神马文学网数学思想
来源：百度文库 编辑：神马文学网 时间：2024/04/25 18:31:06
介绍数学分析内容体系中体现的函数＼极限＼连续＼可导＼积分＼级数思想的产生，发展，内涵，本质及应用
微积分的诞生，是全部数学史上的一个伟大创举．它曾经历了两千多年的孕育和准备阶段；随着十六、十七世纪欧洲的文艺复兴、产业革命等一系列社会改革，社会生产得到了具大的发展，从而对数学的需求更加迫切，微积分也应运而生；经过十八、十九世纪数学家们的努力，使微积分逐步趋于完善，并发展成为今天具有广泛应用的庞大的基础数学分支学科——数学分析。
我们在本书中介绍的主要内容是：数学分析内容中体现的数学思想、蕴涵的哲学思想，数学分析内容中常用的数学思想、数学分析中的美学思想以及在创立微积分的过程中作出了卓越贡献的数学家所采用的思想和方法，
第一部分 数学分析内容中体现的数学思想
一、函数的思想
“用函数来思考”是大数学家克莱因领导的数学教育改革运动的口号。函数是数学中最重要的基本概念，也是数学分析的研究对象。函数的思想，就是运用函数的方法，必要时引入辅助函数，将常量视为变量、化静为动、化离散为连续，将所讨论的问题转化为函数问题加以解决的一种思想方法。
1．函数概念的产生与发展
（1）函数概念的起源
函数概念的萌芽，可以追溯到古代对图形轨迹的研究，随着社会的发展，人们开始逐渐发现，在所有已经建立起来的数的运算中，某些量之间存在着一种规律：一个或几个量的变化，会引起另一个量的变化，这种从数学本身的运算中反映出来的量与量之间的相互依赖关系，就是函数概念的萌芽。在代数学的方程理论中，对不定方程的求解，使得人们对函数概念逐步由模糊趋向清晰。
（2）函数概念的产生
恩格斯指出：“数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学” 。笛卡儿在1637年出版的《几何学》中，第一次涉及到变量，他称为“未知和未定的量”，同时也引入了函数的思想。英国数学家格雷果里在1667年给出的函数的定义，被认为是函数解析定义的开始。他在“论圆和双曲线的求积”中指出：从一些其他量经过一系列代数运算或任何其他可以想象的运算而得到的一个量。这里的运算指的是五种代数运算以及求极限运算，但这一定义未能引起人们的重视。
一般公认最早给出函数定义的是德国数学家莱布尼兹，他在1673年的一篇手稿中，把任何一个随着曲线上的点变动而变动的几何量，如切线、法线、点的纵坐标都称为函数；并且强调这条曲线是由一个方程式给出的。莱布尼兹又在1692年的论文中，称 幂的 、 、 等为 的幂数，把幂与函数看作同义语，以后又用“函数”表示依赖于一个变量的量。
（3）函数概念的扩张
函数概念被提出后，由于微积分学的发展，函数概念也不断进行扩张，日趋深化。致使函数概念日趋精确化、科学化。函数概念在发展过程中，大致经过了以下几个阶段的扩张。
第一次扩张主要是解析扩张，提出了“解析的函数概念”。瑞士数学家约翰．伯努利于1698年给出了函数新的定义：由变量 和常量用任何方式构成的量都可以叫做 的函数。这里的“任何方式”包括了代数式子和超越式子。1748年欧拉在《无穷小分析引论》中给出的函数定义是：“变量的函数是一个解析表达式，它是由这个变量和一些常量以任何方式组成的”。1734年欧拉还曾引入了函数符号 ，并区分了显函数和隐函数、单值函数和多值函数、一元函数和多元函数等。在十八世纪占主要地位的观点是，把函数理解为一个解析表达式(有限或无限的)。
函数概念的第二次扩张是从几何方而的扩张，提出了“几何的函数概念”。十八世纪中期的一些数学家发展了莱布尼兹将函数看作几何量的观点，而把曲线称为函数(因为解析表达式在几何上表示为曲线)。达朗贝尔在1746年研究弦振动问题时，提出了用单独的解析表达式给出的曲线是函数，后来欧拉发现有些曲线不一定是由单个解析式给出的，因此提出了一个新的定义，函数是：“ 平面上随手画出来的曲线所表示的 与 的关系”。即把函数定义为由单个解析式表达出的连续函数，也包括由若干个解析式表达出的不连续函数（不连续函数的名称是由欧拉提出的）。
函数概念的第三次扩张，朴素地反映了函数中的辩证因素，体现了“自变”到“因变”的生动过程。形成了“科学函数定义的雏型”。1775年，欧拉在《微分学》一书中，给出了函数的另一定义：“如果某些变量，以这样一种方式依赖于另一些变量，即当后者变化时，前者也随之变化，则称前面的变量为后面变量的函数”。值得指出的是，这里的“依赖”、“随之变化”等等的含义仍不十分确切。这个定义限制了概念的外延，它只能算函数概念的科学雏型。在这次函数概念的扩张中，十九世纪最杰出的法国数学家柯西在1821年所著的《解析教程》中，给出了如下函数定义：“在某些变量间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变量的值，其他变量的值也随之确定，则将最初的变量称为自变量，其他各个变量称为函数”。这个定义把函数概念与曲线、连续、解析式等纠缠不清的关系给予了澄清，也避免了数学意义欠严格的“变化”一词。函数是用一个式子或多个式子表示，甚至是否通过式子表示都无关要紧。
函数概念的第四次扩张，可称为“科学函数定义”进入精确化阶段。德国数学家狄利克雷于1837年给出了函数定义：“若对x(a≤x≤b)的每一个值，y总有完全确定的值与之对应，不管建立起这种对应的法则的方式如何，都称y是x的函数”。这一定义彻底地抛弃了前面一些定义中解析式的束缚，强调和突出函数概念的本质，即对应思想，使之具有更加丰富的内涵。因而，此定义才真正可以称得上是函数的科学定义，为理论研究和实际应用提供了方便。狄利克雷还给出了著名的函数（人们称为狄利克雷函数），这个函数是难以用简单的包含自变量x的解析式表达的，但按照上述定义的确是一个函数。为使函数概念适用范围更加广泛，人们对函数定义作了如下补充：“函数y=f(x)的自变量，可以不必取[a,b]中的一切值，而可以仅取其任一部分”，换句话说就是x的取值可以是任意数集，这个集合中可以有有限个数、也可以有无限多个数，可以是连续的、也可以是离散的。这样就使函数成了一个非常广泛的概念。但是，自变量及函数仍然仅限于数的范围，而且也没有意识到“函数”应当指对应法则本身。
函数概念的第五次扩张，提出了“近代函数定义”。出现了美国数学家维布伦的函数定义，这个定义是建立在重新定义变量、变域和常量的基础上的。所谓变量，是代表某集合中任意一个“元素”的记号，由变量所表示的任一元素，称为该变量的值。变量x代表的“元素”的集合,为该变量的变域，而常量是上述集合中只包含一个“元素”情况下的特殊变量。这样的变量与常量的定义，比原来的定义更趋一般化了，而且克服了以往变量定义的缺陷，变量“变动”改进为变量在变域（集合）中代表一个个元素。利用这一变量的定义，维布伦给出了近代函数定义：“设集合X、Y，如果X中每一个元素x都有Y中唯一确定的元素y与之对应，那么我们就把此对应叫做从集合X到集合Y的映射,记作f：X Y，y=f(x)”。映射的特殊情况，从数集到数集的映射就是前面狄利克雷的函数定义；从“数集”到“集”仅一字之差，但含意却大不相同。从而使函数概念摆脱了数的束缚，使得函数概念能广泛地应用于数学的各个分支及其它学科中。
函数概念的第六次扩张，提出了“现代函数定义”。19世纪康托尔创建了集合论，函数概念进入了集合论的范畴，使函数概念纯粹地使用集合论语言进行定义。在这种情形下，函数、映射又归结为一种更为广泛的概念——关系。“设集合X、Y，定义X与Y的积集X Y如下：X Y＝{(x，y)|x X，y Y}。积集X Y中的一个子集R称为X与Y的一个关系，若(x，y) R，则称x与y有关系R,记为xR(y)；若(x，y) R，则称x与y无关系R。设 是x与y的关系，即 X Y，如果(x，y)、(x，z) ，必有y=z，那么称 为X到Y的映射或函数”。这就是现代的函数定义，它在形式上回避了“对应”术语，使用的全部是集合论的语言，一扫原来定义中关于“对应”的含义存在着的模糊性，而使函数念更为清晰、正确，应用范围更加广泛了。
2．函数概念的本质
我们以 为例分析函数概念的本质。
①在抽象出的具体函数关系中， 、 的地位与作用是不相同的。因为客观事物的联系在分割开来考察时，总有确定的因果关系。在 中， 处于主动地位，我们称自变量， 处于被动地位，我们称因变量，y与 的关系是自变量与因变量的关系，其中自变量处于主动地位，因变量处于依从地位，所以自变量的变化处于主导地位。
②y与 之间用等号连结，但不是简单的数量上相等的关系，而是变量y与 之间的等价关系。等式左右两边y与 都是依赖于 的，这是同一性；但又包含着不容忽视的差异性：左边的 我们只知道它依赖于 ，但按怎样确定的方式依赖于 ，并没有表达出来。马克思称它为“依赖于 的函数”。而右边的 是直接用 的组合表示出来的，马克思称之为“用 表示的函数”和 （用 表示的函数）之间的等价关系。只有这时左边才是右边数量的表现。因此函数 左右两边是抽象与具体的统一。左边的 是抽象的，右边的 是具体的，因此活动的主动性在右边。也就是说，对于研究函数，我们关心的是用 表示出来的具体的依赖关系。
③ 反映的是变量与变量之间的关系。但从式子本身看，我们直接得到的是状态间的关系，其中 与y之间可变性的关系虽然是变量本身所固有的，但是在关系式 中却是隐藏着的。所以函数关系是 与y之间明显的状态关系与隐藏的可变性关系的统一体，而函数关系式揭示明显状态关系是主要的方面。
根据以上分析，由第①点，自变量与因变量的主从地位中，自变量处于主导的地位，那么自变量的变化范围一一定义域与因变量的变化范围——值域中，值域是由定义域经过函数关系所决定的。因此自变量的变化范围起着主要的决定作用。这表现在数学上，将自变量的变化范围一—定义域，作为函数的基本要素之一。
由第②点分析的抽象与具体的对立统一，也就是“依赖于 的函数”与“用 表示的函数”二者的对立统一。其中“用 表示的函数”起主导作用。因为对一个函数，我们不但要了解y依赖于 ，而且更重要的是了解y按照怎样的条件所规定的关系依赖于 。要确定一个函数，只抽象地知道y依赖于 是不够的，我们的目的在于要知道y怎样具体地依赖于 。在数学上就是要确定具体的对应法则。所以对应法则是构成函数的另一个基本要素。
由此可见，函数的基本要素有两条：(1)定义域，(2)对应法则。只要这两条确定了，函数就完全确定了，抓住了这两条，就在数学上抓住了函数慨念的本质。如， 与 在数学上代表完全相同的函数，因为它们的定义域相同，对应法则也相同。至于用什么字母表示自变量、因变量并非本质问题。而 与 是不同的函数，因为对应法则虽然相同，但定义域不同。又如， 与 代表同一个函数。因为对应关系是否相同的实质不在于表达式的形式是否一样，而在于对同一个 ，是否对应着相同的y值。 同理 与 ，也代表同一个函数。
由第③点，明显的状态关系与隐藏的可变性关系中，明显的状态关系是主要方面，函数刻划运动主要是从状态方面来表现运动，是从运动的反面“静止”来度量运动，而要揭示 与 之间的可变性关系，函数工具是有局限性的，这是数学分析发展中要进一步解决的课题。
3．函数思想在数学分析中的应用
（1）以函数为桥梁，实现函数与方程、不等式间的转化
①方程与函数相比，前者是静止，后者是运动。方程的根可视为对应函数在某种特定状态下的值。当研究方程问题时，特别是证明方程根的存在性与个数时，我们可以从函数的观点出发，化静为动，这样往往可以化难为易、化繁为简。
②我们在证明不等式时，可以将不等式问题化为函数问题，为解决问题带来方便。
（2）以函数为背景，实现函数思想在数列中的应用
数列和函数相比，前者离散，后者连续。从函数的观点出发，将数列问题转化为相应的函数问题，是求数列问题的一种有效方法。
（3）化离散为连续，解决级数问题
（4）引入辅助函数，证明有关问题
二、极限的思想
极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。
所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果。
极限思想是微积分的基本思想，数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限来定义的。如果要问：“数学分析是一门什么学科?”那么可以概括地说：“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科”。
1.极限思想的产生与发展
（1）极限思想的由来.
