浅谈立体几何中的数学思想方法

立体几何是高中数学教学的一个重要内容，这部分内容蕴含着丰富的数学思想方法。实践证明，教学中适时渗透有关的数学思想方法，有助于学生降低学习难度，把握知识本质和内在规律，提高数学素养，发展思维能力。本文主要谈谈在立体几何中的几种主要数学思想方法。

一、转化的思想方法

研究问题时，将研究对象在一定条件下转化为熟悉的、简单的、基本的研究对象的思维方法称为转化的思想方法。这种思想方法是立体几何中最重要的思想方法，贯穿在立体几何教学的始终。立体几何中转化的思想方法主要体现在如下几个方面：

1、间问题向平面问题转化
　　将空间问题转化为熟知的平面问题是研究立体几何问题最重要的数学方法之一。如线面垂直的判定定理转化为三角形全等的平面几何问题；教材中的几种多面体和旋转体的侧面积公式的推导（除球面和球冠外）、侧面上最短线问题都是通过侧面展开转化为平面几何问题；旋转体的有关问题不也是转化为关于轴截面的平面几何问题吗？其实，立体几何中的三种角（线线角、线面角、二面角）和四种距离（线线距、点面距、线面距、面面距）从定义到具体的计算以及三垂线定理都体现了空间到平面的转化。

2、位置关系的转化

线线、线面、面面平行与垂直的位置关系既互相依存，又在一定条件下不仅能纵向转化：线线平行（或垂直） 线面平行（或垂直） ; 面面平行（或垂直），而且还可以横向转化：线线、线面、面面的平行 ; 线线、线面、面面的垂直。这些转化关系在平行或垂直的判定和性质定理中得到充分体现。平行或垂直关系的证明（除少数命题外），大都可以利用上述相互转化关系去证明。

3、位置关系中的定性与定量的转化

立体几何中对点、线、面在空间中特定位置关系的研究是从定性和定量两个方向进行的。这两者既有联系又有区别，在一定条件下还可以互相转化。 线线、线面、面面平行,这些定性描述,表示线线、线面、面面的成角是0°,反之则不然；线线、线面、面面的成角是90°，这些量的结果，则反映了它们的垂直关系，反之亦然。可见教材中深刻地蕴含着位置关系中的定性与定量的转化关系。

4、体积问题中的转化
　　研究简单几何体体积问题的过程中，利用祖暅定理，将一般柱体体积问题转化为长方体体积问题，一般锥体体积问题转化为三棱锥体积问题，从而推导出柱体和锥体体积公式等。三棱锥体积公式推导过程中，“补法”和“割法”的先后运用，台体的体积，即补台成锥。所展示的割补转化；利用四面体、平面六面体等几何体体积的自等性，以体积为媒介沟通有关元素间的联系，从而使问题获解的等积转化等，均是转化的思想方法在体积问题中的体现。

所有上述这些都充分展现了转化的思想方法在立体几何中的“用武之地”。教学中的适时揭示与恰当运用，确能强化学生思维的目标意识，增强思维的敏捷性和灵活性，提高学习效率。

二、分类的思想方法

分类的思想方法在数学中较为普遍。如立体几何中的一些知识和问题：空间两直线的位置关系分为相交、平行、异面三种；线面、面面的位置关系以它们公共点的多少为标准分别分为相交、平行、线在面内的三种和平行、相交两种，而对于相交的情形，根据其交角是否为直角又分为斜交和直交两种；简单几何体可划分为柱体、锥体、台体和球四类，每一类（除球外）又可分为若干个子类；教学直线和平面所成的角时，要分直线和平面斜交、直线和平面垂直、直线和平面平行或直线在平面内三种情况加以说明。教学中，不失时机地揭示并帮助学生运用分类的思想方法，有助于学生全面系统地归纳整理，消化知识，亦有益于训练思维的条理性和严密性，发展思维能力。   

三 、运动变化的思想方法

运动变化的思想方法是数学中重要的思想方法。运用它易于提示概念的本质，便于认识事物的性质，发现规律。立体几何中，不少的知识和问题蕴含着这一思想方法。如圆柱、圆锥、圆台、球面和旋转面的含义；二面角可看作是一个半平面以其棱为轴旋转而成的；圆柱（或圆锥）亦可看作是当圆台上底面半径和下底面半径相等（或缩小到其半径等于零）时，转化而成的。教学线面平行的性质时，在定义的条件下，让该直线和平面运动起来，在运动中保持不变的性质就是线面平行的性质。研究平面图形折叠问题时，需要从运动变化的角度出发，弄清图形中涉及的元素在折叠前后的数量及位置关系的变化等。教学实践表明，有意识而及时地对这一思想方法的揭示与渗透，可使学生对知识的理解更深刻，运用更得心应手，思维能力得到发展，同时使学生受到辩证唯物主义教育。

四、数与方程的思想方法

函数与方程的思想方法渗透到中学数学的全过程，具有广泛应用性。它们是根据问题的数量特征及其相互关系设定变量，建立函数关系或方程，通过对函数性态或方程的研究而求得原问题的解的一种思维方法。

 函数与方程的思想方法在立体几何中亦大有“用武之地”。如立体几何中求某些量的最值问题大都需要用函数的思想方法去处理，多面体和旋转体的表面积与体积的计算中，也经常要用方程的思想方法去解决有关问题。教学中适时启发和引导学生用函数与方程的思想方法去思考和解决问题，有利于学生将某些研究对象或实际问题转化为数学问题的意识和习惯的形成，同时学生分析、解决问题的能力也必将得到提高。  

五、类比的思想方法

所谓类比的思想方法，就是将生疏的问题和熟知的问题进行比较，对生疏的问题作出猜想，并由此寻求问题的解决途径或结论。它是中学数学中重要的思想方法之一。

立体教学中，类比的思想方法被广泛采用。由平面上直线a∥b，b∥a∥c，可类比出空间内的平面α∥β，β∥γ; α∥γ；与平行四边形类比可得到平行六面体的不少类似性质；球与圆类比可推出两球相切等球的有关性质；“面面垂直”与“线线垂直”，四面体与三角形均有较多的类比性质等，都是类比的思想方法获得运用的体现与展示。教学中，随时注意帮助学生掌握和善于运用类比的思想方法，可起到巩固旧知识，加速对新知识的理解和记忆力。当然，类比仅是一种猜测，其正确性尚须论证。在教学过程中，注意启发和诱导学生将空间问题和数量关系、位置结构相似的平面问题进行类比，可以开拓学生的思路，诱发灵感，增强数学发现能力，同时还可以沟通知识间的联系，帮助学生建立良好的认知结构。