2010全国中考数学试题汇编:压轴题(六)及答案

2010年部分省市中考数学试题分类汇编
压轴题(六)
24、（茂名市本题满分8分）如图，在直角坐标系O中，正方形OCBA的顶点A、C分别在轴、轴上，点B坐标为（6，6），抛物线经过点A、B两点，且．
（1）求，，的值；       （3分）
（2）如果动点E、F同时分别从点A、点B出发，分别沿A→B、B→C运动，速度都是每秒1个单位长度，当点E到达终点B时，点E、F随之停止运动．设运动时间为秒，的面积为S．
①试求出S与之间的函数关系式，并求出S的最大值；              （2分）
②当S取得最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以E、B、R、F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出点R的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3分）
解：（1）由已知A（0，6）、B（6，6）在抛物线上，

得方程组：                    ······1分       解得：       ·············3分

（2）①运动开始秒时，EB＝，BF＝，
S＝，··········4分
因为，
所以当时，S有最大值．··················5分
②当S取得最大值时，由①知，所以BF＝3，CF＝3，EB＝6-3＝3．
若存在某点R，使得以E、B、R、F为顶点的四边形是平行四边形，
则，即可得R1为（9，3）、（3，3）；··················6分
或者，可得R2为（3，9）．·························7分
再将所求得的三个点代入，可知只有点（9，3）在抛物线上，因此抛物线上存在点R1（9，3），使得四边形EBRF为平行四边形．············8分
25、（茂名市本题满分8分）已知⊙O1的半径为R，周长为C．
（1）在⊙O1内任意作三条弦，其长分别是、、．求证：++< C；  （3分）
（2）如图，在直角坐标系O中，设⊙O1的圆心为O1．
①当直线：与⊙O1相切时，求的值；（2分）
②当反比例函数的图象与⊙O1有两个交点时，
求的取值范围．                                 （3分）
解：
（1）证明：，，．++，2分
因此，++< C．··········································3分
（2）解：①如图，根据题意可知⊙O1与与轴、轴分别相切，设直线与⊙O1相切于点M，则O1M⊥l，过点O1作直线NH⊥轴，与交于点N，与轴交于点H，又∵直线与轴、轴分别交于点E（，0）、F（0，），∴OE＝OF＝，∴∠NEO＝45o，∴∠ENO1＝45o，在Rt△O1MN中，O1N＝O1Msin45o＝，
∴点N的坐标为N（R，），················4分
把点N坐标代入得：，解得：，··········5分
②如图，设经过点O、O1的直线交⊙O1于点A、D，则由已知，直线OO1：是圆与反比例函数图象的对称轴，当反比例函数的图象与⊙O1直径AD相交时（点A、D除外），则反比例函数的图象与⊙O1有两个交点．
过点A作AB⊥轴交轴于点B，过O1作O1C⊥轴于点C，OO1＝O1Csin45o＝，OA＝，所以OB＝AB＝sin45o＝，
因此点A的坐标是A，将点A的坐标 代入，解得：．·····································6分
同理可求得点D的坐标为D，
将点D的坐标代入，解得： ······7分
所以当反比例函数的图象与⊙O1有两个交点时，的取值范围是：······················· 8分
25．（湘西自治州 本题20分）如图，已知抛物线经过点和，
（1）求出抛物线的解析式；
（2）写出抛物线的对称轴方程及顶点坐标；
（3）点P(m，m) 与点Q均在抛物线上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴 对称，求m的值及点Q的坐标;
（4）在满足（3）的情况下，在抛物线的对称轴上寻找一点M，使得△QMA的周长最小.
解：（1）依题意有
即……2分
……4分
∴抛物线的解析式为：……5分
（2）把配方得，
∴对称轴方程为……7分
顶点坐标……10分
（3）由点在抛物线上
有……12分
即
∴或（舍去） ……13分
∴
∵点、均在抛物线上，且关于对称轴对称
∴……15分
（4）连接，直线与对称轴相交于点
由于两点关于对称轴对称，由轴对称性质可知，此时的交点，能够使 得△的周长最小. ……17分
设直线的解析式
∴有 ∴
∴直线的解析式为：……18分
设点
则有……19分
此时点能够使得△的周长最小. ……20分
26．（湘潭市 本题满分10分）
如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，以线段AB为直径作⊙C，抛物线过A、C、O三点．
(1) 求点C的坐标和抛物线的解析式；
(2) 过点B作直线与x轴交于点D，且OB2=OA·OD，求证：DB是⊙C的切线；
(3) 抛物线上是否存在一点P， 使以P、O、C、A为顶点的四边形为直角梯形，如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

