数学课标教材的使用与教学思考

新教材教学中应当注意的几个问题
新课程改变的不仅仅是教材体例结构的删减改变，更重要的是对教材的灵活运用，深刻理解“用教材教”的含义，而不是教教材.对于新课程的改革，是循序渐进的过程，应结合每个学校的具体情况，根据自己的经验，按照学生的生活实际，大胆对课本内容进行改编补充，教师不但是教者，更应该是编者，创设更加鲜活生动、更加符合学生实际情况的问题情境，去组织处理教学.
1.教学的起点不只是从知识的逻辑出发，还应该从学生的经验出发.
比如讲“有理数的乘法”.数学的逻辑是什么呢？就是以法则为依据，因此关键是记住法则，然后把法则算法化，再进行大量的训练.这样的教学，学生虽然掌握了知识，会做有理数的运算，但是，我们却失去了很多东西.比如，在法则生成过程中，对数学的体验和数学发现的经历，甚至对法则的真正理解.面对法则，如果我们只给学生说：这是一个规定.但是考虑到学生的需求和发展，这样的回答，这样的教学是远远不够的.我们需要一种解释，一种关于这一规定合理性的解释，也就是我们有必要为法则寻求一个背景，建构一个模型，不再使那些肯于寻根问底的青少年为此苦于思索.其实，生活中这样的模型是很多的，只是在传统教学的环境下，我们缺少这种发现的眼光.“有理数乘法法则”的背景就有：蜗牛运动，水位涨落，企业负债等等.
例1　人教版七上34页：蜗牛运动.设蜗牛现在的位置为点O，每分钟爬行2cm，问：
①向右爬行，3分钟后的位置？　②向左爬行，3分钟后的位置？
③向右爬行，3分钟前的位置？　④向左爬行，3分钟前的位置？
比较①、②，有方向的区别，若把向右爬行2cm，记为＋2cm，则向左爬行2cm，记为－2cm.比较①、③，有时态的区别，将来时，3分钟后记为＋3，过去时，3分钟前记为－3.不难知道，这4个问题的算式分别为2×3，（－2）×3，2×（－3），（－2）×（－3）.如在④中，蜗牛向左爬行，现在的位置为点O，3分钟前应在刻度6处，可见（－2）×（－3）＝6，负负得正.
从这些现实的问题出发，不难概括出“有理数乘法法则”.这里所说的模型，所产生的问题，就构成我们教学的起点.从这个活动中，学生所获得的绝不仅仅是知识，是法则，还包括发现数学、探究数学的体验，包括对数学价值的认识.教学要从现实出发，要从学生的经验出发.这里的现实包括生活的现实、社会的现实，正是这些现实，构成了知识的生态环境，它是知识产生、生存，并具有生命力之所在.这里的经验，不仅包括学习经验，还包括生活经验.如果承认学生的主体地位，承认以学生发展为本，你就得承认，学生的经验是教学的出发点.
2.教学的目标不只是单一目标，而是三维目标.
单一目标，就是以知识为中心.三维目标，包括知识与技能，过程与方法，情感态度与价值观.三维目标不是三块，而是一个整体.把它们拆开讨论是研究层面的事，但在实践层面上必须三维一体.在这三维一体中，知识不是中心，而是载体.能力问题、情感问题是依附于知识的发生发展过程中的，是在探索知识的过程中得以形成和发展的.能力、情感不能像知识那样搞课堂达标，它需要一个比较长的阶段，通过教师利用课程资源去熏陶，由学生去体验，通过潜在的积累而获得.比如，你要培养学生抽象概括的能力，你的教学就应该有一个“抽象概括”的过程，这个过程并非一朝一夕.以函数为例，函数观念的形成，应该说发端于小学，成长于初中，形成于高中.
现在的问题是，三维目标，三维一体，在教学上如何操作呢？我们不妨以“负数”的教学为例作一比较.
我们可以这样讲：同学们，今天我们讲负数，负数是什么呢？是为了表示具有相反意义的量，比如收到5元钱，我们记作＋5，付出5元钱，我们记作－5，等等，这就是负数.
