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数学危机，人脑危机，人类危机              黎 鸣

数学是科学之首。一切科学，如果缺乏数学的参与，都将不成其为科学。然而一切科学，包括数学，均产生于人类大脑的思维，而人类思维的奥秘，又均经过语言，最终直达逻辑，所以，事实上，数学与逻辑，天然地具有着内在最深邃的渊源。

历史上的数学，经过近代数学史家的总结认为，至少曾发生过三次最大的危机，每一次危机都可能给数学的发展带来巨大的推进，但有时也可能带来巨大的困境。例如公元前发生的第一次数学危机，由于无理数的发现，导致了不可通约性（整数）的危机，这次危机大大推进了古典逻辑和欧几里得几何学的发生和发展；十七世纪发生的第二次数学危机是实数的危机，由于负数的开方形成了虚数的不可直观性，又由于连续与离散的矛盾性带来了无穷大和无穷小等问题的不可直观性，等等，这次危机大大推进了数学分析，例如微分方程论、函数论，乃至集合论等等的巨大发展。第三次数学危机是涉及整个数学基础的危机，发生于十九世纪末和二十世纪初，关于这次的危机，有一本著名的书专门加以论述，即M．克莱因的《数学：确定性的丧失》（湖南科学技术出版社，第一推动丛书，2000年版）。

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十九世纪末是人类近代数学思想发展最活跃的时期，种种不同的数学思想流派互相竞争，纷纷对数学的精确性、严密性的基础进行不同方面的延拓和加固。人们雄心勃勃，都想以自己的方式一统全人类数学的江山。例如，以弗雷格、罗素为代表的逻辑主义学派，以布劳威尔、魏尔为代表的直觉主义学派、以希尔伯特为代表的形式主义学派、以庞加莱为代表的约定主义学派，以及以康托的集合论为基础的集合论公理化学派，等等。然而，所有这些学派的统一全部数学系统的雄心壮志，全都在第三次数学危机的袭击中化为了泡影。

第三次的数学危机导源于数理逻辑学与集合论中一系列悖论的发生，最早引起震动的是由罗素提出的悖论。其实，这种悖论在过去早就存在，只不过人们并不把它们看得那么严重罢了，而罗素悖论的出现则不然，它使不少的数学家简直感到了数学基础的“天塌地陷”。例如著名的数理逻辑学家弗雷格，在他得知罗素悖论的消息之后，在他刚出版的《算术的基本法则》第二卷的跋中写道：“一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了，即在工作完成之时，它的基础却垮掉了。这本书等待付印的时候，罗素先生的一封信把我置于了这种境地。”与此几乎同时，另一位著名的数学家戴德金，也把准备付印的《连续性及无理数》一书的第三版抽了回来，他同样也感到了罗素悖论对整个数学基础的冲击。第三次数学的危机发生了深远的影响，可以说直到今天，它的阴云仍旧笼罩在人类数学思维领域，甚至全部人类科学思维领域的上空。

关于悖论的产生，人们归纳出了很多方面的原因。罗素认为关键在发生了无限“恶性的循环”，庞加莱认为关键在概念的定义中运用了“非直断性的语句”，魏尔则认为，困难的根源在于无穷集合和无限程序中所用到的无穷概念，魏尔甚至因此而认为，数学本来就是关于无限的科学，等等。

我认为，所有上述关于产生悖论的原因的回答，均没有说到问题的关键，或要害，真正问题的关键，或要害在于，迄今为止，人类的数学语言，甚至人类所有的自然语言，全都是基于二元性的逻辑的语言。这种基本逻辑的二元性，才是产生一切所谓悖论的根本原因。正是因此，逻辑主义学派仅仅基于二元论逻辑就想统一全部的数学，这是显然的梦想，所以在这场危机中，逻辑主义者失败得最惨，形式主义者也好不到哪里去，惟一可以有一点自我安慰的是直觉主义者，但他们的语言，其实也同样深深地扎根于二元论逻辑的土壤之中，如果认识不到这一点，他们也照样难有大的数学进展。真正想要摆脱这次危机阴云的笼罩，惟一的路，只能是彻底打破对二元论逻辑的依赖，尤其是必须彻底地抛弃排中律对于人类思维的禁锢。我的主张是，用三全律，或索性用老子的“三生万物”律取代排中律，这是后话，以后再论。