解：（1）A（6，0），B（0，6）             ……………………1分
连结OC,由于∠AOB=90o，C为AB的中点，则，
所以点O在⊙C上（没有说明不扣分）．
过C点作CE⊥OA，垂足为E，则E为OA中点,故点C的横坐标为3．
又点C在直线y=－x+6上，故C（3，3）    ……………………2分
抛物线过点O，所以c=0,
又抛物线过点A、C，所以，解得：
所以抛物线解析式为   　 　…………………3分
（2）OA=OB=6代入OB2=OA·OD，得OD=6   　 ……………………4分
所以OD=OB=OA，∠DBA=90o．       　  ……………………5分
又点B在圆上，故DB为⊙C的切线     　 ……………………6分
（通过证相似三角形得出亦可）
（3）假设存在点P满足题意．因C为AB中点,O在圆上,故∠OCA=90o,
要使以P、O、C、A为顶点的四边形为直角梯形，
则 ∠CAP=90o或 ∠COP=90o,              ……………………7分
若∠CAP=90o,则OC∥AP，因OC的方程为y=x,设AP方程为y=x+b．
又AP过点A（6，0），则b=－6,              ……………………8分
方程y=x－6与联立解得：，，
故点P1坐标为（－3，－9）                    ……………………9分
若∠COP=90o,则OP∥AC，同理可求得点P2（9，－9）
(用抛物线的对称性求出亦可)
故存在点P1坐标为（－3，－9）和P2（9，－9）满足题意．…………10分
28．(甘肃省 本小题满分12分)如图，抛物线与x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，－3），设抛物线的顶点为D．
（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；
（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？
（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请指出符合条件的点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）设该抛物线的解析式为，
由抛物线与y轴交于点C（0，－3）,可知.
即抛物线的解析式为．                  ………………………1分
把A（－1，0）、B（3，0）代入, 得
解得.
∴ 抛物线的解析式为y = x2－2x－3．   ……………………………………………3分
∴ 顶点D的坐标为.       ……………………………………………………4分
说明：只要学生求对，不写“抛物线的解析式为y = x2－2x－3”不扣分.
（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形.        ……………………………5分
理由如下：
过点D分别作轴、轴的垂线，垂足分别为E、F.

在Rt△BOC中，OB=3，OC=3，∴ .            …………………………6分
在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF-OC=4-3=1，∴ .   …………………………7分
在Rt△BDE中，DE=4，BE=OB-OE=3-1=2，∴ .  …………………………8分
∴ ， 故△BCD为直角三角形.       …………………………9分
（3）连接AC，可知Rt△COA∽ Rt△BCD，得符合条件的点为O（0，0）．  ………10分

过A作AP1⊥AC交y轴正半轴于P1，可知Rt△CAP1 ∽ Rt△COA∽ Rt△BCD，
求得符合条件的点为．           …………………………………………11分
过C作CP2⊥AC交x轴正半轴于P2，可知Rt△P2CA∽ Rt△COA∽ Rt△BCD，
求得符合条件的点为P2（9，0）．         …………………………………………12分
∴符合条件的点有三个：O（0，0），，P2（9，0）.
26．（桂林市 本题满分12分）如图，过A（8，0）、B（0，）两点的直线与直线交于点C．平行于轴的直线从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴向右平移，到C点时停止；分别交线段BC、OC于点D、E，以DE为边向左侧作等边△DEF，设△DEF与△BCO重叠部分的面积为S（平方单位），直线的运动时间为t（秒）．
（1）直接写出C点坐标和t的取值范围；
（2）求S与t的函数关系式；
（3）设直线与轴交于点P，是否存在这样的点P，使得以P、O、F为顶点的三角形为等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解（1）C（4，）  ……………………………2分
的取值范围是：0≤≤4  ……………………………… 3分
（2）∵D点的坐标是（，），E的坐标是（，）
∴DE=-=     ……………………4分
∴等边△DEF的DE边上的高为：
∴当点F在BO边上时：=，∴=3  ……………………5分
当0≤<3时，重叠部分为等腰梯形，可求梯形上底为：-  …7分
S=
=
=  ………………………………8分
当3≤≤4时，重叠部分为等边三角形
S=  …………………  9分
=  ……………………10分
（3）存在，P（，0）  ……………………12分
说明：∵FO≥，FP≥，OP≤4
∴以P，O，F以顶点的等腰三角形，腰只有可能是FO，FP,
若FO=FP时，=2（12-3），=，∴P（，0）
30. (江西省南昌市)
课题：两个重叠的正多边形，其中的一个绕某一个顶点旋转所形成的有关问题．
实验与论证
设旋转角∠A1A0B1＝α（α＜∠A1A0B1），θ1，θ2，θ3，θ4，θ5，θ6所表示的角如图所示．