与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的产物。极限的思想可以追溯到古代，刘徽的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对无限的恐惧”，他们避免明显地“取极限”，而是借助于间接证法——归谬法来完成了有关的证明。
到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明。如此，他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向”。
（2）极限思想的发展
极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相联系的。16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期，生产力得到极大的发展，生产和技术中大量的问题，只用初等数学的方法已无法解决，要求数学突破只研究常量的传统范围，而提供能够用以描述和研究运动、变化过程的新工具，这是促进极限发展、建立微积分的社会背景。
起初牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立微积分，后来因遇到了逻辑困难，所以在他们的晚期都不同程度地接受了极限思想。牛顿用路程的改变量ΔＳ与时间的改变量Δｔ之比ΔＳ／Δｔ表示运动物体的平均速度，让Δｔ无限趋近于零，得到物体的瞬时速度，并由此引出导数概念和微分学理论。他意识到极限概念的重要性，试图以极限概念作为微积分的基础，他说：“两个量和量之比，如果在有限时间内不断趋于相等，且在这一时间终止前互相靠近，使得其差小于任意给定的差，则最终就成为相等”。但牛顿的极限观念也是建立在几何直观上的，因而他无法得出极限的严格表述。牛顿所运用的极限概念，只是接近于下列直观性的语言描述：“如果当ｎ无限增大时，ａｎ无限地接近于常数Ａ，那么就说ａｎ以Ａ为极限”。
这种描述性语言，人们容易接受，现代一些初等的微积分读物中还经常采用这种定义。但是，这种定义没有定量地给出两个“无限过程”之间的联系，不能作为科学论证的逻辑基础。
正因为当时缺乏严格的极限定义，微积分理论才受到人们的怀疑与攻击，例如，在瞬时速度概念中，究竟Δｔ是否等于零?如果说是零，怎么能用它去作除法呢?如果它不是零，又怎么能把包含着它的那些项去掉呢?这就是数学史上所说的无穷小悖论。英国哲学家、大主教贝克莱对微积分的攻击最为激烈，他说微积分的推导是“分明的诡辩”。
贝克莱之所以激烈地攻击微积分，一方面是为宗教服务，另一方面也由于当时的微积分缺乏牢固的理论基础，连牛顿自己也无法摆脱极限概念中的混乱。这个事实表明，弄清极限概念，建立严格的微积分理论基础，不但是数学本身所需要的，而且有着认识论上的重大意义。
（3）极限思想的完善
极限思想的完善与微积分的严格化密切联系。在很长一段时间里，微积分理论基础的问题，许多人都曾尝试解决，但都未能如愿以偿。这是因为数学的研究对象已从常量扩展到变量，而人们对变量数学特有的规律还不十分清楚；对变量数学和常量数学的区别和联系还缺乏了解；对有限和无限的对立统一关系还不明确。这样，人们使用习惯了的处理常量数学的传统思想方法，就不能适应变量数学的新需要，仅用旧的概念说明不了这种“零”与“非零”相互转化的辩证关系。
到了18世纪，罗宾斯、达朗贝尔与罗依里埃等人先后明确地表示必须将极限作为微积分的基础概念，并且都对极限作出过各自的定义。其中达朗贝尔的定义是：“一个量是另一个量的极限，假如第二个量比任意给定的值更为接近第一个量”，它接近于极限的正确定义；然而，这些人的定义都无法摆脱对几何直观的依赖。事情也只能如此，因为19世纪以前的算术和几何概念大部分都是建立在几何量的概念上面的。
首先用极限概念给出导数正确定义的是捷克数学家波尔查诺，他把函数ｆ（ｘ）的导数定义为差商Δｙ／Δｘ的极限ｆ′（ｘ），他强调指出ｆ′（ｘ）不是两个零的商。波尔查诺的思想是有价值的，但关于极限的本质他仍未说清楚。
到了19世纪，法国数学家柯西在前人工作的基础上，比较完整地阐述了极限概念及其理论，他在《分析教程》中指出：“当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值，最终使变量的值和该定值之差要多小就多小，这个定值就叫做所有其他值的极限值，特别地，当一个变量的数值（绝对值）无限地减小使之收敛到极限0，就说这个变量成为无穷小”。
柯西把无穷小视为以0为极限的变量，这就澄清了无穷小“似零非零”的模糊认识，这就是说，在变化过程中，它的值可以是非零，但它变化的趋向是“零”，可以无限地接近于零。
柯西试图消除极限概念中的几何直观，作出极限的明确定义，然后去完成牛顿的愿望。但柯西的叙述中还存在描述性的词语，如“无限趋近”、“要多小就多小”等，因此还保留着几何和物理的直观痕迹，没有达到彻底严密化的程度。
为了排除极限概念中的直观痕迹，维尔斯特拉斯提出了极限的静态的定义，给微积分提供了严格的理论基础。所谓 ａｎ＝Ａ，就是指：“如果对任何ε＞0，总存在自然数Ｎ，使得当ｎ＞Ｎ时，不等式｜ａｎ－Ａ｜＜ε恒成立”。
这个定义，借助不等式，通过ε和Ｎ之间的关系，定量地、具体地刻划了两个“无限过程”之间的联系。因此，这样的定义是严格的，可以作为科学论证的基础，至今仍在数学分析书籍中使用。在该定义中，涉及到的仅仅是数及其大小关系，此外只是给定、存在、任取等词语，已经摆脱了“趋近”一词，不再求助于运动的直观。
众所周知，常量数学静态地研究数学对象，自从解析几何和微积分问世以后，运动进入了数学，人们有可能对物理过程进行动态研究。之后，维尔斯特拉斯建立的ε－Ｎ语言，则用静态的定义刻划变量的变化趋势。这种“静态——动态——静态”的螺旋式的演变，反映了数学发展的辩证规律。
2.极限思想的思维功能
极限思想在现代数学乃至物理学等学科中有着广泛的应用，这是由它本身固有的思维功能所决定的。极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系，是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用。借助极限思想，人们可以从有限认识无限，从“不变”认识“变”，从直线形认识曲线形，从量变认识质变，从近似认识精确。
无限与有限有本质的不同，但二者又有联系，无限是有限的发展。无限个数的和不是一般的代数和，把它定义为“部分和”的极限，就是借助于极限的思想方法，从有限来认识无限的。
“变”与“不变”反映了事物运动变化与相对静止两种不同状态，但它们在一定条件下又可相互转化，这种转化是“数学科学的有力杠杆之一”。例如，要求变速直线运动的瞬时速度，用初等方法是无法解决的，困难在于速度是变量。为此，人们先在小范围内用匀速代替变速，并求其平均速度，把瞬时速度定义为平均速度的极限，就是借助于极限的思想方法，从“不变”来认识“变”的。
曲线形与直线形有着本质的差异，但在一定条件下也可相互转化，正如恩格斯所说：“直线和曲线在微分中终于等同起来了”。善于利用这种对立统一关系是处理数学问题的重要手段之一。直线形的面积容易求得，求曲线形的面积问题用初等的方法是不能解决的。刘徽用圆内接多边形逼近圆，一般地，人们用小矩形的面积来逼近曲边梯形的面积，都是借助于极限的思想方法，从直线形来认识曲线形的。
量变和质变既有区别又有联系，两者之间有着辩证的关系。量变能引起质变，质和量的互变规律是辩证法的基本规律之一，在数学研究工作中起着重要作用。对任何一个圆内接正多边形来说，当它边数加倍后，得到的还是内接正多边形，是量变而不是质变；但是，不断地让边数加倍，经过无限过程之后，多边形就“变”成圆，多边形面积便转化为圆面积。这就是借助于极限的思想方法，从量变来认识质变的。
近似与精确是对立统一关系，两者在一定条件下也可相互转化，这种转化是数学应用于实际计算的重要诀窍。前面所讲到的“部分和”、“平均速度”、“圆内接正多边形面积”，分别是相应的“无穷级数和”、“瞬时速度”、“圆面积”的近似值，取极限后就可得到相应的精确值。这都是借助于极限的思想方法，从近似来认识精确的。
3．建立概念的极限思想
极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终。可以说数学分析中的几乎所有的概念都离不开极限。在几乎所有的数学分析著作中，都是先介绍函数理论和极限的思想方法,然后利用极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数的偏导数,广义积分的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分的概念。如：
（1）函数 在 点连续的定义，是当自变量的增量 时，函数值的增量 趋于零的极限。
（2）函数 在 点导数的定义，是函数值的增量 与自变量的增量 之比 ，当 时的极限。
（3）函数 在 上的定积分的定义，是当分割的细度趋于零时，积分和式 的极限。
（4）数项级数 的敛散性是用部分和数列 的极限来定义的。
（5）广义积分 是定积分 其中 为任意大于 的实数）当 时的极限，等等。
4．解决问题的极限思想
极限思想方法是数学分析乃至全部高等数学必不可少的一种重要方法，也是数学分析与初等数学的本质区别之处。数学分析之所以能解决许多初等数学无法解决的问题（例如求瞬时速度、曲线弧长、曲边形面积、曲面体体积等问题），正是由于它采用了极限的思想方法。
有时我们要确定某一个量，首先确定的不是这个量的本身而是它的近似值，而且所确定的近似值也不仅仅是一个而是一连串越来越准确的近似值；然后通过考察这一连串近似值的趋向，把那个量的准确值确定下来。这就是运用了极限的思想方法。
三、连续的思想
数学分析的研究对象是函数，主要是连续函数。因此对函数连续性的讨论是数学分析的一个重要内容。我们有必要对数学分析中连续的思想做深入地探讨。
1．连续思想的产生和发展
客观世界的许多现象和事物不仅是运动变化的，而且其运动变化的过程往往是连绵不断的，这些连绵不断发展变化的事物在量的方面的反映就是连续函数，连续函数就是刻画变量连续变化的数学模型。
16、17世纪微积分的酝酿和产生，直接开始于对物体的连续运动的研究。象伽利略所研究的落体运动、开普勒所研究的绕日运转的行星所扫描的扇形面积、牛顿所研究的“流”等都是连续变化的量。这个时期以及18世纪的数学家，虽然已经大张旗鼓地研究了连续变化的量，即连续函数，但仍停留在几何直观上，把能一笔画成的曲线所对应的函数叫做连续函数。
直到19世纪，当柯西以及维尔斯特拉斯等数学家建立起来严格的极限理论之后，才对连续函数作出了纯数学的精确表述。
2．连续思想的解释
（1）连续的直观含义
连续的直观含义就是连绵不断的，所以一个函数 在 上是一个“连续函数”的直观意义就是它的图象是一条连绵不断的曲线。若用函数值 随 的值的改变而变动的观点来说，就是当 逐渐改变时，函数 的相应变动也是逐渐的，不会有任何突增或突减的跳跃式振荡。从数量上来说，逐渐的改变也就是逐步作微小的改变，所以当我们把函数的连续性局部化到 的邻域来看时， 在 点连续的直观意义就是当 在 点的邻域内作微小变动时， 的相应函数值也在 的邻域内作微小变动。
（2）连续的精确表述
为研究函数的连续，先介绍增量的概念。
设函数 的定义域为 ，如?#####荆弊员淞看佣ǖ?变到新点 时，其差称为自变量的改变量或增量，记作 ，自然有 ；对应的函数值从 变到 ，其差称为函数的改变量或增量，记作 或 。由于新点 的改变方向以及 的增减性不同，所以 和 可能为正，也可能为负。
我们在了解了增量的概念以后，借助于极限给出函数连续的四种精确定义：
定义1：设函数 在 点的某邻域内有定义，若 ，则称函数 在 点连续。
定义2：设函数 在 点的某邻域内有定义，若 ，则称函数 在 点连续。
定义3：设函数 在 点的某邻域内有定义，若 ，则称函数 在 点连续。
定义4：设函数 在 点的某邻域内有定义，若
，则称函数 在 点连续。
函数 在 点连续的特点是：当自变量在 点的附近变化很小时，函数值 的变化也很小。
从上面的定义可以看出，函数 在 点连续的充要条件是：
①函数 在 点有定义
②当 时，左、右极限 和 存在且相等
③左、右极限等于 在 点的函数值。
若以上三个条件至少有一个不成立，则称 在 点间断。
（3）连续函数的性质
函数在一点的连续性和在区间上的连续性都是一个局部概念。函数 在 点连续，意味着 不仅在 点有极限，而且极限等于它的函数值，从而根据函数极限的局部性质，可得到连续函数的相应性质。
性质1（局部有界性）：若函数 在 点连续，则函数 在 点的某邻域 内有界。
性质2（局部保号性）：若函数 在 点连续，且 ,则函数 在 点的某邻域 内与 同号，并存在某正数 ，使得 。
性质3（四则运算法则）：若函数 、 都在 点连续，则函数 、 、 （这里 ）在 点也连续。
性质4（复合函数的连续性）：若函数 在 点连续， 在点 连续，且 ，则复合函数 在 点也连续。
性质5（反函数的连续性）：若函数 在 上严格单调且连续，则其反函数 在相应的定义域上也连续。
性质6（初等函数的连续性）：任何初等函数在它的定义域上都连续。
