2010全国中考数学试题汇编:压轴题(三)及答案

来源：百度文库编辑：神马文学网时间：2024/04/27 16:18:34

2010年部分省市中考数学试题分类汇编
压轴题(二)
26．（河北省本小题满分12分）
某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．
若只在国内销售，销售价格y（元/件）与月销量x（件）的函数关系式为y =

x＋150，
成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w内（元）（利润 = 销售额－成本－广告费）．
若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a元/件（a为
常数，10≤a≤40），当月销量为x（件）时，每月还需缴纳

x2 元的附加费，设月利润为w外（元）（利润 = 销售额－成本－附加费）．
（1）当x = 1000时，y = 元/件，w内 = 元；
（2）分别求出w内，w外与x间的函数关系式（不必写x的取值范围）；
（3）当x为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求a的值；
（4）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大？
参考公式：抛物线

的顶点坐标是

．
解：（1）140 57500；
（2）w内 = x（y -20）- 62500 =

x2＋130 x

，
w外 =

x2＋（150

）x．
（3）当x =

= 6500时，w内最大；分
由题意得

，
解得a1 = 30，a2 = 270（不合题意，舍去）．所以 a = 30．
（4）当x = 5000时，w内 = 337500， w外 =

．
若w内＜ w外，则a＜32.5；
若w内 = w外，则a = 32.5；
若w内＞ w外，则a＞32.5．
所以，当10≤ a ＜32.5时，选择在国外销售；
当a = 32.5时，在国外和国内销售都一样；
当32.5＜ a ≤40时，选择在国内销售．
23． (德州市本题满分11分)
已知二次函数

的图象经过点A(3，0)，B(2，-3)，C(0，-3)．
(1)求此函数的解析式及图象的对称轴；
(2)点P从B点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段BC向C点运动，点Q从O点出发以相同的速度沿线段OA向A点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动．设运动时间为t秒．
①当t为何值时，四边形ABPQ为等腰梯形；

②设PQ与对称轴的交点为M，过M点作x轴的平行线交AB于点N，设四边形ANPQ的面积为S，求面积S关于时间t的函数解析式，并指出t的取值范围；当t为何值时，S有最大值或最小值．
解：(1)∵二次函数

的图象经过点C(0，-3)，
∴c =-3．
将点A(3，0)，B(2，-3)代入

得

解得：a=1，b=-2．
∴

．-------------------2分
配方得：

，所以对称轴为x=1．-------------------3分
(2) 由题意可知：BP= OQ=0.1t．
∵点B，点C的纵坐标相等，
∴BC∥OA．
过点B，点P作BD⊥OA，PE⊥OA，垂足分别为D，E．
要使四边形ABPQ为等腰梯形，只需PQ=AB．
即QE=AD=1．
又QE=OE－OQ=(2-0.1t)-0.1t=2-0.2t，
∴2-0.2t=1．
解得t=5．
即t=5秒时，四边形ABPQ为等腰梯形．-------------------6分
②设对称轴与BC，x轴的交点分别为F，G．
∵对称轴x=1是线段BC的垂直平分线，
∴BF=CF=OG=1．
又∵BP=OQ，
∴PF=QG．
又∵∠PMF=∠QMG，
∴△MFP≌△MGQ．
∴MF=MG．
∴点M为FG的中点 -------------------8分
∴S=

，
=

．
由

．

．
∴S=

．-------------------10分
又BC=2，OA=3，
∴点P运动到点C时停止运动，需要20秒．
∴0∴当t=20秒时，面积S有最小值3．------------------11分
26.（宁德市本题满分13分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，BC＝6，AD＝3，∠DCB＝30°.点E、F同时从B点出发，沿射线BC向右匀速移动.已知F点移动速度是E点移动速度的2倍，以EF为一边在CB的上方作等边△EFG．设E点移动距离为x（x＞0）.
⑴△EFG的边长是____（用含有x的代数式表示），当x＝2时，点G的位置在_______；
⑵若△EFG与梯形ABCD重叠部分面积是y，求
①当0＜x≤2时，y与x之间的函数关系式；
②当2＜x≤6时，y与x之间的函数关系式；

