数学城游记

数学城游记

张纳川的爸爸是一名中学数学老师，在他的熏陶下，纳川从小就对数学产生了浓厚的兴趣. 升入初中以后，张纳川已经成了学校里有名的数学尖子生，同学们有什么难题，都爱找他来问问，纳川也尽量作答. 因此，他在学校的人缘特别好，整天都有很多同学主动地找他探讨学习方法. 暑假过后，他就要升到初三学习了. 可是，最近几天他却总觉得心里很烦. 这是为什么呢？

一、父子相约游城

暑假太长了，将近两个月的时间. 刚放假的时候，痛痛快快地玩过几天之后，每天在家里呆着，真没劲！怪不得张纳川有时觉得无所事事，怪烦得慌呢. 

今天，纳川全家在一起看了一会儿电视. 张纳川看得不耐烦了，觉得没什么意思. 漫长的暑假怎么能光玩，让时间白白浪费掉，干些什么好呢？正在寻思着，电视上的一则广告吸引了他：

亲爱的同学们：

暑假到了，你们是否想使自己的暑假生活充实而有趣呢？不妨到“数学城”来做客. 在“数学城”里，你不但可以增长见识、开阔视野，而且能使你亲身感受数学的作用. 

“了解数学、喜欢数学、运用数学”是我们的宗旨. 

纳川一看，眼前一亮. 高兴地拉起爸爸就走：“走，咱们看看去！”爸爸一看纳川这么积极，反而不紧不慢地说：“我要看电视，你自己去吧. ”纳川劝道：“您就陪我一起去看看吧，说不定会有不少收获呢. ”看到纳川真诚的样子，爸爸笑了笑，说：“看你急的那样子，你乐于学习，我高兴还来不及呢，怎么还会让你扫兴呢. 刚才我是在逗你玩呢. ”纳川一听爸爸答应了，乐得跳了起来. 他忽然又想起前几天爸爸说要买电脑的事情，就说：“咱们今天上午去游览‘数学城’，下午买电脑，怎么样？”

“那我有个条件. ” 爸爸说. 

纳川问：“什么条件？您说吧. ”

爸爸说：“据我所知，这个‘数学城’里，有许多数学趣题，等着游客解决. 我得看你今天的表现，如果表现好的话，就按你说的办，咱们下午就去买电脑；否则，买电脑的事情就以后再说了. ”

“没问题”，纳川痛快地答应了下来. 

两人来到“数学城”一看——嚯，好大的一个城堡啊，游人熙熙攘攘，还真不少呢！

进到城中，首先看到的是一块提示牌：

各位尊敬的游客：

欢迎您来“数学城”做客！

为了使您对数学有个全面的了解，我们的城堡将先为您介绍一些数学历史知识，让您对数学的过去有个印象. 您可以选择任何一个您感兴趣的展馆去参观. 

爸爸问纳川：“你想知道关于数学的哪些历史知识呢？我们一起去看看. ”

二、追溯符号起源

最近一段时间，张纳川对司空见惯的数学符号很感兴趣. 他对爸爸说：“在数学中，数学符号比比皆是，用起来既方便，又直观. 我想知道这些常见的数字符号是由谁创制的，了解一下它的起源与变迁，看看数学符号为什么是现在这个样子的. ”

“好吧，我们到这边来. ”说着，爸爸把纳川领进了一个展馆. 四周墙壁的展牌上，记录了数学符号的发展史：

加号“+”与减号“-”：在古代希腊和古代印度，人们常把两个数写得很近，连在一起，表示加法，比如，用“73(2)”表示“7加上 3(2)”，在现代的带分数写法中还仍然保留着这种历史痕迹；同时，将两个数写得离开一定距离，表示减法，比如用“7   3(2)”表示“7减去 3(2)”. 后来，有人用拉丁字母P（“加上”的英语单词“Plus”的开头字母，或者在字母“P”上加一短横形成的“”）表示相加，比如，用“5 P 6”或者“56”表示“5加上6”；同时，用“M” （“减去”的英语单词“Minus”的开头字母）表示相减，比如，用“12 M 8”表示“12减去8”. 但是以上表示法有时容易产生误会，表示起来也不够方便. 

