图式逻辑：哲学逻辑的一个新分支

刘新文  （中国社会科学院哲学研究所  北京  100732）
逻辑研究有效推理。一个推理是有效的是因为结论所传达的信息与前提所传达的信息之间的必然关系，而传达这些信息的媒介不一定就是语言。日常推理是运用语句、图形甚至声音、气味等多种信息进行的多模态推理，对这些多模态表示系统和推理的研究已经成为心灵哲学、认知科学、心理学、教育学、数学、逻辑学和计算机科学等领域的交叉地带。自从1990年著名逻辑学家巴威思（J. Barwise，1942-2000）在印第安那大学建立跨学科研究的“可视推理实验室（VIL）”以来，对信息的图式表示的分析成了一个空前活跃的领域，而研究在人类推理中扮演了非常重要的角色的图式推理把“图式逻辑”纳入到哲学逻辑范畴做了理论和实践的双重铺垫。2001年，由著名逻辑学家多夫·盖贝和冈瑟纳（D.M. Gabbay & F. Guenthner）主编的、计划18卷的《哲学逻辑手册》第二版开始出版，“图式逻辑（Diagrammatic Logic）”作为哲学逻辑的一个新分支出现在2002年出版的第四卷中。
图式逻辑包括图式表示和图式推理，是逻辑图的形式化和推广。本文考察图式逻辑所从由来和研究现状。
一  逻辑图和图式逻辑：从古典到现代
逻辑图首先是为理解亚里士多德的范畴命题和三段论推理而发展起来的，其开端一般追溯到欧拉圈。在长期的历史发展过程中，经过莱布尼茨、欧拉、布尔、汉密尔顿、文恩和皮尔士等人的努力，逻辑图从最初的设想变成了现实、从最初的简单表述三段论发展成了关系逻辑和模态逻辑等的图式表示，而关系理论的建立是传统逻辑向现代逻辑转变的关键。
至少在中世纪就有人用圆圈或封闭的曲线来表示古典三段论。1761年，瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler，1707-1783）引入被后人称为“欧拉圈”的图形来表述三段论推理。在这一年出版的著作中，欧拉采用拓扑图形通俗化了莱布尼茨图解逻辑关系的方案。这种方法对一般陈述句的外延（或类）解释特别注意，它既可以表示非空非全的类之间的关系，也可以解说三段论和表示直接推理。欧拉圈的基本形式以圆表示非空非全的类，即用圆表示三段论中词项的外延；圆中的点是类中的元素。欧拉圈是用两个圆的包含、排斥和交叉等拓扑性质来表示集合之间的包含、相异和相交关系的一种图解。也就是说，全称肯定命题（A）用一个圆包含另一个圆表示，全称否定命题（E）用两个互不相交的圆表示，而特称肯定命题（I）和特称否定命题（O）则用两个交叉的圆表示——前者把表示主词的字母写在交叉的区域，而后者把交叉区域留空，以此表示主词外延与谓词外延的交为空集。欧拉圈直观上相当清楚：圆之间的包含、相离表示全称，相交表示特称。在两个表示特称命题的图中，圆中写有字母（比如S）之处表示有某物属于S。但是，欧拉圈不能表示全类和空类、不能表示补运算，这给表示涉及换质的直接推理带来困难。另外，欧拉圈的一个广为人知的缺陷在于，这一系统无法穷尽两个词项之间一切可能的关系：比如，所有事物或是S或是P，等等。不过，在著名逻辑史家涅尔夫妇看来，穷尽一切可能关系倒不是欧拉的原意，因为“在欧拉的逻辑学说中，空间图形的主要作用是使三段论原理从直观上看来一目了然，并没有想概括一切可能的外延关系。”按照这一解释，上述缺陷也就消失了。但是，如果有需要把这个系统扩张成一个表达一切可能关系的系统，欧拉圈系统还是有问题的：（1）在表示否定的特称命题的欧拉圈中，无法区分“有的S不是P”和“有的P不是S”；歧义性为逻辑学家所深恶痛绝。（2）与歧义性相关，矛盾命题的欧拉圈表示也出现了问题。在布尔代数中互相矛盾的命题以一种明显的方式表现出来，而在欧拉圈中，与肯定的全称命题和否定的全称命题相矛盾的两个命题都用一样的图表示出来。（3）可以通过欧拉圈来帮助解决有关于三段论推理的问题，但是难以表示更复杂的推理关系。困难的根本在于不能把多个图组合成一个图，并且有时还无法确定一个图应当如何转换。如无法把表示“所有M是S”和“有的M是P”的两个欧拉圈组合成一个从而检验“有的S是P”是否是其结论。这个问题不仅出现在特称命题中，对于两个全称命题也有同样的情况。
