高中高二数学上册全册教案下载3

五、布置作业
1．(1.3练习第1题)在坐标平面上，画出下列方程的直线：
(1)y=x
(2)2x+3y=6
(3)2x+3y+6=0
(4)2x-3y+6=0
作图要点：利用两点确定一条直线，找出方程的两个特解，以这两个特解为坐标描点连线即可．
2．(1.4练习第2题)求经过下列每两个点的直线的斜率和倾斜角：
(1)C(10，8)，D(4，-4)；
解：(1)k=2　 α=arctg2．
(3)k=1，α=45°．
3．(1.4练习第3题)已知：a、b、c是两两不相等的实数，求经过下列每两个点的直线的倾斜角：(1)A(a，c)，(b，c)；(2)C(a，b)，D(a，c)；(3)P(b，b+c)，Q(a，c+a)．
解：(1)α=0°；(2)α=90°；(3)α=45°．
4．已知三点A(a，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a的值．
∵A、B、C三点在一条直线上，
∴kAB=kAC．
六、板书设计
直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式
一、教学目标
(一)知识教学点
在直角坐标平面内，已知直线上一点和直线的斜率或已知直线上两点，会求直线的方程；给出直线的点斜式方程，能观察直线的斜率和直线经过的定点；能化直线方程成截距式，并利用直线的截距式作直线．
(二)能力训练点
通过直线的点斜式方程向斜截式方程的过渡、两点式方程向截距式方程的过渡，训练学生由一般到特殊的处理问题方法；通过直线的方程特征观察直线的位置特征，培养学生的数形结合能力．
(三)学科渗透点
通过直线方程的几种形式培养学生的美学意识．
二、教材分析
1．重点：由于斜截式方程是点斜式方程的特殊情况，截距式方程是两点式方程的特殊情况，教学重点应放在推导直线的斜截式方程和两点式方程上．
2．难点：在推导出直线的点斜式方程后，说明得到的就是直线的方程，即直线上每个点的坐标都是方程的解；反过来，以这个方程的解为坐标的点在直线上．
的坐标不满足这个方程，但化为y-y1=k(x-x1)后，点P1的坐标满足方程．
三、活动设计
分析、启发、诱导、讲练结合．
四、教学过程
(一)点斜式
已知直线l的斜率是k，并且经过点P1(x1，y1)，直线是确定的，也就是可求的，怎样求直线l的方程(图1-24)？
设点P(x，y)是直线l上不同于P1的任意一点，根据经过两点的斜率公式得
注意方程(1)与方程(2)的差异：点P1的坐标不满足方程(1)而满足方程(2)，因此，点P1不在方程(1)表示的图形上而在方程(2)表示的图形上，方程(1)不能称作直线l的方程．
重复上面的过程，可以证明直线上每个点的坐标都是这个方程的解；对上面的过程逆推，可以证明以这个方程的解为坐标的点都在直线l上，所以这个方程就是过点P1、斜率为k的直线l的方程．
这个方程是由直线上一点和直线的斜率确定的，叫做直线方程的点斜式．
当直线的斜率为0°时(图1-25)，k=0，直线的方程是y=y1．
当直线的斜率为90°时(图1-26)，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1．
(二)斜截式
已知直线l在y轴上的截距为b，斜率为b，求直线的方程．
这个问题，相当于给出了直线上一点(0，b)及直线的斜率k，求直线的方程，是点斜式方程的特殊情况，代入点斜式方程可得：
y-b=k(x-0)
也就是
上面的方程叫做直线的斜截式方程．为什么叫斜截式方程？因为它是由直线的斜率和它在y轴上的截距确定的．
当k≠0时，斜截式方程就是直线的表示形式，这样一次函数中k和b的几何意义就是分别表示直线的斜率和在y轴上的截距．
(三)两点式
已知直线l上的两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，(x1≠x2)，直线的位置是确定的，也就是直线的方程是可求的，请同学们求直线l的方程．
当y1≠y2时，为了便于记忆，我们把方程改写成
请同学们给这个方程命名：这个方程是由直线上两点确定的，叫做直线的两点式．
对两点式方程要注意下面两点：(1)方程只适用于与坐标轴不平行的直线，当直线与坐标轴平行(x1=x2或y1=y2)时，可直接写出方程；(2)要记住两点式方程，只要记住左边就行了，右边可由左边见y就用x代换得到，足码的规律完全一样．
(四)截距式
例1　 已知直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b(a≠0，b≠0)，求直线l的方程．
此题由老师归纳成已知两点求直线的方程问题，由学生自己完成．
解：因为直线l过A(a，0)和B(0，b)两点，将这两点的坐标代入两点式，得
就是
学生也可能用先求斜率，然后用点斜式方程求得截距式．
引导学生给方程命名：这个方程是由直线在x轴和y轴上的截距确定的，叫做直线方程的截距式．
对截距式方程要注意下面三点：(1)如果已知直线在两轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程；(2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图；(3)与坐标轴平行和过原点的直线不能用截距式表示．
(五)例题
例2　 三角形的顶点是A(-5，0)、B(3，-3)、C(0，2)(图1-27)，求这个三角形三边所在直线的方程．
本例题要在引导学生灵活选用方程形式、简化运算上多下功夫．
解：直线AB的方程可由两点式得：
即　 3x+8y+15=0
这就是直线AB的方程．
BC的方程本来也可以用两点式得到，为简化计算，我们选用下面途径：
由斜截式得：
即　 5x+3y-6=0．
这就是直线BC的方程．
由截距式方程得AC的方程是
即　 2x+5y+10=0．
这就是直线AC的方程．
(六)课后小结
(1)直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式的命名都是可以顾名思义的，要会加以区别．
(2)四种形式的方程要在熟记的基础上灵活运用．
(3)要注意四种形式方程的不适用范围．
五、布置作业
1．(1.5练习第1题)写出下列直线的点斜式方程，并画出图形：
(1)经过点A(2，5)，斜率是4；
(4)经过点D(0，3)，倾斜角是0°；
(5)经过点E(4，-2)，倾斜角是120°．
解：
2．(1.5练习第2题)已知下列直线的点斜方程，试根据方程确定各直线经过的已知点、直线的斜率和倾斜角：
解：
(1)(1，2)，k=1，α=45°；
(3)(1，-3)，k=-1，α=135°；
3．(1.5练习第3题)写出下列直线的斜截式方程：
(2)倾斜角是135°，y轴上的截距是3．
4．(1.5练习第4题)求过下列两点的直线的两点式方程，再化成截距式方程，并根据截距式方程作图．
(1)P1(2，1)、P2(0，-3)；
(2)A(0，5)、B(5，0)；
(3)C(-4，-3)、D(-2，-1)．
解：
(图略)
六、板书设计
曲线和方程
例题（一）
例1  线段AB长为a+b,a＞0,b＞0，其两端点A、B分别在x轴、y轴上， P为其上一定点，且|BP|=a,求当A、B分别在两轴上滑动时点P的轨迹方程.
