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来源：百度文库 编辑：神马文学网 时间：2024/04/28 21:18:33
中考数学专项讲解 数形结合思想
知识梳理
数形结合是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索，使抽象思维和形象思维相结合，通过“以形助数”或“以数解形”可使复杂问题简单化，抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷，从而起到优化计算的目的．
华罗庚先生曾指出：“数与形本是相倚依，焉能分作两边飞；数缺形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事休．”这充分说明了数形结合数学学习中的重要性，是中考数学的一个最重要数学思想．
典型例题
一、在数与式中的应用
【例1】实数
、b在数轴上的位置如图所示，化简
=_________．
【分析】 由数轴上
，b的位置可以得到
<0，b>0且
，
．
【解】
【例2】 如下图是小明用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”……，则搭n条“金鱼”需要火柴_________根．
【分析】 由图形可知，搭1条金鱼需要8根火柴棒，后面每多一条就多6根火柴棒，所以搭n条金鱼共需8+6(n－1)=(6n+2)根火柴棒．
【解】6n+2
二、在方程、不等式中的应用
【例3】 (08聊城)已知关于x的不等式组
的整数解共有2个，则
的取值范围是___________．
【分析】解不等式组得解集为
，我们可以将x<2标注在数轴上，要使得不等式组有2个整数解，由图象可知整数解为0，1，则
应在－1～0之间，且可以等于－1，但不能为0，所以以的取值范围是－l≤
<0．
【解】 1≤n<0
【例4】 (08南通)用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象(如图所示)，则所解的二元一次方程组是 ( )
A．
B．
C．
D．
【分析】 根据图象我们可以知道这个方程组的解为
，只要将解进行代入检验即可．
【解】D
【例5】 已知二次函数y=
x2+bx+c的图象如图所示，若关于x的方程
x2+bx+c－k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 ( )
A．k>3 B．k=3 C．k<3 D．无法确定
【分析】 如果根据b2－4
c的符号来判别解的情况，本题将无从入手，可将原方程变形为
x2+bx+c=k，从而理解成是两个函数的交点问题，即
，由图象可知只要y=k<3就一定定与抛物线有两个不同的交点，所以答案选C．
【解】C
三、在函数中的应用
【例6】 (08安徽)如图为二次函数y=
x2+bx+c的图象，在下列说法中：
①
c<0 ②方程
x2+bx+c=0的根是x1=－1，x2=3 ③
+b+c>0 ④当x>1时，y随x的增大而增大
正确的说法有__________．(把正确的答案的序号都填在横线上)
【分析】 由图象可知，开口向上，与x轴交于－1和3两点，与y轴交于负半轴，则
>0，c<0；由对称性知对称轴x=1，所以结论①②④正确．
【解】①②④
【例7】某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体(看成一点)在空中的运动路线如图所示，为经过原点O的一条抛物线(图中标出的数据为已知条件)．要跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面
米，入水处距池边的距离为4米，同时，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误，
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)在某次试跳中，测得运动员在空中运动路线是如图抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为3导米，问此次跳水会不会失误?并通过计算说明理由．
【分析】(1)在给出的直角坐标系中，要确定抛物线的解析式，
就要确定抛物线上三个点的坐标，如起跳点O(0，0)，入水点
(2，－10)，最高点的纵点标为
．
(2)求出抛物线的解析式后，要判断此次跳水会不会失误，
就是要看当该运动员在距池边水平距离为
米，
时，
该运动员距水面高度与5米的关系．
【解】(1)在给定的直角坐标系下，设最高点为A，入水点为B，抛物线的解析式为y=
x2+bx+c，由图可知，O，B两点的坐标依次为(0，0)(2，－10)，且顶点A的纵坐标为
，则
，解得
或
抛物线的对称轴在y轴右侧，
．又
抛物线开口向下，
，
，c=0，
．
(2)当运动员在空中距池边距离为
米时，即
时，
，
此时运动员距水面高为
．因此，试跳会出现失误．
四、在概率统计中的应用
【例8】(05江西)某报社为了解读者对本社一种报纸四个版面的喜欢情况，对读者作了一次问卷调查，要求读者选出自己最喜欢的一个版面，将所得数据整理后绘制成了如图所示的条形统计图：