如果说第一个问题可以通过表示主词和谓词的字母在图中出现的位置的不同而得到解决，而矛盾命题不必明显地表示出来，那么第三个问题可不那么容易。如果不能随意地把两个或更多的图结合在一起也不知道如何转换一个图，那么这样的系统在处理三段论演绎推理时就极其有限。欧拉圈的一部分困难将在文恩图中得到解决。
1881年，英国逻辑学家约翰·文恩（John Venn，1834~1923）在《符号逻辑》一书中使用了相交区域的图解（史称“文恩图”）来解释类之间或命题的真值之间的关系。文恩图的基本形式以矩形表示论域，矩形中的圆表示非空类；每一个圆把矩形分成两个类：任意一个类及其补类。文恩认为欧拉圈不能提供一种一般的方法在同一个图中表示两个类之间的更多关系。欧拉圈中的圆表示非全非空的类，圆之间的关系直接表示相应的类之间的实际关系，因而不能表示论域，也不能表示相应的类之间潜在的关系。为了克服欧拉圈这些表达方面的困难，文恩采用了一种“初始图”的办法。初始图表明了所涉及的类之间所有可能的关系，并且也不假定这些类一定都是非空的。能否表示出类之间所有可能的关系，正是两种图解之差异所在，也是造成多个欧拉圈难以组合成一个图的根本原因。除了初始图外，文恩还利用在图的区域中加上阴影的语形办法来表示相应的类为空类。有了初始图和阴影这两种语形方面的准备，文恩图就可以用来验证换质推理和三段论的有效性。下面左图就是涉及两个类S和P的初始图，表示了S和P之间所有可能的关系，其中把平面所划分成的四个区域表示了类S、P、非S（用S¢表示）和非P（用P¢表示）相互之间四种可能的组合。右图就是第一格AAA的图解，其中S、M两圆连同深色阴影表示命题“所有S是M”，M、P两圆连同浅色阴影表示命题“所有M是P”，把相应于这两个命题的阴影加到关于S、M、P的初始图中就得到AAA的图解。
文恩图不同于欧拉圈的地方在于前者第一次用不同的区域表示所有可能的组合，并在各种区域中用记号表示：为使给定的命题成立，哪些组合必是空的，哪些组合不是。令人遗憾的是，文恩图跟欧拉圈一样也不能表示特称命题。后来的学者再给它添加其它的语形装置弥补了这一缺陷。
1903年，美国逻辑学家、哲学家皮尔士（C.S. Peirce，1839~1914）接受文恩对欧拉图的改进，并作了进一步的发挥，使得图的表达能力得到了提高，不仅可以表示特称命题而且可以进一步地表示选言的和联言的复合命题。经过皮尔士改进的图称为“皮尔士-文恩图”；所有的文恩图都是“皮尔士-文恩图”。在皮尔士-文恩图中，皮尔士在一个区域中画上符号“x”来表示该区域不空，并且用符号“o”代替文恩图中的阴影来断定一个区域为空区域。符号“x”和“o”可以用短线连接起来表示析取。单独一个“x”或者“o”也表示一条链。而在同一个皮尔士-文恩图中，由“x”和“o”组成的不同的链表示各条链的合取。例如，下图中左边的皮尔士-文恩图与句子“SP¢¹fÚSP¢=f”的意思相同，断定“或者有S是非P或者所有的P都是S”。类似地，下图中右边的图形与句子
(SP¢Q¢¹fÚSPQ¢¹fÚS¢PQ¢¹f)Ù(SP¢Q¹fÚS¢PQ=f)Ù(S¢P¢Q¢=fÚS¢P¢Q=f)
具有相同的意思；在这个合取式中第一个合取支由最下的一条链表示，第二个和第三个合取支分别由中间的和最上面的链表示。
一个图的某一个区域中如果同时出现没有用短线连接的“x”和“o”则该图断定了一个假命题，如下面左边的图形等于SP¢=f ÙSP¢¹f；另一方面，如果其中的“x”和“o”被用短线连接了起来则断定了一个有效命题，如下面右边的图形断定了S¢P=fÚS¢P¹f。