解：由平面几何知识知△BNP∽△PMA
∴
整理得： 即为所求方程.
例2  已知不共线三点A、B、C，求使△PAB与△PBC的面积相等的点P的轨迹.
解：如图以B为原点，BA所在直线为x轴，建立直角坐标系，设A（a,0），C（b,c），且P（x,y）为轨迹上任一点.
S△PAB=
点P到lBC的距离为
∴S△PBC=
由条件S△PAB=S△PBC
∴a|y|=|cx－by|
整理得：a2y2=c2x2－2bcxy+b2y2
化简为：cx－(a+b)y=0或cx+(a－b)y=0
所求轨迹为过原点的两条直线.

如何建立适当的坐标系
□     河北井陉微水中学  梁彦庭
求曲线方程是解析几何研究的主要内容之一，用解析法证明有关题目也是一种重要的数学方法，这两个问题的第一步都是建立适当的直角坐标系.那么，怎样建立的坐标系才是适当的呢？它一般有三种考虑：一是建立的坐标系有利于求出题目的结果；二是尽可能多地使图形上的点（或已知点），落在坐标轴上；三是充分利用图形本身的对称性.下面举例说明：
例  如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度AB=20米，拱高OP=4米，在建造时每隔4米需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度.（解析几何P62例4）
解  以线段AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立坐标系，则P（0，4），B（10，0），设圆心的坐标是（0,b），圆的半径是r，那么圆的方程是x2+(y－b)2=r2
∵P、B都在圆上，得方程组
解得b=－10.5,r2=14.52
∴这个圆的方程是x2+(y+10.5)2=14.52
把点P2的横坐标x=－2代入这个圆的方程可求得
y=3.86(米)（很明显，y取正值）
即A2P2=3.86米
评析  此题建立坐标系三方面都考虑到了.一：P2点的纵坐标即为所求；二：A、B、P、A1、A2、A3、A4都在坐标轴上；三：利用了线段的垂直平分线的对称性，且垂直平分线是所求圆的对称轴.
●教学目标
１．了解线性约束条件、线性目标函数、线性规划概念；
２．会在线性约束条件下求线性目标函数的最优解；
３．了解线性规划问题的图解法．
●教学重点：
线性规划问题
●教学难点：
线性规划在实际中的应用
●教学方法
学导式
●教具准备：
幻灯片
●教学过程
Ⅰ复习回顾：
师：上一节，我们学习了二元一次不等式表示的平面区域，这一节，我们将应用这一知识来解决线性规划问题．所以，我们来简要回顾一下上一节知识．（略）
Ⅱ讲授新课：
例３：设z=2x+y,式中变量满足下列条件：
．
解：变量x,y所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域．（如右图）．
作一组与l0：2x+y=0平行的直线l：2x+y=t.t∈Ｒ可知：当l在l0的右上方时，直线l上的点（x,y）满足2x+y＞0，即t＞0，而且，直线l往右平移时，t随之增大，在经过不等式组①所表示的公共区域内的点且平行于l的直线中，以经过点Ａ（５，２）的直线l2所对应的t最大，以经过点Ｂ（１，１）的直线l1所对应的t最小．所以
zmax=2×5+2=12      zmin=2×1+1=3
说明：例３目的在于给出下列线性规划的基本概念．（用幻灯片给出）．
１．线性规划的有关概念：
①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．
②线性目标函数：
关于x、y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数．
③线性规划问题：
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
④可行解、可行域和最优解：
满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．
由所有可行解组成的集合叫做可行域．
使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．
２．线性规划在实际中的应用：
例４　要将两种大小不同的钢板截成Ａ、Ｂ、Ｃ三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：
规格类型
钢板类型
Ａ规格
Ｂ规格
Ｃ规格
第一种钢板
２
１
１
第二种钢板
１
２
３
今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？
解：设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，则
作出可行域（如右图）：（阴影部分）
目标函数为z=x+y
作出一组平行直线x+y=t,其中经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，经过直线x+3y=27和直线2x+y=15的交点A（ ），直线方程为x+y= .
由于 都不是整数，而最优解（x,y）中，x,y必须都是整数，可行域内点（ ）不是最优解.
经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是x+y=12,经过的整点是B(3,9)和C(4,8),它们都是最优解.
答:要截得所需三种规格的钢板,且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种:第一种截法是截第一种钢板3张.第二种钢板9张;第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张.两种方法都最少要截两种钢板共12张.
说明:在例4中,线性规划问题的最优解（ ）不是实际问题的最优解,应使学生注意到具有实际意义的x,y应满足x∈N,y∈N.故最优解应是整点坐标.
Ⅲ.课堂练习:
课本P64,1,2
●课堂小结:
师:通过本节学习,要求大家掌握线性规划问题,并能解决简单的实际应用.
●课后作业
习题7.4 2(1),3,4.
