排列组合中的分组分配问题

(2010-03-12 17:44:05)
标签：教育
中学
高中
数学
分组
均匀
不均匀
分配
定向分配
不定向分配
杂谈
分类：误人子弟
６个学生平均分成3组，有多少种分法？
６个学生平均分到3个不同的班级，有多少种分法？
头痛了吧？
分组分配问题是排列组合教学中的一个重点和难点。某些排列组合问题看似非分配问题，实际上可运用分配问题的方法来解决。
一　提出分组与分配问题，澄清模糊概念
n个不同元素按照某些条件分配给k个不同得对象，称为分配问题，分定向分配和不定向分配两种问题；
将n个不同元素按照某些条件分成k组，称为分组问题。
分组问题有不平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。
分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使2组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的。对于后者必须先分组后排列。
二　基本的分组问题
例1  六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？
(1)每组两本（均分三堆）１５
(2)一组一本，一组二本，一组三本６０
(3)一组四本，另外两组各一本１５
(４)平均分给甲乙丙三人９０
分析：
(1)分组与顺序无关，是组合问题。分组数是Ｃ６２＊Ｃ４２＊Ｃ２２=90(种)
这90种分组实际上重复了6次。
我们不妨把六本不同的书标上1、2、3、4、5、6六个号码。
考察以下两种分法：(1，2)(3，4)(5，6)与(3，4)(1，2)(5，6)，由于书是均匀分组的，三组的本数一样，又与顺序无关，所以这两种分法是同一种分法。以上的分组方法实际上加入了组的顺序，因此还应取消分组的顺序，即除以组数的全排列数Ａ３３＝６，所以分法是 ９０／６=15(种)。
(2)先分组，方法是Ｃ６１＊Ｃ５２＊Ｃ３３＝６０ ，那么还要不要除以Ａ３３？我们发现，由于每组的书的本数是不一样的，因此不会出现相同的分法，即共有 =60(种) 分法。
(3)分组方法是Ｃ６４＊Ｃ２１＊Ｃ１１=30(种)
其中有没有重复的分法？我们发现，其中两组的书的本数都是一本，因此这两组有了顺序，而与四本书的那一组，由于书的本数不一样，不可能重复。所以实际分法是Ｃ６４＊Ｃ２１＊Ｃ１１／Ａ２２=15(种)。
通过以上三个小题的分析，我们可以得出分组问题的一般方法。
结论1：  一般地，n个不同的元素分成p组，各组内元素数目分别为m１ ，m ２，…，mＰ ，其中k组内元素数目相等，那么分组方法数是Ｃ。
三　基本的分配的问题
１定向分配问题
例2 六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？
(1) 甲两本、乙两本、丙两本.
(2) 甲一本、乙两本、丙三本.
(3) 甲四本、乙一本、丙一本.
分析：由于分配给三人，每人分几本是一定的,属分配问题中的定向分配问题，由分布计数原理不难解出：
（１）Ｃ６２＊Ｃ４２＊Ｃ２２=90(种)
（２）Ｃ６１＊Ｃ５２＊Ｃ３３=60(种)
（３）Ｃ６４＊Ｃ２１＊Ｃ１１=30(种)。
２不定向分配问题
例3　六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配　　　　方法？
(1) 每人两本
(2) 一人一本、一人两本、一人三本
(3) 一人四本、一人一本、一人一本
分析：此组题属于分配中的不定向分配问题，是该类题中比较困难的问题。由于分配给三人，同一本书给不同的人是不同的分法，所以是排列问题。实际上可看作“分为三组，再将这三组分给甲、乙、丙三人”，
因此只要将分组方法数再乘以Ａ３３＝６ ，即
（１）１５＊６=90(种)
（２）６０＊６=360(种)
（３）１５＊６=90(种)。
结论2. 一般地，如果把不同的元素分配给几个不同对象，并且每个不同对象可接受的元素个数没有限制，那么实际上是先分组后排列的问题，即分组方案数乘以不同对象数的全排列数。
解不定向分配题的一般原则：先分组后排列。
例4 六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少种分法？