这样，所有的皮尔士-文恩图都可以找到一个与其等价的布尔公式；另一方面，所有的布尔公式也都可以用皮尔士-文恩图表示出来。也就是说，在表达能力上皮尔士-文恩图等价于标准一阶逻辑的一元部分。当然，皮尔士还给出了皮尔士-文恩图的一个对偶解释，即把“x”、“o”之间的连线解释为合取关系，而同一图中的各条链则被解释为析取关系。这两种解释在语义上是等价的。另外，皮尔士还引进了图形的变形规则，这些图形变形规则的使用完全像代数中的规则一样。皮尔士对逻辑图研究的一个重要贡献是他第一个讨论了图形的变形规则。实际上，皮尔士的这些规则在运用时相当于经典逻辑的消解证明程序，只不过它们还不是完善的。
经过皮尔士改造后的文恩图就其表达能力来说，依然局限在一元一阶逻辑范围之内，还不具备关系词逻辑所拥有的表达能力。因此，在改造文恩图的同时，皮尔士费十年之功，运用自己在拓扑和图论中的研究于1896发展出了自己的逻辑图式系统——存在图。存在图是可以在其上进行逻辑转换运算的一类图，是皮尔士关于关系词的图式逻辑系统。这是一个包罗广泛的系统，由三个部分组成，各个部分都有自己初始的构图符号以及操作这些图的保真的图形转换规则，从而各自形成了一个证明系统，分别具有与经典命题演算、带等词的一阶谓词演算、以及模态逻辑和高阶逻辑相同的表达能力。
20世纪90年代，对图的逻辑研究取得了长足进展。1990年，美国逻辑学家巴威思在印第安那大学建立跨学科研究的“可视推理实验室”，认为可视表示信息（图式信息）一样可以从事线性语言信息进行的有效推理。在这一思想的指导之下，当代的逻辑学家们在现代逻辑的基础上、运用现代逻辑的工具和技术形式化了逻辑图并推广了逻辑图的概念，把它运用到哲学、计算机科学和人工智能等领域，提出“图式逻辑”这一名称，深刻地改变了许多重要的逻辑哲学概念。至此，逻辑图最终完成了它向形式化的转变，成为现代逻辑的一个分支。
二  图式逻辑的研究
图式逻辑是在对“逻辑系统”这一概念进行拓宽的基础上提出来的。
1994年，逻辑学家多夫·盖贝主编的《什么是一个逻辑系统？》一书出版。书中讨论了15个“逻辑系统”的定义；其中，对于什么是一个逻辑系统这一问题，巴威思和哈默（E. Hammer）认为：现在我们要定义的逻辑系统不仅应该包括大多数现有的系统，而且还要包括将要建立的系统。所以他们采取了一种尽可能宽泛的定义：“一个逻辑系统是非形式推理活动以及支持这些活动的已有的（或者可能的）直观推理后承关系的一个数学模型。”这种数学模型是对非形式推理活动的一种理想化，可以是语义的，也可以是语形的，具有多样性。对同一种推理活动，可以有不同的刻画。例如，不同的一阶逻辑系统有公理化系统、自然推演系统、表列系统、矢列系统等。巴威思和哈默还认为，形式刻画的系统还可以包括图式系统和异质系统（heterogeneous systems）。图式系统包括文恩图系统、欧拉圈系统、存在图系统等，异质系统既包括像公式那样的语言元素，也包括像图、表、列那样的非语言元素，如超证明系统（heyperproof systems）、图形系统（chart systems）和语句与文恩图混合的系统。
图形能否成为演绎推理的重要部分，关键在于图形能否精确化。
