专题四：新课程理念下统计与概率教学研讨 第一讲

第一讲
引言 对“统计和概率”的整体思考
头脑风暴：
1．对于统计与概率，请写出您认为最重要的核心词。
2．在《标准》中，统计与概率的学习包括哪些内容？这些内容与过去相比有哪些变化？这种变化的意义是什么？四个部分之间的关系是什么？
3．在这部分教学中，请写出您印象最深刻的教学现象？您还有哪些困惑的问题？
以下列举教师在教学中的困惑：
1．从低年级开始，现在所有的实验教材都已经加强了统计与概率的内容，老师在教学过程当中稍不留意就出现一个问题就是越位的现象。本来二年级要达到的目标一年级就完成了。教师对统计与概率的教学要求到底到什么程度上，还不是很清楚。
——统计与概率内容不同阶段的要求。
2．一方面，统计与概率的最大特点是应用性非常广泛，也有很多新颖的例子；另一方面，出现在教学过程当中的例子还是不够实际，对孩子的吸引力不够大。
——学生感兴趣的统计与概率学习或应用的例子。
3．教师都认同应该让学生经历统计的过程,但感觉课堂上挺热闹,也不知道是否培养了学生的统计观念?
——什么是统计观念？如何在统计过程中发展学生的统计观念？
4．在概率实验时，有时会出现频率与概率差别比较大的情况，学生糊涂了，老师也不知如何处理？
——教师如何指导学生做概率实验；是否要做概率实验。
5．到底什么是统计，什么是概率？干吗把这两个内容放在一起？
——对统计、概率、统计与概率之间联系的理解。
虽然有很多困惑，就这些困惑跟新课程开始的时候困惑确实是不太一样了，那时候可能老师们更多关注要不要花那么长时间去经历这个过程，现在老师们开始关注更深刻的问题了，怎么让学生愿意经历这个过程？学生在这个过程中有没有收获？包括我们怎么去评价这个过程？包括到底什么是统计与概率，课程的整体设计等更深层次的问题。
第一节 “统计与概率”内容的教育价值
统计与概率的内容，跟过去相比得到了大大的增强，这样一来我们就要思考这么一个问题：增强的原因是什么？实际上，就是它的教育价值是什么？下面是采访小学数学特级教师华应龙和中学特级教师张思明老师时，他们的发言。
华应龙(北京第二实验小学特级教师):统计与概率的价值主要是，孩子没有学统计概率这个部分的时候，学数与代数、空间与图形时，所积淀下来的基本上都是一种确定性的思维。通过统计概率的学习，可以帮助学生来形成一种统计的观念和随机的思想。
张思明（北京大学附属中学特级教师）：作为一个老师，自己当学生的时候也没有感觉到数据这么重要。但是现在我们的生活已经使每一个学生都感觉到，我们生活在一个数据的世界里，每一天从早晨到晚上所面对的大量的信息，有很大一部分是用数据来表现的，我们希望孩子从小的时候，面对这样一个数据的世界，应该能理解数据中是有信息的，信息是可以加工和提取的，信息是能够为人服务的。信息的加工的方法好，或者是不好，可能会得出是有利或者是不利的信息，当然这是根据人的统计方向来决定的。从小学设立这种课程最重要的不是学了更多数据统计的方法，也不是把那些概念做成像知识点那样训练，最重要的是通过给孩子定性的数据的分析的感觉，模拟这种过程，让孩子体会到数据是有信息的，信息是可以通过我们加工提炼出来的、为我们的生活和学习服务的。
具体来说，“统计与概率”增强的主要原因有：
1．统计与概率在日常生活中有着广泛的应用
实际上，生活先于课程把统计推到了学生面前。比如我们现在一打开报纸就会看到很多很多的统计图。下面就是一个例子：
【案例1】报纸上的统计图
前一段时间翻报纸，报纸上有这么一条信息（见下图）：今春北方沙尘暴天气预计会减少。在这条新闻当中，利用了一个折线统计图反映了1954年到2006年春季，也就是3到5月份北方沙尘过程的变化曲线，当然他在预测的时候可能会参照这个折线统计图。

