2010全国中考数学试题汇编:图形的相似与位似(含答案)

2010年 部分省市中考 数学试题分类汇编
图形的相似与位似
1. (2010年福建省德化县)如图，小“鱼”与大“鱼”是位似图形，如果小“鱼”
上一个“顶点”的坐标为，那么大“鱼”上对
应“顶点”的坐标为                    （     ）
Ａ、Ｂ、
Ｃ、Ｄ、
【关键词】位似中心是原点的坐标之间的关系（若相似比为k,
则坐标之比同侧为k异侧为-k)
【答案】C
2．（2010江苏泰州，）一个铝质三角形框架三条边长分别为24cm、30cm、36cm，要做一个与它相似的铝质三角形框架，现有长为27cm、45cm的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边．截法有（     ）
A.0种      B. 1种      C. 2种     D. 3种
【答案】B
【关键词】相似三角形的判定
3.（2010年宁德市）如图，在□ABCD中，AE＝EB，AF＝2，则FC等于_____．
【答案4】
1.（2010年台湾省）图(一)表示D、E、F、G四点在△ABC三边上的位置，其中与
  交于H点。若ÐABC=ÐEFC=70°，ÐACB=60°，ÐDGB=40°，则下列哪
一组三角形相似？
(A) △BDG，△CEF     (B) △ABC，△CEF
(C) △ABC，△BDG     (D) △FGH，△ABC 。【关键词】相似
【答案】B
3.(2010福建泉州市惠安县)两个相似三角形的面积比是9:16，则这两个三角形的相似比是（     ）
A.9:16          B. 3:4          C.9：4           D.3:16
【关键词】相似三角形的性质
【答案】B
4. (2010年兰州市)  如图，上体育课，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲，乙同学相距1米.甲身高1.8米，乙身高1.5米，则甲的影长是       米.
【关键词】图形的相似
【答案】6
5.（2010辽宁省丹东市）如图，与是位似图形，且位似比
是，若AB=2cm，则       cm，
并在图中画出位似中心O．
【关键词】位似
【答案】．4（填空2分，画图1分）

6．(2010年安徽省芜湖市)如图，光源P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB＝2m，CD＝6m，点P到CD的距离是2.7m，则AB与CD间的距离是__________m．

【关键词】投影 相似三角形
【答案】
7．(2010重庆市)已知△ABC与△DEF相似且对应中线的比为2:3，则△ABC与△DEF的周长比为_____________.
解析：由相似三角形的对应线段比等于相似比知，△ABC与△DEF的周长比为2:3
答案：2:3.
8．（2010山东德州）如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_____m.

【关键词】三角形相似
【答案】4
9.（2010重庆潼南县）12. △ABC与△DEF的相似比为3：4，则△ABC与△DEF的周长比为           .
答案：3：4
10. (2010重庆市潼南县)△ABC与△DEF的相似比为3：4，则△ABC与△DEF的周长比为           .
答案：3:4.
11.(2010年浙江省金华). 如图在边长为2的正方形ABCD中，E，F，O分别是AB，CD，AD的中点，以O为圆心，以OE为半径画弧EF.P是上的一个动点，连
结OP，并延长OP交线段BC于点K，过点P作⊙O
的切线，分别交射线AB于点M，交直线BC于点G.
若，则BK﹦        .
【关键词】正方形、相似、切线定理
【答案】或 
12.一天，小青在校园内发现：旁边一颗树在阳光下的影子和她本人的影子在同一直线上，树顶的影子和她头顶的影子恰好落在地面的同一点，同时还发现她站立于树影的中点（如图所示）.如果小青的峰高为1.65米，由此可推断出树高是_______米.     3.3

13.. (2010浙江衢州)
如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF
的顶点都在方格纸的格点上．
(1)　判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；
(2)　P1，P2，P3，P4，P5，D，F是△DEF边上的7个格点，请在这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似(要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连结相应线段，不必说明理由)．