图形在日常交流中应用广泛的原因很简单：在许多情况下图形是表达复杂信息的最清楚、最简单的方式。与语言文字相比，图形具有许多重要的特征，虽然它们并不一定都是逻辑所要研究的对象：图形并非符号串，其语法不能表示成符号的有穷序列；图形与其所表示的对象之间具有一种相似性关系；图形与文字一起可以构成异质表示；图形可以把所表示的逻辑构造成它们语法的“物理”逻辑，例如，欧拉圈物理上的内部关系的传递性是一种拓扑不变性，这种传递性反映了它们所表示的集合之间子集关系的传递性；在很多场合图形能够以一种文字无法达到的简单方式表示出大量的信息；关于图形语法的规约可以灵活掌握，新的图形装置可以随时引入以适应新的任务；等等。图形的这些特征都是图形的空间性质所带来的，而图形中空间关系的表示是直接和直观的。图形的空间关系是一类情境的抽象物，运用图形进行逻辑推理的可能性就来源于图形描述了情境的所有可能的模型：在许多图式系统中，只要一个图形被正确地画出来，推理就可以直接看出来而无需对图形作进一步的变形。所以，一个图形画不出来就意味着它所表示的情境一定是不可能的，反过来，图形对象之间的某种联系如果可以画出来那么它所对应的关系在逻辑上一定可以有效地推出来。总而言之，人们在日常生活中使用的图形与语言一样，都有自己的语法结构和一定的意义，虽然这些结构和意义比较随便，而且具有歧义性。如果可以把图形的语法和语义精确地刻画出来，那么在演绎推理中，图形就可以替代语言文字的作用，而包含图的非形式证明则可以认为是形式证明的缩写。现在，有很多种图形系统可以在以下意义上得到精确刻画：考察支配图形的语法结构的原理；定义图形的语义；描述不同图形之间具有的逻辑后承关系；完全依靠图形的语法结构的、能行的、可进行机械证明的图形推导规则；一些日常运用的图形经过语法和语义的改造，可以建立起适合于图形的逻辑系统的可靠性、完全性、协调性、可判定性以及可定义性等元理论结果。1994年，S-J.辛（Sun-Joo Shin）继承皮尔士对文恩图的改造，修正并补充了皮尔士提出的图形转换规则，用现代逻辑的方法建立起了可靠而完全的文恩图系统。文恩图的这一新理论把文恩图构造成一个现代的形式系统，给出了严格的合式图定义、严格的塔尔斯基语义以及适用于文恩图的可靠的变形规则，并且证明了关于有限图集的完全性结果。这一完全性结果随即得到了进一步的完善，被推广到一般的情形。1995年哈默严格按照现代逻辑的工具和技术建立了欧拉圈系统的一个形式化，包括句法、语义和元逻辑研究，给出了欧拉圈的一个形式系统及其完全性证明。另外，S-J.辛和哈默也以一种不同的方式对欧拉圈进行了改造：保持欧拉圈原来有的、圈与集之间的同构关系，同时采用文恩图的初始图技巧。但是，这一缺乏存在命题表达方式的欧拉图系统仅就三段论推理来说是不自足的。从文恩图到皮尔士-文恩图、从欧拉圈的古典形式到现代形式，在这些对欧拉圈的不同发展的图式系统中，提高表达能力和增加可视性似乎只能是一种互补的关系，各人要视其目的各取所需。在对图式推理的进一步研究中，这是一个值得考虑的问题。
研究图形的逻辑是有意思的。首先，图形以及其它可视表示是人类推理的重要方式，对图形的逻辑分析有助于我们深刻把握这些推理方式：它们语法的重要特征、它们表达的确切语义以及运用它们进行推理的语法基础，等等。同时，也可以认识有效的图形推理如何组成以及导致无效推理的原因。其次，对图形的逻辑研究将揭示图式逻辑特有的性质。另外，在图式逻辑中有一个非常有意思的话题：图形与其所表示的对象之间的同构关系。对于许多语义对象来说，图形是一种非常便利的外在表示方法。因此，运用图形进行的推理常常也是对模型本身的一部分结构进行推理，这种现象在欧拉图中特别明显；此外，在构造图形时也要求尽可能清楚、自然地图解推理的对象。
每门科学都有自己复杂的图形方法，许多复杂的图形系统广泛应用于数学的许多分支之中，也有许多复杂的图形系统被用于计算机科学之中。对这些图式系统的分析将产生越来越多的新的逻辑问题。现在，除VIL已不复存在之外，世界各地都有人在研究图式表示和图式推理。皮尔士的存在图是现代图式逻辑的先驱，被证明与话语表现理论（DRT）、动态谓词逻辑（DPL）等当代动态刻画自然语言语义的理论具有同样的表达能力；而且，存在图的重要性是直到计算机表示的图式推理得到发展后才得以确认的。