⑶探求⑵中得到的函数y在x取含何值时，存在最大值，并求出最大值.
解：⑴ x，D点；………………3分
⑵ ①当0＜x≤2时，△EFG在梯形ABCD内部，所以y＝

x2；………………6分
②分两种情况：
Ⅰ.当2＜x＜3时，如图1，点E、点F在线段BC上，
△EFG与梯形ABCD重叠部分为四边形EFNM，
∵∠FNC＝∠FCN＝30°,∴FN＝FC＝6－2x.∴GN＝3x－6.
由于在Rt△NMG中，∠G＝60°，
所以，此时 y＝

x2－

（3x－6）2＝

.………………9分
Ⅱ.当3≤x≤6时，如图2，点E在线段BC上，点F在射线CH上，
△EFG与梯形ABCD重叠部分为△ECP，
∵EC＝6－x,
∴y＝

（6－x）2＝

.………………11分
⑶当0＜x≤2时，∵y＝

x2在x＞0时，y随x增大而增大，
∴x＝2时，y最大＝

；
当2＜x＜3时，∵y＝

在x＝

时，y最大＝

；
当3≤x≤6时，∵y＝

在x＜6时，y随x增大而减小，
∴x＝3时，y最大＝

.………………12分

综上所述：当x＝

时，y最大＝

.………………13分

25．（2010年北京顺义）如图，直线

：

平行于直线

，且与直线

：

相交于点

．
（1）求直线

、

的解析式；
（2）直线

与y轴交于点A．一动点

从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线

上的点

处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线

上的点

处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线

上的点

处后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线

上的点

处后，仍沿平行于x轴的方向运动，……

照此规律运动，动点

依次经过点

，

，…，

，

，…
①求点

，

的坐标；
②请你通过归纳得出点

、

的坐标；并求当动点

到达

处时，运动的总路径的长．
解：（1）由题意，得

解得

∴直线

的解析式为

． ………………………………… 1分
∵点

在直线

上，
∴

．
∴

．
∴直线

的解析式为

． ……………………………

… 2分
（2）① A点坐标为（0，1），
则

点的纵坐标为1，设

，
∴

．
∴

点的坐标为

． ………………………………………… 3分[来源:学§科§网]
则

点的横坐标为1，设

∴

．
∴

点的坐标为

． ………………………………………… 4分
同理，可得

，

． ……………………………… 6分
②经过归纳得

，

． ……………… 7分
当动点

到达

处时，运动的总路径的长为

点的横纵坐标之和再减去1，
即

． ……………………………………… 8分
24．(宜宾市本题满分l2分)
将直角边长为6的等腰Rt△AOC放在如图所示的平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C、A分别在x、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点B(–3，0)．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点P是线段BC上一动点，过点P作AB的平行线交AC于点E，连接AP，当△APE的面积最大时，求点P的坐标；
(3)在第一象限内的该抛物线上是否存在点G，使△AGC的面积与（2）中△APE的最大面积相等?若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

解：(1)如图，∵抛物线y=ax2+bx+c(a ≠ 0)的图象经过点A(0，6)，

∴c=6．…………………………………………1分
∵抛物线的图象又经过点(–3，0)和(6，0)，
∴0=36a+6b+6(0=9a–3b+6)  ………………………………2分
解之，得3(1)3()    …………………………3分
故此抛物线的解析式为：y= – 3(1)x2+x+6…………4分
(2)设点P的坐标为(m，0)，
则PC=6–m，S△ABC  = 2(1) BC·AO = 2(1)×9×6=27．……………5分
∵PE∥AB，
∴△CEP∽△CAB．…………………………………………6分
∴S△CAB(S△CEP) = (BC(PC))2,即 27(S△CEP) = ( 9(6–m) ) 2
∴S△CEP  = 3(1)(6–m)2.…………………………………………………7分
∵S△APC  = 2(1)PC·AO = 2(1)(6–m)´6=3 (6–m)
∴S△APE  = S△APC–S△CEP =3 (6–m) – 3(1)(6–m)2  = – 3(1)(m– 2(3))2+4(27).
当m = 2(3)时，S△APE有最大面积为4(27)；此时，点P的坐标为(2(3),0)．………8分
(3)如图，过G作GH⊥BC于点H，设点G的坐标为G(a，b)，………………9分
连接AG、GC，
∵S梯形AOHG = 2(1)a (b+6),
S△CHG  = 2(1)(6– a)b
∴S四边形AOCG  = 2(1)a (b+6) + 2(1)(6– a)b=3(a+b)．……………………10分

∵S△AGC = S四边形AOCG –S△AOC
∴4(27) =3(a+b)–18．……………11分
∵点G(a，b)在抛物线y= – 3(1)x2+x+6的图象上，
∴b= – 3(1)a2+a+6.
∴4(27) = 3(a – 3(1)a2+a+6)–18
化简，得4a2–24a+27=0
解之，得a1= 2(3)，a2= 2(9)
故点G的坐标为(2(3),4(27))或(2(9)，4(15))． ……………………………………12分
24.（荆州市12分）如图，直角梯形OABC的直角顶点O是坐标原点，边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA∥BC，D是BC上一点，BD=

