高中高二数学上册全册教案下载2（还有1，3哦）

1．圆的切线的求法
若点（ ， ）在圆 + = 的外面，则切线方程为 （斜率存在时），利用圆心到切线的距离等于半径列出方程，求出k，当斜率不存在时，结合图形求出
若点（ ， ）在圆 上，则切线方程为
若切线斜率为k，则圆 的切线方程为
2．有关直线与圆的位置关系问题，为避免计算量过大，一般不用判别式，而是用圆心到直线的距离与半径的大小关系求解；圆与直线的交点问题则常用根与系数的关系筒化运算过程
数形结合求最值（专题辅导）
□  山东高唐职业中专  韩玉东  王桂英
在一定条件下，求某些式子的最值问题，可利用数形结合的方法，转化为求斜率、截距、距离等问题，从而得到解决.
一、转化为直线的斜率与截距
例1  若实数x、y满足x2+y2－6x－4y+12=0，求 的最大值及最小值.
分析  点（x,y）满足圆的方程，而 正是圆上的点与原点连线的斜率.如果把（x,y）视为动点，则 的最大值和最小值正是由原点向圆所引的两条切线的斜率.
解  由已知得（x－3）2+(y－2)2=1，圆心（3，2），半径为1
设y=kx,即kx－y=0
由直线与圆相切，得 ，解得
的最大值为 ，最小值为 .
例2  已知实数x,y满足x2+y2=3(y≥0)，试求m= 及b=2x+y的取值范围.
解
m可看作半圆x2+y2=3(y≥0)上的点与定点A（－3，－1）连线的斜率，b可以看作过半圆x2+y2=3(y≥0) 上的点P且斜率为－2的直线在y轴上的截距.
由图得 ≤m≤ ,
≤ ≤
二、转化为距离
例3  已知x,y满足x2+y2+4x－2y－4=0，求x2+y2的最大值.
分析  由于x2+y2=( )2，而 可以看作圆x2+y2+4x－2y－4=0上的点（x,y）到原点距离.
由平面几何知识知，连结原点及圆心并延长与圆的交点到原点距离最大，易求得x2+y2的最大值为14+6 .
解  （略）
例4  已知3x－4y+4=0，求 的最小值.
分析  此题可以看作在直线3x－4y+4=0上求一点（x,y），使它使（－3，5）和（2，15）的距离的和最小.
解  由于A（－3，5）和B（2，15）在直线3x－4y+4=0的同侧，利用对称性可以求得A（－3，5）关于3x－4y+4=0的对称点A′（3，－3），则|A′B|=
即为 的最小值.
以下几题可以留给同学们作为练习
1．直线l经过点P（2，2）且与曲线y= (0≤x≤2)有两个交点，求直线l斜率的范围.
2．已知两圆x2+y2=4,x2+(y－8)2=4，若直线y= 在两圆之间通过，求实数b的范围.
3．求函数y= 的最小值.
圆的方程
双基再现
1.曲线的方程和方程的曲线的定义是：            .
2.求曲线的方程的步骤有          个，其中(2)(5)有时可省略不写.
3.求曲线的交点问题就是求两曲线的方程组成的              .
4.已知圆的标准方程 (r＞0)，则其圆心是             ,半径
为           .
5.方程 表示圆的充要条件是            .
6.已知圆的参数方程 ＞0,θ是参数)，则其圆心坐标是        ,半径
是          .
学习直线和圆相切三注意（知识梳理）
□     河北正定中学  赵建勋
直线和圆相切是圆一章的重点内容，必须认真学好，并注意以下三点：
一、注意掌握几何判定法
学习直线和圆相切的方法，除掌握常用的代数方法外，还要注意掌握几何方法——直线与圆相切的
充要条件是：圆心到直线的距离等于此圆的半径.
例1  求证：如果b2=r2(1+k2),那么直线y=kx+b与圆x2+y2=r2相切.
证明  ∵圆x2+y2+r2的圆心（0，0）到直线y=kx+b即kx－y－b=0的距离
两边平方，并注意到b2=r2(1+k2)，得
故直线y=kx+b与圆相切.
二、注意求切线方程防止丢解
例2  求过点M（2，4）向圆（x－1）2+(y+3)2=1所引的切线方程.
解  易判定点M在此圆外.
当过点M的直线的倾角 时，可设直线方程为
y－4=k(x－2)               (1)
把（1）代入圆的方程并化简整理，得
(1+k2)x2－(4k2－14k+2)x+4k2－28k=0
该方程的判别式△=56k－192
∵直线（1）与圆相切，
∴△=56k－192=0，解得k= ,
代入（1）得y－4= (x－2)
当过M的直线的倾斜角α= 时，这条直线的方程是x=2.
∵圆心（1，－3）到该直线距离d=1，∴x=2是所求的另一条切线.
因此，所求的两条切线方程是24x－7y－20=0和x=2.
评注  对于α= 时的情况不可遗漏，否则可能丢掉一条切线（如题中的x=2）.
三、求圆的方程注意用判定方法中的几何性质
例3  一个圆经过点P（2，－1）和x－y=1相切，且圆心在直线y=－2x上，求此圆的方程.
解  当圆与直线相切时，圆心到直线的距离等于半径.
设所求圆的方程是（x－a）2+(y－b)2=r2，由题设条件可得
解之得
所求圆的方程是
（x－1）2+(y+2)2=2或(x－9)2+(y+18)2=338.
●教学目标
（一）教学知识点
圆的一般方程.
（二）能力训练要求
1.掌握圆的一般方程及一般方程的特点；
2.能将圆的一般方程化为圆的标准方程，进而求出圆心和半径；
3.能用待定系数法由已知条件导出圆的方程.
（三）德育渗透目标
1.渗透数形结合思想；
2.提高学生解题能力.
●教学重点
圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,方程形式特征：
（1）x2和y2的系数相同，不等于0；
（2）没有xy这样的二次项.
圆心坐标（ ），
半径R为 .
●教学难点
方程x2+y2+Dx+Ey+F=0
（1）当D2+E2-4F=0时，方程表示一个点（ ）;
(2)当D2+E2-4F＜0时，方程不表示任何图形；
(3)当D2+E2-4F＞0时，方程表示一个圆.
●教学方法
讨论法
与学生展开讨论，从而使学生自己发现规律.
●教学过程
Ⅰ.课题导入
上节课，我们学习了圆的标准方程，请同学们回顾一下：
［生］以(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程为：
(x-a)2+(y-b)2=r2.
［师］圆的标准方程的特点是很直观地可求出圆心坐标和半径.
同学们是否想过将这一方程展开后会是什么样子呢？
［生］将上式展为：
x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0.
［师］由于a、b、r均为常数.
不妨设，-2a=D,-2b=E,a2+b2-r2=F,
则，此方程可写成下面的形式：
x2+y2+Dx+Ey+F=0.                     ①
那么，是不是形如①的方程表示的曲线就是圆呢？
［生甲］是.
［生乙］不是.
［生丙］不一定是.
［师］下面我们来讨论一下.
首先，我们应该明确.若形如①的方程表示的曲线是圆，那么由方程应该可求出圆心和半径.由圆的标准方程，我们可很快捷地求出圆心和半径，此方程与圆的标准方程可互化与否也就意味着此方程表示的曲线是否一定是圆，我们将①的左边配方，看情况如何？
［生］配方后整理得：
②
［师］不难看出，此方程与圆的标准方程的关系.
（1）当D2+E2-4F＞0时，表示以（- ，- ）为圆心、 为半径的圆；
（2）当D2+E2-4F=0时，方程只有实数解x=- ，y=- ，即只表示一个点（- ，- ）;
（3）当D2+E2-4F＜0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形.