●板书设计
§7.4.2…
1.线性规划     2.例4…       练习1       练习3
有关概念       …           …           …
①…           …          练习2        …
②…
③…
④…
●教学后记
在直角坐标平面内，直线l可以用二元一次方程Ax+By+C=0来表示，点P(x0,y0)在直线l上的充要条件是Ax0+By0+C=0；若点P不在直线l上，则Ax0+By0+C＞0或Ax0+By0+C＜0，二者必居其一.
直线l：Ax+By+C=0将平面划分为两个半平面Ax+By+C＞0和Ax+By+C＜0，位于同一个半平面内的点，其坐标必适合同一个不等式.要确定一个二元一次不等式所表示的半平面，可用“特殊点”法，如取原点或坐标轴上的点来检验.另外，还可证明如下结论：
（1）若A＞0，则Ax+By+C＞0表示直线l:Ax+By+C=0右侧的半平面，Ax+By+C＜0表示直线l左侧的半平面.
（2）若B＞0，则Ax+By+C＞0表示直线l:Ax+By+C=0上方的半平面，Ax+By+C＜0表示直线l下方的半平面.
［例1］在直角坐标平面上有两个区域M和N.M是由y≥0，y≤x和y≥z-x这三个不等式确定的.N是随t变化的区域，它由不等式t≤x≤t+1的确定，t的取值范围是0≤t≤1.设M和N的公共面积是函数f(t)，求证：f(t)=-t2+t+ .
导析：这是一个基本问题，关键是确定M和N的公共部分的形状.可先让学生自行画出M、N这两个区域，然后再作判断.
如图所示，依题意，区域M是图中△AOB,区域N是直线x=t与x=t+1(0≤t≤1)之间的带形域.M和N的公共部分为图中的阴影部分五边形ACDEF（包括边界）.
关于五边形ACDEF面积的计算，可引导学生从下面三个途径去考虑：
（1）△AOB的面积减去Rt△ODC、Rt△BEF的面积；
（2）过A作x轴的垂线，将其划分为两个直角梯形来计算；
（3）连结CF，将其划分为一个直角三角形CAF和一个直角梯形CDEF去求解.
［例2］已知实数x、y满足2x+y≥1，求u=x2+y2+4x-2y的最小值.
导析：注意到所求式的结构特点，学生容易想到将其作如下的配方变形.
u=(x+2)2+(y-1)2-5
显然，(x+2)2+(y-1)2表示点P（x,y)与定点A（-2,1)的距离的平方.
由约束条件2x+y≥1知，点P（x，y）在直线l：2x+y=1的右上方区域G.
于是，问题转化为求定点A（-2，1）到区域G的最近距离.
由图知，点A到直线l的距离为A到区域G中点的距离的最小值.
d=
∴d2= .
故umin=d2-5=- .
说明：这是一个条件最值问题，由于所求式呈现出两点间距离的特点，所以我们应用了等价转化的思想，应用解析法使问题得到巧妙地解决.
［例3］设实数x、y满足不等式组
（1）求点(x,y)所在的平面区域；
（2）设a＞-1，在（1）所求的区域内，求函数f(x,y)=y-ax的最值.
导析：必须使学生明确，求点(x,y)所在的平面区域，关键是确定区域的边界线，可从去掉绝对值符号入手.
（1）已知的不等式组等价于
解得点（x,y)所在的平面区域为所示的阴影部分（含边界）.其中，
AB:y=2x-5;BC:x+y=4;
CD:y=-2x+1;DA:x+y=1.
（2）f(x,y)表示直线l：y-ax=k在y轴上的截距，且直线l与（1）中所求区域有公共点.
∵a＞-1,
∴当直线l过顶点C时，f(x,y)最大.
∵C点的坐标为（-3，7），
∴f(x,y)的最大值为7+3a.
如果-1＜a≤2，那么当直线l过顶点A（2，-1）时，f(x,y)最小，最小值为-1-2a.
如果a＞2，那么当直线l过顶点B（3，1）时，f(x,y)最小，最小值为1-3a.
说明：由于直线l的斜率为参数a，所以在求截距k的最值时，要注意对参数a进行讨论，方法是将直线l动起来.
研究性课题与实习作业：线性规划的实际应用
课时安排
1课时
从容说课
研究性课题主要是指对某些数学问题的深入探讨，或者从数学角度对某些日常生活中和某他学科中出现的问题进行研究.它是以我们所学的数学知识为基础，密切结合生活和生产实际所开展的自主的、开放的、探究式的学习活动.它能让我们体验知识的形成过程、体验知识发展的方阔前景，通过与相近相关知识的比较、类比；通过直觉感受、猜测的进一步分析，不断主动地去积极探索思辨，初步学会查找资料，分析处理有关的信息，善于反思辨别、判断创新，培养科学精神，善于与会协作，互享成果，真正做自己的学习的主人.
本小节的实习作业是高中数学教科书中的第二个实习作业，它是我们力所能及的一种数学实践活动，它对于我们认识学习数学的意义，提高学习数学的兴趣，培养解决问题的能力都有好处，我们应认真完成.
线性规划主要应用于这样两类问题：
1．在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；
2．给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.