OA=

，AB=3，∠OAB=45°，E、F分别是线段OA、AB上的两动点，且始终保持∠DEF=45°．
（1）直接写出D点的坐标；
（2）设OE=x，AF=y，试确定y与x之间的函数关系；
（3）当△AEF是等腰三角形时，将△AEF沿EF折叠，得到△

，求△

与五边形OEFBC重叠部分的面积．

解：（1）D点的坐标是

. （2分）
（2）连结OD,如图（1），由结论（1）知：D在∠COA的平分线上，则
∠DOE=∠COD=45°,又在梯形DOAB中，∠BAO=45°,∴OD=AB=3
由三角形外角定理得：∠1=∠DEA-45°,又∠2=∠DEA-45°
∴∠1=∠2, ∴△ODE∽△AEF (4分)

∴

，即：

∴y与x的解析式为：

(6分)
（3）当△AEF为等腰三角形时，存在EF=AF或EF=AE或AF=AE共3种情况.
①当EF=AF时，如图（2）.∠FAE=∠FEA=∠DEF=45°,

∴△AEF为等腰直角三角形.D在A’E上（A’E⊥OA）,
B在A’F上（A’F⊥EF）
∴△A’EF与五边形OEFBC重叠的面积为
四边形EFBD的面积.
∵

∴

（也可用

） (8分)
②当EF=AE时，如图（3），此时△A’EF与五边形OEFBC重叠部分面积为△A’EF面积.
∠DEF=∠EFA=45°

， DE∥AB ，又DB∥EA
∴四边形DEAB是平行四边形
∴AE=DB=

∴

(10分)
③当AF=AE时，如图（4），四边形AEA’F为菱形且△A’EF在五边形OEFBC内.
∴此时△A’EF与五边形OEFBC重叠部分面积为△A’EF面积.

由（2）知△ODE∽△AEF,则OD=OE=3
∴AE=AF=OA-OE=

过F作FH⊥AE于H,则

∴

综上所述，△A’EF与五边形OEFBC重叠部分的面积为

或1或

（12分）
24．（湖北省咸宁市本题满分12分）
如图，直角梯形ABCD中，AB∥DC，

，

．动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C-D-A向点A运动．当点M到达点B时，两点同时停止运动．过点M作直线l∥AD，与线段CD的交点为E，与折线A-C-B的交点为Q．点M运动的时间为t（秒）．
（1）当

时，求线段

的长；
（2）当0＜t＜2时，如果以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形，求t的值；
（3）当t＞2时，连接PQ交线段AC于点R．请探究

是否为定值，若是，试求这个定值；若不是，请说明理由．

解：（1）过点C作

于F，则四边形AFCD为矩形．

∴

，

．
此时，Rt△AQM∽Rt△ACF．……2分
∴

．
即

，∴

．……3分
（2）∵

为锐角，故有两种情况：
①当

时，点P与点E重合．
此时

，即

，∴

．……5分

②当

时，如备用图1，
此时Rt△PEQ∽Rt△QMA，∴

．
由（1）知，

，
而

，
∴

． ∴

．

综上所述，

或

．……8分（说明：未综述，不扣分）
（3）

为定值．……9分
当

＞2时，如备用图2，

．
由（1）得，

．
∴

． ∴

．
∴

． ∴

．
∴四边形AMQP为矩形． ∴

∥

．……11分
∴△CRQ∽△CAB．
∴

．……12分
25. (北京市)问题：已知△ABC中，ÐBAC=2ÐACB，点D是△ABC内的一点，且AD=CD，BD=BA。
探究ÐDBC与ÐABC度数的比值。

    请你完成下列探究过程：
先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明。
(1) 当ÐBAC=90°时，依问题中的条件补全右图。
观察图形，AB与AC的数量关系为      ；
当推出ÐDAC=15°时，可进一步推出ÐDBC的度数为      ；
可得到ÐDBC与ÐABC度数的比值为      ；
(2) 当ÐBAC¹90°时，请你画出图形，研究ÐDBC与ÐABC度数的比值
是否与(1)中的结论相同，写出你的猜想并加以证明。

解：(1) 相等；15°；1：3。
(2) 猜想：ÐDBC与ÐABC度数的比值与(1)中结论相同。
证明：如图2，作ÐKCA=ÐBAC，过B点作BK//AC交CK于点K，
连结DK。∵ÐBAC¹90°，∴四边形ABKC是等腰梯形，
∴CK=AB，∵DC=DA，∴ÐDCA=ÐDAC，∵ÐKCA=ÐBAC，
∴ÐKCD=Ð3，∴△KCD@△BAD，∴Ð2=Ð4，KD=BD，