综上所述，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲线不一定是圆.
只有当D2+E2-4F＞0时，它表示的曲线才是圆，我们把形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的表示圆的方程称为圆的一般方程.
圆的一般方程与圆的标准方程比较，圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径，而一般方程突出了方程形式上的特点：
（1）x2和y2的系数相同，且不等于0；
（2）没有xy这样的二次项.
但要注意：以上两点是二元二次方程
Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0
表示圆的必要条件，但不是充分条件.
看来，要想求出圆的一般方程，只要根据已知条件确定三个系数D、E、F就可以了.
下面，我们结合一些例题来探讨如何确定圆的一般方程.
［例］求过三点O（0，0），M（1，1），N（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标.
分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程.
解：设所求的圆的方程为：
x2+y2+Dx+Ey+F=0
∵O、M、N在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于D、E、F的三元一次方程组，
即
解此方程组，可得：
F=0,D=-8,E=6.
∴所求圆的方程为：
x2+y2-8x+6y=0
由r=
得r=5.
由
得圆心坐标为（4，-3）.
［或将x2+y2-8x+6y=0左边配方化为圆的标准方程，（x-4)2+(y+3)2=25,从而求出圆的半径r=5，圆心坐标为(4,-3).］
［师］请同学们考虑如何先求出圆心坐标和半径，再求出圆的方程.
［生甲］设圆心坐标P(x,y)，根据圆的定义，可得｜OP｜=｜PM｜=｜PN｜.
即x2+y2=(x-1)2+(y-1)2=(x-4)2+(y-2)2
可解得P(4,-3)，｜OP｜=5
点P（4，-3）为圆心.
圆的半径为5.
［生乙］先求出OM中点E（ ， ），MN中点F（ ，），再写出OM的垂直平分线PE的直线方程：y- =-（x- ）                         ①
MN的垂直平分线PF的直线方程：
y- =-3(x- )                                   ②
联立①②得
解之得
则点P（4，-3）为PE、PF的交点，即为圆心，｜OP｜=5，即为圆的半径.
［师］上述方法均完全正确，希望同学们都能积极思考.
［例］已知一曲线是与两个定点O（0，0）、A（3，0）距离的比为 的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线.
分析：在求出曲线方程之前，很难确定曲线类型，所以应按照求曲线方程的一般步骤先将曲线方程求出.
解：在给定的坐标系里，设点M（x,y)是曲线上的任意一点，也就是点M属于集合
P={M｜ }.
即 ,
整理得：x2+y2+2x-3=0
所求曲线方程即为：x2+y2+2x-3=0.
将其左边配方，得
(x+1)2+y2=4.
∴此曲线是以点C（-1，0）为圆心，2为半径的圆.如图所示：

Ⅲ.课堂练习
［生］回答：
1.下列方程各表示什么图形？
（1）x2+y2=0;
［生甲］此方程表示一个点O（0，0）.
（2）x2+y2-2x+4y-6=0;
［生乙］∵x2+y2-2x+4y-6=0
可化为:(x-1)2+(y+2)2=11
∴此方程表示以点（1，-2）为圆心， 为半径的圆.
（3）x2+y2+2ax-b2=0
［生丙］∵x2+y2+2ax-b2=0
可化为：(x+a)2+y2=a2+b2
∴此方程表示以(-a,0)为圆心， 为半径的圆.
2.求下列各圆的半径和圆的坐标：
(1)x2+y2-6x=0即(x-3)2+y2=9
圆心为（3，0），半径为3.
(2)x2+y2+2by=0即x2+(y+b)2=b2
圆心为（0，-b），半径为｜b｜.
（3）x2+y2-2ax- y+3a2=0
即(x-a)2+(y- a)2=a2
圆心为(a, a),半径为｜a｜.
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，首先要掌握圆的一般方程.
其次，还应注意圆的一般方程与圆的标准方程的互化问题.
最后，应根据已知条件与圆的两种形式的方程的不同特点灵活选取恰当的方程，以便快捷解决相关问题.
Ⅴ.课后作业
（一）课本P82习题7.7  5,6,7,8.
（二）1.预习内容：课本P79～81
2.预习提纲：
（1）何为圆的参数方程？
（2）怎样确定圆的参数方程？
（3）圆的参数方程中的参数有何几何意义？
（4）圆的参数方程与圆的普通方程如何互化？
●板书设计
课    题
一、圆的一般方程        二、例题讲解    课时小结
x2+y2+Dx+Ey+F=0          ［例1］
当D2+E2-4F＞0时，       ［例2］
表示以( )
为圆心，
为半径的圆
●教学目标
（一）教学知识点
圆的参数方程.
（二）能力训练要求
1.理解圆的参数方程.
2.熟练求出圆心在原点、半径为r的圆的参数方程.
3.理解参数θ的意义.
4.理解圆心不在原点的圆的参数方程.
5.能根据圆心坐标和半径熟练地求出圆的参数方程.
6.可将圆的参数方程化为圆的普通方程.
●教学重点
圆心在原点、半径为r的圆的参数方程为：
(θ为参数）
圆心在(a,b)、半径为r的圆的参数方程为：
(θ为参数）
●教学难点
参数方程的概念——如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数，即 (*)并且对于t的每一个允许值，由方程组（*）所确定的点M（x,y)都在这条曲线上，那么方程组（*）叫做这条曲线的参数方程.
●教学方法
创造教学法
引导学生用创新思维去寻求新规律.
●教具准备
投影片两张
第一张：§7.7.3 A
第二张：§7.7.3 B
●教学过程
Ⅰ.课题导入
［师］上两节课，学习了圆的两种形式的方程，请同学们回顾一下.
（师生共同完成以下活动）
若以(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程为：(x-a)2+(y-b)2=r2
标准方程的优点在于它明确指出了圆心和半径.
若D2+E2-4F＞0，则方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个圆，称其为圆的一般方程.这一形式的方程突出了圆方程形式上的特点，即：
（1）x2和y2的系数相同，不等于0；
（2）没有xy这样的二次项.
［师］请同学们深思，圆是否还可用其他形式的方程来表示呢？
（打开多媒体课件或投影片§7.7.3 A)
Ⅱ.讲授新课
［师］下面请同学们仔细观察这一过程.
点在圆O上从点P0开始按逆时针方向运动到达点P，设∠P0OP=θ.
［师］（提问）：观察到了什么？
［生甲］当θ确定时，点P在圆O上的位置也随之确定.
［生乙］当θ变化时，点P在圆O上的位置也随之变化.
［师］总之，我们看到，点P的位置与旋转角θ有密切的关系，正如刚才两位同学所讲.不妨，我们研究一下它们的具体关系.
若设点P的坐标是(x,y)，不难发现，点P的横坐标x、纵坐标y都是θ的函数，
即      ①
并且对于θ的每一个允许值，由方程组①所确定的点P（x,y）都在圆O上.
看来，这一方程也可表示圆.那么，我们就把方程组①叫做圆心为原点、半径为r的圆的参数方程.其中θ是参数.
若圆心为O（a,b）、半径为r的圆可以看成由圆心为原点O，半径为r的圆按向量ν=(a,b)平移得到的.
（打出投影片§7.7.3 B)
不难求出，圆心在（a,b）、半径为r的圆的参数方程为：
(θ为参数）②
若将方程组②中的参数θ消去，则可得到这一圆的标准方程，即：（x-a)2+(y-b)2=r2.进而展开，便可得到这一圆的一般方程，即：
x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0.
看来，圆可用标准方程、一般方程、参数方程三种形式的方程来表示，且它们均可以互化.
其中标准方程、一般方程是直接给出曲线上点的坐标关系的方程，我们又称其为圆的普通方程.