图给我们很大的冲击力，如果没有这个图的话，刚才这一段文字大家看起来会很枯燥，但有了图我们就非常直观。
以上我们看到了在日常生活中“统计与概率”通过报刊杂志这种形式体会到它的存在，实际上“统计与概率”与各个学科也得到了迅速的融合。
【案例2】统计在文学著作权中的应用。
我们比较关注的一个问题，《红楼梦》前80回后40回是一个人所作还是两个人所作，也就是文学著作权的问题。乍一想，感觉这个事情跟统计没有太大的关系，但经过思考觉得也是有联系的。对《红楼梦》书稿进行了统计，把前80回和40回的某些东西进行了统计，发现有不同。举个例子，就是在前80回中有很多下人丫鬟，他们的自称都是“小的”，而在后40回里就改变了自称为“小的”，这就有一定的理由认为是不同的人写的。
当然，我们也可以看到，统计推断跟确定性的事物不太一样，并不是说一定就能通过判定一定是不同人写的，但最起码统计提供了一个依据，提供了一个思路。所以统计在跟别的学科的应用，实际上为别的学科的研究方法提供了一个新的思路。
北京大学谢衷洁教授讲过应用统计与概率的实例，他举了很多很多的例子，我们把这个例子的名字念一念，你会感到统计与概率无所不在。比如说：他提到了工程设计中、劳动保护中、工业质量控制中、犯罪足迹的判断中，还有耶稣的裹尸布之迷、天王星光环的发现等。
2.“统计与概率”提供了一种不确定的（随机的）思维方式
统计与概率的思维方式，和逻辑推理不一样，它是不确定的，也就是随机的思想。这也是在小学阶段增加统计与概率的一个重要理由。也就是为学生打开了一扇窗，让他感觉到除了我们天天学习的确定性之外，数学里也有不确定的东西，这很重要，而且这个不确定性的东西不是因为数学造成的，而是因为确实生活中有很多这样的现象，在扔这个硬币之前谁也没有办法知道扔出以后会得到正面还是反面。有人说这种思维，你不用教到大学就自然知道了，但是我们会有这种感觉，一旦什么东西根深蒂固了，就很难改变了。所以，随机的思维需要从小通过适当的活动使学生体会。
统计与概率又是义务教育阶段唯一培养学生从不确定的角度来观察世界的数学内容.不确定思维与确定性思维的差别,需要尽早去体会.
3．有助于学生解决问题能力、情感态度价值观等方面的发展
统计与概率有助于学生形成尊重事实、用数据说话的态度；使学生体会用数据进行推断的思维方式；使学生提高综合运用知识解决问题以及实践能力；有助于学生形成对数学的积极的情感体验，体会数学的作用。
通过前面一段分析，可以认识到，统计与概率在小学的加强主要原因就是它的广泛应用和思维特点。我们的教学需要培养一个能适应未来生活，能够适应未来所从事职业的人，更需要从小为他提供基础。
第二节  案例研讨
对于统计与概率，在小学阶段无需质疑，“统计”的分量应该是大于概率。所以我们首先来看统计。
一、统计
1.“平均数”教学的讨论
吴正宪老师曾经对平均数一课进行过反思：平均数教学，我原来也教过而且教的非常好，怎么教的呢？无非就是出示例题，然后分析一下条件和结论，引导学生开始列式计算，通过列式就总结出一些规律：平均数等于总数除以总份数。数量关系来了以后，就像一根救命稻草一样，就可以反复的练习了。有一次她上完课以后，老师们握着她的手说：说吴老师说像您这样上课，学生学的太扎实了，考试成绩准保高。