∴KD=BD=BA=KC。∵BK//AC，∴ÐACB=Ð6，
∵ÐKCA=2ÐACB，∴Ð5=ÐACB，∴Ð5=Ð6，∴KC=KB，
∴KD=BD=KB，∴ÐKBD=60°，∵ÐACB=Ð6=60°-Ð1，
∴ÐBAC=2ÐACB=120°-2Ð1，
∵Ð1+(60°-Ð1)+(120°-2Ð1)+Ð2=180°，∴Ð2=2Ð1，
∴ÐDBC与ÐABC度数的比值为1：3。
26、（天津市本小题10分）
在平面直角坐标系中，已知抛物线

与

轴交于点

、

（点

在点

的左侧），与

轴的正半轴交于点

，顶点为

.
（Ⅰ）若

，

，求此时抛物线顶点

的坐标；
（Ⅱ）将（Ⅰ）中的抛物线向下平移，若平移后，在四边形ABEC中满足
S△BCE = S△ABC，求此时直线

的解析式；
（Ⅲ）将（Ⅰ）中的抛物线作适当的平移，若平移后，在四边形ABEC中满足
S△BCE = 2S△AOC，且顶点

恰好落在直线

上，求此时抛物线的解析式.
解：（Ⅰ）当

，

时，抛物线的解析式为

，即

.
∴ 抛物线顶点

的坐标为（1，4）．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
（Ⅱ）将（Ⅰ）中的抛物线向下平移，则顶点

在对称轴

上，有

，
∴ 抛物线的解析式为

（

）．
∴ 此时，抛物线与

轴的交点为

，顶点为

．
∵ 方程

的两个根为

，

，
∴ 此时，抛物线与

轴的交点为

，

．

如图，过点

作EF∥CB与

轴交于点

，连接

，则S△BCE = S△BCF．
∵ S△BCE = S△ABC，
∴ S△BCF = S△ABC．
∴

．
设对称轴

与

轴交于点

，
则

．
由EF∥CB，得

．
∴ Rt△EDF∽Rt△COB．有

．
∴

．结合题意，解得

．
∴ 点

，

．
24． (东营市本题满分10分)
如图，在锐角三角形ABC中，

，△ABC的面积为48，D，E分别是边AB，AC上的两个动点（D不与

，

重合），且保持DE∥BC，以DE为边，在点

的异侧作正方形DEFG.
（1）当正方形DEFG的边GF在BC上时，求正方形DEFG的边长；

（2）设DE = x，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为

，试求

关于

的函数关系式，写出x的取值范围，并求出y的最大值.

解：（1）当正方形DEFG的边GF在BC上时，如图
（1），过点A作BC边上的高AM，交DE于N，垂足为M.
∵S△ABC=48，BC=12，∴AM=8.
∵DE∥BC，△ADE∽△ABC, ………1分
∴

，
而AN=AM－MN=AM－DE，∴

. ………2分
解之得

.
∴当正方形DEFG的边GF在BC上时，正方形DEFG的边长为4.8.…3分

（2）分两种情况：
①当正方形DEFG在△ABC的内部时，如图（2），△ABC
与正方形DEFG重叠部分的面积为正方形DEFG的面积，
∵DE=x，∴

，此时x的范围是

≤4.8…4分
②当正方形DEFG的一部分在△ABC的外部时，
如图（2），设DG与BC交于点Q，EF与BC交于点P，

△ABC的高AM交DE于N，
∵DE=x，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC, …………5分
即

，而AN=AM－MN=AM－EP,
∴

，解得

.………6分
所以

, 即

.………7分
由题意，x>4.8，x<12,所以

.
因此△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为

……………………8分
当

≤4.8时，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为4.82=23.04
当

时，因为

，所以当

时，
△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为

.
因为24>23.04，
所以△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为24. …10分

25．(绵阳市)如图，抛物线y = ax2 + bx + 4与x轴的两个交点分别为A（－4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，顶点为D．E（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G．
（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）在直线EF上求一点H，使△CDH的周长最小，并求出最小周长；
（3）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，
△EFK的面积最大？并求出最大面积．
解：（1）由题意，得

解得

，b =－1．
所以抛物线的解析式为

，顶点D的坐标为（－1，

）．
（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M．因为EF垂直平分BC，即C关于直线EG的对称点为B，连结BD交于EF于一点，则这一点为所求点H，使DH + CH最小，即最小为
DH + CH = DH + HB = BD =