1931年哥德尔提出了关于几乎全部数学系统的不完全性定理的证明，可以说，他基本上对第三次数学危机作出了最好的总结。实际上，这种总结不仅可以针对全部的数学，也同样可以针对人类全部的语言。这是因为，它们全都共同基础于二元论的逻辑系统。说白了，只要我们继续坚持二元论的逻辑，我们的数学，同样也包括我们的语言，就必然会存在它们系统内在的某些不可判定性的问题。换言之，就是必然会存在某些发生悖论的问题，即：既真又假，既是又非。显然，这是对人类迄今为止一直奉为圭臬的形式逻辑中的排中律的最直接的否定，也正是因此，克莱因称其书名为：《数学，确定性的丧失》。

随着第三次数学危机的发生，人们对于数学基础的严密性的重视达到了几乎无以复加的程度，但由于二元论逻辑的依然故我，数学发展的速度大大降低，同时，数学思想深化的进度也同样大大趋缓。人类数学的发展事实上已经进入了全面停滞发展的胶着状态，甚至直到今天，也依然是如此。请问今天的世界，尚有谁，可以称之为真正伟大的数学思想家呢？这样的大思想家今天有吗？

另一方面，由于数理逻辑学的产生和发展，以及基于二元论逻辑运算的电子计算机的突飞猛进，电脑运算的非常高速化的技术，大大弥补了，同时也大大掩盖了人类大脑数学思维的学术深度发展的不足。到了21世纪的今天，电子、激光等等的数字化技术全面开花结果，这种“科学技术”大大发展和推广的异象，例如今天高度发展的网络技术、全方位广泛推行的数字化技术，等等等等，人类愈来愈依赖电脑的快速方便的计算力量，而在不知不觉中却渐渐忘记了继续挖掘人脑自身的潜能，实际上，这已经大大阻碍了人类数学思维的更深入创新和发展的可能。也正是在这个时候，1976年，美国的数学家利用电子计算机来证明了“四色猜想”的问题。可以说，这是反映了上述时代状况以及数学思维形势的一个典型的事例。它通过数百亿次的电脑的简单判断号称“证明”了“四色猜想”问题。如果按照直觉主义数学家对“证明”的理解，这种利用电子计算机的“证明”可以认为是非法的，甚至可以认为是应该加以否定的。因为它不是人类通过构造性的有限步骤的蕴涵推理来达到的“证明”。数百亿次的判断，对于人类来说，已经远不能说是“有限的”步骤，而且在这里，电脑的活跃事实上掩盖了人脑的懒惰和无能。

怪不得有人会认为，终有一天，机器（电脑）会变得比人类更聪明。例如美国的数学家库克即曾如此认为（见《现代数学史》，内蒙古人民出版社，1982年版）。当机器全面变得比人类更聪明之日，实际上也就是人类全面自我灭绝之时。这种关于人类总危机的预言是否有点危言耸听呢？我认为，这并不是完全不可能的。

当人对人的恶发展到极点之时，同时又当机器（电脑）的聪明程度发展到远远超过人类之时，由于用进废退的原理，人类的大脑实际上已经摆脱不了对电脑的依赖，甚至人脑自身也已经丧失了自然进化的任何可能，这时，人类的自我灭绝，恐怕就是难以避免的了。

虽然哥德尔早就说过，人永远要对电子计算机说最后一句话，但问题在于，这说最后一句话的人究竟是聪明的善人呢，还是愚昧的恶人呢？

用哥德尔的理论来说，这仍旧是个“不可判定的问题”。但我要说，这对二元论的数学和语言来说虽然是个“不可判定的问题”，然而，如果对今后人类有可能发明和创造的三元论的数学和语言来说，它或许就已经是个“可以判定的问题”了。当然，这也可能只是我的一种希望。

但我不光只是在“希望”，我也在行动。当我今天用我自己的大脑来破解“四色猜想”，并从而以尽可能的力量来摆脱人类对电子计算机的思维依赖的时候，正也是我力求解决题目中所述种种“危机”的第一步。为此，我希望得到我的同胞，以及全人类的理解和支持。2006,10,26.

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