1984年，IBM科学家索瓦（J.F. Sowa）在存在图的基础上创造出作为知识表示的概念图系统，这一系统现在被全世界的计算机科学家作为一种知识表示模式应用于人工智能领域；以概念图为基础，自从1991年以来，一年一度的“概念结构国际会议（ICCS）”如期举行。1983年，斯坦福大学建立“语言和信息研究中心（CSLI）”，从事计算机科学、语言学、逻辑学、哲学、心理学和人工智能等领域的交叉研究，出版了大批关于图式逻辑和可视推理的论著。2002年，英国的不来顿（Brighton）大学和肯特（Kent）大学的逻辑学家和计算机科学家建立“可视模拟小组（Visual Modelling Group）”，在文恩图和欧拉圈的基础上构造出“蜘蛛图（Spider Diagrams）”；蜘蛛图是一个可靠和完全的系统，具有与带等词的一元一阶逻辑相同的表达能力；另外，在此基础上扩充成与存在图相似、语义不同的“约束图（Constraint Diagram）”。与此同时，研究者们还出版了许多与图式表示和图式推理有关的国际性杂志，如《可视语言和计算杂志》（Journal of Visual Languages & Computing）、《图》（Diagrams）和《空间认知和计算》（Spatial Cognition and Computation）等。1999年，《逻辑、语言和信息杂志》（Journal of Logic, Language and Information）出版了一期题为“图式推理的功能：可视逻辑、语言和信息”的专集。专集的编者认为图式推理的关键之处在于图式表示的功能：是什么使得一个图式表示特别有用、能行而特别适于解决某些问题？在征稿时，拟订了如下一些主题：图式推理的复杂性理论；可视描述与程序语言分析；图式逻辑或证明论，图式表示的形式语义学，空间逻辑推理与图式表示的分析；图式表示的认知分析，“概念结构”的图像性，图像数据库；图式推理对人工智能的应用，数学和物理学的证明表示中图式表示的地位；不同“表示形式”作用的比较，为给定问题选择和构造适当的表示形式。
图式逻辑的理论方面包括图式表示和图式推理。前者揭示图形的表达能力，而后者考察在证明中直接运用图形进行推理的正确性。尽管图式表示已经在广泛研究和应用，但是，由于图式系统的拓扑语法抵制了许多经典技术的运用，图式推理的逻辑地位却在探索之中，还没有完整的理论来刻画信息图式表示的计算和语义性质；可以说，除了进行个案研究外，图式推理的一般逻辑理论尚未建立。新版的《哲学逻辑手册》也只是描述了三个图式逻辑系统——文恩图、皮尔士-文恩图和存在图，为“图式逻辑”这一概念作了一个简单的、非正式的描述：
图式逻辑是刻画图形系统的语法、语义和证明论等的一个逻辑；
图形系统在目前主要包括欧拉圈、文恩图、皮尔士-文恩图、存在图、流程控制图、线图、电路图、范畴论图、哈斯图、概念图和几何图等；
图的普型（type）在语法上具有二维特征，而它们的意义则可以通过模型论或代数得以刻画。图式逻辑系统主要以图形为对象，除此之外，它们与一般的逻辑系统并无根本的区别：两者都要对一类需要研究的表达式、表达式的意义以及表达式的运用和目的进行充分的刻画。
三  结束语
在数学和逻辑领域，由来已久的观点是，图形仅仅是一种直观的教学辅助工具，精确的数学推理和逻辑演算根本就无法用图形来模拟。皮尔士的革命性思想不仅克服了逻辑图的重大缺陷，而且为逻辑图打开了一个新的天地：存在图是在现代意义上可靠的和完全的图式逻辑系统。换句话说，在现代逻辑草创时期，逻辑图就已经具备了与符号系统同样的表达能力，应该具有与符号系统同样的逻辑地位。不过，在其历史发展过程之中，随着表达能力的逐步提高，特别是由于对“否定”的表示，逻辑图的直观性程度也在逐步降低，用弗雷格在《思想》中的话说，“科学越是严格，就越是枯燥”。
参考文献
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