．而

．
∴ △CDH的周长最小值为CD + DR + CH =

．
设直线BD的解析式为y = k1x + b，则

解得

，b1 = 3．
所以直线BD的解析式为y =

x + 3．
由于BC = 2

，CE = BC∕2 =

，Rt△CEG∽△COB，
得 CE : CO = CG : CB，所以 CG = 2.5，GO = 1.5．G（0，1.5）．
同理可求得直线EF的解析式为y =

x +

．
联立直线BD与EF的方程，解得使△CDH的周长最小的点H（

，

）．
（3）设K（t，

），xF＜t＜xE．过K作x轴的垂线交EF于N．
则 KN = yK－yN =

－（

t +

）=

．
所以 S△EFK = S△KFN + S△KNE =

KN（t + 3）+

KN（1－t）= 2KN = －t2－3t + 5 =－（t +

）2 +

．
即当t =－

时，△EFK的面积最大，最大面积为

，此时K（－

，

）．
26．（钦州市本题满分10分）
如图，将OA = 6，AB = 4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中，动点M、N以每秒１个单位的速度分别从点A、C同时出发，其中点M沿AO向终点O运动，点N沿CB向终点B运动，当两个动点运动了t秒时，过点N作NP⊥BC，交OB于点P，连接MP．
（1）点B的坐标为　▲ ；用含t的式子表示点P的坐标为 ▲ ；(3分)
（2）记△OMP的面积为S，求S与t的函数关系式（0 < t < 6）；并求t为何值时，S有最大值？(4分)
（3）试探究：当S有最大值时，在y轴上是否存在点T，使直线MT把△ONC分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是△ONC面积的

？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．(3分)

解：（1）（6，4）；（

）.（其中写对B点得1分） 3分
（2）∵S△OMP =

×OM×

， 4分
∴S =

×（6 -t）×

+2t．
＝

（0 < t <6）． 6分
∴当

时，S有最大值． 7分
（3）存在．
由（2）得：当S有最大值时，点M、N的坐标分别为：M（3，0），N（3，4），
则直线ON的函数关系式为：

．

设点T的坐标为（0，b），则直线MT的函数关系式为：

，
解方程组

得

∴直线ON与MT的交点R的坐标为

．
∵S△OCN ＝

×4×3＝6，∴S△ORT ＝

S△OCN ＝2． 8分
① 当点T在点O、C之间时，分割出的三角形是△OR1T1，如图，作R1D1⊥y轴，D1为垂足，则S△OR1T1＝

••••RD1•OT ＝

•

•b＝2.
∴

， b =

.
∴b1 ＝

，b2 ＝

（不合题意，舍去）
此时点T1的坐标为（0，

）. 9分
② 当点T在OC的延长线上时，分割出的三角形是△R2NE，如图，设MT交CN于点E，由①得点E的横坐标为

，作R2D2⊥CN交CN于点D2，则
S△R2NE＝

•EN•R2D2 =

•

＝2.
∴

，b=

.
∴b1＝

，b2＝

（不合题意，舍去）．
∴此时点T2的坐标为（0，

）．
综上所述，在y轴上存在点T1（0，

），T2（0，

）符合条件．…10分
26.( 福建省南平市14分)如图1，已知点B（1，3）、C（1，0），直线y=x+k经过点B，且与x轴交于点A，将△ABC沿直线AB折叠得到△ABD.
（1）填空：A点坐标为（____，____），D点坐标为（____，____）；
（2）若抛物线y= 3(1)x2+bx+c经过C、D两点，求抛物线的解析式；
（3）将（2）中的抛物线沿y轴向上平移，设平移后所得抛物线与y轴交点为E，点M是平移后的抛物线与直线AB的公共点，在抛物线平移过程中是否存在某一位置使得直线EM∥x轴.若存在，此时抛物线向上平移了几个单位？若不存在，请说明理由.
（提示：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是x=－2a(b)，顶点坐标是（－2a(b)，4a(4a c－b2)）

解：（1） A(-2,0) ,D(-2,3)
(2)∵抛物线y= 3(1)x2+bx+c 经过C(1,0), D(-2,3)
代入，解得：b=- 3(2),c= 3(1)
∴ 所求抛物线解析式为：y= 3(1)x2 －3(2) x+3(1)
（3）答：存在
解法一：设抛物线向上平移H个单位能使EM∥x轴，
则平移后的解析式为：y= 3(1)x2 －3(2) x+3(1)+h =