我们还可以这样设计：先给出一个引例，由此引出负数的概念，对概念进行分析，然后给出例子加深对负数的理解.
这里，不论是直奔主题，还是从引例出发，所表现的都是单一目标.为了体现三维目标，我们还可以这样设计：首先，必须让学生置身于现实生活，通过丰富的实例，让学生感受到现实生活中存在着大量的具有相反意义的量，比如输赢、收支、盈亏、增减、上升下降、以前以后等.先要给学生这样的感觉：整个世界都存在着这样的量，它们具有相反意义.然后，让学生知道这些量是需要表示的，我们还不会表示呢！如何表示呢？这就是一个问题.原来我们可以用整数、分数来表示一些事物，现在却遇到了问题.从而促使学生产生一种内在需求，一种困惑：原来的数怎么不够用了，不够用了怎么办？这又把问题推进了一步，接下来就研究这样的问题.
不够用了怎么办？需要引进新的记法.如何引进新的记法呢？这就需要探索、尝试、比较、逐步实现目标.学生的经验，学生的观察，学生的智慧，就在这里交流着，碰撞着，最后找到真理.
我们来反思一下，上述过程，就是负数形成的“一个”过程，也是数学发现的过程.通过这个过程，激活了负数的概念，使它真正成为有意义的东西.也正是在这一过程中，学生体验了数学与人类生活的联系，数学活动中充满了探索.在这一过程中，我们还可以体会人类智慧的伟大.数不够用了怎么办？在原有数前面添加一个符号，就解决了“具有相反意义”的问题，这就是人类的创造.在这个过程中，既有知识的获得，又有能力的生成，还有情感的体验，三维一体.这里的核心就是过程，只有在“过程”中，才可以获得知识，才可以形成能力，才可以激发情感.但要注意“过程”有好的过程和不好的过程，比如有一位全国著名的语文特级教师上课一开始就教学生练气功这一过程就不可取，与他所讲内容毫无关系，他更象班主任，而不象语文教师.又如后面关于“负整数指数幂”的引入过程，勾股定理的逆定理的发现过程等也是不够好的.
3.教学的方式不只是让学生记忆、模仿和接受，还应该引导学生独立思考、自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学.
只依赖于记忆、模仿和接受的教学不利于实现课程目标.下面的案例很能说明问题：
例2　某公园有一圆形水池，现要沿水池一圈增设栏杆，因此需要知道水池的周长.如何求它的周长呢？
我们发现许多初中同学不能解决这个问题，为什么呢？因为在他们看来，要求周长，必须先知道半径，而要测量水池的半径一时又有困难.但一个普通工人却非常容易的解决了这个问题，因为只要有足够长的绳子，就可以沿水池一周把它测量出来.
问题是：为什么面对现实世界中的周长问题，我们想到的是周长的计算公式，而不是周长的本来意义？我们学周长公式的意义何在，为什么学周长公式的结果与我们解决问题的初衷背道而驰？难道计算周长不是现实的需要，现实中的周长不可以直接测量吗？显然，出现这种现象与单纯的接受式学习是分不开的.试想一下，如果我们的教学从问题出发，从确立求周长的目标意识出发，给学生以思考的机会、探索的机会、实践的机会，让学生经历由测量到探求周长与半径关系的过程，学生还会对这样的现实问题束手无策吗？当然这只是极特殊的个例，但愿以后不会发生.
教学的实践表明，只要我们在教学中注意引导学生独立思考、自主探索、动手实践、合作交流，学生就会焕发出无穷的智慧和创造力.请看下面一个案例：
例3　求一块不规则图形的面积（九年级研究课）.
这与数学中的常规问题是不同的，我们在数学中面对的一般都是规则图形，可以直接用公式计算，或者通过适当割补后再用公式计算.如何解决这一问题呢？我们把它交给学生，竟然得到了如下一些成果：
方法1　将图形放在坐标纸上，也即将图形分割，看它有多少个“单位面积”.
方法2　将图形从内外两个方面用规则图形（或规则图形的组合）逼近.