3．连续思想的应用
因为数学分析的研究对象主要是连续函数，因此数学分析中的许多问题都是与连续有关的。
（1）求连续变量的极限问题
求函数的极限问题是数学分析的重要内容，如果给定的函数是连续的，我们应用连续函数求极限的法则，就可以把求极限的复杂问题转化为求函数值的问题，从而大大简化了求极限的手续，我们在数学分析中遇到的大多数函数是具有连续性的初等函数。如果给定的函数不连续，我们可以通过整理、化简、变换等途径将其化归为连续函数，再利用上面的方法来求其极限。
（2）离散问题的连续化处理
（3）闭区间上连续函数的性质讨论
我们知道，函数的连续性是一个局部性质，对区间也不例外。但如果是闭区间上的连续函数，却能把局部性质转化为整体性质，象闭区间上连续函数的有界性、最大最小值性、介值性、根的存在性、一致连续性等。
（4）连续与一致连续的关系讨论
我们分析函数在区间上连续与一致连续的关系
①定义：
②相同点与不同点：
③关系：
一致连续与连续的关系是：区间上的一致连续函数一定是区间上的连续函数，但反之不然。但对于闭区间来说，一致连续与连续是等价的。
有些函数，我们可以借助极限进行连续延拓，使之成为一致连续。
（5）连续性与可导性的关系讨论
①定义：
②相同点与不同点：
③关系：
（6）连续性与可积性的关系讨论
函数在区间上的连续性在讨论函数的可积性中占据着特别重要的地位。
连续性与可积性的关系：
①区间上的连续函数一定可积
②区间上有有限个不连续点的有界函数也可积
③区间上有无限多个不连续点的单调函数也可积
④区间上有无限个不连续点的有界函数（只要间断点的测度为0）也可积
四、导数的思想
1．导数概念的引入
15世纪文艺复兴以后的欧洲，资本主义逐渐发展，采矿冶炼、机器发明、商业交往、枪炮制造、远洋航海、天象观测等大量实际问题，给数学提出了前所未有的亟待解决的新课题。其中有两类问题导致了导数概念的产生：
（1）求变速运动的瞬时速度
（2）求曲线上一点处的切线
这两类问题都归结为变量变化的快慢程度，即变化率问题。牛顿从第一个问题出发，莱
布尼兹从第二个问题出发，分别给出了导数的概念。
（1）求变速运动的瞬时速度
通常人们所说的物体的运动速度，是指物体在一段时间内的平均速度。例如：一汽车从甲地出发到达乙地，全程120公里，行驶4小时，则汽车行驶的平均速度是30公里/小时。事实上，汽车并不是每时每刻都以30公里每小时的速度行驶，这是因为，下坡时会跑得快些，上坡时会跑得慢些，也可能中途停车等等，即汽车每时每刻的速度是变化的。一般来说平均速度并不能反映汽车在某一时刻的瞬时速度。随着科学技术的发展，我们仅仅知道物体运动的平均速度是不够的，还要知道物体在某一时刻的瞬时速度。例如：研究子弹头的穿透能力必须知道弹头接触目标的瞬时速度。
下当 变化时，平均速度 也随着发生变化；当 较小时，平均速度 是物体在时刻 处“瞬时速度”的近似值，当 越小其近似程度就越好。于是，物体在时刻 的瞬时速度就是当 无限趋近于0（ ）时，平均速度 的极限。即 =
上式既是瞬时速度的定义，也给出了计算瞬时速度的方法。
（2）求曲线上一点处的切线斜率
问题：设有一条平面曲线，它的方程是 ，求过该曲线上一点 （ ）处的切线斜率？
解决方法：要求的切线斜率是一个未知量，但它并不是一个孤立的概念，它与已知的割线有着密切的关系。
为了揭示这一关系，在此平面曲线上另外任取一点 ，
设它的坐标是 ，其中
由解析几何的知识：过曲线 上两点 ， 的割线斜率为 ，当 变化时，点 在曲线上变动，割线 的斜率 也在变化。当 越来越小时，点 沿曲线逐渐趋近于点 ，割线 逐渐趋近于过点 的切线 。
于是，当 时，点 ，割线 极限位置就是过点 的切线 ，同时 的斜率 的极限就是切线 的斜率。即
上式给出了切线的定义，也给出了计算切线斜率的方法。
上述两个问题的实际意义完全不同，一个是物理学中的瞬时速度，一个是几何学中的切线斜率。但从数量关系来看，它们有着完全相同的数学结构--—函数的改变量与自变量改变量之比的极限，可归为同一类数学运算。
即：如果用函数 来表示某一现象的变化规律，则这一类型的数学运算是：
①在 给自变量一个改变量 ，得到相应函数的改变量 ，
②写出比值 ，
③求出极限 。
2．导数的定义
（1）设函数 在 的某邻域内有定义，在 处自变量 的改变量是 ，相应的函数的改变量是 ，若极限 存在，则称函数 在 点可导（或存在），此极限称为函数 在 点的导数（或微商）。记作： 或 ，
即 或
（2）如果函数 在区间 内的每一点处都可导，则称函数 在区间 内可导。这时，函数 对于区间 内的每一个 值都对应着一个确定的导数 ，则称 为函数 的导函数。即
3．导数定义的理解
（1）导数是一种特定结构的极限----比式的极限----函数的改变量与自变量改变量之比的极限。
（2）极限 存在，则称函数 在 点可导；极限 不存在，则称函数 在 点不可导。
（3）只有函数 在 点和 点的某邻域内有定义时，才能考虑函数在该点的导数，即导数 与函数 在 点及其附近的值有关。
（4）函数在一点的导数 是 在 点的局部变化率；函数在区间上可导，是用一点可导来定义的，因此仍然没有改变可导的局部性质。
（5）由导数的定义可推出：函数 在 点可导必有函数 在 点连续；但反之不然。因此连续是可导的必要条件。
（6）导函数 与一点的导数 的关系：导函数 是 的函数， 表示导函数 在 的特定值（函数 在 的函数值）。因此，求 的方法可以用定义，也可以先求出 ，再将 代替 中的 ，但不允许先将 中的 代替成 后再求导。
对分段函数在分段点的导数，我们一般用定义来求，有时还要考虑在分段点的左右导数。
4．导数思想的应用
（1）导数实际意义的应用
①如果物体运动的规律是 ，则物体在 时的瞬时速度是 在 的导数 。
②如果平面曲线的方程是 ，则曲线在点 （ ）的切线斜率 是 在 的导数 。
（2）微分中值定理及其应用
微分中值定理反映了导数更深刻的性质，也是导数应用的理论基础。微分中值定理应包括罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰劳中值定理。
在对微分中值定理的理解和掌握方面要重视以下几点：
① 微分中值定理的条件和结论各是什么？
② 当微分中值定理的条件不完全满足时，结论是否还成立？
③ 微分中值定理条件和结论的几何意义。
④ 中值点 点的存在性、唯一性、可求性讨论。
⑤ 微分中值定理证明和应用中的辅助函数构造。
⑥ 微分中值定理的作用是联系函数与函数导数的纽带，是建立函数与其导数关系的
桥梁。罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理将函数与其一阶导数进行联系，泰劳中值定理将函数与其高阶导数进行联系。
微分中值定理的应用：
①证明方程根的存在性
例1 若 在 上连续，在 内可导， ，证明在 内方程
至少存在一个根。
证明：令
显然 在 上连续，在 内可导，又
根据罗尔中值定理知，至少存在一点 ，使 ，
即在 内方程 至少存在一个根 。
②证明等式
例2 证明恒等式
证明：设
当 时，
=
故有 ,令 代入得：
故当 时，
又因为上式左端的函数在 左连续，在 右连续，分别取极限即知，当 和 时，
上式也成立。故
例3 设 在 上连续（ ），在 内可导，且 ，
证明 ，其中 在 内。
证明：对 和 在 上应用柯西中值定理得：
存在 ，使 ，即
对 在 上应用拉格朗日中值定理得： 使 ，
故
③证明不等式
例4 证明：若 都是可微函数，且当 时， ，
则当 时，
证明：令 ，由拉格朗日中值定理得： ，（ 。
当 时，由 知 ，即
亦即 ，所以 ………………….（1）
又令 ，由拉格朗日中值定理得： ，（ 。
当 时，由 知 ，即
亦即 ，所以 ……………….（2）
综合（1）、（2）可得当 时，
④证明函数与其导数之间的关系
例5 若 在 上具有二阶导数，且 ，证明在 内至少存在一点 ，使
证明：由泰劳公式
因为
取 得 ……………….（1）
取 得 ……………….（2）
由（1）—（2）得：
令 { ， }
则 ，即
例6 设函数 在 内可微，且 ，则
证明：由于 ，故任给 ，存在 ，当 时有 。
当 时，由拉格朗日中值定理得：
故 。再取 使 ，则当 时，
+
故
⑤研究函数的性态
例7 证明可导函数在其导函数为正值的区间上为单调增函数
证明：设函数 在区间 上的导数 ， 为 内任意两点，且 ，由 在区间 上可导，由拉格朗日中值定理得：
由 的任意性得出， 在区间 上单调增加。
（3）导数在求函数极限中的应用
罗必达法则是以导数为工具来解决不定式极限的常用方法。应用罗必达法则求函数极限
应注意以下几点：
①应用罗必达法则求函数的极限，一定要注意法则的条件，缺一不可。
②只有 型和 型不定式的极限才能直接应用罗必达法则，罗必达法则可连续使用，但每一步都要检验定理的条件。
③对于 型不定式的极限，要通过适当的变形，转化为 型或 型不定式的极限后才能应用罗必达法则求解。
常见的转化方法有：
对于 型不定式的极限，可化为分式的形式： 或 ，但要注意，究竟选择哪一种，要具体问题具体分析，一般将相对简单的函数拿到分母中去且使分子、分母的函数分别求导后计算简便为原则。如果选择错了，可能越做越繁，甚至求不出极限。
对于 型不定式的极限，若有分母，则用通分的方法，化成 型或 型不定式；若无分母，一般应通过变形或变量代换使其含有分母，再用通分的方法化成 型或 型不定式。
对于 型的不定式的极限，一般应先取对数，化为 型不定式的极限，再用上述方法求解。但要注意，在求得 后，还要求出 的数值。
④罗必达法则是求不定式极限的一种有效的方法，但不是万能的方法。对某些 型或 型不定式的极限，虽然满足条件，但采用罗必达法则求解时不一定能求出极限，这时罗必达法则失效，应考虑采用别的方法来求。
（4）导数在研究函数性态中的应用
① 讨论函数的单调性
② 求函数的极值与最值
③ 讨论函数的凸凹性
④ 求函数的拐点
⑤ 求函数的渐近线
⑥ 描绘函数的图象。
五、微分的思想
1．微分思想的产生和发展
为求物体运动的速度、变量变化的极值以及曲线的切线等问题，导致了微分思想的产生。
在微分思想的产生和发展过程中，伽利略的运动观点，费尔玛求切线、求极值的方法以及巴罗把“求切线”与“求积”问题作为互逆问题的联系，都为微分思想奠定了基础。
17世纪牛顿明确提出了导数（增量之比的极限），莱布尼兹尝试给出了微分的定义。
18世纪欧拉、柯西、魏尔斯特拉斯等人将微分概念精确化，使得微分的现代形式最终完成。
2．微分思想的解释
在微分学中有两个基本问题：变化率问题和增量问题。我们知道，函数 在点 的导数 表示该函数在点 处的变化率，它是描述函数变化性态的一个局部概念。
有时我们需要计算函数 ，当自变量在 处有一个微小改变量 时，函数改变量 的大小。
往往是 的一个较复杂的函数，要精确计算它是困难的，甚至是不可能的；并且我们在理论研究和实际应用中，往往只需要了解 的近似值就可以了。因而计算函数改变量 的近似值就显得特别重要。
人们把解决上述问题的出路放在将 线性化，用 的线性函数来近似代替它，这就是引入微分的基本想法。
具体过程如下：
设函数 ，当自变量 在 处获得一增量 时，函数 也获得相应的增量 。
一般是 的一个较复杂的函数，记为 。直接计算 往往很困难，于是希望用 的线性函数 （ 与 无关）来近似代替 ，使对 的计算得以简化。同时，又要使产生的误差与 相比可以忽略不计。即 （*）
（ 是因变量， 是自变量）一般是曲线，而 = 是直线，因此微分的基本思想就是以直代曲。
又由（*）式成立，可得 ，得 ，
故 ，亦即
上式左端函数表示的是曲线 ，右端表示的是曲线 在点 处的切线。因此上面提到的以直代曲就是局部地以曲线的切线来代替该曲线，这就是微分的思想。
我们定义函数 在 点的微分为：
可见，函数 在 点的微分有两个特点：
①它是自变量增量 的线性函数，
②它与函数增量之差： 是比 更高阶的无穷小。
根据上述两个特点，当 时，就可以用微分 来近似表示增量 ，即 ，当 越小，其近似程度就越好。这一近似等式是应用微分思想解决近似计算和误差估计等实际问题的基础。
微分的几何意义：函数 在 点的微分等于曲线 在点 处的切线纵坐标的增量。（如图）
3．导数与微分的联系与区别
导数与微分是微分学中的两个最基本的概念。
它们之间的联系与区别为：
一方面，可导与可微是等价的，若求出了函数在一点的导数，再乘以 即得该点的微分；若求出了函数在一点的微分，再除以 即得该点的导数；因此导数又叫做微商。
另一方面，从她们的来源和结构来看，导数作为有确定结构的差商的极限，比微分的概念更为基础；但又由于一个导数可以表示为两个微分之商，因此在分析运算中，微分表现出更大的灵活性与适应性。
微分是研究函数的一个重要工具，因为研究函数的各种问题都会涉及到函数的增量，而微分是 的线性函数且微分代替增量的误差是一个比 更高阶的无穷小（或者说当 时，微分 与增量 是等价的无穷小）。
4．微分思想的应用
函数 的微分 是计算函数改变量 的数学模型。微分可用于求函数改变量 的近似值。即 。微分也可用于计算函数值的近似值。即 ，就是计算函数 在点 附近点 + 处函数值的近似计算公式。
例 计算 的近似值（用两种解法），并简述作近似计算的原则
解：（法1）
令
则
（法2）
令
则