请同学们抽时间到附近的工厂、学样、企业、商店等作调查研究，了解线性规划在实际中的应用
点到平面的距离的几种求法
求‘点到平面的距离’是立体几何学习中不可忽视的一个基本问题，是近几年高考的一个热点．本文试通过对一道典型例题的多种解法的探讨，结合《立体几何》(必修本)中的概念、习题，概括出求‘点到平面的距离’的几种基本方法．
例：已知ＡＢＣＤ是边长为4的正方形，Ｅ、Ｆ分别是ＡＢ、ＡＤ的中点，ＧＣ垂直于ＡＢＣＤ所在平面，且ＧＣ＝２，求点B到平面ＥＦＧ的距离．
一、直接通过该点求点到平面的距离
１．直接作出所求之距离，求其长．
解法1．如图1，为了作出点B到平面EFG的距离，延长FE交ＣＢ的延长线于Ｍ，连 结GM，作BN⊥BC，交GM于N，则有BN∥CG，BN⊥平面ABCD．作BP⊥EM，交EM于P，易证平面BPN⊥平面EFG．作BQ⊥PN，垂足为Q，则BQ⊥平面EFG．于是BQ是点B到平面EFG的距离．易知BN＝ ，BP＝ ，PZ＝ ，由BQ·PN＝PB·BN，得BQ＝ ．
图1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 图2
２．不直接作出所求之距离，间接求之．
（１）利用二面角的平面角．
课本Ｐ．４２第4题，Ｐ．４６第2题、第4题给出了“二面角一个面内的一个点，它到棱的距离、到另一个面的距离与二面角的大小之间所满足的关系”．如图2，二面角Ｍ-ＣＤ-Ｎ的大小为α，Ａ∈Ｍ，ＡＢ⊥ＣＤ，ＡＢ＝ａ，点Ａ到平面Ｎ的距离ＡＯ＝ｄ，则有ｄ＝ａｓｉｎα． ①
①中的α也就是二面角的大小，而并不强求要作出经过ＡＢ的二面角的平面角．
解法2．如图3，过Ｂ作ＢＰ⊥ＥＦ，交ＦＥ的延长线于Ｐ，易知ＢＰ＝ ，这就是点Ｂ到二面角Ｃ-ＥＦ-Ｇ的棱ＥＦ的距离．连结ＡＣ交ＥＦ于Ｈ，连结ＧＨ，易证∠ＧＨＣ就是二面角Ｃ-ＥＦ-Ｇ的平面角．∵   ＧＣ＝２，ＡＣ＝４ ，ＡＨ＝ ，∴   ＣＨ＝３ ，ＧＨ＝ ，ｓｉｎ∠ＧＨＣ＝２/ ，于是由①得所求之距离ｄ＝ＢＰ·ｓｉｎ∠ＧＨＣ＝ · ＝ ．解略．
（２）利用斜线和平面所成的角．
如图4，ＯＰ为平面α的一条斜线，Ａ∈ＯＰ，ＯＡ＝ｌ，ＯＰ与α所成的角为θ，Ａ到平面α的距离为ｄ，则由斜线和平面所成的角的定义可知，有ｄ＝ｌｓｉｎθ．②
经过ＯＰ与α垂直的平面与α相交，交线与ＯＰ所成的锐角就是②中的θ，这里并不强求要作出点Ａ在α上的射影Ｂ，连结ＯＢ得θ．
解法3．如图5，设Ｍ为ＦＥ与ＣＢ的延长线的交点，作ＢＲ⊥ＧＭ，Ｒ为垂足．又ＧＭ⊥ＥＢ，易得平面ＢＥＲ⊥平面ＥＦＧ，ＥＲ为它们的交线，所以∠ＲＥＢ就是ＥＢ与平面ＥＦＧ所成的角θ．由△ＭＲＢ∽△ＭＣＧ，可得ＢＲ＝ ，在Ｒｔ△ＲＥＢ中，∠Ｂ＝９０°，ＢＲ＝ ，ＥＢ＝２，所以ｓｉｎθ＝ＢＲ/ＥＲ＝ ，于是由②得所求之距离ｄ＝ ．
图5　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 图6
（３）利用三棱锥的体积公式．
解法4．如图6，设点Ｂ到平面ＥＦＧ的距离为ｄ，则三棱锥Ｂ-ＥＦＧ的体积Ｖ＝(１/３)Ｓ△ＥＦＧ·ｄ．另一方面又可得这个三棱锥的体积Ｖ＝(１/３)Ｓ△ＦＥＢ·ＣＧ，可求得Ｓ△ＦＥＢ＝(１/４)Ｓ△ＤＡＢ＝２，Ｓ△ＥＦＧ＝ ，所以有１/３· ·ｄ＝１/３·２·２，得ｄ＝ ．
二、不经过该点间接确定点到平面的距离
１．利用直线到平面的距离确定
解法5．如图7，易证ＢＤ∥平面ＥＦＧ，所以ＢＤ上任意一点到平面ＥＦＧ的距离就是点Ｂ到平面ＥＦＧ的距离．由对称思想可知，取ＢＤ中点Ｏ，求点Ｏ到平面ＥＦＧ的距离较简单．ＡＣ交ＥＦ于Ｈ，交ＢＤ于Ｏ．易证平面ＧＨＣ⊥平面ＥＦＧ，作ＯＫ⊥ＨＧ，Ｋ为垂足，ＯＫ＝ 为所求之距离．
图7　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图8
２．利用平行平面间的距离确定
如图8，把平面ＥＦＧ补成一个正四棱柱的截面所在的平面，可使题设中的点、线、面之间的位置关系更加明朗．面ＧＭＴ是正四棱柱ＡＢＣＤ-Ａ１Ｂ１ＧＤ１经过Ｆ、Ｅ、Ｇ的截面所在的平面．ＭＧ交ＢＢ１于Ｎ，ＴＧ交ＤＤ１于Ｑ，作ＢＰ∥ＭＧ，交ＣＧ于Ｐ，连结ＤＰ，则有平面ＧＴＭ∥平面ＰＤＢ．它们之间的距离就是所求之距离．于是可以把点Ｂ平移到平面ＰＤＢ上任何一个位置，哪里方便就在哪里求．
这两个平行平面的距离ｄ又同三棱柱ＧＱＮ-ＰＤＢ的体积有关，所以也可以利用三棱柱的体积确定所求之距离．据此可得解法６．
解法6．三棱柱ＧＱＮ-ＰＤＢ的体积Ｖ＝Ｓ△ＰＤＢ·ｄ，另一方面又有Ｖ＝Ｓ△ＣＤＢ·ＢＮ，可求得ＢＮ＝２/３，ＣＰ＝４/３，ＰＢ＝ＰＤ＝ ，ＢＤ＝ ，Ｓ△ＰＤＢ＝ ，Ｓ△ＣＤＢ＝８，所以 ·ｄ＝８·２/３，得ｄ＝ 为所求之距离．
面积最小求点坐标
山西中阳县中阳一中  冯富强
在平时的做题中,我们会看到这么一类型题:给出几个已知条件,围成一个Δ,而后求SΔ最小时,有关点的坐标,这类题主要出现在解析几何中,有关直线方程的问题中更是常见,下面就这类题讲一些解题技巧与方法.