对于参数方程，一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数，即
③
并且对于t的每一个允许值，由方程组③所确定的点M（x,y)都在这条曲线上，那么方程组③就叫做这条曲线的参数方程，其中联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数.它可以是有物理、几何意义的变数，也可以是没有明显意义的变数.
注意：参数方程的特点是在于没有直接体现曲线上点的横、纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横、纵坐标与参数之间的关系.
［师］下面我们来看如何应用圆的参数方程来处理一些相关问题.
［例］如图所示，已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点，点A是x轴上的定点，坐标为（12，0）.点P在圆上运动时，线段PA的中点M的轨迹是什么？
分析：应先根据线段中点坐标公式特点M的横、纵坐标表示出来，然后判断其关系，从而确定其曲线类型.
解：设点M的坐标是(x,y).
∵圆x2+y2=16的参数方程为：
又∵点P在圆上，
∴设P的坐标为(4cosθ,4sinθ)
由线段中点坐标公式可得点M的轨迹的参数方程为：
从而判断线段PA的中点M的轨迹是以点（6，0）为圆心、2为半径的圆.
Ⅲ.课堂练习
课本P81练习  1，2.
1.填空：已知圆O的参数方程是
(0≤θ＜2π）
(1)如果圆上点P所对应的参数θ= ，则点P的坐标是       .
（2）如果圆上点Q的坐标是（- ），则点Q所对应的参数θ等于      .
解析：(1)由
得
(2)由 (0≤θ＜2π）
得
∴θ= .
答案：（1）（ ）  （2）
2.把圆的参数方程化成普通方程：
（1）
(2)
解：(1)由
得
∵sin2θ+cos2θ=1
∴
即：(x-1)2+(y+3)2=4.
(2)由
得
又∵sin2θ+cos2θ=1
∴（x-2)2+(y-2)2=1.
［生］（板演）：
3.经过圆x2+y2=4上任一点P作x轴的垂线，垂足为Q，求线段PQ中点轨迹的普通方程.
解：设M（x,y)为线段PQ的中点，
∵圆x2+y2=4的参数方程为：
又∵点P为圆上任一点
∴可设点P的坐标为(2cosθ,2sinθ)
则Q点的坐标为（2cosθ,０)
由线段中点坐标公式，得点M的轨迹的参数方程为：
消去参数θ,可得：（ )2+y2=1
即 ]+y2=1.
［师］（讲评）：欲解决此问题，应先根据题意画出草图，帮助分析，以便寻求解题途径.
此题也可不必将圆的参数方程写出，可直接应用圆的标准方程.
另解：设线段PQ中点为M（x,y)，据题意可得Q点坐标为(x,0)，由线段中点坐标公式可得P点坐标为(x,2y)
又∵点P为圆上任一点
∴x2+(2y)2=4
即 +y2=1.
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，要了解圆的参数方程，以及圆的标准方程、一般方程、参数方程的关系，能熟练地互化，且可根据不同形式方程的特点灵活选取应用，以便恰当解决相关问题.
另外，还需了解参数方程及普通方程的相关概念.
Ⅴ.课后作业
（一）课本P82习题7.7  9，10.
（二）1.预习内容：课本P83～86
2.预习提纲：
（1）本章的主要内容有哪些？
（2）试寻本章的知识结构图.
●板书设计
课    题
一、圆的参数方程       二、例题讲解           复习回顾
(0≤θ＜2π＝                                 课时小结
●教学目标
（一）教学知识点
圆的标准方程.
（二）能力训练要求
1.掌握圆的标准方程；
2.能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程；
3.从圆的标准方程熟练地求出圆心和半径.
（三）德育渗透目标
1.渗透数形结合思想；
2.培养学生的思维素质；
3.提高学生的思维能力.
●教学重点
已知圆的圆心为（a,b)，半径为r，则圆的标准方程是(x-a)2+(y-b)2=r2.特别地，a=b=0时，它表示圆心在原点，半径为r的圆：x2+y2=r2.
●教学难点
根据条件，利用待定系数法确定圆的三个参数a、b、r，从而求出圆的标准方程.
●教学方法
引导法
引导学生按照求曲线方程的一般步骤根据条件归纳出圆的标准方程.
●教具准备
投影片两张
第一张：§7.7.1 A
第二张：§7.7.1 B
例：如图所示是圆拱桥的一孔圆拱的示意图.该圆拱跨度AB=20 m，拱高OP=4 m，在建造时每隔4 m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的高度.（精确到0.01 m）.
●教学过程
Ⅰ.课题导入
我们知道，平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆.定点就是圆心，定长就是半径.那么，圆是否也可用一个方程来表示呢？
Ⅱ.讲授新课
（打出投影片§7.7.1 A)
请同学们试着来求一下圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程.
［师］（引导学生分析）：根据圆的定义，不难得出圆C就是到圆心C(a,b)的距离等于定长r的所有点所组成的集合.
［师］这个集合是怎样的一个集合呢？是否可用数学语言把它描述出来？
［生］圆C就是集合P={M｜｜MC｜=r}.
［师］这样的话，不妨设M（x,y)是圆上任意一点，由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为……
［生］（回答）： .
［师］整理此式，可得到……
［生］(x-a)2+(y-b)2=r2.
［师］这个方程就是圆心为C(a,b)，半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程.如果圆心在坐标原点，这时a=0,b=0,则圆的方程是……
［生］x2+y2=r2.
［师］看来，只要已知圆心坐标和半径，便可写出圆的标准方程.
下面，我们看一些例子.
［例1］求以C（1，3）为圆心，并且和直线3x-4y-7=0相切的圆的方程.
分析：要想写出圆的方程，需知圆心坐标和半径，圆心为C（1，3），而半径需根据已知条件求得，因为圆C和直线3x-4y-7=0相切，所以半径r等于圆心C到这条直线的距离，而后可写出圆C的方程.
解：已知圆心是C（1，3），
∵圆C和直线3x-4y-7=0相切，
∴半径r等于圆心C到这条直线的距离.
由点到直线距离公式，可得
r= .
∴所求的圆的方程是
(x-1)2+(y-3)2= .
［例2］已知圆的方程是x2+y2=r2，求经过圆上一点M（x0,y0）的切线的方程.
分析：欲求过M的直线方程，只要求出此直线斜率即可.
解：设切线的斜率为k，半径OM的斜率为k1，
∵圆的切线垂直于过切点的半径，
∴k=- .
∵k1= .
∴k=- .
∴经过点M的切线方程是：
y-y0=- (x-x0),
整理得x0x+y0y=x02+y02.
又∵点M（x0,y0)在圆上，
∴x02+y02=r2.
∴所求切线方程是x0x+y0y=r2.
当点M在坐标轴上时，切线方程为：
x=x0或y=y0.
可看出上面方程也同样适用.
（打出投影片§7.7.1 B)
［例3］这是一实际应用例子.
分析：首先我们应建立恰当的坐标系，将这一问题转化为数学问题.
解：建立坐标系，圆心在y轴上，设圆心的坐标是(0,b)，圆的半径是r，那么圆的方程是x2+(y-b)2=r2.
∵P、B都在圆上，所以它们的坐标（0，4）、（10，0）都是这个圆的方程的解.
∴
解得：b=-10.5,r2=14.52
∴圆方程为：
x2+(y+10.5)2=14.52.
把点P2的横坐标x=-2代入这个圆方程，
得（-2）2+（y+10.5)2=14.52,
∵P2的纵坐标y＞0
∴y+10.5=
即y= -10.5
≈14.36-10.5=3.86 (m)
答：支柱A2P2的高度约为3.86 m.