分析：我们知道 的前5为精确数值为4.6416
由法1，|4.6416-4.7500|=0.1084
由法2，|4.6416-4.6667|=0.0251
由此可知，为微分方法作近似计算的原则是：
① 使 易算，②使 ，且尽可能小。
六、积分的思想
1．积分思想的产生与发展
为了解决求物体运动的路程、变力作功以及由曲线围成的面积和由曲面围成的体积等问题，导致了积分的产生。
积分思想源远流长。古希腊德莫克利特的“数学原子论”、阿基米德的“穷竭法”、刘徽的“割圆术”都是积分思想的雏形，并且用这些方法求出了不少几何形体的面积和体积；然而这些古代方法都建立在特殊的技巧之上，不具有一般性，也不是以严密的理论为基础的。
随着数学科学的发展，借助于生产力空前发展的强大推动，出现了开普勒的“同维无穷小方法”、卡瓦列利的“不可分量法”、费马的“分割求和方法”，到17 世纪终于发生了由量变到质变的飞跃。牛顿与莱布尼兹揭示了微分与积分的内在联系--微积分基本定理，从而产生了威力无比的微积分，使数学从常量数学跨入变量数学，开创了数学发展的新纪元。
2．积分思想的理解
（1）定积分的定义
设 是定义在区间 上的有界函数，用点 将区间 任意分成 个子区间 （ ），这些子区间及其长度均记作 （ ）。在每个子区间 上任取一点 ，作 个乘积 的和式 ，
如果当最大的子区间的长度 时，和式 的极限存在，并且其极限值与 的分法及 的取法无关，则称 在区间 上可积，此极限值称为 在区间 上的定积分，记作 ，即 =
（2）定积分是一种新型的极限
定积分是一种特殊的极限，这种极限不同于数列的极限也不同于函数的极限。它是一种复杂的和式的极限，对于体现自变过程的变量 的每一个值，不仅区间 的分法有无穷多种，而且对于每一个分法，介点 也有无穷多种取法，因而相应的和式 一般有无穷多个值。但它仍然有着与数列极限、函数极限的本质上的相同之处，即当 无限变小时，相应的一切和式 与某一定数 的距离： 能够变得并保持任意的小。
（3）定义中对区间 无限细分的理解
在定积分的定义中，和式 的极限是指在积分区间 无限细分情形下的极限， 是指 （ ）中的最大值趋于0，正是表达了对积分区间 无限细分。当然，当积分区间 无限细分时，小区间的个数 一定无限增加，即 ；但反之，当小区间的个数 无限增加，即 时，并不能保证积分区间 无限细分。
（4）决定可积函数积分值的因素
函数 在区间 上的和式 的值，一般依赖于四个因素：函数 、区间 、区间 的分法、 的取法。
但当 在区间 上可积，即 存在时，则不依赖于区间 的分法与 的取法；因此只与函数 和区间 两个因素有关。故在可积的条件下，当我们用定义来求某函数在指定区间 上的定积分时，往往可以取一个特殊的分法（如 等分 ），取 为 内的特殊点（如左或右端点）。
因为定积分 只与函数 和区间 有关，故与积分变量的字母无关，因而 = = 。当 、 为常数时定积分 是一个常数。
（5）定积分可以作为定义函数的一种新的工具
我们知道连续函数 的变上限积分 是 的一个原函数，又知道某些函数的原函数并不是初等函数。如椭圆积分 就不是初等函数，这时我们就把这个积分本身，作为此函数的定义，以此为出发点来研究函数。有时，积分本身是我们熟悉的函数也可以这样做，这既开阔了思路，又增加了函数的一种等价定义，如我们可以把函数 作为对数函数 的定义等。
（6）定积分的存在性
在对积分思想的理解中，还有两个问题值得考虑：可积的函数应当满足什么条件？满足什么条件下的函数一定可积？即什么函数不可积？什么函数可积？
下面几个结论回答了这样的问题：
① 可积函数必有界，有界函数不一定可积，无界函数一定不可积。
② 区间 上的连续函数一定可积
③ 区间 上的有有限个间断点的有界函数一定可积
④ 区间 上的单调函数一定可积
3．积分思想中的辩证法
定积分作为和式的极限，是解决广泛的求总量问题的数学模型。为什么大多数求总量的问题，初等数学无法解决，而定积分能迎刃而解呢？这是因为求定积分的方法是辨证的方法，与“总量”一类问题本身所固有的辨证内容相吻合。恩格斯曾指出：“初等数学，即常数的数学，是在形式逻辑的范围内活动的，至少总的说来是这样；而变量数学，其中最重要的部分是微积分，本质上不外是辩证法在数学方面的运用。而辩证法突破了形式逻辑的狭隘界限，所以它包含着更广的世界观的萌芽。”
（1）初等数学不能解决的求总量的问题包含着初等数学不能解决的“变与不变”的矛盾。但在局部范围内“变与不变”这种相互矛盾的双方又可以统一，从而可以通过化整为零，在局部范围内用初等数学的方法求出部分量的近似值，再把这 个部分量的近似值用初等数学的方法加起来，便得到总量的近似值，我们必须对总量无限细分（即当 ，同时 ）时，总量的近似值才能转化为总量的精确值。可见求定积分的过程体现了整体与局部、总量与部分量、变与不变、近似与精确、量变与质变等矛盾的对立统一。
（2）求定积分的过程一般分为四步：第一步，将初等数学不能计算的总量 任意“分割”成 个部分量 ；第二步，在局部范围 上通过“以不变代变”，用初等数学中的乘法求出部分量 的近似值 ；第三步，用初等数学中的有限项加法求和式 ，得到总量 的近似值；第四步，通过“取极限”，将总量的近似值转化为总量的精确值，即
在求定积分的过程中，我们使用了超越初等数学的新运算，对和式 取极限，对和式取极限就是进行无限项相加，这是初等数学所不能胜任的。由于 ，同时 时，一方面，使和式 中的每一个积分元素 转化为总量 的微分 ， 相对于 趋于消失。这是对总量 的否定，这一次否定是在保持函数关系 不变的条件下进行的，否定的结果，得出了 。另一方面通过积分，使有限项相加转化为无限项相加，即求无穷多个微分之和，这又是对微分 的否定，这一次否定是在保持求和 的条件下进行的，否定的结果，得出了总量 ，即定积分 。可见求定积分的过程体现了否定之否定的思想。
由以上分析可以知道，定积分是微分的无限积累，或者说定积分是无限个无穷小量之和。符号 的意思是求和，莱布尼兹将“和”（summa）的头一个字母s拉长，并附之以上、下限 和 ，用于表示对微分 在区间 上的无限累加。
4．不定积分与定积分的比较
从定义的泛指而言，一个定义在 上的函数 的不定积分是其原函数的一般表达式，而 在 上的定积分是Riemann和 的极限。
不定积分与定积分是完全不同的两个概念，函数在所讨论区间上的Riemann和的极限的存在性不取决于该函数的不定积分的存在性，函数在所讨论区间上的不定积分的存在性也不取决于该函数的Riemann和的极限的存在性。
具体讨论如下：
（1）函数可积不一定该函数存在原函数
由微积分基本定理，我们知道，当 在 上可积时，对于任意的 ，函数 必在 上连续。
但函数连续只是可导的必要条件，而非充分条件。因此 未必可导，即 不一定是 的原函数。如 只有一个间断点，所以在任何区间上都可积，然而对于任意的 ， 在 点不可导。因此 在包含原点的任何区间上都没有原函数。
（2）函数有原函数但该函数不一定可积
例如，函数 ，易知 在闭区间 上各点都可导，且 ，即 在闭区间 上有原函数 。但由于 在闭区间 上有无界点 ，故 在 上不可积。
（3）不定积分与定积分可以相互转化
在一定的条件下，不定积分与定积分是有联系并且可以相互转化的。这里所说的条件，就是函数在所讨论的区间上连续。即：函数连续是该函数既有原函数又可积的充分条件
因为，若 在 上连续，则由微积分基本定理知，对于任意的 ， 为 的一个原函数；又由可积函数类知， 在 上是可积的。
（4）函数的连续性不是该函数存在原函数的必要条件
例如，函数 与
当 时有 ，即 在 上是 的原函数。
但由于
因此，当 时， 在 上是 的原函数； 当 时，函数 在 上不连续（ 为间断点），但当 时， 却仍有原函数。
5．定积分的应用
(1) 用微元法来建立所求量的积分表达式
在定积分的应用中，经常采用微元法来建立所求量的积分表达式。
如果某实际问题中的所求量 符合下列条件：① 是一个与变量 的变化区间 有关的量。② 对于区间 具有可加性，即如果把区间 分成许多部分区间，那么 是对应于各部分区间上的那些部分量 的和。③部分量 可以近似地等于 。
一般地，采用微元法写出 的积分表达式的步骤如下：
1）根据实际问题，选取一个变量，例如 ，作为积分变量，并确定它的积分区间
2）把区间 分成许多小区间，在具有代表性的小区间 上，求出相应的部分量 的近似值，如果 可以近似地表示成 的函数 与 的乘积，并且 与 仅相差一个比 高阶的无穷小量，就把 叫做量 的微元，记做 ，即 =
3）以所求量 的微元 作为被积表达式，在区间 上积分得 。这就是所求量 的积分表达式。
例 求由曲线 、直线 及 轴所围成的曲边梯形绕 轴旋转所得旋转体的体积
解：在 的变化范围 内任取相邻两点 和 ，
过这两点作 轴的垂面将旋转体截割出一个厚度为 的薄片，
那么以 为半径的圆作为底面、 作高的薄圆柱的
体积即为旋转体的体积微元 ，即 。
于是旋转体的体积为
（2）定积分的几何应用与物理应用
① 求平面图形的面积，②求已知截面面积的立体的体积，③求旋转体的体积，④求曲
线的弧长，⑤求旋转曲面的面积，⑥求变力所作的功等等。
七、级数的思想
1．级数理论的意义
级数理论是数学分析的重要组成部分。是研究函数的重要工具，级数是产生新函数的重要方法，同时又是对已知函数表示、逼近的有效方法，在近似计算中发挥着重要作用。
我们在建立定积分概念的同时，引入变上限积分定义出了一类新函数，使我们认识到除了初等函数之外的函数类；有了级数理论后，使我们的眼界进一步开阔了，认识到了更广泛的非初等函数类型。
级数理论的功能并不仅仅在于引进非初等函数，更重要的是给出了研究这些函数的有效方法，而且即使是初等函数，给出了它们的级数形式，有时会更便于研究它们的性质。
我们知道，泰劳公式是用有限项的多项式近似表示函数，它对于研究函数的局部逼近和整体逼近有着重要意义，在此基础上和一定的条件下，我们可以用无穷多项的多项式来准确地表示一个函数，这就是幂级数。利用函数的幂级数展开式，对研究函数的性质和计算都有着非常重要的作用。
当然，能表示成幂级数的函数必须具备任意阶可微的条件，这对于有些性质较差的函数（如分段函数），我们就不能展开成幂级数，此时付立叶级数却能满足这样的函数的展开。
级数理论的基础仍然是极限，级数是一个无限求和的过程，它与有限求和有着根本的不同，即参与了极限运算，把极限及其运算性质移植到级数中去，就形成了级数的一些独特性质。
级数理论的第一个重要概念是收敛性。此外，级数的运算、函数项级数的一致收敛性、一致收敛级数的分析性质、函数的幂级数展开、函数的付立叶级数展开都是级数理论的基本内容。
2．数列与数项级数的关系
数列 逐项累加起来的式子 称为级数。或者说，数列 逐项累加的极限形式称为级数。
若定义级数的前 项部分和为 ，则逐项累加的极限 如果存在，则称级数 收敛，否则称为发散。
数项级数的敛散性是用部分和数列 的敛散性来定义的。所以数列极限的理论移植过来，就可以建立数项级数的一般理论。
由于级数是在有限项相加的基础上施行的极限运算，从而确切地定义了无限项相加，形成了这种特殊的形式，所以它有着比数列极限更独特的性质和意义。
下面我们讨论数列与数项级数的关系：
（1）数列 收敛，级数 不一定收敛；反之，级数 发散，数列 不一定发散。
如，数列 收敛，但级数 发散。又如，级数 发散，但数列 收敛。
（2）若级数 收敛，则数列 也收敛，且
例1 证明
证明：考虑级数 ，由正项级数敛散性的达朗贝尔判别法可判断出，该级数收敛。故由级数收敛的必要条件知：
（3）数列 收敛与级数 具有相同的敛散性
例2 证明数列 收敛
证明：我们只需证明级数 = 收敛即可。
由 知，该级数为正项级数。又由 ，
故由比较判别法知此级数收敛，从而数列 收敛
3．函数项级数一致收敛的作用
如果我们把有限个函数相加称为有限和，那么函数项级数就可称为无限和，在有限和的情形下，连续函数的和函数仍然连续，但在无限和的情形下，连续函数的和函数却不一定连续。
如函数项级数 ，它的每一项在 上都连续，但其和函数 在 上却不连续。
类似的，在有限和的情形下，逐项积分与逐项微分是成立的，但在无限和的情形下，却不一定成立。
为保证以上运算，在无限和的情形下成立，仅有收敛是不够的，因此引进了函数项级数的一致收敛性的理论。函数项级数在一致收敛的条件下，可实现函数项级数和函数的连续、逐项积分与逐项微分。
4．付立叶级数研究的基本问题
我们知道，在所有的周期运动中，以 为周期的正弦函数 描述的简谐振动最简单，这里的 表示时间， 表示在时刻 动点的位置， 角频率， 为初相。
对于一般的周期运动，如果能够把它分解成有限个或无限个不同频率的简谐振动的迭加，那么就可以通过简单的简谐振动来研究复杂的周期运动了。这就是说，我们要讨论周期函数 能否表示成如下形式：
……………………………………..（*）
如果令 ，则 。
故（*）式右边的级数可改写为 ………..（**）
这种形式的函数项级数就称为三角级数。
如何作出形如（**）的三角级数？在什么样的条件下，所作出的三角级数收敛且收敛于函数 ？这就是付立叶级数研究的基本问题。
在上述研究的基础上，进一步研究：以 为周期的函数在什么条件下能够作出付立叶级数？付立叶级数的收敛性如何？非周期函数能否展成付立叶级数以及如何展开？展开的付立叶级数的收敛性又如何？等等问题。