方法3　将这块图形用一个正方形围住，然后随机地向正方形内扔“点”（如小石子等小颗粒），当点数P足够大时，统计落入不规则图形中的点数A，则图形的面积与正方形面积的比约为.
方法4　“称量”面积：在正方形区域内均匀铺满一层细沙，分别称得重量是P（正方形区域内细沙重）、A（所求图形内细沙重），则所求图形的面积与正方形面积的比是.
我们注意到，这里的每一种方法都有极其深刻的背景：方法1涉及到一个重要思想――面积公理；方法2体现了朴素的极限思想；方法3属于概率统计方法，数学史上被称为“蒙特卡罗方法”；方法4类似于阿基米德称皇冠的方法.看来老师要做的，就是欣赏学生的智慧，把学生的想法提升到一个新的境界.
这样的教学，强调的基础是：学生的认知发展水平和已有的知识经验；坚持的方式是，给学生提供机会：独立思考的机会，自主探索机会和合作交流的机会；期待的目标是，让学生在真正理解和掌握知识的同时，获得数学活动经验.
4.教学的内容不只是教教材内容，而是要用教材内容来教，要依据教材内容进行创造性的教学.
认真钻研课标和教材是我们每一位老师的基本功，教学效果的好坏很大程度上取决于教师挖掘教材的能力.现在新课程教材版本多种多样，内容呈现形式百花齐放，个别内容的编写还有不足之处，第一版甚至出现问题或错误也不少，这就更需要我们广大教师要善于抓住教材的核心内容进行教学设计，要突出教学内容的基础性、发展性、实践性和主体性，教案编写的内容要来源于教材，又要高于教材，创造性的使用教材内容，用教材内容来教，而不是教教材内容，坚决反对照本宣科的做法.
（1）教学内容设计要从学生的经验出发，有利于学生理解教材内容.
如人教版七上10页：问题　在一条东西向的马路上，有一个汽车站，汽车站东3m和7.5m处分别有一棵柳树和一棵杨树，汽车站西3m和4.8m处分别有一棵槐树和一根电线杆，试画图表示这一情境.
我们认为，像这样引入数轴的概念有两点学生是不适应的：一是画图一些学生有困难；二是情境太少，不利于学生构建数轴概念.因此，还应该提供一些感性材料让学生充分感知，再抽象概括数轴的概念.如温度计横着放，枰杆等.
（2）对新教材内容要善于舍弃、重组和改造，对传统教材中好的处理方式也要敢于拿来.
如“要求学生画学校分布示意图”可以改为“画本班教室分布示意图”，“观察北京每天的天气变化情况”可以改为“观察本地区每天的天气变化情况”.根据不同类型不同层次的学生对教材内容进行不同的处理，如七年级下149页课题学习“利用不等关系分析比赛”中的问题1、问题2可以针对大多数学生进行学习，而问题3就适宜在基础和条件比较好的学校与班级中学习.又如八年级上80页课题学习活动2“收集全班同学各家庭人均月用水量”对广大农村学生来说就不具有可操作性，就应该放弃.
老教材中重基础、重逻辑演绎、重知识传承，这些我们为什么不可以拿来用到新教材的教法中去呢？牢固的基础知识、正确的逻辑推理都是学生进行后继学习所必需的.
（3）每一个老师都要学会创造，善于比较不同版本教材对同一内容的不同处理，从中确定适合自己学生的实际的内容处理方式.
比如某版九上教材中的“负整指数幂”是这样安排的.
首先让学生探索，考察下列算式：.
一方面，如果仿照同底数幂的除法公式来计算，得
.
另一方面，我们可利用约分，直接算出这两个式子的结果为
，.
然后进行概括，由此启发，我们规定：.
一般地，我们规定是正整数）.
