3.2特殊平行四边形（三） - 要学会珍惜的日志 - 网易博客

3.2特殊平行四边形（三）

 一、教学目标：

知识与技能目标

①再次经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，发现决定中点四边形形状的因素，熟练运用学过的各种特殊四边形的识别及性质对中点四边形进行识别，并能对自己的猜测进行证明，进一步发展学生推理论证的能力。

②使学生进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用。

过程与方法目标

③通过平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、任意四边形等凸四边形的中点四边形的探求过程，以及引申至凹四边形的中点四边形的探求过程，引导学生体会证明过程中所运用的由一般到特殊再到一般的归纳思想方法、类比的思想方法、转化的思想方法等，培养积极探索、勇于创新的精神，以及推陈出新的创新能力。

情感态度与价值观目标

④通过师生互动、合作交流以及多媒体软件的使用，进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力，并使学生发现数学中蕴涵的美，激发学生学习的自觉性、积极性，提高学习数学的兴趣。

二、教学重难点

重点：各种特殊四边形的识别及性质对中点四边形进行识别。

难点：体会证明过程中所运用的由一般到特殊再到一般的归纳思想方法、类比的思想方法、转化的思想方法。

三、教学过程

       第一环节：问题引入

    问题：

    1.如图，在ΔABC中，EF为ΔABC的中位线，

①若∠BEF=30^°，则∠A=     .

②若EF=8cm,  则AC=      .

    2.在AC的下方找一点D,做CD和AD的中点G、H,问EF和GH有怎样的关系？EH和FG呢？

    3.四边形EFGH的形状有什么特征？

    活动目的：

通过问题串，复习三角形中位线性质定理，探索新命题“依次连接任意四边形各边的中点可以得到一个平行四边形”。。

活动的实际效果：

老师在提问时选择了平时学习数学有困难的学生，由于是前面已经学过的知识，学生们回答得很流畅，这种低起点的问题引入，也增强了学生学习数学的自信心。此外，课件的运用，直观形象，也分解了难点。

       第二环节：猜想结论

    活动内容：

    问题：如果四边形ABCD变为特殊的四边形，中点四边形EFGH会有怎样的变化呢？

    活动目的：

在一个开放的情景中，引导学生体会由一般到特殊的归纳思想方法、类比的思想方法、转化的思想方法，同时培养学生的积极探索、勇于创新的精神。

活动的实际效果：

有的学生猜测还是平行四边形，有的学生猜测是正方形，有的学生猜测是矩形，有的学生猜测是菱形，甚至有的学生猜测是梯形。经过师生的共同探讨，达成一致的结论：一定是平行四边形，而非梯形。于是老师顺势提出问题“会不会是特殊的平行四边形呢？从结论来探索有一些困难，那么我们可以换一种角度思考：四边形ABCD可以为哪些特殊的四边形？”学生的回答多种多样，原四边形可以为平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形，甚至还有学生回答为梯形和直角梯形。于是老师请学生选择一种自己感兴趣的原四边形来研究中点四边形，从而顺利进入下一环节。

此环节的设置引发了学生对特殊四边形的中点四边形的思考，学生们畅所欲言，互相补充完善，气氛热烈，进一步发展了学生合作交流的能力和数学表达能力，同时也是对之前所学的特殊四边形进行回顾。老师在这一环节中，对学生的回答给予充分的肯定和鼓励，再一次增强了学生学习数学的自信心。

        第三环节：分组探究，验证结论

    活动内容1：

学生以数学小组的形式，在众多的特殊四边形（平行四边形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形，梯形和直角梯形）中选择一种自己感兴趣的原四边形来研究中点四边形，并验证结论的正确性。

活动目的：

由学生非常熟悉的、常见的特殊四边形得到结论，为后面的知识形成作好铺垫，并把学习的主动权让给学生，目的在于激发学生的学习兴趣，使学生真正成为学习的主人；同时让学生再一次体会由一般到特殊的归纳思想、类比、转化的思想方法，进一步提高学生的合作交流和数学表达能力。

    活动的实际效果：

    学生结合前面学过的各种特殊四边形的识别与性质、三角形中位线定理等知识，人人参与、积极进行探究和交流，通过类比和转化共归纳出以下几种情况。各小组派代表展示自己小组的猜想和验证，讲解中小组之间互相补充、互相竞争，气氛热烈,使验证的过程更加严谨。把学习的主动权交给了学生，真正体现了学生的自主性，也激发了学生学习数学的兴趣。

得出结论：

平行四边形的中点四边形是平行四边形；

矩形的中点四边形是菱形；

菱形的中点四边形是矩形；

正方形的中点四边形是正方形；

等腰梯形的中点四边形是菱形；

直角梯形的中点四边形是平行四边形；

梯形的中点四边形是平行四边形。

在这一环节中，老师走入学生中适时地进行指导，引导学生进行归纳总结，提高学生的概括能力。对学习能力较弱的学生进行个别指导，对学习能力较强的学生鼓励他们研究第2个甚至更多个图形，使以上7个图形的结论能够顺利得出，并对学生的回答给予充分的肯定和鼓励。学生们展示完自己的结论后，老师利用几何画板进行演示，让学生们观察中点四边形的边和角的变化情况，体会图形运动变化的过程，验证同学们归纳的结论的正确性，给予学生直观的感受。