(1)请写出从条形统计图中获得的一条信息；
(2)请根据条形统计图中的数据补全扇形统计图，并说明这两幅统计图各有什么特点；
(3)请你根据上述数据，对该报社提出一条合理的建议．
【分析】 观察条形统计图可以计算出调查总人数，画扇形统计图需计算出第一版、第二版的百分比和圆心角，分别为
，
，建议可从不足的方面提出．
【解】(1)参加调查的人数为5000人；
(2)如图所示：条形统计图能清楚地表示出喜欢各版
面的读者人数．扇形统计图能清楚地表示出喜欢各版面的
读者人数占所调查的总人数的百分比．
(3)如：建议改进第二版的内容，提高文章质量，内容更贴近生活，形式更活泼些．
综合训练
1．“数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的点P所表示的数是
”，这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做 ( )
A．代入法 B．数形结合 C．换元法 D．分类讨论
2．(08大连)如图，两温度计读数分别为我国某地今年2月份某天的最低气温与最高气温，那么这天的最高气温比最低气温高 ( )
A．5℃ B．7℃ C．12℃ D．－12℃
3．某人从A地向B地打长途电话6分钟，按通话时间收费，3分钟以内收费2．4元，此后每加1分钟加收1元，则表示电话费y(元)与通话时间(分)之间的关系的图象正确的是
( )
4．若M
，N
，
三点都在函数
(k<0)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为 ( )
A．y2>y3>y1 B．y2>y1>y3 C．y3>y1>y2 D．y3>y2>y1
5．关于x的一元二次方程x2－x－n=0没有实数根，则抛物线y=x2－x－n的顶点在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限( )
6．(08临沂)若不等式组
的解集为x<0，则
的取值范围为 ( )
A．
>0 B．
=0 C．
>4 D．
=4
7．(08镇江)福娃们在一起探讨研究下面的题目：
函数y=x2－x+m(m为常数)的图象如图所示，如果x=
时，y<0；那么x=
－1时，函数值 ( )
A．y<0 B．0m D．y=m
下面是福娃们的讨论，请你解答该题．
贝贝：我注意到当x=0时，y=m>0．
晶晶：我发现图象的对称轴为x=
欢欢：我判断出x1<
迎迎：我认为关键要判断
－1的符号．
妮妮：m可以取一个特殊的值．
8．如图，在平面直角坐标系中，∠AOB=150°，OA=OB=2，则点A、B的坐标分别是_________和_________．
9．在边长为
的正方形中，挖掉一个边长为b的小正方形(
>b)如图1，把余下的部分剪拼成一个矩形如图2，通过计算两个图形(阴影部分)的面积，验证了一个等式，则这个等式是_______________．
10．(08绍兴)如图，已知函数y=x+b和y=
x+3的图象交点为P，则不等式x+b>
x+3
的解集为__________．
11．方程组
的解是__________．
12．(08广州)如图，为实数
、b在数轴上的位置，化简
．
13．(02南京)(1)阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数
、b，A、B两点之间的距离表示为
．当A、B两点中有一点在原点时，
不妨设点A在原点，如图1，
；
当A、B两点都不在原点时，
①如图2，点A、B都在原点的右边
；
②如图3，点A、B都在原点的左边，
；
③如图4，点A、B在原点的两边，
．
(2)回答下列问题：
①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_______，数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是_______，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是________；
②数轴上表示x和－1的两点A和B之间的距离是_________，如果
，那么x为__________；
③当代数式
取最小值时，相应的x的取值范围是____________．
14．(08苏州)某厂生产一种产品，图①是该厂第一季度三个月产量的统计图，图②是这三个月的产量与第一季度总产量的比例分布统计图，统计员在制作图①、图②时漏填了部分数据．
根据上述信息，回答下列问题：
(1)该厂第一季度_________月份的产量最高．
(2)该厂一月份产量占第一季度总产量的___________％．
(3)该厂质检科从第一季度的产品中随机抽样，抽检结果发现样品的合格率为98％．请你估计：该厂第一季度大约生产了多少件合格的产品?(写出解答过程)
15．(08恩施)如图所示，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB=5，DE=1，BD=8；设CD=x．
(1)用含x的代数式表示AC+CE的长；
(2)请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小?