如果我们就这样给学生讲解，左边相同，右边应该是相等的！难道你不觉得失去了什么吗？第一，我们认为学生首先想到的应该是约分的方法去计算；第二，学生怎么敢用同底数幂相除的法则呢？因为同底数幂相除的法则要求被除式的指数要大于除式的指数，只有去掉这个限制条件，才会有第一种方法.因此，教师可以问学生：使用第一种方法解决的根据是什么？还可以问：你这里的表示什么意思？这些问题看似简单，实则可以帮助学生进行反思，使思维更加深入，而且可以使学生感受到引进负整数指数幂的必要，也可以让学生明白我们这样规定的“理由”.因此，让学生养成推理要有根据的习惯，建立和发展推理意识、反思意识应该是数学教师的职责，我们必须牢记：反思比发现更重要.
我们再看人教版对此内容的处理，就更符合学生的认知规律.
人教版八下23页：
思考：一般地，中指数可以是负整数吗？如果可以，那么负整数指数幂表示什么？
由分式的约分可知，当时，
.　　　①
另一方面，如果把正整数指数幂的运算性质（4）是正整数，中的条件去掉，即假设这个性质对于的情形也能使用，则有.　　　②
由①②两式，我们想到如果规定，就能使这条性质也适用于像这样的情形.为使上述运算性质适用范围更广，同时也可以更简便地表示分式，数学中规定：
一般地，当是正整数时，.这就是说，是的倒数.
像上面这样引入负整数指数幂后，指数的取值范围就推广到全体整数.
又如某版八上教材中关于勾股定理的逆定理是这样安排的.
教材的标题是“能得到直角三角形吗？”　教材通过历史上的故事提出了问题：古埃及人曾用下面的方法得到直角.他们用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，其直角在第4个结处.
按这种做法真能得到一个直角三角形吗？
教材就这样提出了问题，下面我们来看教材是怎样解决问题的？
教材让学生动手，安排了“做一做”：
下面一组数分别是一个三角形的三边长：
5,12,13；　7,24,25；　8,15,17.
（1）这三组数都满足吗？
（2）分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量量，它们都是直角三角形吗？
通过这样的操作，教材得到了勾股定理的逆定理.（略）
看了上面的教材，不知道你会有什么样的感觉？就我而言，我是感到了不少的困惑！
我真不知道，在学习这段教材时，学生除了要根据给定的指令进行机械的操作之外，还可以做些什么？问题是由教材提出的！解决问题的方案也是教材给出的！对学生而言，他们在进行操作时甚至连操作的目的都不知道！他们根本不明白在讨论直角的问题时，为什么要让他们去回答“这三组数都满足吗？”这样的问题！（这是不是编者留给学生去反思的呢？如果是这样，教材至少也要指出思考的方向吧？）因此，从本质上来说，学生的学习是机械的，而不是有意义的！在这样的学习活动中，学生又有什么主体地位可言？教材又在什么地方给学生提供了思维的空间？从实质上说，在这样的教学中学生并不是学习的主人，相反，他们只是教材编写者的工具，是机械地执行指令的机器！这当然是和教材的编写意图背道而驰的！
另外，我们还不知道编者为什么不能对这个事实做出证明？这种既可以加深学生对定理的理解（因为它揭示了逆定理与勾股定理的联系），又可以被学生接受的证明方法为什么不能采用呢？如果因为某种忌讳（因为我们不能提到欧几里德）不能进行形式化的证明的话，为什么不能用推理来做一些说明（关于这一点请老师们参阅人教版的处理）？例如是不是可以让学生通过讨论提出自己的思路？能不能建议学生用更多的方法去验证埃及人的三角形是不是直角三角形？能不能让学生想一想，除了用三边做出三角形，再量直角以外，有没有其它验证的方法？例如能不能让学生用两边长做出直角三角形，然后再看这个三角形和埃及人的三角形有什么关系？（这样那个神秘的就会被学生发现了）为什么一定要让学生“动手”而不允许学生动脑呢？为什么不能发挥思维的力量，不能发挥推理的力量？是学生不具有这样的思维能力，还是根本就不允许学生思维？不允许学生使用演绎的方式？不允许学生发展他们的理性精神？难道数学或者数学教学的性质发生了根本性的变化？（是数学已经从思维的科学变成了“技术的科学”吗？）或者说是数学或者它的教学发生了一场文化意义上的革命呢？

下面我们再来看一看人教版八下81页对此内容的处理：
据说古埃及人用如下方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结、4个结、5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.