中世纪后期，欧洲商业日渐发达. 一些商人为了区分货物质量，常常在货箱上划上“+”，表示超重；而划上“-”表示质量不足. 可以理解为：在横线“-”上添加一竖，表示增加；在“+”的基础上去掉一竖，表示减少. 文艺复兴时期，意大利艺术大师达·芬奇也是一位卓有建树的数学家，在他的一些作品中，就出现了这种表示方法. 直到15世纪，大约在1489年，德国人威德曼和瓦格涅尔在他们的著作中，才正式使用这两种数学符号. 后来，由于法国大数学家韦达的使用和倡导，直至1630年才获得大家的公认. 

乘号“×”或“·”：最先使用它的是英国数学家威廉·奥德莱，他在1631年的著作中首次把“×”作为乘号. 因为，他觉得乘法既然是一种特殊的加法，就索性把“+”斜过来写成“×”，作为乘号. 这一符号一直沿用至今. 德国数学家莱布尼茨担心“×”与字母“X”在书写时造成混淆，带来不便，就主张使用“·”表示乘号. 至今，“×”与“·”两种乘号在很多情况下都在使用. 

除号“÷”、分数线“—”或者比号“：”：中世纪时期，阿拉伯大数学家阿勒·花剌子模就曾用“3/4”或者“4(3)”表示“3除以4”. 许多人认为，它是现代通用分数符号的起源. 英国人约翰·比尔在他的著作中，将能表示相除关系的分数线“—”与莱布尼茨首先使用的比号“：”组合在一起，写成“÷”，加以使用. 另外，也有人认为，17世纪的瑞士人拉恩创造并首先使用了“÷”，其用意为用一条横线把两个圆点分开，表示分解的意思，引申为相除. 

等号“=” ：古代巴比伦和古代埃及曾用各种符号表示相等关系. 直到1557年，英国数学家列克尔德在他的代数论文《智慧的磨刀石》（或译为《砺智石》）中，阐述了他的观点：在所知道的所有相像的两件东西中，两条平行线是最相像的了，所以应该用两条平行线来表示相等. 于是，他干脆就用两条划得很长的平行线“=”表示等号. 后来，在莱布尼茨的倡议下，人们逐渐把“=”作为等号使用，直至18世纪才得以普及. 

小数点“.”： 1530年，德国数学家鲁道夫在解答一道复利息问题时使用了小数，他用一条竖线将整数部分与分数部分隔开，比如，14.26表示为“14|26”. 1585年，荷兰人斯蒂文在《论十进》一书中，第一次明确阐述了小数理论. 他在表示小数时，从个位数字开始往下的单个数字后面（或者上方）添加了“◎、①、②、③”等标记个位、十分位、百分位、千分位等. 比如，他把56.189表示为“56◎1①8②9③”，或者“5”，表示起来仍然很不方便. 1593年，德国数学家克拉维斯在《星盘》一书中，最早使用了小黑点“.”，表示小数的整数部分与小数部分的分隔符号. 后来，他于1608年发表的《代数学》中，将小数点的使用公诸于世. 

乘方表示法“an”：早在1637年，法国大数学家笛卡尔就开始用“an”来表示正整数指数幂. 用它表示分数指数幂，首推17世纪的比利时工程师司蒂文. 17世纪末，英国牛津大学教授华里士不但用“an”表示分数指数幂，而且用它来表示负数指数的幂. 一直到18世纪初期，英国大物理学家、数学家牛顿把“an”表示幂的指数推广到更大的范围，使之可以表示任意实数指数的幂. 这样，“an”作为表示乘方运算的特定符号，流传下来. 

根号“”：最初，在1480年，德国人曾经把点“·”写在数字的前边，来表示算术方根，例如，用“·2”表示2的算术平方根，用“··2”表示2的算术四次方根，而用“···2”表示2的立方根. 到了1525年，德国数学家鲁道夫采用“√2”、“√(√ )2”、“√(√ )) √(√ )2”,分别表示2的算术平方根、算术四次方根和2的立方根. 但是，这两种表示法最大的缺点是，当被开方数有很多项时，表示的方根容易产生误解. 比如，“√2+8”表示“2的算术平方根加上8的和”呢，还是“2加上8的和的算术平方根”呢？

笛卡尔针对这一问题，再次对根号作了改进. 他取“根”的英语单词“root”的小写开头字母“r”加以变形，并在它的上面添加上“线括号——”，覆盖住所有的被开方数，成为我们现在使用的根号“”，从而解决了以前根号表示法的不足. 笛卡尔对此不无自豪的在他的《几何学》第一版中写道：“如果我想求a2+b2的平方根，就可以写作；如果我想求a3-b3+abc的立方根，就可以写作.”

