浅谈变式练习在教学中的应用

浅谈变式练习在教学中的应用

株洲长鸿实验学校数学组  刘利文       

摘 要   高中数学学习的内容跨度大、抽象性强，只有促进高中学生对数学知识的深刻理解，才能达到掌握和灵活应用数学知识的目的。变式练习是指在数学教学过程中对概念、性质、定理、公式，以及问题从不同角度、不同层次、不同情形、不同背景做出有效的变化，使其条件或形式发生变化，而本质特征却不变。通过变式练习有助于培养探索精神和创新意识，让老师的数学教学与学生的数学学习都事半功倍。

关键词  数学教学；变式练习；应用举例；

高中数学学习的内容跨度大、抽象性强，只有促进高中学生对数学知识的深刻理解，才能达到掌握和灵活应用数学知识的目的。而人们对知识的深刻理解，都具有一定的时空性、阶段性和渐进性，都需要在一定的变化环境下反复理解，才能不断深入。变式练习是陈述性知识转化为程序性知识点的关键环节。变式练习是对数学概念和问题进行不同角度、不同情形的变式，凸显概念的本质和外延，突出问题的结构特征，揭示知识的内在联系。变式练习就是指在其他教学条件不变的情况下，概念和规则等程序性知识的例证的变化。变式练习可以让学生在练习过程中，通过多角度的分析、比较、联系，掌握概念的本质和问题的结构及解决策略。下面就本人的教学实例谈谈对数学中的变式练习个人看法。

在数学学习中，教师通过变式练习，可以把一个看似孤立的问题从不同角度向外扩散，并形成一个有规律可寻的系列，帮助学生在问题的解答过程中去寻找解类似问题的思路、方法，有意识地展现教学过程中教师与学生数学思维活动的过程，充分调动学生学习的积极性、主动地参与教学的全过程，培养学生独立分析和解决问题的能力，以及大胆创新、勇于探索的精神，从而真正把学生能力的培养落到实处。同时，通过变式练习，学生不再需要大量、重复地做同一样类型的题目，从而实现真正的减负，提高了学习的效率，应用举例如下：

    例1 如在新授定理“  ” 其中 ,（当且仅当x=y时取“＝”号）的定理时，强调定理使用的条件是：一正二定三相等。通过如下课本习题进行变式练习：
　  原题　已知ｘ＞0，当x取什么值， 有最小值? 最小值是多少？（高中《数学(人教版)》新教材必修（5）P100练习第1题））
　  变式1　当ｘ∈Ｒ，函数 有最小值吗?为什么? 
  　变式2　已知ｘ＞5，求 的最小值； 
　　变式3　当ｘ＞3，函数 的最小值为2吗? 
　　评注：均值不等式是高中阶段的一个重点，但学生在使用时，很容易忘记定理使用的条件“一正二定三相等”。因此在教学中由课后习题出发，利用条件特殊化即将原题中一般条件，改为具有特定性的条件，使题目具有特殊性。设计三个变式练习的解答，使学生加深了对定理成立的三个条件“一正、二定、三相等”的理解与掌握，为定理的正确使用打下了较坚实的基础． 

 例2原题：画出函数y=f(x)的图象，并根据图象说出函数y=f(x)单调区间，以及在各单调区间上函数y=f(x)是增函数是减函数。（高中《数学(人教版)》新教材必修（1）习题1.3A组第1题）

 变式1：画出函数 的图象，并根据图象说出函数的单调区间，以及在各单调区间上函数 是增函数是减函数。

 评注：函数的图像、单调性是高中教学很重要的一部分内容，也是学生较难掌握的。因此本题将课本习题中函数解析式特殊化，引导学生挖掘条件,考察特定概念。这不仅考察了绝对值的概念,也考察了解一元二次方程，这符合由一般到特殊的认识规律，学生容易接受。

例3、已知x、y≥0且x+y=1，求x²+y²的取值范围。

解答此题的方法较多，下面给出一种常见的思想方法，以作示例。

解法一：（函数思想）由x+y=1得y=1-x，则

由于x∈[0，1]，根据二次函数的图象与性质知

当x= 时，x²+y²取最小值 ；当x=0或1时，x²+y²取最大值1。

变式1：已知a、b为非负数，M=a⁴+b⁴，a+b=1，求M的最值。

（函数思想）由a+b=1得b=1－a，0≤a≤1

       M= a⁴+b⁴= a⁴+（1－a）⁴=2a⁴－4a³+6a²－4a+1

    从而，M^/=8a³－12a²+12a－4=4（2a³－3a²+3a－1）

=4（2a－1）（a²－a+1）     令M^/=0，得a=

    当0＜a＜ 时M^/＜0，则M（a）单调递减；

当 ＜a＜1时M^/＞0，则M（a）单调递增；

    于是，M在a= 处取极小值M（ ）= ；而M（0）= M（1）=1

所以，  ≤M≤1

评注：函数思想是中学阶段基本的数学思想之一，揭示了一种变量之间的联系，往往用函数观点来探求变量的最值。对于二元或多元函数的最值问题，往往是通过变量替换转化为一元函数来解决。同时解决函数的最值问题，我们已经有比较深的函数理论，如单调性的运用、导数的运用等都可以求函数的最值。原题中利用函数知识，代入法来解决，变试中利用导数可以求函数的最值，不但复习了运用函数思想求变量的最值是常见方法。同时有助与在教学中引导学生对函数思想的形成，加强学生对函数概念及其性质的理解。

在教学实践中也发现，有些教师对变式练习的“度”把握不准确，不能因材施教，单纯地为了练习而练习，给学生造成了过重的学习和心理负担，使学生产生了逆反心理，“高投入、低产出”，事倍而功半。同时，有的教师不注意练习要有梯度，循序渐进，切不可搞“一步到位”，否则会使学生产生畏难情绪，影响问题的解决，降低学习的效率 。

总之，变式练习要源于课本又要高于课本，同时要遵守以下几个原则：
    1  明确目的， 遵循课标   2．突出重点， 以点带面

3  题面多样， 适当重复   4． 针对实际， 因人而异。

著名的数学教育家波利亚曾形象的指出：“好问题同某种蘑菇有些相像，它们都成堆地生长，找到一个以后，你应当在周围找一找，很可能附近就有好几个。” 数学课堂教学中，变式练习就是数学教育家波利亚所说的蘑菇，它让学生能够把自主学习和主体智力参与，以及多向性、多层次的交互作用引进教学过程。教师通过变式练习，不但使学生能举一反三，而且能使教学结构发生质的变化，使学生成为创造的主人。希望在我们的课堂中能多开展些变式练习，这样，变式练习将成为老师手中的方向盘带领学生告别那无尽头的题海。