例1.已知直线 ,在l上求一点Q,使直线PQ,l及x轴在第一象限上围成的三角形面积最小,并求出面积的最小值.
解:设 轴上的截距为a.
则有
得
当 时取等号,得
(另附: )
∴当Q(2,8)时,S取最小值40.
例2.如下图过点P(1,2)的直线l交x,y两轴正向于A、B两点，求ΔAOB面积最小时，直线l的方程.
解：∵直线与x，y两轴各有一交点
∴l既不与x轴平行，也不与y轴平行，即l的斜率存在.
设直线l的方程为y=kx+b(k＜0）
∵点P(1,2)在直线l上
∴2=k+b,即b=2-k,∴l的方程为:y=kx+2-k,
令y=0,直线在x轴上的截距为
即 解得S≥4或S≤0(舍去)
当且仅当 时取等号
∴直线l的方程为:y=-2x+4.
例3.已知定点A(0,a)和直线y=b(0＜a＜b ,动点P、Q分别在x轴和y=b上移动，且∠APQ 求△APQ面积最小时点P、Q的坐标.
解：设
又∵S最小，∴sin2θ=1
又∵0＜θ＜90°,∴θ=45°
即 ,即
通过上述三道题,我们介绍了一种解决最值问题的有效方法：选择自变量,然后建立关于这个变量的函数式,最后用代数方法求解极值.使用该方法时,首先要注意自变量的设定,不仅可以设斜率(例2),还可以设直线在一条坐标轴上的截距(例1),也可设角为自变量(例3).其次,用代数方法求极值有多种手段,注意积累.
直线方程
双基再现
1.以一个         为坐标的点         某条直线上的点，反过来，这条直线上       ，这个方程叫做             ，这条直线叫做            .
2.直线的倾斜角α的取值范围是             .
3.经过两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式是     ，当x1=x2时，斜率      .
4.直线经过点P1(x1，y1)，且斜率为k,则其点斜式方程是     ，当直线的倾斜角为90°时，直线没有点斜式方程，其方程可写为                 .
5.直线的斜截式方程是         ，其中           表示直线在y轴上的截距(直线与y轴交点的纵坐标).
6.直线方程的两点式是 ，直线与坐标轴重合或与坐标轴         时，没有两点式方程，也就是两点式方程必须满足            .
7.直线的截距式方程是           ,其中a、b应满足              .直线与坐标轴平行或重合或经过原点时，没有截距式方程.
8.直线方程的参数式的标准形式为          ，其中α为直线的      ，t的绝对值等于       .
9.方程Ax+By+C=0(其中A、B不同时为0)叫做                .
第八章  圆锥曲线方程
椭圆及其标准方程(1)
教学目标：
使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程．
通过对椭圆概念的引入与标准方程的推导，培养学生分析探索能力，增强运用坐标法解决几何问题的能力．
通过对椭圆标准方程的推导的教学，可以提高对各种知识的综合运用能力．
教学重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程．
教学难点：椭圆的标准方程的推导．
教学过程
一、复习与引入
1 什么叫做曲线的方程？求曲线方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？
2 圆的定义及标准方程分别是什么？
3 探索：到两个定点的距离的和、差、平方和、平方差为定值的点轨迹又分别是什么？
二、讲授新课
(一)  椭圆概念的引入
1.  演示：
取一条一定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的F1和F2两点，当绳长大于F1和F2的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆．
2.椭圆的定义：
平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距．
(二)椭圆标准方程的推导
1．标准方程的推导
(1)建系设点；
(2)点的集合；
(3)代数方程；
(4)化简方程．（应用两数平方差公式，课本上的两次平方法由学生阅读）
2．两种标准方程的比较(引导学生归纳)
（1） 表示焦点在x轴上的椭圆，焦点是F1(-c,0),F2(c,0);
(2) 表示焦点在x轴上的椭圆，焦点是F1(0,-c),F2(0,c);
在两种标准方程中
1 a,b,c的关系c2=a2-b2不变，只须将(1)方程的x、y互换即可得到（2）；
2 ∵a2＞b2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．
二、例题
例1求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)两焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0),椭圆上一点P到两焦点的距离的和等于10;
(2)两个焦点的坐标分别是(0,-2)、(0,2),且椭圆经过点 .
引伸1:将(1)变成:两个焦点的距离是8,椭圆上一点到两焦点的距离和等于10.
讨论:方程类型是否确定,有几解?
引伸2:将(2)中条件变成:椭圆经过点 .
思考:此时类型不太明显,要不要分两种情况,如何设方程可避免讨论?
例2  已知B、C是两个定点,|BC|=6,且△ABC周长等于16,求顶点A的轨迹方程.
例3求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)椭圆经过两点 ；
（2）a=3b,椭圆经过点P（3，0）；
（3）焦点坐标是 并经过点
三、练习
1.已知方程 表示椭圆，则k的取值范围是（　　）
Ａ．K>5             Ｂ．K<3             Ｃ．32.已知椭圆mx2+3y-6m=0的一个焦点为(0,2)，则m的值是　　　　　。
四、作业 同步练习  08011
椭圆及其标准方程(2)
教学目标：1.能准确运用椭圆的定义与标准方程解题.
2.会求与椭圆有关的一些轨迹方程.
教学重点：与椭圆有关的一些轨迹方程
教学难点：与椭圆有关的一些轨迹方程
教学过程
一、复习与引入
椭圆的定义；   椭圆的标准方程；    a,b c的关系.