看到这里，张纳川不无感慨地说：“这么多的数学符号，怎么没有一种是我们中国人创制的呢？”

爸爸听后，不无伤感地说：“你说得对，但不完全是这样. 实际上，我国数学家在数学符号的使用和研究方面还是有所作为的. 比如，我国古代，早在公元263年的魏晋时期大数学家刘徽，就在他注解的《九章算术》中研究了小数，当时，他把“小数”称为“微数”. 这比西方人对小数的认识早大约1000年. 当时，他用算筹表示这种“微数”时，在整数部分的最后一个数字下面标注单位，比如，用“寸  |||||”表示“6.35寸”. 到13世纪中叶，出现了第一种表示小数部分的记法，例如，把小数4108.697表示为：

||||  —  □  

它的小数部分比整数部分低一格，这就是世界上最早的小数表示法. ”

“到了近代又怎样了呢？”纳川继续问道. 

爸爸回答说：“对于这个问题，有的专家甚至尖锐的指出：中国古代数学领先，近世落后，原因之一就是中国没有使用先进的数学符号，从而妨碍了中国数学事业的发展. 其实，我国近代的数学家也对数学符号有所研究. 清朝著名的数学家李善兰曾自创了一些数学符号，比如，在一条短横‘__’的上方添上一竖，形成‘⊥’，表示加号；在一条短横‘__’的下方添上一竖，形成‘’，表示减号，等等. 但遗憾的是，由于种种原因，没有被推广普及. 后来即使使用了阿拉伯数字和世界通用的数学符号，但是表示方法仍与现在不同. 清朝末年出版的数学书，算式仍是直写格式，从右到左，从上到下书写. 给读写都带来很大困难. 一直到了辛亥革命以后，在启蒙算术课本中，才逐渐出现了目前我们见到的书写方式. ”

张纳川听后，深有感触地说：“没想到，小小的数学符号中，还有这么深刻的历史背景、这么深奥的大道理呢. ”

父子俩说着说着，就走出了这个展馆. 

刚一出门，忽然，听得前面人声鼎沸. 循声看去，只见许多人正围在一起谈论着什么. 

“这些人在干什么呢？”纳川自言自语着向前走去.

三、如何平分土地

张纳川父子正朝前走着，又看到一块告示牌，上面写着：

各位尊敬的游客：

在你了解了数学历史知识以后，欢迎您走进我们的主展区—— ‘数学城’的实际应用展区. 

在这里，我们只为您设计了问题的情景，请游客来解答. 这些问题，就像‘自助餐’一样，请游客自选自答. 答得对不对是次要的，我们的主要目的是为了培养您‘用数学’的意识. 请您根据自己的喜好选择‘景点’吧.

张纳川对爸爸说：“好吧，我还真想试试学的这点数学知识，有什么实际作用呢. 我们就先看看最热闹的地方有什么问题. ”

原来，这里有两个农民为土地分配发生了争执，找到村委会主任，请他把土地公平合理的分开. 村委会主任召集了几名负责土地分配的村民代表，一起出谋划策，大家还正在激烈的讨论着. 

这时，纳川父子挤进了人群，仔细一打听，才明白事情的来龙去脉：

村里有一块如图1所示的土地，要划出一条地界，把这块土地平均分给两户农民. 其中，BC这条边是一条灌溉用水渠的一岸. 因此，为了灌溉方便，两家农户想把土地平分的同时，也把靠近水源的BC边也平分了. 

村委会主任了解情况后，急忙把把负责土地分配的村民代表都找来，大家共同商量商量，尽快拿出个合理的分配方案，解决问题，以免两家农户为了这件事激化矛盾. 