(3)根据(2)中的规律和结论，请构图求出代数式
的最小值．
16．如图，已知抛物线与x轴交于A(－1，0)、B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，3)。
(1)求抛物线的解析式；
(2)设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形?若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若点M是抛物线上一点，以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标．
参考答案
1．B 2．C 3．C 4．B 5．A 6．B 7．C
8．
(2，0) 9．
2－b2=(
+b)(
－b)
10．x>1 11．(0，－1)
12．原式=－
－b－(b－
)=－2b
13．①3 3 4 ②
1或－3 ③－l≤x≤2
14．(1)三 (2)30 (3)(1900－38％)×98％=4900
15．(1)
(2)当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小
(3)如下图所示，作BD=12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，连结AE交BD于点C．AE的长即为代数式
的最小值．
过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，则AB=DF=2，AF=BD=12．所以
即
的最小值为13．
16．(1)
抛物线与y轴交于点C(0，3)，
设抛物线解析式为y=
x2+bx+3(
≠0)
根据题意，得
，解得
， 
抛物线的解析式为y=－x2+2x+3．
(2)存在． 由y=－x2+2x+3得，D点坐标为(1，4)，对称轴为x=1．
①若以CD为底边，则PD=PC，设P点坐标为(x，y)，根据勾股定理，
得x2+(3－y) 2=(x－1) 2+(4－y) 2，即y=4－x．又P点(x，y)在抛物线上，
4－x=－x2+2x+3，即x2－3x+1=0． 解得
，因
<1，应舍去．
，即点P坐标为
．
②若以CD为一腰，因为点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x=1对称，此时点P坐标为(2，3)．
符合条件的点P坐标为
或(2，3)．
(3)由B(3，0)，C(0，3)，D(1，4)，根据勾股定理，得CB=
，CD=
，BD=
．
CB2+CD2=BD2=20，
∠BCD=90°，
设对称轴交x轴于点E，过C作CM⊥DE，交抛物线于点M，垂足为F，在Rt△DCF中，
CF=DF=1，
∠CDF=45°，
由抛物线对称性可知，∠CDM=2×45°=90°，点坐标M为(2，3)，
DM∥BC，
四边形BCDM为直角梯形，由∠BCD=90°及题意可知，以BC为一底时，顶点M在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况；以CD为一底或以BD为一底，且顶点M在抛物线上的直角梯形均不存在．
综上所述，符合条件的点M的坐标为(2，3)坐标．
知识梳理
数形结合是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索，使抽象思维和形象思维相结合，通过“以形助数”或“以数解形”可使复杂问题简单化，抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷，从而起到优化计算的目的．
华罗庚先生曾指出：“数与形本是相倚依，焉能分作两边飞；数缺形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事休．”这充分说明了数形结合数学学习中的重要性，是中考数学的一个最重要数学思想．
典型例题
一、在数与式中的应用
【例1】实数
、b在数轴上的位置如图所示，化简=_________．【分析】 由数轴上
，b的位置可以得到<0，b>0且，．【解】
【例2】 如下图是小明用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”……，则搭n条“金鱼”需要火柴_________根．
【分析】 由图形可知，搭1条金鱼需要8根火柴棒，后面每多一条就多6根火柴棒，所以搭n条金鱼共需8+6(n－1)=(6n+2)根火柴棒．
【解】6n+2
二、在方程、不等式中的应用
【例3】 (08聊城)已知关于x的不等式组
的整数解共有2个，则的取值范围是___________．【分析】解不等式组得解集为
，我们可以将x<2标注在数轴上，要使得不等式组有2个整数解，由图象可知整数解为0，1，则应在－1～0之间，且可以等于－1，但不能为0，所以以的取值范围是－l≤<0．【解】 1≤n<0
【例4】 (08南通)用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象(如图所示)，则所解的二元一次方程组是 ( )A．
B．C．
D．【分析】 根据图象我们可以知道这个方程组的解为
，只要将解进行代入检验即可．【解】D
【例5】 已知二次函数y=
x2+bx+c的图象如图所示，若关于x的方程x2+bx+c－k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 ( )A．k>3 B．k=3 C．k<3 D．无法确定