这个问题意味着，如果围成的三角形的三边分别为3，4，5，有下面的关系“”，那么围成的三角形是直角三角形.
画画看，如果三角形的三边分别为2.5cm，6cm，6.5cm，有下面的关系“”，画出的三角形是直角三角形吗？换成三边分别为4cm，7.5cm，8.5cm，再试一试.
由上面的几个例子，我们猜想：
命题2　如果三角形的三边长满足，那么这个三角形是直角三角形.…………上节已证明命题1正确，能证明命题2正确吗？
探究：在图18.2－2中，△ABC的三边长满足.如果△ABC是直角三角形，它应该与直角边是的直角三角形全等.实际情况是这样吗？我们画一个直角三角形，使，把画好的△剪下，放到△ABC上，它们重合吗？
可以看到，它们是重合的.实际上，在△中，，因为，所以，在△ABC和△中，，所以△ABC≌△ .所以，即△ABC是直角三角形.

实际上，创新意识和理性精神、应用价值和文化价值、直觉思维和逻辑思维等等并不是对立的，而是互相促进的，它们完全可以而且应该统一在数学教育之中.数学教育改革的目的之一是要实现这种统一.因此，我们不能以牺牲理性精神为代价来发展所谓的创新意识，也不能以牺牲思维能力为代价来发展学生的应用能力！这就需要我们对数学教育的各种教育价值进行整合，以发挥它的最大效益.
最后我们要说的是，教师要深刻理解教材，才能把握好教材，只有理解好了教材，才能用好教材.如果不能很好地理解教材，就不可能讲出教材的味道.
5.教学的境界不只是知识本位，学科本位，而应该是以提高人的素质为本，立足于发展和完善人.
现在，我们经常提到一些变化，诸如观念的变化，教学行为的变化，角色的变化，学习方式的变化，教学内容的变化，教学目标的变化等，这些变化是由什么引起的呢？是由课程功能决定的.课程的主要功能是育人的功能，以学生为本，不再是唯学科而学科，而是实现学生的全面、持续、和谐的发展，具体目标不是单一目标，而是三维目标.课程功能的变化，必然导致学习方式的改革，导致教学方式的改革.过去我们一直沿袭的方式是接受式，所谓传道、授业、解惑，这一套办法，一般只能指向知识与技能，一旦涉及到人的品质的核心部分，接受式学习已经无能为力，只有通过感悟、体验和反思才能得到发展.由于课程功能的变化，必然导致学习内容的更新，这里包括两个层面，一是引进现代内容；二是经典内容的重新定位.同样课程功能的变化，必将引起评价的改革等等.
当前，在使用课标教材进行教学时，要注意以下两点：
一是既要坚持课程改革的基本方向，又要注重继承人类的文化遗产.倡导学习方式的改变，不是不要传统，新课程也把“知识与技能”作为重要的目标，而知识，特别是事实性知识，是可以让学生运用接受的方式进行学习的.比如负数的写法，常规运算，函数图象的作法等等.不管怎样，面对一节具体的课，教师可以有多种选择、多种设计，但必须有一种内在的品质，那就是对学生能力的关注，对情感态度和价值观的关注，注意教育价值始终是教学设计的灵魂.
二是既要强调“生活经验”，又要立足于理性精神的培养.在课堂上，我们可以让学生做游戏，让学生做实验，让学生动手操作.但它和一般的游戏是不同的，一般的游戏只是为了引发兴趣；和一般的实验是不同的，一般的实验是为了验证假设；和一般的操作也是不同的，一般的操作只是为了完成具体事项.但几何中的游戏、实验、操作是为了促进学生的思维发现，为理性的东西提供直观的素材，最终抵达理性精神.数学教学的艺术就在这里，我们说淡化形式，但最终还是要抵达完美的形式，注重实质.
我们在构建符合现代理念的教学方式时，要注意全面体现数学的教育价值，实现学生的数学素养的提高，全面提升学生的综合素质.