但是，吴正宪老师不满足于此，很善于反思。有一次她做了一个测试：某一个公司招工，告诉月平均工资是800元，有一位员工，在开工资的时候只拿到600块钱，这个员工就不服，不是说平均工资是800元嘛？那么请问学生，这个员工如果去状告这个老板的话，会不会赢？对于这个问题，全班的正确率只有28％，学生显然没有明白平均数是什么？它的意义是什么？所以，吴老师说她经过了痛苦的反思，症结是什么？症结不在于孩子症结在于教师。她用这段话描述她的心情：我们天真的以为孩子只要掌握了这个数量关系就能够解决平均数的所有的问题，或者平均数的实际问题了。所以她提出一个问题：我们的桩，到底该打在哪？是打在对数量关系的反复的演练上，还是对平均数的价值、平均数的意义的理解上？正是这个思考，吴老师就进行了钻研，形成了一节我们认为还是很具有借鉴意义的一节平均数的课（请见拓展资源1）。
进一步，我们还想对平均数教学提出一些思考，看下面的一个案例：
[案例1] 孩子的想法有道理吗
案例描述：
在教学平均数时，课前教师以组为单位统计了这个班同学一分钟踢毽子的情况，并从中引用了以下两组数据在课上讨论：
第三小组：25、23、34、30、47、25、26
第五小组：25、31、40、33、29、31
然后提出问题：请你来评判一下，哪个小组踢的好？
我们以为学生肯定会想到用第三小组平均数和第五小组的平均数来比较，然而学生却出现了很多想法，下面列举出来：
（1）我可以比较两个队中踢的最高的，也就是拿第三小组最多的那个和第五小组踢最多的去比，所以第三个小组踢得好。
（2）比较总数，这个观点很容易就被其他同学反对，觉得不公平。
（3）我可以一个一个的比，把最高的比完了，比第二高的。就是第三小组的第一名和第五小组的第一名俩俩比，然后第二名两两比，就是一个一个的对应的去比。
（4）既然人数不一样，就把第五小组再增加一个或者是把第三小组去掉一个。
（5）跟前面那个一个一个比差不多，比完了以后发现第三小组只有前两名比第五小组的好，其他的都不如第五小组的好。
（6）当然其中也有一部分孩子提到要用总数除以每个组的人数，也就是用平均数来比。
案例问题：
（1）学生这么多方法都有道理吗？
（2）有老师说这节课的目标还是要讲平均数 ，而且平均数确实在统计中是非常重要的一个统计量，孩子也不存在困难，那么我们是不是有必要来花那么长时间，反而会冲淡了对平均数的理解，也就是你对这节课的教学目标的一个理解？换句话说就是这节课的教学目标的定位到底是什么？
（3）假设你的学生确实有这些想法，你准备怎么办？
2．收集数据教学的讨论
我们先进入到一个课例（清华大学附属小学安华），是关于一年级的统计图的教学。这个课例主要的内容是让学生了解一下条形统计图，会从条形统计图中获取一些信息，比如说谁多谁少等等。
【案例2】安华老师的一年级统计图教学。
案例描述：
安老师开始设立了这么一个情境，有4部动画片，想要统计一下班里人最喜欢看的那个动画片是什么，人数是什么。学生讨论得出是用举手方法来统计比较好。突然有学生说起立比举手好，老师就询问学生们你们谁觉得哪个好，大多数同学们都认为起立好，那最终就采取“起立”的方法统计数据了。
统计过后又出现问题了，通过统计算合计后的总人数，与班里实际的总人数不相等。他们这个班是32个人，结果统计完总人数变成了35个人，有人重复多站了，一般老师处理就是问问刚才谁没站起来、或者站了多次，然后修改一下数据。最多是再重新起立一次，而安华老师则组织学生进行了讨论：采用哪种收集数据的方法好。孩子们想到了很多方法，比如全体按最喜欢看的4部动画片站成四列，比如每人写一个纸条然后进行统计。最后，老师组织大家先独立从4部动画片中任选一部（从四个纸条中任选一个），然后分别贴在黑板上，自然地形成了一个条形统计图。
案例问题：
（1）遇到统计合计后的总人数与班级实际总人数不同的时候，你会如何处理？
（2）安华老师的处理有什么不同？这种不同是否有价值？
（3）除了画图、阅读简单的统计图外，统计图的学习中还有哪些重要的内容？
二、概率
1.学生对概率实验数据的看法