大家认为：图1所示的图形，可以分隔为两个矩形（如图2、图3所示），或者补成一个大的矩形（如图4所示）. 

要想平分这种由矩形组合成的土地，首先要弄清怎样把一个矩形的面积平分. 先从最简单的问题分析，如图5所示的矩形ABCD，它的两条对角线所在的直线AC、BD，以及每组对边中点所在的直线A’C’、B’D’都能将矩形分成面积相等的两部分. 显然，用这四条直线作为分地依据，是不能满足要求的. 

大家经过观察，发现了这四条直线的一个共同特点：都经过对角线的交点O，那么，是否凡是经过点O的任意一条直线都能平分矩形面积呢？

下面就来试着证明一下这个结论：如图6，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，任意画一条直线EF经过点O，分别交AD、BC于E、F. 

在△AEO与△CFO中，AO=CO，∠EAO=∠FCO，∠AOE=∠COF，

∴△AEO≌△CFO. 

∴AE=CF.

∵矩形ABCD中，AD=BC,

∴DE=BF.

∴S梯形AEFB= 2(1)(AE+BF)·AB=2(1)(CF+DE)·CD= S梯形CFED. 

说明，经过矩形对角线交点的任意一条直线，都能将矩形的面积平分. 

利用这个结论，以及图2~图4所示的图形分析，分别画出每个图中两个矩形对角线的交点，经过这两个交点作一条直线，就能将每个图中的两个矩形面积分别平分，也就是对图1所示的土地进行平分了. 所以，一共有图7、图8、图9所示的三种分地方案. 

两位农民看到这三种方案，还是不满意：“你们这些方案只是把土地平分了，但是靠近水源的BC边并没用平分. 图7所示的方案，把BC边分给了一个户；图8所示的方案中，分到左边这份土地的那户占用BC边的部分，比右边的大；图9这好相反，所分BC边中，右边的部分比左边大. ”

这下，负责分地的几位代表都没辙了：就这么三种可行性方案，都不行. 这可怎么办呢？

村委会主任想给两位农民作做思想工作：“你们看，图7的方案显然是不行的，可是图8、图9所示的方案还值得考虑. 反正两家都能用上水，就不必过分强调谁分得多谁分得少了. 在这两种方案中选一种行不行呢？”

两位农民都不乐意：“那怎么行呢？这样分地太不公平了，谁愿意要水源少的那块地呢？”

村委会主任无奈地说：“那怎么办呢？又没有别的办法. 实在不行的话，只好抓阄，抓到哪块算哪块. ”

两位农民还是不同意：“凭什么就得有一家沾光、一家倒霉的呢？这不符合最初制定的土地分配原则，我们不抓阄. 分出的地是什么形状的，我们可以不计较，但是靠近水源的BC边必须平分. ”

眼看局面越来越僵，爸爸对纳川说：“你能帮忙吗？”

其实，从看到这个情况以后，纳川一直思考怎么分这块地. 这时，他已经胸有成竹了. 他走到村委会主任和两位农民面前，对他们说：“不用抓阄，我有分这块土地的办法了. ”

大家一听，停止了争论，惊喜地望着纳川：“你有什么办法？快谁谁看！”

纳川拿过刚才大家分析时画出的分地图纸，指着图7~图9说：“在这几个图的基础上，利用中心对称的性质就能解决问题了. ”说着，纳川在图纸上一边画图，一边分析：首先，我们分别找出三种分地方案的地界中点S，具体办法是：在图10中，过BC的中点T作BC边的垂线，交图7中作出的界线于点S；在图11中，过AB的中点作AB边的垂线，交图8中作出的界线于点S；在图12中，过CD的中点作CD边的垂线，交图9中作出的界线于点S，利用平行线等分线段定理的推论，可以证明点S分别是图7~图9中地界的中点. 然后，找出BC边的中点T，画出直线ST，如图10~图12中的粗实线所示的分界线：

分析上述图形，在图10与图12中，新的分界线都没能保持把土地平分的要求，不予考虑. 在图11的△PGS与△QTS中，PS=QS，∠PSG=∠QST，∠GPS=∠TQS，

∴△PGS≌△QTS. 