Ⅲ.课堂练习
［生］课本P77,练习1，2，3，4.
1.写出下列各圆的方程：
（1）圆心在原点，半径是3；
解：x2+y2=9.
（2）圆心在点C（3，4），半径是 ；
解：（x-3）2+(y-4)=5.
(3)经过点P（5，1），圆心在点C（8，-3）
解：r=｜PC｜=
圆方程为：(x-8)2+(y+3)2=25
2.已知一个圆的圆心在原点，并与直线4x+3y-70=0相切，求圆的方程.
解：∵圆的半径r为原点到直线4x+3y-70=0的距离.
∴r= .
∴圆方程为：x2+y2=196.
3.写出过圆x2+y2=10上一点M(2, )的切线的方程.
解：利用例2结论可得：
切线方程为2x+ y=10.
4.已知圆的方程是x2+y2=1,求：
（1）斜率等于1的切线的方程.
（2）在y轴上截距是 的切线的方程.
解：（1）设切点坐标为M(x0,y0)
则kOM=-1=
又∵x02+y02=1
∴
∴切线方程为y＋ =x-
或y- =x+
即:y=x± .
（2）设切点M（x0,y0），切线与y轴交点B（0， ）
则：kOM·kBM=-1
即 =-1
x02+y02- y0=0
又∵x02+y02=1
∴
∴切线方程为y=±x+ .
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，首先要掌握根据圆心坐标和圆的半径可写出圆的标准方程.
其次，根据圆的标准方程可求得圆心坐标和半径.
另外，还要会变通一些条件，从而求得圆的半径或圆心坐标，以便写出圆的标准方程.还需了解的是过圆x2+y2=r2上一点(x0,y0)的切线方程为：x0x+y0y=r2.
最后，还要注意结合初中所学的平面几何知识和前面所学的直线方程的有关知识解决一些综合性问题.
Ⅴ.课后作业
（一）课本P81习题7.7  1,2,3,4.
(二）1.预习内容：课本P77～79
2.预习提纲：
（1）圆的一般方程有何特点？
（2）圆的标准方程和圆的一般方程如何互化？
●板书设计
课    题
一、圆的标准方程
(x-a) 2+(y-b) 2=r2                          ［例3］
［例1］
［例2］
1.填空题
（1）已知圆的参数方程是 (0≤θ＜2π）若圆上一点M的坐标为(4,-4 )，则M所对应的参数θ的值为         .
分析：将点M的坐标代入参数方程分别求得sinθ,cosθ的值，由此求θ的值.
解：将点M（4，-4 ）代入
得
又∵0≤θ＜2π,∴θ= .
答案：
(2)已知圆的参数方程为 ,则它的普通方程为           .
分析：由参数方程解得cosθ、sinθ的表达式，由cos2θ+sin2θ=1求出x与y的关系式，即可求得.
解：由
得
由cos2θ+sin2θ=1
得(x+5)2+(y-3)2=9
答案：(x+5)2+(y-3)2=9
2.已知点M是圆x2+y2-4x=0上的一个动点，点N（2，6）为定点，当点M在圆上运动时，求线段MN的中点P的轨迹方程，并说明轨迹的图形.
分析：先将圆x2+y2-4x=0化为(x-2)2+y2=4利用圆的参数方程求解.
解法一：将已知圆的方程化为：
（x-2）2+y2=4,
则其参数方程为
故可设点M（2+2cosθ,2sinθ)
又∵点N（2，6）.
∴MN的中点P为
∴点P的轨迹方程为：
它表示圆心在（2，3），半径为1的圆.
3.若实数x、y满足x2+y2-2x+4y=0，求x-y的最大值.
分析一：将圆化为参数方程来解.
解法一：将圆x2+y2-2x+4y=0变为
(x-1)2+(y+2)2=5,
∴圆的参数方程为
代入x-y得
x-y=（1+ cosθ）-(-2+ sinθ)
=3+ （cosθ-sinθ)
=3+ cos(θ+ )
≤3+
∴x-y的最大值为3+ .
分析二：令x-y=u代入圆方程来解.
解析二：令u=x-y，则y=x-u代入圆方程得2x2+2(1-u)x+u2-4u=0
由Δ=4(1-u)2-8(u2-4u)≥0
即u2-6u-1≤0
∴3- ≤u≤3+
即3- ≤x-y≤3+
∴x-y的最大值为3+ .
4.已知对于圆x2+(y-1)2=1上任意一点P（x,y)，不等式x+y+m≥0恒成立，求实数m的取值范围.
分析：将圆的参数方程代入x+y+m≥0，转化为求m的最值问题来解.
解：由x2+(y-1)2=1得其参数方程为：
代入x+y+m≥0
得cosθ+1+sinθ+m≥0
∴m≥-cosθ-sinθ-1
∴m≥- sin(θ＋ )-1恒成立，
∴转化为求- sin(θ+ )-1的最大值，
∴- sin（θ+ ）-1的最大值为 -1.
∴m≥ -1.
5.已知圆x2+y2=1,定点A(1,0),B、C是圆上两个动点，保持A、B、C在圆上逆时针排列，且∠BOC= （O为坐标原点），求△ABC重心G的轨迹方程.
分析：利用三角形重心坐标公式：
来解.
解：令B（cosθ,sinθ）,则C(cos(θ+ ),sin(θ+ )),设重心坐标为G（x,y）
则
化为普通方程得：
(x- )2+y2= .
1.点P(m２,5)与圆x２+y２=24的位置关系是(    )
A.在圆外        Ｂ.在圆内       Ｃ.在圆上         Ｄ.不确定
2.点 与圆x２+y２=1的位置关系是(    )
A.在圆内        Ｂ.在圆外         Ｃ.在圆上         Ｄ.与t的值有关
3.圆心坐标为(2，-1)的圆在直线ｘ－ｙ－１＝０上截得弦长为2 ，那么，这个圆的
方程为(    )
A.             B.
  C.             D.
4.已知动点M到定点(8，0)的距离等于M到(2，0)的距离的2倍，那么点M的轨迹方程
是(    )
  A.ｘ２＋ｙ２＝３２                   B.ｘ２＋ｙ２＝１６
C.（ｘ－１）２＋ｙ２＝１６          D.ｘ２＋（ｙ－１）２＝１６
5.已知A(-4,-5)、B(6，-1),则以线段AB为直径的圆的方程是       .
6.圆(x-3)２+(y+4)２=1关于直线x+y=0对称的方程是      .
7.求直线 与圆x２+y２=r２（r＞0）相切的充要条件.
8.求与直线y=x相切，圆心在直线y=3x上且被y轴截得的弦长为2 的圆的方程.
9.已知圆的方程是 ,求经过圆上一点M(x０，ｙ０)的切线方程.

参考答案：1.Ａ2.Ｃ3.Ａ4.Ｂ5.(x-1)２+(y+3)２=29
6.(x-4)２+(y+3)２=1  7.｜ab｜=r (r＞0)
8.
9.
1.直线3x-4y+6=0与圆 的位置关系是(    )
A.过圆心        Ｂ.相切        Ｃ.相离        Ｄ.相交但不过圆心
2.若直线x+y+a=0与圆 相切，则a为(    )
A.0或2        Ｂ.          Ｃ.2           Ｄ.无解
3.两圆 和 的位置关系是(    )
A.外切          Ｂ.内切         Ｃ.相交       Ｄ.外离
4.以M(-4,3)为圆心的圆与直线2x+y-5=0相离，那么圆M的半径r的取值范围是(    )
A.0＜r＜2                         Ｂ.0＜r＜
Ｃ.0＜r＜2                      Ｄ.0＜r＜10
5.两圆 与 ＞0)外切，则r的值是(    )
A.          Ｂ.          Ｃ.5          Ｄ.
6.已知半径为1的动圆与圆 相切，则动圆圆心的轨迹方程是(    )
A.
