趋于冷静慎密，此种精神实为科学成立之基本要素。他的意思是说，梁启超的意思是说：考据文化是好东西，我们把它继承下来，考据的遗传就等于科学的头脑。考据的核心是什么东西呢，就是重证据，讲推理。不是说我拍拍脑袋想想就行了，一定要考据出它真正的本意是什么，拿出证据出来。我们许多称颂一些学问家，一些博学家，一些老先生都是治学严谨，治学严谨是我们现在最崇尚的一种学术道德，治学严谨它的后果在数学上，反映出来就是逻辑上的严谨。因为只有逻辑上严谨了以后，你这个人才是治学严谨。我们常常听说某某老师在黑板上写错了一句话，或者是推算出现了一些小的毛病，就说犯了科学性错误，科学上犯错误以后威信扫地。也就是说注重他的逻辑层面的要求。当然我们不能说逻辑是马马虎虎，这个不是的，但是比逻辑是不是还有更重要的东西呢？我们那种创造精神，发现一些新的数学概念，数学问题的精神，我们就比较缺乏。
所以我说虽然中国的传统数学没有逻辑严密的东西，但是由于儒家文化的演绎的传统，包括戴震倡导的考据学派带给我们的考据上面的影响，考据文化在微观上面也给了我们一种熏陶，那就是逻辑。重视逻辑，数学受这方面影响很大。数学等于逻辑这个观点很普遍，考据文化把数学的逻辑层面进行同化，就一直成为现代数学里面的核心问题。但数学是有两个侧面的，一个是创造性的思考，另外就是逻辑的证明，它两者是不可或缺的。逻辑是什么，大数学家维尔他说了一句有名的话：“逻辑是使得数学得以保持健康的卫生规则”。逻辑是卫生规则，就是你不讲卫生要生病那就不行了，数学不过是这个东西而已，而不是数学等于逻辑。那么考据文化就把儒家的文化更加微观化，把这个西方数学要创新的层面一下就过滤掉了，把逻辑层面就吸收进来了，所以我们就变成数学等于逻辑这样的概念，变成为很抽象的干巴巴的东西这样的概念，就慢慢地在我们一代人两代人当中，慢慢传播开来了，甚至形成我们一个主流的一种认识，所以我们还有一句话就是“数学是一个思想的体操”。数学就是做体操而已，有什么用处都不管了，所以我想我们现在一定要强调逻辑，但是要适度，但是我们还要进一步地提倡数学的创造，这个和中国的传统文化仍然有着密不可分的联系。我们希望中国传统文化创造的那个层面也能够和数学文化结合起来，把我们现代的数学文化既有逻辑又有创造。
最后我就可能要谈谈数学文化和建设21世纪数学大国的关系了，我前面已经说过，世界强国必然是数学强国，今天的数学大势是什么样子，美国继续领先，美国是世界上的数学最大的国家，西欧紧随其后，因为从英国法国德国都有非常优秀的数学家，日本这两年正在迎头赶上，也出现了得菲尔茨奖的，他们有三位，中国是一个未知数。既然如此我们就要想一想看，我们怎么样来建设自己的文化，怎么样把数学和国家的强盛连在一起，这次国际数学家大会，去年在北京召开的，霍金他是在宇宙学里面研究数学方程，对数学有很多贡献，纳什也来了，江总书记也出席了大会，传媒广泛地加以报道，那么一种文化的数学，在报纸电台上面都进行很多的宣传，我想这就是数学文化的一个先声。在21世纪要建设我们自己的数学文化，那么21世纪的数学文化有一些什么问题，我们来看看：陈省身教授他当然是国际著名的数学大师，有人称他为是当代还活着的最伟大的几何学家，他有一个提法说，中国应该成为21世纪的数学大国，他说数学大国的含义在独立平等的基础上，与世界各国的数学家进行交流，他说话说得非常巧妙，意思就是说中国现在还没有独立，在数学上还没有独立，数学上还不能平等地和国家进行交流，我们在本土上面还没有自己的问题，让外国人来做，我们总是跟着外国人做，外国人没有跟着我们来做，这一点说到我们的根本上去了。我们做数学不能看着外国人做什么，还要看我们自己能不能提出我们自己的问题出来，有没有好的问题。
我前面已经说过这样一些很好的问题，那么在文化层面上面来分析就会知道，什么叫做好的数学，文化的视野就是要做好的数学，有益的数学，有价值的数学，有创新的数学，在世界上领先的数学。这样好的数学用什么去判断，就是用文化去判断，用文化来判断你这个数学好不好，价值好不好。杨振宁也对他的物理学的成功有一个看法，他说要面对原始问题，不要在文献的夹缝里求生存。另外一方面我们又看看，菲尔茨奖章只授予不超过40岁的数学家，拉法格和沃沃斯基这两个人，他们这两个人都出生在1966年，今年36岁，获最费尔兹奖，拉法格他大学毕业以后，就得到扶植去专攻Langlangs猜想，Langlangs猜想是一个非常宏伟的一个数学纲领，非常尖深的纲领，顶尖的数学课题，那么说这个课题对不对？现在还没有人知道，就让他去做，他在函数域的情况下面终于做到了，Langlangs猜想是正确的，于是得到了菲尔茨奖。他们36岁，那么现在我们中国有许多获得奥林匹克竞争金牌的，他们现在并没有成为世界著名的数学家，甚至在我们当今我们中国一流的数学家当中也很少看到数学竞赛金牌的获得者，原因在什么地方？原因就在于我们的教育方面，可能有些问题，好胜与好奇，是爱因斯坦说过的话。爱因斯坦在纽约大学毕业典礼上面说过这样的话，说学校里面给学生太多的好胜心，我第几名，我比谁好，我一定要超过你，但是对数学的好奇，却很少关注。我想说到底还是说我们的数学文化是停留在好胜的阶层呢，还是停留在好奇的阶层，在好奇心的驱动下，我们才能够取得数学的创新与突破。
我今天的演讲最后一部分就是要建设新世纪的数学、数学文化什么样子呢，就是人人喜爱数学，在公众当中树立美好的数学形象。如果说我们画一个图的话，最底弥漫在我们空气中的是一种数学文化，我们优秀的数学文化仍然要保持，国外的优秀文化我们要拿来，形成我们新世纪的数学文化。在这样的文化氛围当中，希望我们的舆论能够提倡创新，鼓励应用，在教育方面，有基础和创新的优质数学教育，各行各业大量使用数学技术，提出新的数学问题，那么我们的数学家就可能这样的文化氛围这样的基础上面 从事他们自己的研究工作，在独立与平等的基础上面，和国外的数学家进行交流。我们有我们自己的问题，外国数学家会跟着我们来做，这样的一天如果能够到来，那么也就是我们中国成为21世纪的数学强国。我衷心地希望这一天能够尽早地到来，所以我们大家都为成为21世纪数学大国奋斗，大家一起共勉。