∴S△PGS=S△QTS. 

因此，这种分法仍然能使两家农户分地的土地面积相等，并且还把BC边同时平分了. 正好符合分地的原则. 

听完纳川的精彩分析，大家都为他竖起大拇指. 两位农民对这种分地方法表示满意. 一场分地风波就此平息了. 

爸爸看到纳川的表现，也很满意. 不过又提醒他：“前面还有很多问题等着我们去解决呢，可不要骄傲呦. ”

离开分地“景点”不远，走着走着，纳川看见两名同学不知为什么事情争论不休. 他又凑了过去. 

四、怎样买蛋便宜

张纳川走近一听，才知道，这两位同学正在辩论着谁买鸡蛋的方法更便宜呢. 

两位同学中，一位叫王刚，一位叫李飒. 他俩是邻居，他们都经常一块到门口的超市买鸡蛋. 两人卖鸡蛋各有各的办法：王刚每次都买10元钱的，李飒每次都买2千克. 

今天，他俩不约而同地想到一个问题：两人卖鸡蛋的次数相同，可是由于市场原因，每次鸡蛋的价钱并不完全相同，那么，谁的购买方法更便宜一些呢？

王刚说：“比较谁的购买方法更便宜一些，就是比较谁买的鸡蛋平均价格更低. 我认为一定是我的购买方法更便宜. ”

李飒很不服气：“我觉得我们俩的购买方法总体上说价钱是一样的，没有便宜不便宜的区别. ”

王刚说：“如果只买一次的话，当然一样. 可是现在我们买了好多次了，何况每次的鸡蛋价钱又不完全相同. 我们可以算一下. ”

李飒说：“都忘了买过多少次了，怎么算呢？”

王刚说：“就从最简单的情况开始考虑吧，我们算一下买两次鸡蛋的情况. ”说着，他在纸上算了起来：

设第一次买鸡蛋的价格为a1元/千克，第二次买鸡蛋的价格为a2元/千克，王刚两次买的鸡蛋平均价格为M元/千克，李飒两次买的鸡蛋平均价格为N元/千克，那么

M= a2(10)= a2(1)，

N= 2×2(2a1 + 2a2)= 2(a1 + a2).

下面怎么比较呢？王刚和李飒就不会了. 

这时，纳川这走过来. 他看了看说：“可以采用‘比商法’：对于两个正数M、N，如果M(N)>1，那么N>M；如果M(N)<1，那么NM(N)=1，那么N =M. ”

在纳川的提示下，王刚和李飒对刚才求出的M、N的大小进行了比较：

M(N)= 2(a1 + a2), a2(1)) a2(1) = 2(1)(a1+a2)× 2(1)( a2(1) )= 4(1)[ (a1+a2)× ( a2(1) )]

= 4(1)(1+ a2(a1)+ a1(a2)+1)= 4(1)(2+ a2(a1)+ a1(a2)).

算到这里，王刚和李飒又卡壳了. 

纳川说：“这就需要借助完全平方公式了. ”说着，他在纸上写道：

∵(a1-a2)2=a12+a22-2a1a2≥0,

∴a12+a22≥2a1a2,

∴a1a2(a12+a22)≥2.

∵a2(a1)+ a1(a2)= a1a2(a12+a22)，

∴M(N)= 4(1)(2+ a2(a1)+ a1(a2))= 4(1)(2+a1a2(a12+a22))≥4(1)(2+2)= 4(1)×4 =1,

∴N≥M.

在以上推导中，只有当a1=a2时，N=M才成立；否则，N>M. 这说明，只要两次买鸡蛋的价格不同，王刚购买的鸡蛋平均价格就比较低，比李飒买得便宜. 

