数学教学中的构造思想

邵剑  蒋孝星

   构造，就是按照人们某种期望的目标或需要去设计某个函数、方程、系统、或结构的工作，也是数学中常用的一种创造性思维方法，但它常常困扰着学生。显然，在教学 中让学生掌握构造的思想具有深远而现实的意义，因为它是对学生进行素质教育的一种切实可行的教学行为，是培养学生创造能力的一种重要训练手段。

一、特殊与一般

  人们对现实世界的认识总是先从认识个别的与特殊的事物开始，只有认识了许多事物的特殊的本质后，才能从中概括出它们共同的本质。然后，又以这种共同的认识为指导，对于尚未研究过的或者尚未深入地研究过的各种具体事物进行研究，找出其特殊的本质，并补充、丰富和发展其共同本质的认识。数学中构造的一个基本思想就是基于特殊与一般对立双方的转化。在数学教学中关注事物的特殊与一般，即个性与共性的辩证关系显得十分重要。
  特殊与一般是相对而言的。在某种意义下，事物P相对于事物Q是特殊的，事物Q相对于事物P是一般的；在另一种意义下，事物Q相对于事物R却具有其特殊性，事物R相对于事物Q与P具有一般性。
  特殊与一般，个性与共性，是既对立又统一的两个范畴，任何事物都是共性与个性的有机统一。共性比个性深刻，个性又比共性丰富，个性是共性的基础。就是说，事物的特殊性中包含着一般性，即共性存在于个性之中。同时，共性又是个性的共同本质，共性统摄个性；个性体现共性，个性与共性相联系但又不能脱离共性。或者说，一般性概括了特殊性。数学中处处体现着这种辩证关系。

例如，基于一般概括了特殊这一思想，特殊与一般还存在着如下关系：
(1)若命题P在一般情况下为真，则在特殊情况下也真；
(2)若命题P在特殊情况下为假，则在其一般情况下也为假。
  正是由于这些关系，人们常常在判定某一命题是否正确时要作严格的数学证明；而判断某一命题为假时，只要举出一个反例即可，其中后者是利用由特殊否定一般的思想，它在数学的发展中曾发挥过许多重要的作用，它在是非选择题中的现实作用也是显而易见的。人们经常使用的反证法的思想也是基于(2)的否定作用，因为用反证法证明“若A则B”就是反证“既A且非 B”为假。 

二、两种常用的思维方法
   相对于一般而言，特殊的事物往往显得简单、直观和具体，并为人们所熟知。相对于特殊而言，一般性比特殊性更能反映事物的本质，具有深刻的意义，使人们能在更为广阔的领域内使用更高层次上的思想和方法去分析研究问题。
   充分注意到一般性存在于特殊性之中的这一思想，应分析考虑有没有可能把待解决的某个数学问题化归为相对一般性的问题去研究。这种思考方式是可行的，但这时需要在特殊的某个数学问题中去发掘一般性的特性，而且相对一般的问题为人们更熟悉。这种思维方式是由特殊到一般的化归。
   再由一般性概括了特殊性的思想可知，一般性问题研究的结果当然适用于其特殊情形，故人们又常常把一般性的结论反演到相对特殊的待处理的原问题，这是一种由一般到特殊的化归。
   特殊与一般关系的上述两种思维方法乃是同一事物之相反相成的两个方面，它们互相制约、互相补充，缺一不可，每个方面又有其独特的作用，使人们在处理问题时既不失之偏颇，又不致无所适从。由特殊到一般和由一般到特殊的两种认识方法是人类认识客观世界的一个普遍规律。任何一门学科，当然包括数学，都受到这一规律的制约，在数学教学中强调这两种思维方法是重要的。 

三、函数构造
   函数构造，是按照人们某种期望或根据待解决问题的某些特殊性特性，构造具有一般性特性的某个函数，然后这个函数的研究结果在某种特定情况下就是所考虑问题的结果。显然，这是一个既实用又有深度的办法。前者构造函数的工作是由特殊到一般的化归，后者是由一般到特殊的化归。整个工作可以用下列框图表示：
      利用这种思想构造函数可以使证明等式、不等式与方程实根的讨论等问题 都显得简洁和谐。基于一般性存在于特殊性之中的思想，人们常常把等式、不等式、方程等作为函数的特殊形式，置它们于函数之中，使等式、不等式、方程等在更为一般更为广阔的函数领域内得到研究。尤其当方程、不等式、方程的解受到较为复杂的条件约束时，构造的函数可以帮助人们克服一些不必要的麻烦。例如，由数列｛f(n)｝的通项f(n)构造函数f(x)便可获得更大的自由度。
   根据期望的不同要求，可分为按实际问题的背景构造函数；按几何意义构造函数；由指定的定义域构造函数；根据复合函数的结构经变量替换构造函数；依照期望的函数性质(如建立奇、偶函数，周期函数等)构造函数等等都是大家熟悉的函数构造方法。在数学教学中强调构造的思想不仅具有现实意义，而且可以提高学生的创造性思维境界。