Ｂ. 或
Ｃ.
Ｄ. 或
7.以点(-3,4)为圆心，且与x轴相切的圆的方程是(    )
A.        Ｂ.
Ｃ.        Ｄ.
8.圆 与圆 的交点坐标是      .
9.斜率为3，且与圆 相切的直线的方程是         .
10.过点(5，12)且与圆 相切的直线的方程是          .
11.两圆 与 内切，则a的值为        .
12.圆 的弦长为2，则弦的中点的轨迹方程是          .
13.圆 关于直线x+2y-3=0对称的圆的方程是         .
14.自点A(－３，３)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线m所在直线与
圆C： 相切，求光线l与m所在直线的方程.
15.设 ，式中变量x、y满足下列条件 求t的最大值和最小
值.
16.某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲种产品1t需耗A种矿石11t、B种矿石
5t、煤4t;生产乙种产品1t需耗A种矿石3t、B种矿石4t、煤9t.每1t甲种产品的利润是
600元，每1t乙种产品的利润是1000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石
不超过350t、B种矿石不超过200t、煤不超过360t.甲、乙两种产品应各生产多少(精确到1t),能使利润总额达到最大?
17.直线x-2y-2k=0与2x-xy-k=0的交点在曲线 ＝２５上，求k的值.
18.已知圆C： 和直线l:x-y-5=0，在C上求两点，使它们与l的距离分别是最近和最远.
19.求过A(1，2)与B(3，4)两点，且在x轴上截得的弦长等于6的圆的方程.
20.设圆满足①y轴截圆所得弦长为2；②被x轴分成两段弧，其弧长之比为３：1，在满足①、②的所有圆中，求圆心到直线l:x-2y=0的距离最小的圆的方程.
参考答案：
1.Ａ2.Ｃ3.A4.Ｃ5.Ｄ6.Ｄ7.Ｂ8.(-4,0)和(0，2)
9.3x-y±10=0    10.5x+12y-169=0   11.1或121   12.(x-2)２+(y+1)２=8
13.
14.l的方程为3x+4y-3=0或4x+3y+3=0,m的方程为3x-4y-3=0或4x-3y+3=0
15.t最大＝７．t最小＝－７
１６．甲产品约12t,乙产品34t
１７．±1  18.点( )在圆C上，且到直线l的距离最近，点 在圆C上，且到直线l的距离最远
19.x２+y２+12x-22y+27=0或x２+y２-8x-2y+7=0
20.(x-1)２+(y-1)２=2或(x+1)２+(y+1)２=2．
圆的切线的应用
宁夏吴忠市一中  张阿英
圆的切线问题是平面几何的重要内容之一.本文列举了它的几种应用，以便我们更加灵活地掌握这一知识.
应用1  如图1，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，BE和过C点的切线互相垂直，垂足为E.
求证：BC平分∠ABE.
证明略.
应用2  如图2，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于C，BD⊥CD，垂足为D，CE⊥AB，垂足为E.
求证CD2=AE·EB.(1994年北京市中考试题)
提示：只需证：CE=CD.
应用3  如图3，以AD为直径的⊙O和线段BC相切于点E，AB⊥BC，BC⊥CD，AB=4cm，CD=1cm，四边形ABCD的面积是            。（1994年广东梅州市初三质量检查试题）
解：连续OE，过D作DF∥BC，交AB于F.
∵OE⊥BC，
由已知AB⊥BC，DC⊥BC，且AO=OD，
∴OE= （AB+CD）= ，
∴AD=2· =5.
由作法，DF=BC，
在Rt△AFD中 ,
∵AF=AB－CD=4－1=3，
∴DF=
因此，四边形ABCD的面积是10cm2.
应用4  如图4，AB为⊙O  的直径，C为⊙O上一点，MN是过C点的⊙O的切线，AD、BE与MN垂直，垂足分别为D、E，CG与AB垂直，垂足为G.求证AD·BE=CG2.
提示：证明AD=AG，BE=BG.
应用5  （题设条件与应用4相同），求证AE、BE是方程x2－ABx+CG2=0的两个根.（1995年宁夏银南地区中考试题41（1））
运用应用3中的解题方法，可证得AD+BE=AB，再利用应用4的结果AD·BE=CG2，由一元二次方程根与系数的关系，即可得证.
应用6  如图5，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CG⊥AB，垂足为G，若OC2=AC·BC，且AC＞BC.
求证OC=2CG.
证明：由已知条件，∵S△ABC
∴AB·CG=AC·BC，即2OC·CG=AC·BC.
又∵OC2=AC·BC，
∴OC2=2OC·CG，
∴OC=2CG.
应用7  （题设条件同应用6），求∠CAB的度数.（1995年宁夏银南地区中考试题41（2））
解：由应用6的结果，得CG= OC.
∵在△OCG中，CG⊥AB，
∴∠COG=30°，
∴∠CAB=
应用8  以线段AB为直径作一个半圆，圆心为O，C是半圆周上的点，且OC2=AC·BC.则
∠CAB=________.（1995年全国初中数学联赛试题二（4））
解法同应用7，再考虑到AC＜BC的情况，因此有两解，∠CAB=15°或75°.
运用“点圆法”巧求圆方程
□  江苏常熟市练塘中学  殷伟康
在求解有关圆方程问题时，往往要建立方程组，借助于解方程的方法进行求解，但由于参数较多，从而容易造成“入手容易”“答对困难”的局面.其主要原因是同学们盲目运算，以致运算量大，这样不仅影响了解题速度，也极容易出错.因而，尽量减少运算量是快速、准确解答此类问题的关键.为此，本文将介绍运用“点圆法”巧求圆方程，供同学们借鉴与参与，从而启迪思维，提高解题能力.
例1  有一圆与直线4x－3y+6=0相切于点A（3，6），且经过点B（5，2），求此圆的方程.
解  将点A表示成“点圆”形式（x－3）2+(y－6)2=0，设所求圆的方程为（x－3）2+(y－6)2+λ(4x－3y+6)=0，将点B（5，2）代放上述圆方程得，λ=－1.所以满足条件的圆方程为（x－3）2+(y－6)2－(4x－3y+6)=0，即x2+y2－10x－9y+39=0为所求的圆方程.
例2  求经过点M（4，－1），且与圆x2+y2+2x－6y+5=0相切于点N（1，2）的圆方程.
解  将点N（1，2）表示成“点圆”形式，（x－1）2+(y－2)2=0
设所求的圆方程为（x－1）2+(y－2)2+λ（x2+y2+2x－6y+5）=0，
将点M（4，－1）代入上式得18+36λ=0,即λ=－ .
所以满足条件的圆方程为（x－1）2+(y－2)2－ (x2+y2+2x－6y+5)=0，即(x－3)2+(y－1)2=5为所求的圆方程.
例3  求与直线4x－3y+25=0相切于点（－4，3），且半径为5的圆方程.
解  将切点（－4，3）表示成“点圆”形式，（x+4）2+(y－3)2=0.
设所求的圆方程为（x+4）2+(y－3)2+λ(4x－3y+25)=0.
即[x+(4+2λ)]2+
∵此圆半径为5， ，即λ=±2
故所求的圆方程为（x+8）2+(y－6)2=25或x2+y2=25.