（1）用含α的式子表示：θ3＝_________，θ4＝_________，θ5＝_________；
（2）图1－图4中，连接A0H时，在不添加其他辅助线的情况下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段？若存在，请选择期中的一个图给出证明；若不存在，请说明理由；
归纳与猜想
设正n边形A0A1A2…An-1与正n边形A0B1B2…Bn-1重合（其中，A1与B1重合），现将正n边形A0B1B2…Bn-1绕顶点A0逆时针旋转α（）．
（3）设θn与上述“θ3，θ4，…”的意义一样，请直接写出θn的度数；
（4）试猜想在正n边形且不添加其他辅助线的情形下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段？若存在，请将这条线段用相应的顶点字母表示出来（不要求证明）；若不存在，请说明理由．
解：（1），  ，   . 3分
说明：每写对一个给1分.
（2）存在.下面就所选图形的不同分别给出证明：
选图1.图1中有直线垂直平分，证明如下：

图1
方法一：
证明：∵与是全等的等边三角形，
∴，
∴.
又∵.
∴   .
∴.∴点H在线段的垂直平分线上.
又∵，∴点在线段的垂直平分线上
∴直线垂直平分8分
方法二：
证明：∵与是全等的等边三角形，
∴，
∴.
又.
∴
∴.
在与中
∵，，
∴≌.∴
∴是等腰三角形的顶角平分线.
∴直线垂直平分.   8分
选图2.图2中有直线垂直平分，证明如下：

图2
∵
∴
又∵，
∴   .
∴.∴点H在线段的垂直平分线上.
又∵，∴点在线段的垂直平分线上
∴直线垂直平分.  8分
说明：（ⅰ）在图2中选用方法二证明的，参照上面的方法二给分；
（ⅱ）选择图3或图4给予证明的，参照上述证明过程评分.
(3)当为奇数时，，
当为偶数时，    10分
（4）存在.当为奇数时，直线垂直平分，
当为偶数时，直线垂直平分. 12分
26．（山东省泰安市 本小题满分10分）
如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F。
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，BE=1，求cosA的值.

解：（1）证明：连结AD、OD

∵AC是直径
∴AD⊥BC （2分）
∵AB=AC
∴D是BC的中点
又∵O是AC的中点
∴OD//AB （4分）
∵DE⊥AB
∴OD⊥DE
∴DE是⊙O的切线 （6分）
（2）由（1）知OD//AE
∴（8分）
∴
∴
解得FC=2
∴AF=6
∴cosA=（10分）
23．（深圳市本题9分）如图10，以点M（－1,0）为圆心的圆与y轴、x轴分别交于点A、B、C、D，直线y＝－ 3(3)x－ 3(3)与⊙M相切于点H，交x轴于点E，交y轴于点F．
（1）请直接写出OE、⊙M的半径r、CH的长；（3分）
（2）如图11，弦HQ交x轴于点P，且DP:PH＝3:2，求cos∠QHC的值；（3分）
（3）如图12，点K为线段EC上一动点（不与E、C重合），连接BK交⊙M于点T，弦AT交x轴于点N．是否存在一个常数a，始终满足MN·MK＝a，如果存在，请求出a的值；如果不存在，请说明理由．（3分）

解：
（1）、如图4，OE=5，，CH=2

（2）、如图5，连接QC、QD，则，
易知，故，
，，由于，
；
（3）、如图6，连接AK，AM，延长AM，
与圆交于点G，连接TG，则

，
由于，故，；
而，故
在和中，；
故；
;
即：
故存在常数，始终满足
常数
25、（天津市 本小题10分）
在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在轴、
轴的正半轴上，，，D为边OB的中点.
（Ⅰ）若为边上的一个动点，当△的周长最小时，求点的坐标；