二、例题
例1．已知F1, F2是定点，| F1 F2|=8, 动点M满足|M F1|+|M F2|=8，则点M的轨迹是
（A）椭圆  （B）直线  （C）圆  （D）线段
例2．若△ABC顶点B, C的坐标分别为(－4, 0), (4, 0)，AC, AB边上的中线长之和为30，则△ABC的重心G的轨迹方程为
（A）   （B）
（C）   （D）
例3．设圆(x+1)2+y2=25的圆心为C，A(1, 0)是圆内一定点，Q为圆周上任意一点，AQ的垂直平分线与CQ的连线的交点为M，则点M的轨迹方程为                       .
例4.已知椭圆C与椭圆 有相同的焦点，且过点(-1,-2)，求椭圆C的方程。
例5．已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为5，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP’，且线段PP’上的一点M 满足关系式|PP`|:|MP`|=5:3,求点M的轨迹.
引申：若把“线段PP’上的一点M 满足关系式|PP`|:|MP`|=5:3,”改为“直线PP’上的一点M 满足关系式 ”,求点M的轨迹.
探索：通过本例，你对椭圆的形成有什么新的看法？
例6. 在椭圆 上取一点Ｐ，使ΔF1PF2
的面积为 ，其中F1、F2是椭圆的两焦点，求∠F1PF2。
三、作业  同步练习  08012
椭圆的简单几何性质 （4）
教学目标：
1.能判定直线与椭圆的位置关系，会求直线截椭圆所得的弦长，处理与弦长、弦的中点有关的问题．
2．能利用椭圆的有关知识解决实际应用问题．
教学过程：
一、       复习引入
1.椭圆的第一定义、第二定义.
2.椭圆的标准方程及几何性质
二、       例题
例1．1）通过椭圆 的焦点且垂直于x轴的直线l被椭圆所截得的线段长为
（A）   （B）   （C）   （D）
2）已知直线和椭圆的方程如下，求它们的交点坐标并说明位置关系．
（1）3x+10y-25=0， .
（2）3x-y+2=0, .
例2  中心在原点，一个焦点为 的椭圆截直线y=3x-2所得弦的中点横坐标为 ，求椭圆的方程．
例3  过椭圆 内一点M(2,1)引一条弦，使弦被 M点平分，求这条弦所在直线的方程．
例4  椭圆mx2+ny2=1，与直线 x+y=1相交于 A、 B两点， C是 AB的中点．若 ,，斜率为 （ O为原点），试确定椭圆的方程．（如 图）
例5  已知点 P在圆C:x2+(y-4)2=1上移动，点 Q在椭圆 上移动，求|PQ|的最大值．
作业  同步练习  08024
双曲线及其标准方程（2）
教学目标:
1．熟练掌握用待定系数法求双曲线标准方程；
2．能利用双曲线的有关知识解决与双曲线有关的简单实际应用问题了.
教学重点：双曲线在实际中的应用.
教学难点：求曲线的轨迹方程.
教学过程
一、复习引入：双曲线的定义、标准方程及主要参数的关系.
二、例题
例1  已知双曲线上两点P1、P2的坐标分别为 ，求双曲线的标准方程．
探索：是否要分类讨论？能否避免分类讨论？
例2  一炮弹在某处爆炸，在 A处听到爆炸声的时间比在 B处晚 2s，
（1）爆炸点应在什么样的曲线上？
（2）已知 A、 B两地相距800m，并且声速为340m/s，求曲线的方程．
例3 在面积为1的ΔPMN中，tan∠PMN=0.5,tan∠MNP= -2,建立适当坐标系，求以M、N为焦点且过点P的双曲线方程．
提示：先解三角形得点P坐标和c值.
例4 求下列动圆圆心M的轨迹方程：
（1）与⊙C：(x+2)2+y2=2内切，且过点P(2,0);
（2）与⊙C1: (x+3)2+y2=9外切，且与⊙C2: (x-3)2+y2=1内切；
（3）与⊙C1: x2+(y-1)2=1和⊙C2: x2+(y+1)2=4.
三、课堂练习
1．双曲线C与双曲线 有共同的渐近线，且过点A(―3, 2 )，则C的两条准线间的距离是                   .
2．通过双曲线 的一个焦点作x轴的垂线，则垂线与双曲线的交点到两焦点的距离为                   .
3．经过点(―7, ―6 ), (2 , ―3)的双曲线的标准方程是           .
14．动点P到F1(―3, 0), F2(3, 0)的距离的差的绝对值等于6，则点P的轨迹方程是        .
三、作业   同步练习  08032

抛物线及其标准方程（1）
教学目标:掌握抛物线的定义，会推导抛物线的标准方程，能根据已知条件熟练地求出抛物线的标准方程．
教学重点：抛物线的定义及其标准方程的推导
教学难点：抛物线标准方程的推导
教学过程
一、复习引入
我们知道，与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数 e的点的轨迹，当01时是双曲线，那么当e=1时是什么曲线呢？这就是今天我们要学习的第三种圆锥曲线—抛物线，以及它的定义和标准方程．
二、讲授新课
1．抛物线的定义
平面内与一个定点 F和一条定直线 l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点 F叫做抛物线的焦点，定直线 l叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程
设定点 F到定直线 l的距离为p(p>0)．
（1）建系设点
（2）点的集合（几何关系）
（3）代数方程
（4）化简方程得  y2=2px（p>0）
一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，如下表：
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
三、例题
例1（1）已知抛物线的标准方程y2=ax，求它的焦点坐标和准线方程；
（2）已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2)，求它的标准方程。
例2 点 M与点到（4，0）的距离比它到直线 l:x+5=0的距离小1，求点 M的轨迹方程．
例3 求焦点在x轴上且截直线2x-y+1=0所得弦长为 的抛物线的标准方程.
例4 斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段AB的长.
说明：抛物线 y2=2px（p>0）上一点A(xo,yo)到焦点 的距离 这就是抛物线的焦半径公式。焦点弦长|AB|=x1+x2+p .