教学设计《两条直线所成的角》
广州市第86中学  曾辛金
邮政编码  510700
课题：§1.8两条直线所成的角
一、            教学目标
[知识目标]
1.      掌握两条直线所成角的概念和夹角公式的推导方法。
2.      初步掌握一直线到另一直线的角和两条直线的夹角公式及其应用。
3.      加深理解夹角公式成立的条件及特殊夹角的求法。
[能力目标]
1.  通过新课引入，培养学生观察比较、数形结合的能力。
2        通过阅读教材，培养学生的独立思考和自学能力。
3        通过对两条直线斜率的各种情形分析，培养学生分析问题和综合问题的能力。
[思想目标]
1．渗透“由特殊到一般”的辩证思想。
2．渗透“分类讨论”的思想。
[教学重点难点]
1．重点是两条直线的夹角公式及其应用。
2．难点是直线L1到L2的角的公式的推导过程。
二、            教学方法
1.      为了充分调动学生学习的积极性，使学生变被动学习为主动愉快的学习。在教学中，我采用先由学生观察特殊的两条直线所成角入手，引导他们自行阅读教材，并完成老师提出的问题，激发学生的求知欲。
2.      采用投影等教学手段，增大教学的容量和直观性，提高教学效率和教学质量。
3.      教学用具：三角板、小黑板、投影仪、投影片。
三、            教学过程
教学环节
教     学     内     容
设计意图
课
题
揭
示
引言：同学们，前面我们已经学习了判定两条直线平行与垂直的方法。请问；我们是根据什么来判定两条直线平行或垂直的呢？
对！我们是根据斜率的关系来判定两条直线平行或垂直的。
我们知道，两条直线垂直是两条直线相交的特殊情形，那么两条相交直线所成角的大小又怎样来求出呢？这就是我们今天要学习的内容。
板书课题：§1.8两条直线所成的角
从两条直线平行与垂直的判定，直接引出两相交直线所成角的问题，使学生对本节课的目的一目了然。
教学环节
教     学     内     容
设计意图
新
课
引
入
先请大家看投影片①,能否通过观察说出图中直线L1与L2所成的锐角(或直角)θ的大小,并指出θ与直线L1、、L2的倾斜角α1、α2之间的关系.
(1)L1：x-2y+1=0          （2）L1：y=x+1
L2：2x+y-3=0 .               L2：x=1.
y                                                             y
L1
L1
x                                                         x
L2                                                                       L2
(3)L1:x-2y+4=0            (3)L1:x+2y-4=0
L2:3x-y+2=0.            (4)L2:x-3y+3=0.
y     L2                                                   y
L1
L1                        L2
x                                                         x
学生通过观察能说出图（1）、（2）的角θ的大小，但对（3）、（4）无法直接观察出来。但我们知道θ与α1、α2之间的关系，即θ=α2-α1或θ=π+（α2-α1），要求θ可先考虑求θ的某个三角函数值，以上两式中的α1、α2的什么三角函数值是已知的呢？那么求θ的哪个三角函数值更恰当呢？
让学生观察图中两条直线所成的锐角(或直角) θ,使他们体会到数形结合的优点,但图(3)、(4)却无法直接观察出θ的大小,又使学生明白仅靠观察是不够的,由此激发学生学习新知识的欲望.这样既运用以旧引新的推理方式,又体现“从特殊到一般”的思维认知规律.
提示求θ的某个三角函数值,使学生目标明确,避免盲目性.
阅
读
教
材
教学
环节
让学生阅读教材P32—P33的内容，并完成下列填空（挂出小黑板）：
（1）直线L1到L2的角的定义是          ；
（2）如果直线L1、L2的斜率分别是k1、k2，倾斜角分别为α1、α2，则L1到L2的角θ1与α1、α2的关系是       ，
求θ1的公式是         ，其条件是         ；
（3）L1到L2的角θ1与L2到L1的角θ2之间的关系是         ，θ1或θ2的范围是          ；
（4）L1与L2的夹角的定义是           ；
（5）求L1与L2的夹角的公式是          ，其条件是         ，θ的范围是          .
教     学     内     容
让学生带着问题看书，既遵循了《数学教学大纲》中的“要重视培养学生的独立思考和自学能力”的要求，又使学生主动积极地参与教学活动，变被动学习为主动学习。
设计意图
教
材
点
拨
1. 提问回答上述（1）—（5）.
2. 让学生指出图（1）、（2）中L1到L2的角θ1与L2到L1的角θ2及L1与L2的夹角θ的大小.
3. 把图（3）、（4）作为课堂训练题由学生演板，求出L1与L2的夹角θ的大小.
4. 点拨教材，深化说明
通过前面的学习，我们已经知道：
（1）当两条直线L1、L2的斜率k1、k2都存在且1+ k1k2≠0时，可以直接利用公式求θ1、θ2和θ.
（2）当k1、k2都存在但1+ k1k2=0，此时L1⊥L2，则θ1=θ2=θ=90°（如图（1））.
（3）当k1、k2中有且只有一个不存在时，上述公式不成立，这时可由图象直接观察出θ1、θ2和θ（如图（2））.
（4）当k1、k2均不存在时，L1∥L2.
由于学生已感知一次教材，因此，在此过程中可少花时间，主要是引导学生正确分类讨论.这也是针对高考《考试说明》中要求掌握“逻辑划分（分类讨论）的思想”而设计的，目的是让学生有新发现、新认识，从而形成对知识的系统化、网络化认识.
巩
固
提
高
大家在物理中已经学习了入射角与反射角的概念，并知道入射角与反射角之间的关系。请看下例（投影片②）：
例：光线从点M（-3，4）射到x轴上一点P（-1，0）后被x轴反射，求反射线所在的直线方程。          y
思路1：利用反射角等于入射角。
思路2：利用“对称思想”找出
M的对称点。这又有两种找法。
y                                                                     x
y
x
x
引伸：如果将题中的“x轴”改为“直线3x-y+3=0”，其反射光线所在直线方程又怎样求呢？
例题是根据《会考纲要》中“能用坐标法解决涉及直线的简单应用（如光线的反射问题，有关轴对称和点对称的问题）”的要求而选取的。
方法的多样性，可以使学生有更多的思维空间。
问题的引伸可以让学有余力的学生没有“饥饿感”。
深
化
总
结
这节课我们学习了两个概念（即一条直线到另一条直线所成角与两条直线所成的角）、两个公式和四种情况（即教材点拨中的（1）—（4））。公式成立的条件必须引起重视。
思考题（投影片③）：
1.已知两条直线的斜率求夹角问题，我们已圆满解决。但如果已知两条直线的夹角和其中一条直线的斜率如何求另一条直线的斜率呢？这样的直线一般有几条？如果在求解过程中只求出一个斜率值，那又是什么原因？
2.给出两条直线L1：A1x+B1y+C1=0,  L2：A2x+B2y+C2=0，如何用A1、B1 、A2、B2表示θ1、θ2和θ呢？
及时总结和换个角度来思考问题，可以使学生对所学知识有进一步理解，促使他们正确、周密地思考问题，同时为下一节课作准备，起承上启下的作用。
教学
环节
教     学     内     容
设计意图
作
业
课本P44.T9、T10、T11.
训练的目的在于及时反馈学生所学知识的掌握程度。
教
学
程
序
图
四种图形              五个问题
课题揭示                            新课引入                              阅读教材
（投影片①）             （小黑板）
四
解                                                                       板   种
决                                                                        书  情
课                                                                             形
题
小结思考                             例题分析
深化总结   （投影片③）   巩固提高 （投影片②）  教材点拨
直线的倾斜角和斜率
例题（二）
［例1］求经过两点P1（２，1）和P２（m，２）（m∈R)的直线l的斜率，并且求出l的倾斜角α及其取值范围.
解：(1)当m=2时，x1＝x２＝２，
∴直线l垂直于x轴，因此直线的斜率不存在，倾斜角α= .