李飒看到这个结果，还是有点不服气：“可是，我们买的不止两次呀，算一次的话，我们俩买的鸡蛋价格还一样呢. 现在，按两次算，王刚买得便宜. 说不定，按三次算，我买得还便宜呢. 何况现在的问题是，到底买过多少次，我们都记不清了，只记得买的次数一样多. ”

这时，一直在旁边默不作声的爸爸也说话了：“我觉得李飒的话似乎也有些道理. 你们能不能按一般情况，算一下买n次鸡蛋的情况如何呢？”

三个人一听，又继续研究起来：

设第1次买鸡蛋的价格为a1元/千克，第2次买鸡蛋的价格为a2元/千克，第3次买鸡蛋的价格为a3元/千克，……，第n次买鸡蛋的价格为an元/千克. 仍然设王刚n次买的鸡蛋平均价格为M元/千克，李飒n次买的鸡蛋平均价格为N元/千克，那么

M= an(10)= an(1)，

N= 2n(2a1 + 2a2 + 2a3 +…+ 2an)= n(a1 + a2 + a3 +…+ an).

∴M(N)= n(a1 + a2 + a3 +…+ an)   ,   an(1)   ) an(1) = n(1)(a1+a2+a3+…+an)× n(1)( an(1) )

= n2(1)[(a1+a2+a3+…+an) ( an(1) )]

 = n2(1) [(1+ a2(a1)+ an(a1))+（ a1(a2)+ 1+  an(a2)）

+（a1(a3)+ an(a3)）+…+（a1(an)+ an-1(an)）

= n2(1){ (1+1+1+…+1)+[( a2(a1)+a1(a2))+（a3(a1)+a1(a3)）+（a4(a1)+a1(a4)）+…+（an(a1)+a1(an)）]

+[( a3(a2)+a2(a3))+（a4(a2)+a2(a4)）+（a5(a2)+a2(a5)）+…+（an(a2)+a2(an)）]+…+( an(an-1)+an-1(an))}

≥ n2(1)[n+2(n-1)+2(n-2)+2(n-3)+…+2×3+2+×+2×1]

= n2(1){ n+2[(n-1)+(n-2)+(n-3)+…+3+2+1] }

= n2(1){n+ 2×2(n-1+1])} = n2(1)[n+ 2×2(n-1)]= n2(1)[n+n2-n]= n2(1)×n2=1.

∴N≥M.

在以上推导中，只有当每次购买鸡蛋的价格完全相同时，N=M才成立；否则，N>M. 这说明，只要买鸡蛋的价格每次不完全相同，不管购买多少次（多于1次），王刚购买的鸡蛋平均价格总是比较低的，比李飒买得便宜. 

这会儿，李飒才算真的服气了：“真是‘不算不知道，一算吓一跳’啊. 看来，我得改变购物方法了. ”

王刚自豪地说：“还是我的办法好吧. 其实，不仅仅是买鸡蛋，不管是买什么，每次买相同钱数的，总比每次买相同数量的要划算. ”

告别了王刚和李飒，纳川和爸爸接着向前走. 

父子俩又游览了好几处“景点”，不知不觉中，纳川走得有点迷路了. 这可怎么办呢？

五、迷路也有学问

爸爸看到张纳川一脸迷惑的样子，一问才知道纳川转向了. 爸爸笑着说：“转了这么长时间，有点累了. 我们就在这个树荫下的椅子上歇会儿吧. 顺便，我给你讲一下关于‘迷路’的学问. ”

“迷路还有什么学问？”

“当然有了. 有些人迷路是分不清方向了，就像你现在这样. 另外，有些人却觉得方向挺对的，还是走迷了路. 这种事尤其容易发生在夜间，或者是一些空旷的没有人烟的地方，于是，一些迷信的人就说这是‘迷路鬼’所为. 你知道里面真实的科学原因是什么吗？”

纳川说：“我没有想过这个问题. ”

“现在，我就给你讲一讲”，爸爸绘声绘色地给纳川讲了起来，引得几位游客也在他们面前停住了脚步. 爸爸先介绍了一位叫古德贝克的挪威生理学家对这种现象的研究：

这位生理学家在1896年曾作过一个实验：他带几个人来到一个开阔地带，让他们在正前方任意挑选目标，比如一棵小树. 然后，要求他们蒙上眼睛，笔直地朝小树走去. 结果发现，谁都不能笔直行进，而是走成了一段弧形路线，绕到了旁边. 

后来，他又搜集并鉴定了两个实例：

三位旅行家在一个雪夜里放弃大路不走，而想从宽4千米的山谷中穿过去. 他们走了很久，还只是在山谷中转圈. 他们觉得按时间计算应该已经到达目的地了，但是实际上他们又回到了原来的大路上. 他们连续试了五次，五次都回到原处. 最后，他们只好改变原来的计划，在山谷里坐等天明. 