解：(1)　△ABC和△DEF相似． ……2分
根据勾股定理，得，，BC=5 ；
，，．
∵， ……3分
∴　△ABC∽△DEF． ……1分
(2)　答案不唯一，下面6个三角形中的任意2个均可． ……4分
△P2P5D，△P4P5F，△P2P4D，
△P4P5D，△P2P4 P5，△P1FD．

14．（2010江西）图1所示的遮阳伞，伞炳垂直于水平地面，起示意图如图2.当伞收紧时，点P与点A重合；当三慢慢撑开时，动点P由A向B移动；当点P到达点B时，伞张得最开。已知伞在撑开的过程中，总有PM=PN=CM=CN=6.0分米，CE=CF=18.0分米．BC=2.0分米。设AP=ｘ分米.

（1）求ｘ的取值范围；
（2）若∠CPN=60度，求ｘ的值；
（3）设阳光直射下伞的阴影（假定为圆面）面积为ｙ，求ｙ与ｘ的关系式（结构保留）
【关键词】菱形、圆、等边三角形、相似三角形的性质与判定、勾股定理、二次函数、动手操作等
【答案】23.解（1）因为BC=2，AC=CN+PN=12，所以AB=12-2=10
所以ｘ的取值范围是
（2） 因为CN=PN，∠CPN=60°，所以三角形PCN是等边三角形．所以CP=6
所以AP=AC-PC=12-6=6
即当∠CPN=60°时，ｘ=6分米
（3） 连接MN、EF，分别交AC与0、H，
因为PM=PN=CM=CN，所以四边形PNCM是菱形。
所以MN与PC互相垂直平分，AC是∠ECF的平分线

在中，PM=6，

又因为CE=CF，AC是∠ECF的平分线，所以EH=HF，EF垂直AC。
因为∠ECH=∠MCO，∠EHC=∠MOC=90°，
所以，所以MO/EH=CM/CE
所以
所以
所以
15.（2010珠海）19.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，
连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.
(1) 求证：△ADF∽△DEC
(2) 若AB＝4,AD＝3,AE＝3,求AF的长.

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC   AB∥CD
∴∠ADF=∠CED     ∠B+∠C=180°
∵∠AFE+∠AFD=180  ∠AFE=∠B
∴∠AFD=∠C
∴△ADF∽△DEC
(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC  CD=AB=4
又∵AE⊥BC        ∴ AE⊥AD
在Rt△ADE中，DE=
∵△ADF∽△DEC
∴         ∴    AF=
16.(2010年滨州)本题满分8分)如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE，∠ABC=∠ADE．
(1)写出图中两对相似三角形（不得添加辅助线）；
(2)请分别说明两对三角形相似的理由．