(2)当m≠2时，直线l的斜率k=
∵m＞2时，k＞0.
∴α=arctan ,α∈（0， ），
∵当m＜2时，k＜0
∴α＝π＋arctan ，α∈( ,π).
说明：利用斜率公式时，应注意斜率公式的应用范围.当斜率k≥0时，直线倾斜角为arctank；当k＜0时，直线的倾斜角为π＋arctank.
［例2］若三点A(－２，3)，B（3，－２），C（ ，m）共线，求m的值.
解：∵A、B、C三点共线，
∴kAB＝kAC， .
解得m= .
说明：此题可用距离公式来解，也可用定比分点公式求解.这里解法是利用若三点共线则过任意两点的斜率都相等这一思想方法.
［例3］已知两点A(-1,-5),B(3,-2),直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，求直线l的斜率.
解：设直线l的倾斜角α，则由题得直线AB的倾斜角为2α.
∵tan２α=kAB= ，
∴ .即3tan２α+8tanα-3=0，
解得tanα＝ 或tanα＝－3.
∵tan２α＝ ＞0,
∴0°＜2α＜90°,0°＜α＜45°，∴tanα＝ .
因此，直线l的斜率是 .
说明：由2α的正切值确定α的范围及由α的范围求α的正切值是本例解法中易忽略的地方.
直线的倾斜角和斜率
例题（一）
［例1］下列说法正确的个数是（    ）
A.直线的倾斜角表示直线的倾斜程度，直线的斜率不能表示直线的倾斜程度
B.直线的倾斜角越大其斜率就越大
C.直线的斜率k的范围是k≥0
D.直线的倾斜角α的范围是0°≤α＜180°
解：由直线的倾斜角α范围的规定知选D.
说明：直线的倾斜角和斜率都表示直线的倾斜程度.由k＝tanα及正切函数的单调性知当0°≤α＜90°时，k是α的增函数，并且k≥0；当90°＜α＜180°时，k是α的减函数，并且k＜0.由此可知k∈（－∞，＋∞），k不是α的单调函数.
［例2］已知直线l1的倾斜角α1=15°，直线l1与l2的交点为A，把直线l2绕着点A按逆时针方向旋转到和直线l1重合时所转的最小正角为60°，求直线l2的斜率k2.
解：设直线l2的倾斜角为α2,则由题意知：
180°-α2+15°=60°,α2=135°,
∴k2=tanα2=tan（180°-45°）=-tan45°=-1.
说明：列出α２所满足的方程是求α２的关键.
［例3］在同一坐标平面内，画出方程2x-3y+6=0的直线.
解：在方程2x-3y+6=0中分别取x=0,y=0,得y=2和x=-3,
∴直线经过(0，2)和(-3，0)两点，
在坐标平面内画出经过(0，2)和(-3，0)两点的直线即为所作直线，如图.
说明：求出直线与坐标轴的交点，确定直线在坐标平面内所过的点是画直线的常用方法.
应用直线的斜率解题
重庆市潼南古溪中学  陈本平
对一些数式结构与直线斜率有关的数学问题，通过相似类比、联想，可借助直线斜率的几何意义，巧妙解决，下面举例说明.
一、用斜率确定某些参数的取值范围
例1  已知两点P（2，－3），Q（3，2），直线ax+y+2=0与线段PQ相交，求a的取值范围.
解：如右图直线l：ax+y+2=0恒过定点M（0，－2），l与线段PQ相交，故kMP≤k1≤kMQ.
二、证明不等式
例2  已知a、b、m∈R+，且a＜b,求证：
分析：观察不等式左边，结构与斜率公式 显然此式为点(b,a)与点（－m,－m）的连线的斜率.
解：如图，∵0＜a＜b，
∴点P（b,a）在第一象限且必位于直线y=x下方.
又∵m＞0,
∴点M（－m,－m）在第三象限且必在y=x上.
连OP、PM，则
∵直线MP的倾角大于直线OP的倾角，
∴kMP＜kOP,即有
●教学时间
第二课时
●课    题
§7.1.2  直线的倾斜角和斜率(二)
●教学目标
(一)教学知识点
1.斜率公式
2.斜率的简单应用.
(二)能力训练要求
1.熟记过两点的直线的斜率公式的形式特点及适用范围
2.熟练掌握斜率公式
3.了解斜率的简单应用
4.进一步了解向量作为数学工具在学习数学中的特殊作用.
(三)德育渗透目标
1.认识事物之间的普遍联系与一定条件下的相互转化
2.学会用联系的观点看问题.
●教学重点
斜率公式
●教学难点
斜率公式的应用
●教学方法
启发式
本节课首先通过适当的课堂练习，使学生熟悉斜率公式的直接应用，把握斜率公式的形式特点，启发学生能根据斜率公式的形式特点构造斜率公式，并注意数形结合解题思想的应用，并利用斜率证明有关三点共线的证明问题.
●教具准备
投影片两张
第一张：斜率公式的形式特点及适用范围(记作§7.1.2 A)
第二张：本节例题(记作§7.1.2 B)
●教学过程
Ⅰ.课题导入
［师］上一节课，我们学习了直线的倾斜角和斜率，并推导了过已知两点的斜率公式，这一节，我们将进一步熟悉斜率公式并掌握其应用.
下面，请大家尝试给出斜率公式的形式特点.
［生］(1)斜率公式与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的前后次序可同时颠倒；
(2)斜率公式表明，直线对于x轴的倾斜程度，可以通过直线上任意两点坐标表示，而不需要求出直线的倾斜角；
(3)斜率公式中，当x1＝x2时不适用，此时直线和x轴垂直，直线的倾斜角α等于90°.
［师］这位同学回答得很好，大家要明确，斜率公式是研究直线方程各种形式的基础，必须熟记，并且要能够达到灵活运用的程度.
这节课，我们将以例题讲评和课堂训练为主展开本节的学习活动.
Ⅱ.讲授新课
［例3］求经过A(－2，0)，B（－5，3）两点的直线的斜率和倾斜角.
分析：此题为斜率公式的直接应用，意在使学生逐步熟悉斜率公式.
解：k＝ ＝－1即ｔaｎα＝－1
∵0°≤α＜1８0°∴α＝135°
因此，这条直线的斜率为－1，倾斜角是135°.
评述：此题在强调表达方面应向学生指出说理的充分性，比如在指出倾斜角的变化范围后，才能得到相应的倾斜角.
［例4］直线l过点A(m，2），B（3，４），求l的斜率与倾斜角.
分析：此题在例3的基础上将点A坐标中的横坐标换为字母m，意在训练学生的分类讨论的意识，同时进一步熟悉斜率公式的应用.
解：(1)先考虑此直线斜率不存在的情形，此时m＝3，l的倾斜角为 ；
(2)若斜率存在，设此直线斜率为k，倾斜角为α.此时，m≠3，k＝tanα＝
①当m＜3时，k＞0，倾斜角α＝arctan
②当m＞3时，k＜0，倾斜角α＝π＋arctan
评述：在分类讨论时，应要求学生注意分类的合理性与全面性，特别地，对于tanα＜0的情形，应注意反三角形式的正确表示.
［例5］如果三点A（5，1），B（a，3），C（－４，2）在同一直线上，确定常数a的值.
分析：此题属于斜率的应用，根据在同一直线上，任意两点的斜率相等，可以先表示出过A、B的直线斜率，然后表示出过A、C两点的直线斜率，最后根据两斜率相等建立方程，达到求解a的目的.
解：直线AB的斜率
kAB＝
直线AC的斜率
kAC＝
∵A、B、C三点在同一直线上，∴kAB＝kAC
∴ ，∴5－a＝1８，∴a＝－13
评述：此题的解答方法可启示学生，根据斜率相等，可以证明有关三点共线的问题.让学生注意加以总结.