5．级数理论的应用
（1）证明数列的极限等于0
例1 证明 ，
证明：考虑数项级数 ，由于 ，故由达朗贝尔判别法知：级数 收敛。故
（2）表示函数及讨论函数的性质
例2 讨论函数 的定义域，连续性，并计算
解：由于 ，
由达朗贝尔判别法知：当 时 ，级数收敛；当 时 ，级数发散；当 时级数为 发散。因此函数 的定义域为
对任意的 ，总存在 ，使 ，有
而级数 收敛，由 判别法知，级数 在 上一致收敛，又 在 上连续，故由函数项级数和函数的连续性定理知： 在 上连续，从而在 点连续。
由 的任意性，故 在 上连续。
应用函数项级数和函数的逐项积分定理得： = =
= =
（3）求近似值
例3 求定积分 的近似值，使误差不超过
解：因为 ，
对这个幂级数在 上逐项积分，得： = ，
上式右端是一个交错级数，它的第八项 。
所以，如果保留前7项，其误差不超过 。通过对前7项的计算得： 0.7468
（4）求不定式的极限
例4 求极限
解：因为 =
即
所以 = = 。
微积分的诞生，是全部数学史上的一个伟大创举．它曾经历了两千多年的孕育和准备阶段；随着十六、十七世纪欧洲的文艺复兴、产业革命等一系列社会改革，社会生产得到了具大的发展，从而对数学的需求更加迫切，微积分也应运而生；经过十八、十九世纪数学家们的努力，使微积分逐步趋于完善，并发展成为今天具有广泛应用的庞大的基础数学分支学科——数学分析。
我们在本书中介绍的主要内容是：数学分析内容中体现的数学思想、蕴涵的哲学思想，数学分析内容中常用的数学思想、数学分析中的美学思想以及在创立微积分的过程中作出了卓越贡献的数学家所采用的思想和方法，
第一部分 数学分析内容中体现的数学思想
一、函数的思想
“用函数来思考”是大数学家克莱因领导的数学教育改革运动的口号。函数是数学中最重要的基本概念，也是数学分析的研究对象。函数的思想，就是运用函数的方法，必要时引入辅助函数，将常量视为变量、化静为动、化离散为连续，将所讨论的问题转化为函数问题加以解决的一种思想方法。
1．函数概念的产生与发展
（1）函数概念的起源
函数概念的萌芽，可以追溯到古代对图形轨迹的研究，随着社会的发展，人们开始逐渐发现，在所有已经建立起来的数的运算中，某些量之间存在着一种规律：一个或几个量的变化，会引起另一个量的变化，这种从数学本身的运算中反映出来的量与量之间的相互依赖关系，就是函数概念的萌芽。在代数学的方程理论中，对不定方程的求解，使得人们对函数概念逐步由模糊趋向清晰。
（2）函数概念的产生
恩格斯指出：“数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学” 。笛卡儿在1637年出版的《几何学》中，第一次涉及到变量，他称为“未知和未定的量”，同时也引入了函数的思想。英国数学家格雷果里在1667年给出的函数的定义，被认为是函数解析定义的开始。他在“论圆和双曲线的求积”中指出：从一些其他量经过一系列代数运算或任何其他可以想象的运算而得到的一个量。这里的运算指的是五种代数运算以及求极限运算，但这一定义未能引起人们的重视。
一般公认最早给出函数定义的是德国数学家莱布尼兹，他在1673年的一篇手稿中，把任何一个随着曲线上的点变动而变动的几何量，如切线、法线、点的纵坐标都称为函数；并且强调这条曲线是由一个方程式给出的。莱布尼兹又在1692年的论文中，称 幂的 、 、 等为 的幂数，把幂与函数看作同义语，以后又用“函数”表示依赖于一个变量的量。
（3）函数概念的扩张
函数概念被提出后，由于微积分学的发展，函数概念也不断进行扩张，日趋深化。致使函数概念日趋精确化、科学化。函数概念在发展过程中，大致经过了以下几个阶段的扩张。
第一次扩张主要是解析扩张，提出了“解析的函数概念”。瑞士数学家约翰．伯努利于1698年给出了函数新的定义：由变量 和常量用任何方式构成的量都可以叫做 的函数。这里的“任何方式”包括了代数式子和超越式子。1748年欧拉在《无穷小分析引论》中给出的函数定义是：“变量的函数是一个解析表达式，它是由这个变量和一些常量以任何方式组成的”。1734年欧拉还曾引入了函数符号 ，并区分了显函数和隐函数、单值函数和多值函数、一元函数和多元函数等。在十八世纪占主要地位的观点是，把函数理解为一个解析表达式(有限或无限的)。
函数概念的第二次扩张是从几何方而的扩张，提出了“几何的函数概念”。十八世纪中期的一些数学家发展了莱布尼兹将函数看作几何量的观点，而把曲线称为函数(因为解析表达式在几何上表示为曲线)。达朗贝尔在1746年研究弦振动问题时，提出了用单独的解析表达式给出的曲线是函数，后来欧拉发现有些曲线不一定是由单个解析式给出的，因此提出了一个新的定义，函数是：“ 平面上随手画出来的曲线所表示的 与 的关系”。即把函数定义为由单个解析式表达出的连续函数，也包括由若干个解析式表达出的不连续函数（不连续函数的名称是由欧拉提出的）。
函数概念的第三次扩张，朴素地反映了函数中的辩证因素，体现了“自变”到“因变”的生动过程。形成了“科学函数定义的雏型”。1775年，欧拉在《微分学》一书中，给出了函数的另一定义：“如果某些变量，以这样一种方式依赖于另一些变量，即当后者变化时，前者也随之变化，则称前面的变量为后面变量的函数”。值得指出的是，这里的“依赖”、“随之变化”等等的含义仍不十分确切。这个定义限制了概念的外延，它只能算函数概念的科学雏型。在这次函数概念的扩张中，十九世纪最杰出的法国数学家柯西在1821年所著的《解析教程》中，给出了如下函数定义：“在某些变量间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变量的值，其他变量的值也随之确定，则将最初的变量称为自变量，其他各个变量称为函数”。这个定义把函数概念与曲线、连续、解析式等纠缠不清的关系给予了澄清，也避免了数学意义欠严格的“变化”一词。函数是用一个式子或多个式子表示，甚至是否通过式子表示都无关要紧。
函数概念的第四次扩张，可称为“科学函数定义”进入精确化阶段。德国数学家狄利克雷于1837年给出了函数定义：“若对x(a≤x≤b)的每一个值，y总有完全确定的值与之对应，不管建立起这种对应的法则的方式如何，都称y是x的函数”。这一定义彻底地抛弃了前面一些定义中解析式的束缚，强调和突出函数概念的本质，即对应思想，使之具有更加丰富的内涵。因而，此定义才真正可以称得上是函数的科学定义，为理论研究和实际应用提供了方便。狄利克雷还给出了著名的函数（人们称为狄利克雷函数），这个函数是难以用简单的包含自变量x的解析式表达的，但按照上述定义的确是一个函数。为使函数概念适用范围更加广泛，人们对函数定义作了如下补充：“函数y=f(x)的自变量，可以不必取[a,b]中的一切值，而可以仅取其任一部分”，换句话说就是x的取值可以是任意数集，这个集合中可以有有限个数、也可以有无限多个数，可以是连续的、也可以是离散的。这样就使函数成了一个非常广泛的概念。但是，自变量及函数仍然仅限于数的范围，而且也没有意识到“函数”应当指对应法则本身。
函数概念的第五次扩张，提出了“近代函数定义”。出现了美国数学家维布伦的函数定义，这个定义是建立在重新定义变量、变域和常量的基础上的。所谓变量，是代表某集合中任意一个“元素”的记号，由变量所表示的任一元素，称为该变量的值。变量x代表的“元素”的集合,为该变量的变域，而常量是上述集合中只包含一个“元素”情况下的特殊变量。这样的变量与常量的定义，比原来的定义更趋一般化了，而且克服了以往变量定义的缺陷，变量“变动”改进为变量在变域（集合）中代表一个个元素。利用这一变量的定义，维布伦给出了近代函数定义：“设集合X、Y，如果X中每一个元素x都有Y中唯一确定的元素y与之对应，那么我们就把此对应叫做从集合X到集合Y的映射,记作f：X Y，y=f(x)”。映射的特殊情况，从数集到数集的映射就是前面狄利克雷的函数定义；从“数集”到“集”仅一字之差，但含意却大不相同。从而使函数概念摆脱了数的束缚，使得函数概念能广泛地应用于数学的各个分支及其它学科中。
函数概念的第六次扩张，提出了“现代函数定义”。19世纪康托尔创建了集合论，函数概念进入了集合论的范畴，使函数概念纯粹地使用集合论语言进行定义。在这种情形下，函数、映射又归结为一种更为广泛的概念——关系。“设集合X、Y，定义X与Y的积集X Y如下：X Y＝{(x，y)|x X，y Y}。积集X Y中的一个子集R称为X与Y的一个关系，若(x，y) R，则称x与y有关系R,记为xR(y)；若(x，y) R，则称x与y无关系R。设 是x与y的关系，即 X Y，如果(x，y)、(x，z) ，必有y=z，那么称 为X到Y的映射或函数”。这就是现代的函数定义，它在形式上回避了“对应”术语，使用的全部是集合论的语言，一扫原来定义中关于“对应”的含义存在着的模糊性，而使函数念更为清晰、正确，应用范围更加广泛了。
2．函数概念的本质
我们以 为例分析函数概念的本质。
①在抽象出的具体函数关系中， 、 的地位与作用是不相同的。因为客观事物的联系在分割开来考察时，总有确定的因果关系。在 中， 处于主动地位，我们称自变量， 处于被动地位，我们称因变量，y与 的关系是自变量与因变量的关系，其中自变量处于主动地位，因变量处于依从地位，所以自变量的变化处于主导地位。
②y与 之间用等号连结，但不是简单的数量上相等的关系，而是变量y与 之间的等价关系。等式左右两边y与 都是依赖于 的，这是同一性；但又包含着不容忽视的差异性：左边的 我们只知道它依赖于 ，但按怎样确定的方式依赖于 ，并没有表达出来。马克思称它为“依赖于 的函数”。而右边的 是直接用 的组合表示出来的，马克思称之为“用 表示的函数”和 （用 表示的函数）之间的等价关系。只有这时左边才是右边数量的表现。因此函数 左右两边是抽象与具体的统一。左边的 是抽象的，右边的 是具体的，因此活动的主动性在右边。也就是说，对于研究函数，我们关心的是用 表示出来的具体的依赖关系。
③ 反映的是变量与变量之间的关系。但从式子本身看，我们直接得到的是状态间的关系，其中 与y之间可变性的关系虽然是变量本身所固有的，但是在关系式 中却是隐藏着的。所以函数关系是 与y之间明显的状态关系与隐藏的可变性关系的统一体，而函数关系式揭示明显状态关系是主要的方面。
根据以上分析，由第①点，自变量与因变量的主从地位中，自变量处于主导的地位，那么自变量的变化范围一一定义域与因变量的变化范围——值域中，值域是由定义域经过函数关系所决定的。因此自变量的变化范围起着主要的决定作用。这表现在数学上，将自变量的变化范围一—定义域，作为函数的基本要素之一。
由第②点分析的抽象与具体的对立统一，也就是“依赖于 的函数”与“用 表示的函数”二者的对立统一。其中“用 表示的函数”起主导作用。因为对一个函数，我们不但要了解y依赖于 ，而且更重要的是了解y按照怎样的条件所规定的关系依赖于 。要确定一个函数，只抽象地知道y依赖于 是不够的，我们的目的在于要知道y怎样具体地依赖于 。在数学上就是要确定具体的对应法则。所以对应法则是构成函数的另一个基本要素。
由此可见，函数的基本要素有两条：(1)定义域，(2)对应法则。只要这两条确定了，函数就完全确定了，抓住了这两条，就在数学上抓住了函数慨念的本质。如， 与 在数学上代表完全相同的函数，因为它们的定义域相同，对应法则也相同。至于用什么字母表示自变量、因变量并非本质问题。而 与 是不同的函数，因为对应法则虽然相同，但定义域不同。又如， 与 代表同一个函数。因为对应关系是否相同的实质不在于表达式的形式是否一样，而在于对同一个 ，是否对应着相同的y值。 同理 与 ，也代表同一个函数。
由第③点，明显的状态关系与隐藏的可变性关系中，明显的状态关系是主要方面，函数刻划运动主要是从状态方面来表现运动，是从运动的反面“静止”来度量运动，而要揭示 与 之间的可变性关系，函数工具是有局限性的，这是数学分析发展中要进一步解决的课题。
3．函数思想在数学分析中的应用
（1）以函数为桥梁，实现函数与方程、不等式间的转化
①方程与函数相比，前者是静止，后者是运动。方程的根可视为对应函数在某种特定状态下的值。当研究方程问题时，特别是证明方程根的存在性与个数时，我们可以从函数的观点出发，化静为动，这样往往可以化难为易、化繁为简。
②我们在证明不等式时，可以将不等式问题化为函数问题，为解决问题带来方便。
（2）以函数为背景，实现函数思想在数列中的应用
数列和函数相比，前者离散，后者连续。从函数的观点出发，将数列问题转化为相应的函数问题，是求数列问题的一种有效方法。
（3）化离散为连续，解决级数问题
（4）引入辅助函数，证明有关问题
二、极限的思想
极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。
所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果。
极限思想是微积分的基本思想，数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限来定义的。如果要问：“数学分析是一门什么学科?”那么可以概括地说：“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科”。
1.极限思想的产生与发展
（1）极限思想的由来.