    活动内容2：

    问题：1.矩形和等腰梯形是形状不同的四边形，为什么中点四边形都由平行四边形变化为菱形？

    2.平行四边形变化为菱形需要增加什么条件？

    3.你是从什么角度考虑的？

    4.你从哪儿得到的启发？

    5.你能用你的发现解释其它的图形变化吗？例如：原四边形为菱形，其中点四边形为矩形？

    活动目的：

以问题串的形式引导学生逐步深入思考，前2个问题的设置帮助学生回忆特殊四边形的性质与判定定理，第3、4个问题帮助学生揭示变化的原因：矩形和等腰梯形的对角线有相同的性质“对角线相等”，而且其它中点四边形的变换也和原四边形的对角线有关系。有了前4问的铺设，第5个问题可以通过类比的思想解决；同时让学生体会由一般到特殊再到一般的归纳思想方法，进一步提高学生的数学表达能力。

    活动的实际效果：

这一环节紧紧围绕“中点四边形”再次提出问题串，是对上一活动的拓展。通过问题串的解答，使学生对决定中点四边形形状的因素更加明了。教师引导学生对研究的问题归纳总结。

概括出规律：决定中点四边形EFGH的形状的主要因素是原四边形ABCD的对角线的长度和位置关系。

（1）    若对角线相等，则中点四边形EFGH为菱形；

（2）    若对角线互相垂直，则中点四边形EFGH为矩形；

（3）    若对角线既相等，又垂直，则中点四边形EFGH为正方形；

（4）    若对角线既不相等，又不垂直，则中点四边形EFGH为平行四边形。

 这里让学生通过归纳，学会把知识整理成一个系统，也就是我们常要求的：教学过程贵在让学生掌握学习的方法，让学生真正地“会学”，既学法指导。这里正是渗透了这种思想。老师再次利用几何画板进行演示，让学生们观察中点四边形的边和角的变化情况，体会图形运动变化的过程，验证同学们归纳的结论的正确性，给予学生们直观的感受。 

第四环节：运用巩固

活动内容1：（图形发散练习）

利用几何画板，拖动A点使四边形ABCD的图形变化进行研究。

活动目的：

用动画的形式让同学们观察四边形的不断变化过程中，中点四边形的变化情况，体会变化中存在的不变的几何关系：图中几何图形的位置关系处在相互依存的状态之中，静态图形只是动态图形在变化过程中的某一瞬间，意在培养学生的发散思维能力，提高学生研究数学的兴趣和创新意识。

在题目的设置上，采用逐步递进的策略，其中图3-6-15是ABCD为凸四边形，图3-6-16是AB、 AD在同一线段上，图3-6-17是ABCD为凹四边形，图3-6-18是ABCD为扭曲四边形。

活动的实际效果：

利用几何画板演示，学生们表现出了极大的学习兴趣，学生们畅所欲言，互相补充完善，课堂气氛异常活跃。经过师生共同探索，得到结论：当ABCD是上面的图形时，四边形EFGH仍为平行四边形。特别是图3-6-18，学生理解有困难，老师引导学生转换思考角度，即四边形EFGH可以看作四边形ADBC的边AD、BC的中点和对角线AB、CD的中点的四边形，这样就解决了问题。老师在这一环节中，对学习能力较弱的学生进行个别指导，对学生的回答给予充分的肯定和鼓励，再一次增强了学生学习数学的自信心。

活动内容2：（应用拓展练习）

1.四边形ABCD中，AC=6，BD=8，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1；再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2……如此进行下去得到四边形AnBnCnDn。

（1）证明：四边形A1B1C1D1是矩形；

（2）写出四边形A1B1C1D1和四边形A2B2C2D2的面积；

（3）写出四边形AnBnCnDn的面积； （4）求四边形A5B5C5D5的周长。 

第五环节：课堂小结

活动内容：

1、本节课重点学习了什么知识，应用了哪些数学方法？

2、决定中点四边形形状的主要因素是什么？

3、通过本节课的学习你有哪些收获？在今后的学习过程中应该怎么做？

活动目的：

培养学生的归纳能力，使学生形成完整的知识结构，总结研究数学问题的一般方法。

活动的实际效果：

学生们畅所欲言自己的收获，比如：有的学生说：通过这节课我知道中点四边形的形状与原四边形对角线有关；有的学生说：通过这节课我了解了类比、转化和归纳概括的数学思想，我要把这些运用到平日的学习和生活中；还有的学生说：通过这节课我发现了数学的美，我更加喜欢数学了；……老师对学生的回答给予充分的肯定和鼓励。 

第六环节：布置作业

1.用所学中点四边形的知识，设计一个基本图形，然后在方格纸内通过平移、旋转或轴对称进行图案设计。

四、教学反思               

1、 要创造性的使用教材

在新教材中，课本只是一个载体，因此，本节课教师充分利用这个载体和学生已有的知识、经验，教学设计不拘泥于教材，由一般到特殊再到一般，符合学生的认知基础和认知规律，体现了新课标的观念，水到渠成，效果非常好。

2、 充分利用现代技术，提高课堂容量

本节课容量较大，但由于采用了电脑辅助教学手段，为学生创建了一个学习情境，通过图形的变换，使学生很容易发现问题的规律、找出解决方法，并且学生在老师的启发下，一步一步地探索、归纳、学习，在探索的过程中培养了学生的创新精神和创新意识。

3、 注意改进的方面在小组讨论之前，应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问。