分析：六本书和甲、乙、丙三人都有“归宿”，即书要分完，人不能空手。因此，考虑先分组，后排列。先分组，六本书怎么分为三组呢？有三类分法(1)每组两本(2)分别为一本、二本、三本(3)两组各一本，另一组四本。所以根据加法原理，分组法是 + + =90(种)。再考虑排列，即再乘以 。所以一共有540种不同的分法。
四　分配问题的变形问题
例5 四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒的放法有多少种？
分析：恰有一个空盒，则另外三个盒子中小球数分别为1，1，2。实际上可转化为先将四个不同的小球分为三组，两组各1个，另一组2个，分组方法有 (种)，然后将这三组(即三个不同元素)分配给四个小盒(不同对象)中的3个的排列问题，即共有 =144(种)。
例6　有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法有多少种？
分析：先考虑分组，即10人中选4人分为三组，其中两组各一人，另一组二人，共有Ｃ１０　４＊Ｃ４２(种)分法。再考虑排列，甲任务需2人承担，因此2人的那个组只能承担甲任务，而一个人的两组既可承担乙任务又可承担丙任务，全排。
共Ｃ１０　４＊Ｃ４２＊Ａ２２ =2520(种)不同的选法。
例7　设集合A={1，2，3，4}，B={6，7，8}，A为定义域，B为值域，则从集合A到集合B的不同的函数有多少个？
分析：由于集合A为定义域，B为值域，即集合A、B中的每个元素都有“归宿”，而集合B的每个元素接受集合A中对应的元素的数目不限，所以此问题实际上还是分组后分配的问题。先考虑分组，集合A中4个元素分为三组，各组的元素数目分别为1、1、2，则共有 (种)分组方法。再考虑分配，即排列，再乘以 ，所以共有 =36(个)不同的函数。
例８设集合A={1，2，3，4}，B={6，7，8},映射f:A->B满足f(1)<＝f(2)<＝f(3)<＝f(4)＝附
一　编号分组：
1　相同元素　编号分组
“编号分组”的意思是：即使分出来两个或多个组中，元素的个数相同，仍然看成不同的组
例题：
10个相同的小球，放入5个不同的盒子里面，每个盒子至少要放一个球。
问有几种放法？
方法（隔板法）
5个盒子，设置4个隔板，插入9个空中。C94
2　不同元素　编号分组
分成两种情况：
(i)非均匀编号分组（每组元素个数不同）
例题：10个人分成三组，各组人数分别为2、3、5，去参加不同（在这里体现“编号分组”）劳动，问有几种安排方法？
方法：分步选人，分别适合各组人数，然后要乘以组数的全排列。
C102×C83×C55×A33
(ii)均匀编号分组（包括部分均匀、全部均匀）
例题：10个人分成三组，各组人数分别为2、2、6，去参加不同劳动
问有几种安排方法？
方法：分步选人，分别适合各组人数。
但是，由于有两个或两个以上的组人数相同，而选人时又是分步选人的（即有顺序在里面），所以必然会造成重复。比如：甲乙、丙丁和丙丁、甲乙是一种情况，我们却多算了。要除以元素相同的几个组的组数的全排列
选人完之后要放进编好号码的组里面，所以乘以总组数的全排列。
C102×C82×C66÷A22×A33
二　不编号分组：
与编号分组不同的是，在不编号分组中，各个组元素的个数成为了区别不同组的唯一标志，换言之，只要有两个或者多个组有相同个数的元素，它们就被视为相同的组。
在这里，由于组已经没有编号了，如果要放进组里面的元素再不可区分，那问题就变得没什么意义，而且很简单了。比如：三个相同的球，放入两个相同的盒子里面，只有一种放法，那就是其中一个盒子放一个球，另外那个盒子放剩下的那两个球。所以用列举法就可以了。
在这里主要讨论不同元素的情况。
1，不同元素，不编号不均匀分组。
例题：10个人分成三组，各组人数分别为2、3、5，去参加相同（在这里体现“不编号分组”）劳动，问有几种安排方法？
方法：和“不同元素，编号不均匀分组”相比，不必乘以组数的全排列，因为三个组参加的是相同的劳动（这里“相同”的言下之意是：劳动内容相同，又是同时去的，如果不同时，还要当作编号分组）
C102×C83×C55
不同元素　不编号均匀分组（部分均匀、全部均匀）
例题：10个人分成三组，各组人数分别为2、2、6，去参加相同劳动，问有几种安排方法？
方法：要除以相同元素个数的那几个组的组数的全排列，但是不必乘以总组数的全排列。
C102×C82×C66÷A22