四、课堂练习
1．根据下列条件写出抛物线的标准方程
①焦点是F（3，0）；②准线方程是 ；③焦点到准线的距离是2
2．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程
①y2=20x  ②   ③2y2+5x=0  ④x2+8y=0
3．①抛物线 y2=2px(p>0)上一点 M到焦点的距离是 ，则点 M到准线的距离是__________，点 M的横坐标是__________,
②抛物线 y2=12x上与焦点的距离等于9的点的坐标是_________.
五、作业   同步练习  08051
第三章   不等式
第一教时
教材：不等式、不等式的综合性质
目的：首先让学生掌握不等式的一个等价关系，了解并会证明不等式的基本性质ⅠⅡ。
过程：
一、引入新课
1．世界上所有的事物不等是绝对的，相等是相对的。
2．过去我们已经接触过许多不等式           从而提出课题
二、几个与不等式有关的名称            （例略）
1．“同向不等式与异向不等式”
2．“绝对不等式与矛盾不等式”
三、不等式的一个等价关系（充要条件）
1．从实数与数轴上的点一一对应谈起

2．应用：例一  比较 与 的大小
解：（取差） -
∴ <
例二 已知 ¹0, 比较 与 的大小
解：（取差） -
∵    ∴    从而 >
小结：步骤：作差—变形—判断—结论
例三 比较大小1． 和
解：∵
∵
∴ <
2． 和
解：（取差） -      ∵
∴当 时 > ；当 时 = ；当 时 <
3．设 且 ， 比较 与 的大小
解：      ∴
当 时 ≤ ；当 时 ≥
四、不等式的性质
1．性质1：如果 ，那么 ；如果 ，那么 （对称性）
证：∵     ∴ 由正数的相反数是负数
2．性质2：如果 ，   那么 （传递性）
证：∵ ，      ∴ ，
∵两个正数的和仍是正数    ∴
∴
由对称性、性质2可以表示为如果 且 那么
五、小结：1．不等式的概念   2．一个充要条件
3．性质1、2
六、作业：P5练习  P8 习题6.1   1—3
补充题：1．若 ，比较 与 的大小
解：      - =……=    ∴ ≥
2．比较2sinq与sin2q的大小(0略解：2sinq-sin2q=2sinq(1-cosq)
当qÎ(0,p)时2sinq(1-cosq)≥0      2sinq≥sin2q
当qÎ(p,2p)时2sinq(1-cosq)<0      2sinq3．设 且 比较 与 的大小
解：
当 时    ∴ >
当 时    ∴ >
∴总有 >
第二教时
教材：不等式基本性质（续完）
目的：继续学习不等式的基本性质，并能用前面的性质进行论证，从而让学生清楚事物内部是具有固有规律的。
过程：
一、复习：不等式的基本概念，充要条件，基本性质1、2
二、1．性质3：如果 ，那么   （加法单调性）反之亦然
证：∵     ∴
从而可得移项法则：
推论：如果 且 ，那么        （相加法则）
证：
推论：如果 且 ，那么    （相减法则）
证：∵   ∴
或证：
上式>0   ………
2．性质4：如果 且 ,  那么 ；
如果 且 那么 （乘法单调性）
证：           ∵    ∴
根据同号相乘得正，异号相乘得负，得：
时 即：
时 即：
推论1   如果 且 ，那么 （相乘法则）
证：
推论1’（补充）如果 且 ，那么 （相除法则）
证：∵    ∴
推论2  如果 , 那么
3．性质5：如果 ，那么
证：（反证法）假设
则：若 这都与 矛盾   ∴
三、小结：五个性质及其推论
口答P8   练习1、2      习题6.1   4
四、作业    P8   练习3      习题6.1   5、6
五、供选用的例题（或作业）
1．已知 ， ， ，求证：
证：
2．若 ，求不等式 同时成立的条件
解：
3．设 ，   求证
证：∵      ∴
又∵     ∴ >0      ∴
∵               ∴
∴
4．   比较 与 的大小
解： -   当 时∵ 即
∴    ∴ <
当 时∵ 即
∴    ∴ >
5．若   求证：
解：    ∵   ∴    ∴
∵   ∴    ∴
6．若   求证：
证：∵    p>1  ∴
又∵     ∴
∴        ∴原式成立
第八教时
教材：不等式证明三（分析法）
目的：要求学生学会用分析法证明不等式。
过程：
一、介绍“分析法”：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题。
二、  例一、求证：
证： ∵               综合法：
只需证明：         ∵21 < 25
展开得：               ∴
即：                       ∴
∴                          ∴
即：         21 < 25（显然成立）    ∴
∴                     ∴
例二、设x > 0，y > 0，证明不等式：
证一：（分析法）所证不等式即：
即：
即：
只需证：
∵ 成立
∴
证二：（综合法）∵
∵x > 0，y > 0， ∴
例三、已知：a + b + c = 0，求证：ab + bc + ca ≤ 0
证一：（综合法）∵a + b + c = 0   ∴(a + b + c)2 = 0
展开得：
∴ab + bc + ca ≤ 0
证二：（分析法）要证ab + bc + ca ≤ 0   ∵a + b + c = 0
故只需证 ab + bc + ca ≤ (a + b + c)2
即证：
即：    （显然）
∴原式成立
证三：∵a + b + c = 0    ∴- c = a + b
∴ab + bc + ca = ab + (a + b)c = ab - (a + b)2 = -a2 -b2 -ab
=
例四、（课本例）证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大。
证：设截面周长为l，则周长为l的圆的半径为 ，截面积为 ，
周长为l的正方形边长为 ，截面积为
问题只需证： >
即证： >
两边同乘 ，得：
因此只需证：4 > p  （显然成立）
∴ >    也可用比较法（取商）证，也不困难。