【分析】 如果根据b2－4
c的符号来判别解的情况，本题将无从入手，可将原方程变形为x2+bx+c=k，从而理解成是两个函数的交点问题，即，由图象可知只要y=k<3就一定定与抛物线有两个不同的交点，所以答案选C．【解】C
三、在函数中的应用
【例6】 (08安徽)如图为二次函数y=
x2+bx+c的图象，在下列说法中：①
c<0 ②方程x2+bx+c=0的根是x1=－1，x2=3 ③+b+c>0 ④当x>1时，y随x的增大而增大正确的说法有__________．(把正确的答案的序号都填在横线上)
【分析】 由图象可知，开口向上，与x轴交于－1和3两点，与y轴交于负半轴，则
>0，c<0；由对称性知对称轴x=1，所以结论①②④正确．【解】①②④
【例7】某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体(看成一点)在空中的运动路线如图所示，为经过原点O的一条抛物线(图中标出的数据为已知条件)．要跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面
米，入水处距池边的距离为4米，同时，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误，(1)求这条抛物线的解析式；
(2)在某次试跳中，测得运动员在空中运动路线是如图抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为3导米，问此次跳水会不会失误?并通过计算说明理由．【分析】(1)在给出的直角坐标系中，要确定抛物线的解析式，
就要确定抛物线上三个点的坐标，如起跳点O(0，0)，入水点
(2，－10)，最高点的纵点标为
．(2)求出抛物线的解析式后，要判断此次跳水会不会失误，
就是要看当该运动员在距池边水平距离为
米，时，该运动员距水面高度与5米的关系．
【解】(1)在给定的直角坐标系下，设最高点为A，入水点为B，抛物线的解析式为y=
x2+bx+c，由图可知，O，B两点的坐标依次为(0，0)(2，－10)，且顶点A的纵坐标为，则，解得或 抛物线的对称轴在y轴右侧，．又抛物线开口向下，，，c=0，．(2)当运动员在空中距池边距离为
米时，即时，，此时运动员距水面高为．因此，试跳会出现失误．四、在概率统计中的应用
【例8】(05江西)某报社为了解读者对本社一种报纸四个版面的喜欢情况，对读者作了一次问卷调查，要求读者选出自己最喜欢的一个版面，将所得数据整理后绘制成了如图所示的条形统计图：
(1)请写出从条形统计图中获得的一条信息；
(2)请根据条形统计图中的数据补全扇形统计图，并说明这两幅统计图各有什么特点；
(3)请你根据上述数据，对该报社提出一条合理的建议．
【分析】 观察条形统计图可以计算出调查总人数，画扇形统计图需计算出第一版、第二版的百分比和圆心角，分别为，，建议可从不足的方面提出．【解】(1)参加调查的人数为5000人；
(2)如图所示：条形统计图能清楚地表示出喜欢各版
面的读者人数．扇形统计图能清楚地表示出喜欢各版面的
读者人数占所调查的总人数的百分比．
(3)如：建议改进第二版的内容，提高文章质量，内容更贴近生活，形式更活泼些．
综合训练
1．“数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的点P所表示的数是
”，这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做 ( )A．代入法 B．数形结合 C．换元法 D．分类讨论
2．(08大连)如图，两温度计读数分别为我国某地今年2月份某天的最低气温与最高气温，那么这天的最高气温比最低气温高 ( )
A．5℃ B．7℃ C．12℃ D．－12℃
3．某人从A地向B地打长途电话6分钟，按通话时间收费，3分钟以内收费2．4元，此后每加1分钟加收1元，则表示电话费y(元)与通话时间(分)之间的关系的图象正确的是
( )
4．若M
，N，三点都在函数(k<0)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为 ( )A．y2>y3>y1 B．y2>y1>y3 C．y3>y1>y2 D．y3>y2>y1
5．关于x的一元二次方程x2－x－n=0没有实数根，则抛物线y=x2－x－n的顶点在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限( )
6．(08临沂)若不等式组
的解集为x<0，则的取值范围为 ( )A．
>0 B．=0 C．>4 D．=47．(08镇江)福娃们在一起探讨研究下面的题目：
函数y=x2－x+m(m为常数)的图象如图所示，如果x=
时，y<0；那么x=－1时，函数值 ( )A．y<0 B．0下面是福娃们的讨论，请你解答该题．
贝贝：我注意到当x=0时，y=m>0．
晶晶：我发现图象的对称轴为x=
欢欢：我判断出x1<
－1的符号．妮妮：m可以取一个特殊的值．
8．如图，在平面直角坐标系中，∠AOB=150°，OA=OB=2，则点A、B的坐标分别是_________和_________．
9．在边长为的正方形中，挖掉一个边长为b的小正方形(>b)如图1，把余下的部分剪拼成一个矩形如图2，通过计算两个图形(阴影部分)的面积，验证了一个等式，则这个等式是_______________．10．(08绍兴)如图，已知函数y=x+b和y=
x+3的图象交点为P，则不等式x+b>x+3的解集为__________．