与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的产物。极限的思想可以追溯到古代，刘徽的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对无限的恐惧”，他们避免明显地“取极限”，而是借助于间接证法——归谬法来完成了有关的证明。
到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明。如此，他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向”。
（2）极限思想的发展
极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相联系的。16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期，生产力得到极大的发展，生产和技术中大量的问题，只用初等数学的方法已无法解决，要求数学突破只研究常量的传统范围，而提供能够用以描述和研究运动、变化过程的新工具，这是促进极限发展、建立微积分的社会背景。
起初牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立微积分，后来因遇到了逻辑困难，所以在他们的晚期都不同程度地接受了极限思想。牛顿用路程的改变量ΔＳ与时间的改变量Δｔ之比ΔＳ／Δｔ表示运动物体的平均速度，让Δｔ无限趋近于零，得到物体的瞬时速度，并由此引出导数概念和微分学理论。他意识到极限概念的重要性，试图以极限概念作为微积分的基础，他说：“两个量和量之比，如果在有限时间内不断趋于相等，且在这一时间终止前互相靠近，使得其差小于任意给定的差，则最终就成为相等”。但牛顿的极限观念也是建立在几何直观上的，因而他无法得出极限的严格表述。牛顿所运用的极限概念，只是接近于下列直观性的语言描述：“如果当ｎ无限增大时，ａｎ无限地接近于常数Ａ，那么就说ａｎ以Ａ为极限”。
这种描述性语言，人们容易接受，现代一些初等的微积分读物中还经常采用这种定义。但是，这种定义没有定量地给出两个“无限过程”之间的联系，不能作为科学论证的逻辑基础。
正因为当时缺乏严格的极限定义，微积分理论才受到人们的怀疑与攻击，例如，在瞬时速度概念中，究竟Δｔ是否等于零?如果说是零，怎么能用它去作除法呢?如果它不是零，又怎么能把包含着它的那些项去掉呢?这就是数学史上所说的无穷小悖论。英国哲学家、大主教贝克莱对微积分的攻击最为激烈，他说微积分的推导是“分明的诡辩”。
贝克莱之所以激烈地攻击微积分，一方面是为宗教服务，另一方面也由于当时的微积分缺乏牢固的理论基础，连牛顿自己也无法摆脱极限概念中的混乱。这个事实表明，弄清极限概念，建立严格的微积分理论基础，不但是数学本身所需要的，而且有着认识论上的重大意义。
（3）极限思想的完善
极限思想的完善与微积分的严格化密切联系。在很长一段时间里，微积分理论基础的问题，许多人都曾尝试解决，但都未能如愿以偿。这是因为数学的研究对象已从常量扩展到变量，而人们对变量数学特有的规律还不十分清楚；对变量数学和常量数学的区别和联系还缺乏了解；对有限和无限的对立统一关系还不明确。这样，人们使用习惯了的处理常量数学的传统思想方法，就不能适应变量数学的新需要，仅用旧的概念说明不了这种“零”与“非零”相互转化的辩证关系。
到了18世纪，罗宾斯、达朗贝尔与罗依里埃等人先后明确地表示必须将极限作为微积分的基础概念，并且都对极限作出过各自的定义。其中达朗贝尔的定义是：“一个量是另一个量的极限，假如第二个量比任意给定的值更为接近第一个量”，它接近于极限的正确定义；然而，这些人的定义都无法摆脱对几何直观的依赖。事情也只能如此，因为19世纪以前的算术和几何概念大部分都是建立在几何量的概念上面的。
首先用极限概念给出导数正确定义的是捷克数学家波尔查诺，他把函数ｆ（ｘ）的导数定义为差商Δｙ／Δｘ的极限ｆ′（ｘ），他强调指出ｆ′（ｘ）不是两个零的商。波尔查诺的思想是有价值的，但关于极限的本质他仍未说清楚。
到了19世纪，法国数学家柯西在前人工作的基础上，比较完整地阐述了极限概念及其理论，他在《分析教程》中指出：“当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值，最终使变量的值和该定值之差要多小就多小，这个定值就叫做所有其他值的极限值，特别地，当一个变量的数值（绝对值）无限地减小使之收敛到极限0，就说这个变量成为无穷小”。
柯西把无穷小视为以0为极限的变量，这就澄清了无穷小“似零非零”的模糊认识，这就是说，在变化过程中，它的值可以是非零，但它变化的趋向是“零”，可以无限地接近于零。
柯西试图消除极限概念中的几何直观，作出极限的明确定义，然后去完成牛顿的愿望。但柯西的叙述中还存在描述性的词语，如“无限趋近”、“要多小就多小”等，因此还保留着几何和物理的直观痕迹，没有达到彻底严密化的程度。
为了排除极限概念中的直观痕迹，维尔斯特拉斯提出了极限的静态的定义，给微积分提供了严格的理论基础。所谓 ａｎ＝Ａ，就是指：“如果对任何ε＞0，总存在自然数Ｎ，使得当ｎ＞Ｎ时，不等式｜ａｎ－Ａ｜＜ε恒成立”。
这个定义，借助不等式，通过ε和Ｎ之间的关系，定量地、具体地刻划了两个“无限过程”之间的联系。因此，这样的定义是严格的，可以作为科学论证的基础，至今仍在数学分析书籍中使用。在该定义中，涉及到的仅仅是数及其大小关系，此外只是给定、存在、任取等词语，已经摆脱了“趋近”一词，不再求助于运动的直观。
众所周知，常量数学静态地研究数学对象，自从解析几何和微积分问世以后，运动进入了数学，人们有可能对物理过程进行动态研究。之后，维尔斯特拉斯建立的ε－Ｎ语言，则用静态的定义刻划变量的变化趋势。这种“静态——动态——静态”的螺旋式的演变，反映了数学发展的辩证规律。
2.极限思想的思维功能
极限思想在现代数学乃至物理学等学科中有着广泛的应用，这是由它本身固有的思维功能所决定的。极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系，是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用。借助极限思想，人们可以从有限认识无限，从“不变”认识“变”，从直线形认识曲线形，从量变认识质变，从近似认识精确。
无限与有限有本质的不同，但二者又有联系，无限是有限的发展。无限个数的和不是一般的代数和，把它定义为“部分和”的极限，就是借助于极限的思想方法，从有限来认识无限的。
“变”与“不变”反映了事物运动变化与相对静止两种不同状态，但它们在一定条件下又可相互转化，这种转化是“数学科学的有力杠杆之一”。例如，要求变速直线运动的瞬时速度，用初等方法是无法解决的，困难在于速度是变量。为此，人们先在小范围内用匀速代替变速，并求其平均速度，把瞬时速度定义为平均速度的极限，就是借助于极限的思想方法，从“不变”来认识“变”的。
曲线形与直线形有着本质的差异，但在一定条件下也可相互转化，正如恩格斯所说：“直线和曲线在微分中终于等同起来了”。善于利用这种对立统一关系是处理数学问题的重要手段之一。直线形的面积容易求得，求曲线形的面积问题用初等的方法是不能解决的。刘徽用圆内接多边形逼近圆，一般地，人们用小矩形的面积来逼近曲边梯形的面积，都是借助于极限的思想方法，从直线形来认识曲线形的。
量变和质变既有区别又有联系，两者之间有着辩证的关系。量变能引起质变，质和量的互变规律是辩证法的基本规律之一，在数学研究工作中起着重要作用。对任何一个圆内接正多边形来说，当它边数加倍后，得到的还是内接正多边形，是量变而不是质变；但是，不断地让边数加倍，经过无限过程之后，多边形就“变”成圆，多边形面积便转化为圆面积。这就是借助于极限的思想方法，从量变来认识质变的。
近似与精确是对立统一关系，两者在一定条件下也可相互转化，这种转化是数学应用于实际计算的重要诀窍。前面所讲到的“部分和”、“平均速度”、“圆内接正多边形面积”，分别是相应的“无穷级数和”、“瞬时速度”、“圆面积”的近似值，取极限后就可得到相应的精确值。这都是借助于极限的思想方法，从近似来认识精确的。
3．建立概念的极限思想
极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终。可以说数学分析中的几乎所有的概念都离不开极限。在几乎所有的数学分析著作中，都是先介绍函数理论和极限的思想方法,然后利用极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数的偏导数,广义积分的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分的概念。如：
（1）函数 在 点连续的定义，是当自变量的增量 时，函数值的增量 趋于零的极限。
（2）函数 在 点导数的定义，是函数值的增量 与自变量的增量 之比 ，当 时的极限。
（3）函数 在 上的定积分的定义，是当分割的细度趋于零时，积分和式 的极限。
（4）数项级数 的敛散性是用部分和数列 的极限来定义的。
（5）广义积分 是定积分 其中 为任意大于 的实数）当 时的极限，等等。
4．解决问题的极限思想
极限思想方法是数学分析乃至全部高等数学必不可少的一种重要方法，也是数学分析与初等数学的本质区别之处。数学分析之所以能解决许多初等数学无法解决的问题（例如求瞬时速度、曲线弧长、曲边形面积、曲面体体积等问题），正是由于它采用了极限的思想方法。
有时我们要确定某一个量，首先确定的不是这个量的本身而是它的近似值，而且所确定的近似值也不仅仅是一个而是一连串越来越准确的近似值；然后通过考察这一连串近似值的趋向，把那个量的准确值确定下来。这就是运用了极限的思想方法。
三、连续的思想
数学分析的研究对象是函数，主要是连续函数。因此对函数连续性的讨论是数学分析的一个重要内容。我们有必要对数学分析中连续的思想做深入地探讨。
1．连续思想的产生和发展
客观世界的许多现象和事物不仅是运动变化的，而且其运动变化的过程往往是连绵不断的，这些连绵不断发展变化的事物在量的方面的反映就是连续函数，连续函数就是刻画变量连续变化的数学模型。
16、17世纪微积分的酝酿和产生，直接开始于对物体的连续运动的研究。象伽利略所研究的落体运动、开普勒所研究的绕日运转的行星所扫描的扇形面积、牛顿所研究的“流”等都是连续变化的量。这个时期以及18世纪的数学家，虽然已经大张旗鼓地研究了连续变化的量，即连续函数，但仍停留在几何直观上，把能一笔画成的曲线所对应的函数叫做连续函数。
直到19世纪，当柯西以及维尔斯特拉斯等数学家建立起来严格的极限理论之后，才对连续函数作出了纯数学的精确表述。
2．连续思想的解释
（1）连续的直观含义
连续的直观含义就是连绵不断的，所以一个函数 在 上是一个“连续函数”的直观意义就是它的图象是一条连绵不断的曲线。若用函数值 随 的值的改变而变动的观点来说，就是当 逐渐改变时，函数 的相应变动也是逐渐的，不会有任何突增或突减的跳跃式振荡。从数量上来说，逐渐的改变也就是逐步作微小的改变，所以当我们把函数的连续性局部化到 的邻域来看时， 在 点连续的直观意义就是当 在 点的邻域内作微小变动时， 的相应函数值也在 的邻域内作微小变动。
（2）连续的精确表述
为研究函数的连续，先介绍增量的概念。
设函数 的定义域为 ，如?#####荆弊员淞看佣ǖ?变到新点 时，其差称为自变量的改变量或增量，记作 ，自然有 ；对应的函数值从 变到 ，其差称为函数的改变量或增量，记作 或 。由于新点 的改变方向以及 的增减性不同，所以 和 可能为正，也可能为负。
我们在了解了增量的概念以后，借助于极限给出函数连续的四种精确定义：
定义1：设函数 在 点的某邻域内有定义，若 ，则称函数 在 点连续。
定义2：设函数 在 点的某邻域内有定义，若 ，则称函数 在 点连续。
定义3：设函数 在 点的某邻域内有定义，若 ，则称函数 在 点连续。
定义4：设函数 在 点的某邻域内有定义，若
，则称函数 在 点连续。
函数 在 点连续的特点是：当自变量在 点的附近变化很小时，函数值 的变化也很小。
从上面的定义可以看出，函数 在 点连续的充要条件是：
①函数 在 点有定义
②当 时，左、右极限 和 存在且相等
③左、右极限等于 在 点的函数值。
若以上三个条件至少有一个不成立，则称 在 点间断。
（3）连续函数的性质
函数在一点的连续性和在区间上的连续性都是一个局部概念。函数 在 点连续，意味着 不仅在 点有极限，而且极限等于它的函数值，从而根据函数极限的局部性质，可得到连续函数的相应性质。
性质1（局部有界性）：若函数 在 点连续，则函数 在 点的某邻域 内有界。
性质2（局部保号性）：若函数 在 点连续，且 ,则函数 在 点的某邻域 内与 同号，并存在某正数 ，使得 。
性质3（四则运算法则）：若函数 、 都在 点连续，则函数 、 、 （这里 ）在 点也连续。
性质4（复合函数的连续性）：若函数 在 点连续， 在点 连续，且 ，则复合函数 在 点也连续。
性质5（反函数的连续性）：若函数 在 上严格单调且连续，则其反函数 在相应的定义域上也连续。
性质6（初等函数的连续性）：任何初等函数在它的定义域上都连续。
3．连续思想的应用
因为数学分析的研究对象主要是连续函数，因此数学分析中的许多问题都是与连续有关的。
（1）求连续变量的极限问题
求函数的极限问题是数学分析的重要内容，如果给定的函数是连续的，我们应用连续函数求极限的法则，就可以把求极限的复杂问题转化为求函数值的问题，从而大大简化了求极限的手续，我们在数学分析中遇到的大多数函数是具有连续性的初等函数。如果给定的函数不连续，我们可以通过整理、化简、变换等途径将其化归为连续函数，再利用上面的方法来求其极限。