解：(1) △ABC∽△ADE, △ABD∽△ACE
(2)①证△ABC∽△ADE．
∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，
即∠BAC=∠DAE
又∵∠ABC=∠ADE，
∴△ABC∽△ADE．
②证△ABD∽△ACE．
∵△ABC∽△ADE，
∴
又∵∠BAD=∠CAE，
∴△ABD∽△ACE
(2010年滨州)15．如图,A、B两点被池塘隔开,在AB外取一点C,连结AC、BC，在AC上取点M，使AM=3MC，作MN∥AB交BC于N，量得MN=38cm,则AB的长为         
【答案】152
17.（2010日照市）
如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC与E，交BC与D．求证：
（1）D是BC的中点；
（2）△BEC∽△ADC；      
（3）BC2=2AB·CE．
（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90° ，
即AD是底边BC上的高．
又∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，
∴D是BC的中点
(2) 证明：∵∠CBE与∠CAD是同弧所对的圆周角，
∴ ∠CBE=∠CAD．
又∵ ∠BCE=∠ACD，
∴△BEC∽△ADC；
（3）证明：由△BEC∽△ADC，知，
即CD·BC=AC·CE．
∵D是BC的中点，∴CD=BC．
又 ∵AB=AC，∴CD·BC=AC·CE=BC ·BC=AB·CE
即BC=2AB·CE．
18.（8分）（2010年浙江省东阳市）如图，BD为⊙O的直径，点A是弧BC的中点，AD交BC于E点，AE=2，ED=4.
（1）求证: ～；
(2) 求的值；
（3）延长BC至F，连接FD，使的面积等于，
求的度数.
【关键词】图形相似  三角函数
【答案】（１）∵点A是弧BC的中点　∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＢ
又∵∠ＢＡＥ＝∠ＢＡＥ　　∴△ＡＢＥ∽△ＡＢＤ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３分
（２）∵△ＡＢＥ∽△ＡＢＤ　∴ＡＢ２＝２×６＝１２　∴ＡＢ＝２
在Ｒｔ△ＡＤＢ中，ｔａｎ∠ＡＤＢ＝．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３分
（３）连接ＣＤ，可得ＢＦ＝８，ＢＥ＝４，则ＥＦ＝４，△ＤＥＦ是正三角形，
∠ＥＤＦ＝６°．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
19.（2010年四川省眉山市）．如图，Rt△AB ¢C ¢ 是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，连结CC ¢ 交斜边于点E，CC ¢ 的延长线交BB ¢ 于点F．
（1）证明：△ACE∽△FBE；
（2）设∠ABC=，∠CAC ¢ =，试探索、满足什么关系时，△ACE与△FBE是全等三角形，并说明理由．
【关键词】图形的旋转、相似三角形的判定、全等三角形的判定
【答案】（1）证明：∵Rt△AB ¢C ¢ 是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，
∴AC=AC ¢，AB=AB ¢，∠CAB=∠C ¢AB ¢
        ∴∠CAC ¢=∠BAB ¢
∴∠ACC ¢=∠ABB ¢
又∠AEC=∠FEB
∴△ACE∽△FBE
（2）解：当时，△ACE≌△FBE．
在△ACC¢中，∵AC=AC ¢，
∴
在Rt△ABC中，
∠ACC¢+∠BCE=90°，即，
∴∠BCE=．
∵∠ABC=，
∴∠ABC=∠BCE
∴CE=BE
由（1）知：△ACE∽△FBE，
∴△ACE≌△FBE．
20. （2010年安徽中考）如图，已知△ABC∽△，相似比为（），且△ABC的三边长分别为、、（），△的三边长分别为、、。
⑴若，求证：；
⑵若，试给出符合条件的一对△ABC和△，使得、、和、、进都是正整数，并加以说明；
⑶若，，是否存在△ABC和△使得？请说明理由。
【关键词】三角形相似
【答案】
（1） 证明：∵△ABC∽△，且相似比为（），∴∴
又∵，所以
（2）取a=8,b=6,c=4，同时取
此时∴
（1） 不存在这样的△ABC和△，理由如下：
若k=2，则
又∵，，
∴
∴b=2c
∴b+c=2c+c<4c=a，而b+c>a
故不存在这样的△ABC和△使得。
21、（2010年宁波）如图1、在平面直角坐标系中，O是坐标原点，□ABCD的顶点A的坐标为（－2，0），点D的坐标为（0，），点B在轴的正半轴上，点E为线段AD的中点，过点E的直线与轴交于点F，与射线DC交于点G。
（1）求的度数;
（2）连结OE，以OE所在直线为对称轴，△OEF经轴对称变换后得到△，记直线与射线DC的交点为H。
①如图2，当点G在点H的左侧时，求证：△DEG∽△DHE;
②若△EHG的面积为，请直接写出点F的坐标。
解：（1）
（2）（2，）
（3）①略
②过点E作EM⊥直线CD于点M
∵CD∥AB
∴
∴
∵
∴
∵△DHE∽△DEG
∴即
当点H在点G的右侧时，设，
∴
解：
∴点F的坐标为（，0）
当点H在点Ｇ的左侧时，设，
∴
解：，（舍）
∵△ＤＥＧ≌△ＡＥＦ
∴
∵
∴点Ｆ的坐标为（，0）
综上可知，点Ｆ的坐标有两个，分别是（，0），（，0）