还有另外一个例子. 在浓雾中，一些人想划着船渡过一个4千米宽的海峡. 他们两次划到了对岸的近旁，但又都莫名其妙地偏离了航向，在海峡中划了两个圈，最后又回到了他们原来出发的地方. 

那么，他们为什么都迷了路呢？

要弄清楚问题的根源，就先要知道：在眼睛帮不上多大忙的情况下，要想走一条直线，必备条件是什么. 就像汽车的两个轮子一样，在走直线时必须保持相同的前进方向和速度；人要沿直线前进，两条腿的工作状态就得完全相同， 两只脚迈的步子一样大才行；否则，一只脚迈的步子大，另一只脚迈的步子小，就会走偏了. 此时，只有靠眼睛来辨别方向，调整步伐了. 

但是令人遗憾的是，实际上，人的两腿肌肉发育并不能完全相同，两只脚的大小、力量都不一样，加之走路的习惯不同等等原因，一般来说，人在走路时，总是一条腿比另一条腿迈的步子稍微大些. 这时，如果眼睛不能很好的辨别方向，转圈的现象就在所难免了. 

如图13所示，假设这个行程是一个内径为R厘米的圆形. 在走路时，一般人的左右脚之间的距离（内外两个圆的半径差）大约是10厘米. 不妨设右脚平均每步（A’B’所在的弧长）比左脚每步（AB所在的弧长）多走x厘米. 

那么，左脚行走的路程为2πR厘米，右脚行走的路程为2π(R+10)厘米,右脚比左脚多走

2π(R+10) - 2πR = 20π（厘米）.

一般人每步（A与A’两个落脚点之间的距离）迈出大约70厘米，则走一个内侧的圆周需要迈 70(2πR)步，左右脚各走步数的一半，即 70(πR)步. 

由于右脚每步比左脚多跨出x厘米，于是

70(πR)·x = 20π.

解得                                          R x =1400.

这时，如果右脚每步比左脚多跨出1毫米，即x=0.1厘米的话，

R= x(1400) = 0.1(1400) =14000（厘米）=140（米）. 

这说明，如果右脚每步平均比左脚多跨出1毫米的话，如果不能及时调整，我们将会在一个半径为140米的圆里转圈. 

像刚才实例中提到的三位旅行家，在一个直径大约为4千米（半径R=2千米=200000厘米）的圆里转圈，两脚每步相差平均只有

x= R(1400) = 200000(1400) = 0.007（厘米）=0.07（毫米）. 

这么小的差距，人在一般情况下是很难发觉的. 划船的实例是由于手臂划桨时，左右手划出的距离不一样所致，具体原因与走路是一样的. 

纳川点点头，说：“这真好印证了那句古话，真是‘失之毫厘，谬以千里’呀！”

爸爸见纳川这样着迷，就说：“迷路了就要确定方向，我们的手表就是一个指南针. 下面，我再传授你一招——用手表判定方向. ”爸爸摘下了手腕上带的手表拿在手里，一边示范，一边讲解：

把手表水平放置，将当时当地的时间折半后，时针的位置冲着太阳，则表盘上“12”就指向北方. 比如，现在时间是11：20了，把这个时间（可以看作10：80）折半就是5：40，这时手表的时针应该指着“5”和“6”之间，靠近“6”的这个位置，让这个位置冲着太阳. 你看，这时“12”就指向北方. 下午的时间要按24小时制表示. 比如，下午2：00按14：00计算折半时间. 

你知道为什么能用这种方法判定方向吗？

纳川想了一会儿，终于想出了其中的奥秘：原来，在地球上看太阳，给人的感觉是每天太阳从东方升起，转到西方落下，次日又从东方升起，一天绕地球转了一周，即24小时转了3600，每小时转过的度数为：

3600÷24=150. 

其实，这是由于地球自转造成的. 地球在自转时，地轴指向北极星附近，可以大致认为是北方. 我们的手表时针转一周是12小时，即每小时转的度数为：

3600÷12=300. 