（2）离散问题的连续化处理
（3）闭区间上连续函数的性质讨论
我们知道，函数的连续性是一个局部性质，对区间也不例外。但如果是闭区间上的连续函数，却能把局部性质转化为整体性质，象闭区间上连续函数的有界性、最大最小值性、介值性、根的存在性、一致连续性等。
（4）连续与一致连续的关系讨论
我们分析函数在区间上连续与一致连续的关系
①定义：
②相同点与不同点：
③关系：
一致连续与连续的关系是：区间上的一致连续函数一定是区间上的连续函数，但反之不然。但对于闭区间来说，一致连续与连续是等价的。
有些函数，我们可以借助极限进行连续延拓，使之成为一致连续。
（5）连续性与可导性的关系讨论
①定义：
②相同点与不同点：
③关系：
（6）连续性与可积性的关系讨论
函数在区间上的连续性在讨论函数的可积性中占据着特别重要的地位。
连续性与可积性的关系：
①区间上的连续函数一定可积
②区间上有有限个不连续点的有界函数也可积
③区间上有无限多个不连续点的单调函数也可积
④区间上有无限个不连续点的有界函数（只要间断点的测度为0）也可积
四、导数的思想
1．导数概念的引入
15世纪文艺复兴以后的欧洲，资本主义逐渐发展，采矿冶炼、机器发明、商业交往、枪炮制造、远洋航海、天象观测等大量实际问题，给数学提出了前所未有的亟待解决的新课题。其中有两类问题导致了导数概念的产生：
（1）求变速运动的瞬时速度
（2）求曲线上一点处的切线
这两类问题都归结为变量变化的快慢程度，即变化率问题。牛顿从第一个问题出发，莱
布尼兹从第二个问题出发，分别给出了导数的概念。
（1）求变速运动的瞬时速度
通常人们所说的物体的运动速度，是指物体在一段时间内的平均速度。例如：一汽车从甲地出发到达乙地，全程120公里，行驶4小时，则汽车行驶的平均速度是30公里/小时。事实上，汽车并不是每时每刻都以30公里每小时的速度行驶，这是因为，下坡时会跑得快些，上坡时会跑得慢些，也可能中途停车等等，即汽车每时每刻的速度是变化的。一般来说平均速度并不能反映汽车在某一时刻的瞬时速度。随着科学技术的发展，我们仅仅知道物体运动的平均速度是不够的，还要知道物体在某一时刻的瞬时速度。例如：研究子弹头的穿透能力必须知道弹头接触目标的瞬时速度。
下当 变化时，平均速度 也随着发生变化；当 较小时，平均速度 是物体在时刻 处“瞬时速度”的近似值，当 越小其近似程度就越好。于是，物体在时刻 的瞬时速度就是当 无限趋近于0（ ）时，平均速度 的极限。即 =
上式既是瞬时速度的定义，也给出了计算瞬时速度的方法。
（2）求曲线上一点处的切线斜率
问题：设有一条平面曲线，它的方程是 ，求过该曲线上一点 （ ）处的切线斜率？
解决方法：要求的切线斜率是一个未知量，但它并不是一个孤立的概念，它与已知的割线有着密切的关系。
为了揭示这一关系，在此平面曲线上另外任取一点 ，
设它的坐标是 ，其中
由解析几何的知识：过曲线 上两点 ， 的割线斜率为 ，当 变化时，点 在曲线上变动，割线 的斜率 也在变化。当 越来越小时，点 沿曲线逐渐趋近于点 ，割线 逐渐趋近于过点 的切线 。
于是，当 时，点 ，割线 极限位置就是过点 的切线 ，同时 的斜率 的极限就是切线 的斜率。即
上式给出了切线的定义，也给出了计算切线斜率的方法。
上述两个问题的实际意义完全不同，一个是物理学中的瞬时速度，一个是几何学中的切线斜率。但从数量关系来看，它们有着完全相同的数学结构--—函数的改变量与自变量改变量之比的极限，可归为同一类数学运算。
即：如果用函数 来表示某一现象的变化规律，则这一类型的数学运算是：
①在 给自变量一个改变量 ，得到相应函数的改变量 ，
②写出比值 ，
③求出极限 。
2．导数的定义
（1）设函数 在 的某邻域内有定义，在 处自变量 的改变量是 ，相应的函数的改变量是 ，若极限 存在，则称函数 在 点可导（或存在），此极限称为函数 在 点的导数（或微商）。记作： 或 ，
即 或
（2）如果函数 在区间 内的每一点处都可导，则称函数 在区间 内可导。这时，函数 对于区间 内的每一个 值都对应着一个确定的导数 ，则称 为函数 的导函数。即
3．导数定义的理解
（1）导数是一种特定结构的极限----比式的极限----函数的改变量与自变量改变量之比的极限。
（2）极限 存在，则称函数 在 点可导；极限 不存在，则称函数 在 点不可导。
（3）只有函数 在 点和 点的某邻域内有定义时，才能考虑函数在该点的导数，即导数 与函数 在 点及其附近的值有关。
（4）函数在一点的导数 是 在 点的局部变化率；函数在区间上可导，是用一点可导来定义的，因此仍然没有改变可导的局部性质。
（5）由导数的定义可推出：函数 在 点可导必有函数 在 点连续；但反之不然。因此连续是可导的必要条件。
（6）导函数 与一点的导数 的关系：导函数 是 的函数， 表示导函数 在 的特定值（函数 在 的函数值）。因此，求 的方法可以用定义，也可以先求出 ，再将 代替 中的 ，但不允许先将 中的 代替成 后再求导。
对分段函数在分段点的导数，我们一般用定义来求，有时还要考虑在分段点的左右导数。
4．导数思想的应用
（1）导数实际意义的应用
①如果物体运动的规律是 ，则物体在 时的瞬时速度是 在 的导数 。
②如果平面曲线的方程是 ，则曲线在点 （ ）的切线斜率 是 在 的导数 。
（2）微分中值定理及其应用
微分中值定理反映了导数更深刻的性质，也是导数应用的理论基础。微分中值定理应包括罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰劳中值定理。
在对微分中值定理的理解和掌握方面要重视以下几点：
① 微分中值定理的条件和结论各是什么？
② 当微分中值定理的条件不完全满足时，结论是否还成立？
③ 微分中值定理条件和结论的几何意义。
④ 中值点 点的存在性、唯一性、可求性讨论。
⑤ 微分中值定理证明和应用中的辅助函数构造。
⑥ 微分中值定理的作用是联系函数与函数导数的纽带，是建立函数与其导数关系的
桥梁。罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理将函数与其一阶导数进行联系，泰劳中值定理将函数与其高阶导数进行联系。
微分中值定理的应用：
①证明方程根的存在性
例1 若 在 上连续，在 内可导， ，证明在 内方程
至少存在一个根。
证明：令
显然 在 上连续，在 内可导，又
根据罗尔中值定理知，至少存在一点 ，使 ，
即在 内方程 至少存在一个根 。
②证明等式
例2 证明恒等式
证明：设
当 时，
=
故有 ,令 代入得：
故当 时，
又因为上式左端的函数在 左连续，在 右连续，分别取极限即知，当 和 时，
上式也成立。故
例3 设 在 上连续（ ），在 内可导，且 ，
证明 ，其中 在 内。
证明：对 和 在 上应用柯西中值定理得：
存在 ，使 ，即
对 在 上应用拉格朗日中值定理得： 使 ，
故
③证明不等式
例4 证明：若 都是可微函数，且当 时， ，
则当 时，
证明：令 ，由拉格朗日中值定理得： ，（ 。
当 时，由 知 ，即
亦即 ，所以 ………………….（1）
又令 ，由拉格朗日中值定理得： ，（ 。
当 时，由 知 ，即
亦即 ，所以 ……………….（2）
综合（1）、（2）可得当 时，
④证明函数与其导数之间的关系
例5 若 在 上具有二阶导数，且 ，证明在 内至少存在一点 ，使
证明：由泰劳公式
因为
取 得 ……………….（1）
取 得 ……………….（2）
由（1）—（2）得：
令 { ， }
则 ，即
例6 设函数 在 内可微，且 ，则
证明：由于 ，故任给 ，存在 ，当 时有 。
当 时，由拉格朗日中值定理得：
故 。再取 使 ，则当 时，
+
故
⑤研究函数的性态
例7 证明可导函数在其导函数为正值的区间上为单调增函数
证明：设函数 在区间 上的导数 ， 为 内任意两点，且 ，由 在区间 上可导，由拉格朗日中值定理得：
由 的任意性得出， 在区间 上单调增加。
（3）导数在求函数极限中的应用
罗必达法则是以导数为工具来解决不定式极限的常用方法。应用罗必达法则求函数极限
应注意以下几点：
①应用罗必达法则求函数的极限，一定要注意法则的条件，缺一不可。
②只有 型和 型不定式的极限才能直接应用罗必达法则，罗必达法则可连续使用，但每一步都要检验定理的条件。
③对于 型不定式的极限，要通过适当的变形，转化为 型或 型不定式的极限后才能应用罗必达法则求解。
常见的转化方法有：
对于 型不定式的极限，可化为分式的形式： 或 ，但要注意，究竟选择哪一种，要具体问题具体分析，一般将相对简单的函数拿到分母中去且使分子、分母的函数分别求导后计算简便为原则。如果选择错了，可能越做越繁，甚至求不出极限。
对于 型不定式的极限，若有分母，则用通分的方法，化成 型或 型不定式；若无分母，一般应通过变形或变量代换使其含有分母，再用通分的方法化成 型或 型不定式。
对于 型的不定式的极限，一般应先取对数，化为 型不定式的极限，再用上述方法求解。但要注意，在求得 后，还要求出 的数值。
④罗必达法则是求不定式极限的一种有效的方法，但不是万能的方法。对某些 型或 型不定式的极限，虽然满足条件，但采用罗必达法则求解时不一定能求出极限，这时罗必达法则失效，应考虑采用别的方法来求。
（4）导数在研究函数性态中的应用
① 讨论函数的单调性
② 求函数的极值与最值
③ 讨论函数的凸凹性
④ 求函数的拐点
⑤ 求函数的渐近线
⑥ 描绘函数的图象。
五、微分的思想
1．微分思想的产生和发展
为求物体运动的速度、变量变化的极值以及曲线的切线等问题，导致了微分思想的产生。
在微分思想的产生和发展过程中，伽利略的运动观点，费尔玛求切线、求极值的方法以及巴罗把“求切线”与“求积”问题作为互逆问题的联系，都为微分思想奠定了基础。
17世纪牛顿明确提出了导数（增量之比的极限），莱布尼兹尝试给出了微分的定义。
18世纪欧拉、柯西、魏尔斯特拉斯等人将微分概念精确化，使得微分的现代形式最终完成。
2．微分思想的解释
在微分学中有两个基本问题：变化率问题和增量问题。我们知道，函数 在点 的导数 表示该函数在点 处的变化率，它是描述函数变化性态的一个局部概念。
有时我们需要计算函数 ，当自变量在 处有一个微小改变量 时，函数改变量 的大小。
往往是 的一个较复杂的函数，要精确计算它是困难的，甚至是不可能的；并且我们在理论研究和实际应用中，往往只需要了解 的近似值就可以了。因而计算函数改变量 的近似值就显得特别重要。
人们把解决上述问题的出路放在将 线性化，用 的线性函数来近似代替它，这就是引入微分的基本想法。
具体过程如下：
设函数 ，当自变量 在 处获得一增量 时，函数 也获得相应的增量 。
一般是 的一个较复杂的函数，记为 。直接计算 往往很困难，于是希望用 的线性函数 （ 与 无关）来近似代替 ，使对 的计算得以简化。同时，又要使产生的误差与 相比可以忽略不计。即 （*）
（ 是因变量， 是自变量）一般是曲线，而 = 是直线，因此微分的基本思想就是以直代曲。
又由（*）式成立，可得 ，得 ，
故 ，亦即
上式左端函数表示的是曲线 ，右端表示的是曲线 在点 处的切线。因此上面提到的以直代曲就是局部地以曲线的切线来代替该曲线，这就是微分的思想。
我们定义函数 在 点的微分为：
可见，函数 在 点的微分有两个特点：
①它是自变量增量 的线性函数，
②它与函数增量之差： 是比 更高阶的无穷小。
根据上述两个特点，当 时，就可以用微分 来近似表示增量 ，即 ，当 越小，其近似程度就越好。这一近似等式是应用微分思想解决近似计算和误差估计等实际问题的基础。
微分的几何意义：函数 在 点的微分等于曲线 在点 处的切线纵坐标的增量。（如图）
3．导数与微分的联系与区别
导数与微分是微分学中的两个最基本的概念。
它们之间的联系与区别为：
一方面，可导与可微是等价的，若求出了函数在一点的导数，再乘以 即得该点的微分；若求出了函数在一点的微分，再除以 即得该点的导数；因此导数又叫做微商。
另一方面，从她们的来源和结构来看，导数作为有确定结构的差商的极限，比微分的概念更为基础；但又由于一个导数可以表示为两个微分之商，因此在分析运算中，微分表现出更大的灵活性与适应性。
微分是研究函数的一个重要工具，因为研究函数的各种问题都会涉及到函数的增量，而微分是 的线性函数且微分代替增量的误差是一个比 更高阶的无穷小（或者说当 时，微分 与增量 是等价的无穷小）。
4．微分思想的应用
函数 的微分 是计算函数改变量 的数学模型。微分可用于求函数改变量 的近似值。即 。微分也可用于计算函数值的近似值。即 ，就是计算函数 在点 附近点 + 处函数值的近似计算公式。
例 计算 的近似值（用两种解法），并简述作近似计算的原则
解：（法1）
令
则
（法2）
令
则
分析：我们知道 的前5为精确数值为4.6416
由法1，|4.6416-4.7500|=0.1084
由法2，|4.6416-4.6667|=0.0251
由此可知，为微分方法作近似计算的原则是：
① 使 易算，②使 ，且尽可能小。
六、积分的思想
1．积分思想的产生与发展
为了解决求物体运动的路程、变力作功以及由曲线围成的面积和由曲面围成的体积等问题，导致了积分的产生。
积分思想源远流长。古希腊德莫克利特的“数学原子论”、阿基米德的“穷竭法”、刘徽的“割圆术”都是积分思想的雏形，并且用这些方法求出了不少几何形体的面积和体积；然而这些古代方法都建立在特殊的技巧之上，不具有一般性，也不是以严密的理论为基础的。