三、  作业： P18  练习  1—3   及  习题6.3   余下部分
补充作业：
1．已知0 < q < p，证明：
略证：只需证：    ∵0 < q < p  ∴sinq > 0
故只需证：
即证：   ∵1 + cosq > 0
只需证：
即只需证：
即：    （成立）
2．  已知a > b > 0，q为锐角，求证：
略证：只需证：
即： （成立）
3．  设a, b, c是的△ABC三边，S是三角形的面积，求证：
略证：正弦、余弦定理代入得：
即证：
即：
即证： （成立）
第十一教时
教材：不等式证明六（构造法及其它方法）
目的：要求学生逐步熟悉利用构造法等方法证明不等式。
过程：
四、构造法：
1．构造函数法
例一、已知x > 0，求证：
证：构造函数 则 ， 设2≤a由
显然  ∵2≤a 0,  ab - 1 > 0,  ab > 0  ∴上式 > 0
∴f (x)在 上单调递增，∴左边
例二、求证：
证：设   则
用定义法可证：f (t)在 上单调递增
令：3≤t1∴
2．构造方程法：
例三、已知实数a, b, c，满足a + b + c = 0和abc = 2，求证：a, b, c中至少有一个不小于2。
证：由题设：显然a, b, c中必有一个正数，不妨设a > 0，
则   即b, c是二次方程 的两个实根。
∴   即：a≥2
例四、求证：
证：设 则：(y - 1)tan2q + (y + 1)tanq + (y - 1) = 0
当 y = 1时，命题显然成立
当 y ¹ 1时，△= (y + 1)2 - 4(y - 1)2 = (3y - 1)(y - 3)≥0
∴
综上所述，原式成立。（此法也称判别式法）
3．构造图形法：
例五、已知0 < a < 1，0 < b < 1，求证：
A
B
C
D
O
1-b
b
a
1-a
证：构造单位正方形，O是正方形内一点
O到AD, AB的距离为a, b，
则|AO| + |BO| + |CO| + |DO|≥|AC| + |BD|
其中 ，
又：
∴
五、  作业：证明下列不等式：
1．
令 ，则 (y - 1)x2 + (y + 1)x + (y - 1) = 0
用△法，分情况讨论
2．已知关于x的不等式(a2 - 1)x2 - (a - 1)x - 1 < 0 (aÎR)，对任意实数x恒成立，求证： 。
分a2 - 1 = 0和 讨论
3．若x > 0, y > 0, x + y = 1，则
左边    令 t = xy，则
在 上单调递减  ∴
4．若 ，且a2 < a - b，则
令 ，又 ， 在 上单调递增
∴
5．  A
B
C
D
F
记 ，a > b > 0，则| f (a) - f (b) | < | a - b|
构造矩形ABCD,  F在CD上，
使|AB| = a, |DF| = b, |AD| = 1,
则|AC| - |AF| < |CF|
6．若x, y, z > 0，则
作ÐAOB = ÐBOC = ÐCOA = 120°, 设|OA| = x, |OB| = y, |OC| = z
第十六教时（机动）
教材：指数不等式与对数不等式
目的：通过复习，要求学生能比较熟练地掌握指数不等式与对数不等式的解法。
过程：
一、提出课题：指数不等式与对数不等式
强调：利用指数不等式与对数不等式的单调性解题
因此必须注意它们的“底”及它们的定义域
二、例一  解不等式
解：原不等式可化为：     ∵底数2>1
∴     整理得：
解之，不等式的解集为{x|-3例二  解不等式
解：原不等式可化为：
即：          解之： 或
∴x>2或         ∴不等式的解集为{x|x>2或 }
例三  解不等式
解：原不等式等价于   或
解之得：4∴原不等式的解集为{x|4例四  解关于x的不等式：
解：原不等式可化为
当a>1时有
（其实中间一个不等式可省）
当0∴当a>1时不等式的解集为 ；
当0例五  解关于x 的不等式
解：原不等式等价于
Ⅰ：   或 Ⅱ：
解Ⅰ：                 解Ⅱ：     ∴
当a>1时有0a
∴原不等式的解集为{x|01}或{x|x>a, 0例六  解不等式
解：两边取以a为底的对数：
当0∴       ∴
当a>1时原不等式化为：
∴
∴            ∴
∴原不等式的解集为
或
三、小结：注意底（单调性）和定义域s
四、作业：  补充：解下列不等式
1．
(当a>1时   当02．
(-23．                             (-14．
5．当 ，求不等式：            (a6． ，求证：
7．               (-18． 时解关于x的不等式
( ； ； )
第十八教时
教材：含参数的不等式的解法
目的：在解含有参数的不等式时，要求学生能根据参数的“位置”正确分组讨论，解不等式。
过程：一、课题：含有参数的不等式的解法
二、例一  解关于x的不等式
解：原不等式等价于    即：
∴
若a>1
若0例二  解关于x的不等式
解：原不等式可化为
即： s
当m>1时       ∴
当m=1时       ∴xÎφ
当0当m≤0时     x<0
例三  解关于x的不等式
解：原不等式等价于
当 即 时
∴
当 即 时      ∴x¹-6
当 即 时    xÎR
例四  解关于x的不等式
解：当 即qÎ(0, )时    ∴x>2或x<1
当 即q= 时  xÎφ
当 即qÎ( , )时    ∴1例五  满足 的x的集合为A；满足 的x
的集合为B     1° 若AÌB  求a的取值范围         2° 若AÊB  求a的取
值范围     3° 若A∩B为仅含一个元素的集合，求a的值。
解：A=[1,2]           B={x|(x-a)(x-1)≤0}
当a≤1时   B=[a,1]          当a>1时 B=[1,a]
当a>2时   AÌB
当1≤a≤2时  AÊB
当a≤1时  A∩B仅含一个元素
例六 方程 有相异两实根，
求a的取值范围
解：原不等式可化为
令： 则
设      又∵a>0
三、小结
四、作业：
1．
2．    若
求a的取值范围                     (a≥1)
3．
4．

5．当a在什么范围内方程： 有两个
不同的负根
6．若方程 的两根都对于2，求实数m的范围