这表明太阳留给人印象中的转速是时针转速的2(1)倍. 我们看来，中午12：00的太阳在正上方偏南的位置，此时，表盘上的时针指向“12”. 把12：00这一时刻的时间折半后为6：00，若将折半后的时针位置指向太阳，则“12”的位置正好指向北方. 

由于太阳转速与时针转速的比值2(1)保持不变，所以以上方法对于任何时刻都能使用. 

父子俩又转了很多“景点”. 张纳川觉得收获颇多，一个劲地说：“真是不虚此行啊. ” 

爸爸一看时间也差不多了，对纳川说：“咱们先看到这儿吧，下午再来. ”

纳川一听，却说：“不行，今天下午不来了. ”

爸爸不解地问：“你这么喜欢来这个地方游览，怎么又不愿意来了呢？”

五、该买谁家电脑

原来，张纳川想起了临来时，和爸爸约定买电脑的事. 

经张纳川这么一提醒，爸爸才想了起来. 他爽快地说：“今天你的表现确实不错. 我宣布——下午去买电脑. 不如现在我们先转转看看，看好之后，下午直接拿钱来买就行了. ”

“好！——爸爸万岁！”纳川兴奋得都不知道说什么好了. 

这几天，正好赶上春华、秋实两家卖电脑的商场举行“优惠大酬宾”活动. 春华商场的宣传广告说“满100元，送20元，超值连环大赠送”，也就是在这家商场购物，买100元的商品，可以得到该商场提供的20元的购物券；买200元的商品，可以得到该商场提供的40元的购物券；以此类推；并且，用购物券购物时，也可以享受同样的待遇；但是，不足100元的没有购物券. 秋实商场宣传的是“全部商品八折优惠”，也就是都按标价的80%销售.

父子俩转了半天，终于看中了一台标价5600元的电脑,另外，还要购买60元的微机耗材，共计5660元. 

可是，到底怎样购买，选哪一家更合算呢？

回到家，爸爸：“这个选择到哪家商场买电脑的任务，就交给你完成了. ”

纳川一听，满口答应：“没问题，瞧好吧，保证给您省钱. ”

没想到，妈妈在旁边一听，插话了：“依我看，就买春华商场的吧，人家是‘奖连奖’. 你算算，我们花5660元，能够得到的购物券价值为：

5600×20%=1120（元）；

用这1120元购物券再买东西，还可以得到新的购物券，价值为：

1100×20%=220（元）；

用这220元购物券再买东西，又可以得到新的购物券，价值为：

200×20%=40（元）.

这样一来，我们得到的优惠是

1120+220+40=1380（元），

多实惠呀！”

张纳川一听，笑了：“妈妈，我知道您和爸爸是‘一伙’的，都是在考我. 就算真的要在春华商场买，也不是那个买法. ”

“那怎么买呢？”妈妈追问. 

张纳川一边在纸上演算，一边回答：“应该先不买60元的微机耗材，只买一台电脑，花5600元，得到的购物券价值为：

5600×20%=1120（元）；

用其中的1100元购物券再买东西，还可以得到新的购物券，价值为：

1100×20%=220（元）；

再用这220元中的200元购物券买东西，又可以得到新的购物券，价值为：

200×20%=40（元）；

这时再买那60元的微机耗材，连同上两次用购物券时省出的

20+20=40（元），

共计100元的现金和购物券购物，又得到新的购物券，价值为：

100×20%=20（元）.

这样一来，我们得到的优惠是

1120+220+40+20=1400（元），

比您的买法多买了20元的东西. ”

爸爸听后，连连点头：“那就按你的办法，在春华商场买了. ”

张纳川连忙说：“先别着急，我再算一下. 根据我的方法，在春华商场买的话，实际上是用5660元钱，买了的东西实际价格为：

5660+1400=7060（元），

优惠的百分比相当于

5660÷7060≈80.17%；

显然不如秋实商场的80%优惠合算. 在秋实商场花5660元，可以买到的东西实际价格为：

5660÷80%=7075（元），

比在春华商场多买了15元钱的商品. 

现在，我正式宣布——到秋实商场买电脑！”

看着纳川兴奋的样子，爸爸妈妈也都开心地笑了.