随着数学科学的发展，借助于生产力空前发展的强大推动，出现了开普勒的“同维无穷小方法”、卡瓦列利的“不可分量法”、费马的“分割求和方法”，到17 世纪终于发生了由量变到质变的飞跃。牛顿与莱布尼兹揭示了微分与积分的内在联系--微积分基本定理，从而产生了威力无比的微积分，使数学从常量数学跨入变量数学，开创了数学发展的新纪元。
2．积分思想的理解
（1）定积分的定义
设 是定义在区间 上的有界函数，用点 将区间 任意分成 个子区间 （ ），这些子区间及其长度均记作 （ ）。在每个子区间 上任取一点 ，作 个乘积 的和式 ，
如果当最大的子区间的长度 时，和式 的极限存在，并且其极限值与 的分法及 的取法无关，则称 在区间 上可积，此极限值称为 在区间 上的定积分，记作 ，即 =
（2）定积分是一种新型的极限
定积分是一种特殊的极限，这种极限不同于数列的极限也不同于函数的极限。它是一种复杂的和式的极限，对于体现自变过程的变量 的每一个值，不仅区间 的分法有无穷多种，而且对于每一个分法，介点 也有无穷多种取法，因而相应的和式 一般有无穷多个值。但它仍然有着与数列极限、函数极限的本质上的相同之处，即当 无限变小时，相应的一切和式 与某一定数 的距离： 能够变得并保持任意的小。
（3）定义中对区间 无限细分的理解
在定积分的定义中，和式 的极限是指在积分区间 无限细分情形下的极限， 是指 （ ）中的最大值趋于0，正是表达了对积分区间 无限细分。当然，当积分区间 无限细分时，小区间的个数 一定无限增加，即 ；但反之，当小区间的个数 无限增加，即 时，并不能保证积分区间 无限细分。
（4）决定可积函数积分值的因素
函数 在区间 上的和式 的值，一般依赖于四个因素：函数 、区间 、区间 的分法、 的取法。
但当 在区间 上可积，即 存在时，则不依赖于区间 的分法与 的取法；因此只与函数 和区间 两个因素有关。故在可积的条件下，当我们用定义来求某函数在指定区间 上的定积分时，往往可以取一个特殊的分法（如 等分 ），取 为 内的特殊点（如左或右端点）。
因为定积分 只与函数 和区间 有关，故与积分变量的字母无关，因而 = = 。当 、 为常数时定积分 是一个常数。
（5）定积分可以作为定义函数的一种新的工具
我们知道连续函数 的变上限积分 是 的一个原函数，又知道某些函数的原函数并不是初等函数。如椭圆积分 就不是初等函数，这时我们就把这个积分本身，作为此函数的定义，以此为出发点来研究函数。有时，积分本身是我们熟悉的函数也可以这样做，这既开阔了思路，又增加了函数的一种等价定义，如我们可以把函数 作为对数函数 的定义等。
（6）定积分的存在性
在对积分思想的理解中，还有两个问题值得考虑：可积的函数应当满足什么条件？满足什么条件下的函数一定可积？即什么函数不可积？什么函数可积？
下面几个结论回答了这样的问题：
① 可积函数必有界，有界函数不一定可积，无界函数一定不可积。
② 区间 上的连续函数一定可积
③ 区间 上的有有限个间断点的有界函数一定可积
④ 区间 上的单调函数一定可积
3．积分思想中的辩证法
定积分作为和式的极限，是解决广泛的求总量问题的数学模型。为什么大多数求总量的问题，初等数学无法解决，而定积分能迎刃而解呢？这是因为求定积分的方法是辨证的方法，与“总量”一类问题本身所固有的辨证内容相吻合。恩格斯曾指出：“初等数学，即常数的数学，是在形式逻辑的范围内活动的，至少总的说来是这样；而变量数学，其中最重要的部分是微积分，本质上不外是辩证法在数学方面的运用。而辩证法突破了形式逻辑的狭隘界限，所以它包含着更广的世界观的萌芽。”
（1）初等数学不能解决的求总量的问题包含着初等数学不能解决的“变与不变”的矛盾。但在局部范围内“变与不变”这种相互矛盾的双方又可以统一，从而可以通过化整为零，在局部范围内用初等数学的方法求出部分量的近似值，再把这 个部分量的近似值用初等数学的方法加起来，便得到总量的近似值，我们必须对总量无限细分（即当 ，同时 ）时，总量的近似值才能转化为总量的精确值。可见求定积分的过程体现了整体与局部、总量与部分量、变与不变、近似与精确、量变与质变等矛盾的对立统一。
（2）求定积分的过程一般分为四步：第一步，将初等数学不能计算的总量 任意“分割”成 个部分量 ；第二步，在局部范围 上通过“以不变代变”，用初等数学中的乘法求出部分量 的近似值 ；第三步，用初等数学中的有限项加法求和式 ，得到总量 的近似值；第四步，通过“取极限”，将总量的近似值转化为总量的精确值，即
在求定积分的过程中，我们使用了超越初等数学的新运算，对和式 取极限，对和式取极限就是进行无限项相加，这是初等数学所不能胜任的。由于 ，同时 时，一方面，使和式 中的每一个积分元素 转化为总量 的微分 ， 相对于 趋于消失。这是对总量 的否定，这一次否定是在保持函数关系 不变的条件下进行的，否定的结果，得出了 。另一方面通过积分，使有限项相加转化为无限项相加，即求无穷多个微分之和，这又是对微分 的否定，这一次否定是在保持求和 的条件下进行的，否定的结果，得出了总量 ，即定积分 。可见求定积分的过程体现了否定之否定的思想。
由以上分析可以知道，定积分是微分的无限积累，或者说定积分是无限个无穷小量之和。符号 的意思是求和，莱布尼兹将“和”（summa）的头一个字母s拉长，并附之以上、下限 和 ，用于表示对微分 在区间 上的无限累加。
4．不定积分与定积分的比较
从定义的泛指而言，一个定义在 上的函数 的不定积分是其原函数的一般表达式，而 在 上的定积分是Riemann和 的极限。
不定积分与定积分是完全不同的两个概念，函数在所讨论区间上的Riemann和的极限的存在性不取决于该函数的不定积分的存在性，函数在所讨论区间上的不定积分的存在性也不取决于该函数的Riemann和的极限的存在性。
具体讨论如下：
（1）函数可积不一定该函数存在原函数
由微积分基本定理，我们知道，当 在 上可积时，对于任意的 ，函数 必在 上连续。
但函数连续只是可导的必要条件，而非充分条件。因此 未必可导，即 不一定是 的原函数。如 只有一个间断点，所以在任何区间上都可积，然而对于任意的 ， 在 点不可导。因此 在包含原点的任何区间上都没有原函数。
（2）函数有原函数但该函数不一定可积
例如，函数 ，易知 在闭区间 上各点都可导，且 ，即 在闭区间 上有原函数 。但由于 在闭区间 上有无界点 ，故 在 上不可积。
（3）不定积分与定积分可以相互转化
在一定的条件下，不定积分与定积分是有联系并且可以相互转化的。这里所说的条件，就是函数在所讨论的区间上连续。即：函数连续是该函数既有原函数又可积的充分条件
因为，若 在 上连续，则由微积分基本定理知，对于任意的 ， 为 的一个原函数；又由可积函数类知， 在 上是可积的。
（4）函数的连续性不是该函数存在原函数的必要条件
例如，函数 与
当 时有 ，即 在 上是 的原函数。
但由于
因此，当 时， 在 上是 的原函数； 当 时，函数 在 上不连续（ 为间断点），但当 时， 却仍有原函数。
5．定积分的应用
(1) 用微元法来建立所求量的积分表达式
在定积分的应用中，经常采用微元法来建立所求量的积分表达式。
如果某实际问题中的所求量 符合下列条件：① 是一个与变量 的变化区间 有关的量。② 对于区间 具有可加性，即如果把区间 分成许多部分区间，那么 是对应于各部分区间上的那些部分量 的和。③部分量 可以近似地等于 。
一般地，采用微元法写出 的积分表达式的步骤如下：
1）根据实际问题，选取一个变量，例如 ，作为积分变量，并确定它的积分区间
2）把区间 分成许多小区间，在具有代表性的小区间 上，求出相应的部分量 的近似值，如果 可以近似地表示成 的函数 与 的乘积，并且 与 仅相差一个比 高阶的无穷小量，就把 叫做量 的微元，记做 ，即 =
3）以所求量 的微元 作为被积表达式，在区间 上积分得 。这就是所求量 的积分表达式。
例 求由曲线 、直线 及 轴所围成的曲边梯形绕 轴旋转所得旋转体的体积
解：在 的变化范围 内任取相邻两点 和 ，
过这两点作 轴的垂面将旋转体截割出一个厚度为 的薄片，
那么以 为半径的圆作为底面、 作高的薄圆柱的
体积即为旋转体的体积微元 ，即 。
于是旋转体的体积为
（2）定积分的几何应用与物理应用
① 求平面图形的面积，②求已知截面面积的立体的体积，③求旋转体的体积，④求曲
线的弧长，⑤求旋转曲面的面积，⑥求变力所作的功等等。
七、级数的思想
1．级数理论的意义
级数理论是数学分析的重要组成部分。是研究函数的重要工具，级数是产生新函数的重要方法，同时又是对已知函数表示、逼近的有效方法，在近似计算中发挥着重要作用。
我们在建立定积分概念的同时，引入变上限积分定义出了一类新函数，使我们认识到除了初等函数之外的函数类；有了级数理论后，使我们的眼界进一步开阔了，认识到了更广泛的非初等函数类型。
级数理论的功能并不仅仅在于引进非初等函数，更重要的是给出了研究这些函数的有效方法，而且即使是初等函数，给出了它们的级数形式，有时会更便于研究它们的性质。
我们知道，泰劳公式是用有限项的多项式近似表示函数，它对于研究函数的局部逼近和整体逼近有着重要意义，在此基础上和一定的条件下，我们可以用无穷多项的多项式来准确地表示一个函数，这就是幂级数。利用函数的幂级数展开式，对研究函数的性质和计算都有着非常重要的作用。
当然，能表示成幂级数的函数必须具备任意阶可微的条件，这对于有些性质较差的函数（如分段函数），我们就不能展开成幂级数，此时付立叶级数却能满足这样的函数的展开。
级数理论的基础仍然是极限，级数是一个无限求和的过程，它与有限求和有着根本的不同，即参与了极限运算，把极限及其运算性质移植到级数中去，就形成了级数的一些独特性质。
级数理论的第一个重要概念是收敛性。此外，级数的运算、函数项级数的一致收敛性、一致收敛级数的分析性质、函数的幂级数展开、函数的付立叶级数展开都是级数理论的基本内容。
2．数列与数项级数的关系
数列 逐项累加起来的式子 称为级数。或者说，数列 逐项累加的极限形式称为级数。
若定义级数的前 项部分和为 ，则逐项累加的极限 如果存在，则称级数 收敛，否则称为发散。
数项级数的敛散性是用部分和数列 的敛散性来定义的。所以数列极限的理论移植过来，就可以建立数项级数的一般理论。
由于级数是在有限项相加的基础上施行的极限运算，从而确切地定义了无限项相加，形成了这种特殊的形式，所以它有着比数列极限更独特的性质和意义。
下面我们讨论数列与数项级数的关系：
（1）数列 收敛，级数 不一定收敛；反之，级数 发散，数列 不一定发散。
如，数列 收敛，但级数 发散。又如，级数 发散，但数列 收敛。
（2）若级数 收敛，则数列 也收敛，且
例1 证明
证明：考虑级数 ，由正项级数敛散性的达朗贝尔判别法可判断出，该级数收敛。故由级数收敛的必要条件知：
（3）数列 收敛与级数 具有相同的敛散性
例2 证明数列 收敛
证明：我们只需证明级数 = 收敛即可。
由 知，该级数为正项级数。又由 ，
故由比较判别法知此级数收敛，从而数列 收敛
3．函数项级数一致收敛的作用
如果我们把有限个函数相加称为有限和，那么函数项级数就可称为无限和，在有限和的情形下，连续函数的和函数仍然连续，但在无限和的情形下，连续函数的和函数却不一定连续。
如函数项级数 ，它的每一项在 上都连续，但其和函数 在 上却不连续。
类似的，在有限和的情形下，逐项积分与逐项微分是成立的，但在无限和的情形下，却不一定成立。
为保证以上运算，在无限和的情形下成立，仅有收敛是不够的，因此引进了函数项级数的一致收敛性的理论。函数项级数在一致收敛的条件下，可实现函数项级数和函数的连续、逐项积分与逐项微分。
4．付立叶级数研究的基本问题
我们知道，在所有的周期运动中，以 为周期的正弦函数 描述的简谐振动最简单，这里的 表示时间， 表示在时刻 动点的位置， 角频率， 为初相。
对于一般的周期运动，如果能够把它分解成有限个或无限个不同频率的简谐振动的迭加，那么就可以通过简单的简谐振动来研究复杂的周期运动了。这就是说，我们要讨论周期函数 能否表示成如下形式：
……………………………………..（*）
如果令 ，则 。
故（*）式右边的级数可改写为 ………..（**）
这种形式的函数项级数就称为三角级数。
如何作出形如（**）的三角级数？在什么样的条件下，所作出的三角级数收敛且收敛于函数 ？这就是付立叶级数研究的基本问题。
在上述研究的基础上，进一步研究：以 为周期的函数在什么条件下能够作出付立叶级数？付立叶级数的收敛性如何？非周期函数能否展成付立叶级数以及如何展开？展开的付立叶级数的收敛性又如何？等等问题。
5．级数理论的应用
（1）证明数列的极限等于0
例1 证明 ，
证明：考虑数项级数 ，由于 ，故由达朗贝尔判别法知：级数 收敛。故
（2）表示函数及讨论函数的性质
例2 讨论函数 的定义域，连续性，并计算
解：由于 ，
由达朗贝尔判别法知：当 时 ，级数收敛；当 时 ，级数发散；当 时级数为 发散。因此函数 的定义域为
对任意的 ，总存在 ，使 ，有
而级数 收敛，由 判别法知，级数 在 上一致收敛，又 在 上连续，故由函数项级数和函数的连续性定理知： 在 上连续，从而在 点连续。
由 的任意性，故 在 上连续。
应用函数项级数和函数的逐项积分定理得： = =
= =
（3）求近似值
例3 求定积分 的近似值，使误差不超过
解：因为 ，
对这个幂级数在 上逐项积分，得： = ，
上式右端是一个交错级数，它的第八项 。
所以，如果保留前7项，其误差不超过 。通过对前7项的计算得： 0.7468
（4）求不定式的极限
例4 求极限
解：因为 =
即
所以 = = 。