11．方程组
的解是__________．12．(08广州)如图，为实数
、b在数轴上的位置，化简．13．(02南京)(1)阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数
、b，A、B两点之间的距离表示为．当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，
；当A、B两点都不在原点时，
①如图2，点A、B都在原点的右边
；②如图3，点A、B都在原点的左边，
；③如图4，点A、B在原点的两边，
．(2)回答下列问题：
①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_______，数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是_______，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是________；
②数轴上表示x和－1的两点A和B之间的距离是_________，如果
，那么x为__________；③当代数式
取最小值时，相应的x的取值范围是____________．14．(08苏州)某厂生产一种产品，图①是该厂第一季度三个月产量的统计图，图②是这三个月的产量与第一季度总产量的比例分布统计图，统计员在制作图①、图②时漏填了部分数据．
根据上述信息，回答下列问题：
(1)该厂第一季度_________月份的产量最高．
(2)该厂一月份产量占第一季度总产量的___________％．
(3)该厂质检科从第一季度的产品中随机抽样，抽检结果发现样品的合格率为98％．请你估计：该厂第一季度大约生产了多少件合格的产品?(写出解答过程)
15．(08恩施)如图所示，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB=5，DE=1，BD=8；设CD=x．
(1)用含x的代数式表示AC+CE的长；
(2)请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小?
(3)根据(2)中的规律和结论，请构图求出代数式
的最小值．16．如图，已知抛物线与x轴交于A(－1，0)、B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，3)。
(1)求抛物线的解析式；
(2)设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形?若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若点M是抛物线上一点，以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标．
参考答案
1．B 2．C 3．C 4．B 5．A 6．B 7．C
8．
(2，0) 9．2－b2=(+b)(－b)10．x>1 11．(0，－1)
12．原式=－
－b－(b－)=－2b13．①3 3 4 ②
1或－3 ③－l≤x≤214．(1)三 (2)30 (3)(1900－38％)×98％=4900
15．(1)
(2)当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小
(3)如下图所示，作BD=12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，连结AE交BD于点C．AE的长即为代数式
的最小值．过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，则AB=DF=2，AF=BD=12．所以
即的最小值为13．16．(1)
抛物线与y轴交于点C(0，3)，设抛物线解析式为y=x2+bx+3(≠0)根据题意，得
，解得， 抛物线的解析式为y=－x2+2x+3．(2)存在． 由y=－x2+2x+3得，D点坐标为(1，4)，对称轴为x=1．
①若以CD为底边，则PD=PC，设P点坐标为(x，y)，根据勾股定理，
得x2+(3－y) 2=(x－1) 2+(4－y) 2，即y=4－x．又P点(x，y)在抛物线上，
4－x=－x2+2x+3，即x2－3x+1=0． 解得，因<1，应舍去．，即点P坐标为．②若以CD为一腰，因为点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x=1对称，此时点P坐标为(2，3)．
符合条件的点P坐标为或(2，3)．(3)由B(3，0)，C(0，3)，D(1，4)，根据勾股定理，得CB=
，CD=，BD=．CB2+CD2=BD2=20，∠BCD=90°，设对称轴交x轴于点E，过C作CM⊥DE，交抛物线于点M，垂足为F，在Rt△DCF中，
CF=DF=1，∠CDF=45°，由抛物线对称性可知，∠CDM=2×45°=90°，点坐标M为(2，3)，
DM∥BC，四边形BCDM为直角梯形，由∠BCD=90°及题意可知，以BC为一底时，顶点M在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况；以CD为一底或以BD为一底，且顶点M在抛物线上的直角梯形均不存在．综上所述，符合条件的点M的坐标为(2，3)坐标．
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