（Ⅱ）若、为边上的两个动点，且，当四边形的周长最小时，求点、的坐标.
解：（Ⅰ）如图，作点D关于轴的对称点，连接与轴交于点E，连接.
若在边上任取点（与点E不重合），连接、、.
由，
可知△的周长最小.
∵ 在矩形中，，，为的中点，
∴ ，，.
∵ OE∥BC，
∴ Rt△∽Rt△，有.
∴ .
∴ 点的坐标为（1，0）.        ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（Ⅱ）如图，作点关于轴的对称点，在边上截取，连接与轴交于点，在上截取.
∵ GC∥EF，，
∴ 四边形为平行四边形，有.
又 、的长为定值，
∴ 此时得到的点、使四边形的周长最小.
∵ OE∥BC，
∴ Rt△∽Rt△, 有 .
∴ .
∴ .
∴ 点的坐标为（，0），点的坐标为（，0）. ．．．．．．．．．．．．．．．10分
26、（天津市 本小题10分）
在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴的正半轴交于点，顶点为.
（Ⅰ）若，，求此时抛物线顶点的坐标；
（Ⅱ）将（Ⅰ）中的抛物线向下平移，若平移后，在四边形ABEC中满足
S△BCE = S△ABC，求此时直线的解析式；
（Ⅲ）将（Ⅰ）中的抛物线作适当的平移，若平移后，在四边形ABEC中满足
S△BCE = 2S△AOC，且顶点恰好落在直线上，求此时抛物线的解析式.
解：（Ⅰ）当，时，抛物线的解析式为，即.
∴ 抛物线顶点的坐标为（1，4）．               ．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
（Ⅱ）将（Ⅰ）中的抛物线向下平移，则顶点在对称轴上，有，
∴ 抛物线的解析式为（）．
∴ 此时，抛物线与轴的交点为，顶点为．
∵ 方程的两个根为，，
∴ 此时，抛物线与轴的交点为，．
如图，过点作EF∥CB与轴交于点，连接，则S△BCE = S△BCF．
∵ S△BCE = S△ABC，
∴ S△BCF = S△ABC．
∴ ．
设对称轴与轴交于点，
则．
由EF∥CB，得．
∴ Rt△EDF∽Rt△COB．有．
∴ ．结合题意，解得 ．
∴ 点，．
26.( 大连市)如图17，抛物线F：与轴相交于点C，直线经过点C且平行于轴，将向上平移t个单位得到直线，设与抛物线F的交点为C、D，与抛物线F的交点为A、B，连接AC、BC
（1）当，，，时，探究△ABC的形状，并说明理由；
（2）若△ABC为直角三角形，求t的值（用含a的式子表示）；
（3）在（2）的条件下，若点A关于轴的对称点A’恰好在抛物线F的对称轴上，连接A’C，BD，求四边形A’CDB的面积（用含a的式子表示）

解：（1）结论：是直角三角形. 1分
由题意：
令
解得
点的坐标分别为
设与轴相交于点，在和中


是直角三角形 2分
（2）由题意，，设点的坐标为
3分
4分
设为的中点，则点的坐标为
为直角三角形
5分
即6分
7分
（舍去） 8分
（3）依题意，点与点重合
在抛物线的对称轴上，与关于轴对称

轴


四边形是平行四边形 9分
在中
与关于轴对称

为等边三角形 10分
11分
12分
设直线的解析式为，则
  解得  
∴ 直线的解析式为.       ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（Ⅲ）根据题意，设抛物线的顶点为，（，360docimg_501_）
则抛物线的解析式为360docimg_502_，
此时，抛物线与360docimg_503_轴的交点为360docimg_504_，
与360docimg_505_轴的交点为360docimg_506_，360docimg_507_.（360docimg_508_）360docimg_509_
过点360docimg_510_作EF∥CB与360docimg_511_轴交于点360docimg_512_，连接360docimg_513_，
则S△BCE = S△BCF.
由S△BCE = 2S△AOC，
∴ S△BCF = 2S△AOC. 得360docimg_514_.
设该抛物线的对称轴与360docimg_515_轴交于点360docimg_516_.
则 360docimg_517_.
于是，由Rt△EDF∽Rt△COB，有360docimg_518_．
∴ 360docimg_519_，即360docimg_520_．
结合题意，解得 360docimg_521_．                         ①
∵ 点360docimg_522_在直线360docimg_523_上，有360docimg_524_．  ②
∴ 由①②，结合题意，解得360docimg_525_．
有360docimg_526_，360docimg_527_．
∴ 抛物线的解析式为360docimg_528_．    ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
28．(徐州市 本题10分)如图，已知二次函数y=360docimg_529_的图象与y轴交于点A，与x轴交于B、C两点，其对称轴与x轴交于点D，连接AC．
(1)点A的坐标为_______ ，点C的坐标为_______ ；
(2)线段AC上是否存在点E，使得△EDC为等腰三角形?若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)点P为x轴上方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，若所得△PAC的面积为S，则S取何值时，相应的点P有且只有2个?
360docimg_530_