概率教学，现在老师们都指导学生做一些实验，在实验过程中，学生就会出现一些困惑，怎么来帮助学生消除这些困惑呢？他们到底有什么想法和困惑呢？先我们来看一看学生对一个实验数据的讨论。
【案例3】学生对实验数据的想法
案例描述：
教师首先鼓励学生猜想，一个均匀的硬币随机抛出后，正面朝上的可能是多少。所有的学生都认为是1/2。教师接着提出问题，那么抛10次硬币，正好5次正面朝上的可能性大不大，大部分学生都认为比较大。接着，教师就呈现了下面一组学生做实验的数据：
实验总次数
正面朝上的次数
反面朝上的次数
10
5
5
10
5
5
10
9
1
10
4
6
10
7
3
10
6
4
10
6
4
10
6
4
10
6
4
10
4
6
10
3
7
10
2
8
学生的一些想法和困惑是：
（1）我们猜想的是5正5反，结果却出现了9正1反，这是为什么？（有的学生认为是投的手法不同：没投时如果是正面朝上，落下就是正面朝上；没投时如果是反面朝上，落下就是反面朝上。）
（2）我觉得10次中出现5次的概率应该挺大的，现在看12次中只有2次，不知是由于不确定造成的还是我的想法有错误？
（3）一个学生认为实验次数不能太少，如果把所有组的数据加起来，正面朝上的次数和反面朝上的差不多，所以1/2还是有意义的。
（4）不是说实验次数越多，越接近1/2吗，我怎么觉得就取前两组的数据和，正好是1/2，再加后面的反而不是1/2了？
（5）这些都是不确定因素造成的。
案例问题：
（1）掷10次硬币，正好5次正面朝上的可能性到底有多大？如果能精确算出来更好，如果算不出来的话，请老师们猜想一下是会特别大像80％，还是50％，还是说比50％小，还是说比10％还要小？
（2）既然是1/2，那么一会是9正1反，一会又1正9反，那么怎么来理解1/2呢？
2.是否需要做概率实验
老师们在概率教学中，有一个比较大的争论：在教学概率时，我们到底要不要做概率实验。认为不做或少做实验的老师,主要是基于这样几个原因：
(1)实验中，频率和概率之间的确是有一些差距的,可能就会造成孩子实验完之后反而有些糊涂了。比如，像上面学生的讨论，本来所有学生都猜想1/2，实验后反而产生了一些困惑。
(2)第二学段的一个目标是用分数去刻划一些事件发生可能性的大小。由于学生对频率和概率的混淆，实验之后由于频率的不确定性，学生反而认为概率也是不确定的了。
（3）从二年级就开始做可能性实验，比如摸球，一直到五年级都在摸，有的孩子就觉得兴趣越来越淡薄了，因为摸之前他已经能猜测到了。
坚持做概率实验的老师也是有理由的，主要如下：
（1）在实验过程当中，孩子能够不断的去体会事情发生的不确定性。
（2）做实验可以改变孩子当初的一些误解。比如袋中中有一些红色有一些白色，有的孩子可能认为，我这次摸到了白色下次就应该摸到红色，其实这是他对这随机现象的一种误解。孩子在实验的过程当中，他会不断的去修正自己的这种误解。
（3）做实验的教育价值。比如有的学生为了得到“1/2“，或者有的学生故意想摸到可能性小的球，所以他们经常在摸球时偷看。如果教师能正确处理这些情况，反而能培养学生求实求真的态度。
看了老师们的讨论，我觉得也挺有启发的，确实不是简单的要做或不做实验的问题，我们可能就要思考，比如说我们要做实验怎么来保证数据的随机性；包括孩子确实出现了混淆的时候，教师如何引导学生。所以，这个讨论不是简单的得出要做还是不做，而是由此来引发对概率更深层次的思考。所以提出几个问题：
1．从您这个角度来说，您认为需不需要做概率实验？说明理由。
2．在做概率实验中，您有什么经验？比如刚才提到了您是不是设计了一些学生感兴趣的实验？当出现频率概率相差很大的时候，您是如何引导学生讨论的？
3．频率和概率有什么差别和联系？