Ⅲ课堂练习
课本P37练习
3.求经过下列每两个点的直线的斜率和倾斜角：
(1)C（10，８），D（４，－４）；
(2)P（0，0）,Q（－1， ）；
(3)M（－ ， ），N（－ ， ）.
解：(1)k＝ ＝2,
α＝arctan2＝63°26′;
(2)k＝ ，α＝120°；
(3)k＝ ＝1，α＝４5°.
4.已知a、b、c是两两不等的实数，求经过下列每两个点的直线的倾斜角：
(1)A（a，c），B（b，c）；
(2)C（a，b），D（a，c）；
(3)P（b，b＋c），Q（a，c＋a）.
解：(1)A、B两点的纵坐标相同，故直线AB与x轴平行，倾斜角为0°；
(2)C、D两点的横坐标相同，故直线CD与x轴垂直，倾斜角为90°；
(3)∵k＝ ＝1，∴α＝４5°.
5.已知三点A、B、C，且直线AB、AC的斜率相同，求证这三点在同一条直线上.
证明：由kAB＝kAC，可知AB的倾斜角与AC的倾斜角相等，而两个角有共同的始边和顶点，所以终边AB与AC重合.
因此A、B、C三点共线.
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，要求大家掌握已知两点坐标求斜率的斜率公式，并能根据斜率求直线的倾斜角，由斜率相同怎样判定三点共线.
Ⅴ.课后作业
（一）课本P37习题7.1
3.已知直线斜率的绝对值等于1，求此直线的倾斜角.
解：由题意，可得｜tanα｜＝1
∴tanα＝1或－1.
∵0°≤α＜1８0°，∴α＝４5°或135°.
4.四边形ABCD的四个顶点是A（2，3），B（1，－1），C（－1，－2），D（－2，2），求四条边所在的直线的斜率和倾斜角.
解：kAB＝ ＝４，arctan４＝75°5８′
∴直线AB的斜率为4，倾斜角为75°5８′.
kBC＝
arctan ＝26°3４′
∴直线BC的斜率为 ，倾斜角为26°3４′.
kCD＝ ＝－４，
arctan（－４）＝10４°2′
∴直线CD的斜率为－４，倾斜角为10４°2′.
kDA＝ ，
arctan ＝1４°2′
∴直线DA的斜率为 ，倾斜角为1４°2′.
5.(1)当且仅当m为何值时，经过两点A(－m，6），B（1，3m）的直线的斜率是12?
(2)当且仅当m为何值时，经过两点A(m，2)，B（－m，2m－1）的直线的倾斜角是60°？
解：(1)∵k＝
当k＝12时， ＝12
∴3m－6＝12＋12m
∴9m＝－1８，∴m＝－2.
（2）∵k＝
tan60°＝ .
∴ ，∴3－2m＝2 m
∴m＝ .
（二）1.预习内容：P3８～39
2.预习提纲：
（1）试总结点斜式与斜截式直线方程的特点.
（2）直线方程的点斜式与斜截式有何联系?
（3）试说出直线方程的点斜式与斜截式的适用范围.
●板书设计
§7.1.2  直线的倾斜角和斜率
1.斜率公式的    2.［例3］        3.学生练习
形式特点及适      ［例4］        练习1
用范围            ［例5］        练习2
练习3
●备课资料
一、参考例题
［例1］(1993年全国文)若直线ax＋by＋c＝0，在第一、二、三象限，则(    )
A.ab＞0，bc＞0                          B.ab＞0，bc＜0
C.ab＜0，bc＞0                          D.ab＜0，bc＜0
分析：此题考查学生对于直线中含有参数的情形的处理能力，应注意数形结合思想的应用.
解：由题意，直线的斜率一定大于0，所以k＝－ ＞0，即ab＜0；并且根据直线的纵截距大于0，可得：－ ＞0即bc＜0.故选D.
［例2］(1995年全国)在图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(    )
A.k1＜k2＜k3                                                   B.k3＜k1＜k2
C.k3＜k2＜k1                                                   D.k1＜k3＜k2
分析：此题属于图象信息题，要求学生根据倾斜角的大小与斜率的正负来比较k1，k2，k3的大小关系.
解：由图可知直线l1的倾斜角为钝角，故k1＜0，直线l2，l3的倾斜角为锐角，故k2，k3＞0，又直线l2的倾斜角大于l3的倾斜角，故k2＞k3.
故选D.
［例3］(1996年上海高考试题)过点(４，0)和点(0，3)的直线的倾斜角为(    )
A.arctan                                B.π－arctan
C.arctan（－ ）                        D.π－arctan（－ ）
分析：此题中直线的斜率可由斜率公式直接求得，由于所得结果不是特殊值，故在用反正切函数表示时，应注意倾斜角的取值范围.若tanα＝a（a＞0），则α＝arctanα；若tanα＝－a（a＞0），则α＝π－arcｔaｎα.
解：过点(4，0)和点(0，3)的直线的斜率k＝ ，即tanα＝－ ＜0.
故α是钝角.
∴α＝π－arctan .
故选B.
［例4］(1997年高考应用题)甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地，匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米／小时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米／小时)的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元.
(1)把全部运输成本y(元)表示为速度v(千米／小时)的函数，并指出这个函数的定义域.
(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶?
解：(1)y＝s（ ＋bv），v∈（0，c]
(2)据《1998年高考试题分析》知：很多考生在求函数y＝s（ ＋bv）取得最小值时，利用基本不等式，由于忽略了函数的定义域，根据s（ ＋bv）≥2s ，得出当且仅当 ＝bv，即v＝ 时，全程运输成本最小的结论，结果漏掉了另外一种情况.如果运用斜率求解，可避免漏解.请看：
记k＝y＝
故求此函数的最值可转化为求一定点A（0，－as）与动点B（v，bsv2）构成的直线的斜率的最值.
动点B在抛物线y＝bｓx2，x∈（0，c）上运动，其中点
B′（c，bsc2）.
如图所示：
①当动点B在抛物线弧OB′(不包括B′点)上时，过定点A且与抛物线弧相切的切线斜率即所求函数的最小值.
设直线AB的方程为：y＋aｓ＝kx
联立
消去y得bｓx2－kx＋as＝0(*)
由Δ＝k2－４abs2＝0得k＝2s 或k＝－2s (舍去)，将k＝2s 代入(*)式得x＝ .换句话说，当速度v＝ 时，运输成本y的最小值为2s .
②当点B在点B′时，kAB的值只有一个，显然就是所求函数的最小值.此时，kAB＝ ＋bc）.
也就是说，当v＝c时，运输成本y的最小值为s（ ＋bc）.
二、直线的斜率在解题中的应用
1.证明不等式
［例1］已知a、b、m∈Ｒ*，且a＜b，
求证： .
分析：观察所证不等式的左边，结构与斜率公式k＝ 完全相似， ，故此式可看作点(b，a)与点(－m，－m)的连线的斜率.
解：如图，∵0＜a＜b，∴点P（b，a）在第一象限且必位于直线y＝x的下方.
又∵m＞0
∴点M(－m，－m）在第三象限且必在y＝x上，连接OP、PM，则：
kOP＝ ，kMP＝ .
∵直线MP的倾斜角大于直线OP的倾斜角，∴kMP＞kOP即有 > .
2.用斜率确定某些参数的取值范围
［例2］已知两点P（2，－3），Q（3，2），直线ax＋y＋2＝0与线段PQ相交，求a的取值范围.
分析：已知直线ax＋y＋2＝0是一条过定点(0，－2）的动直线，若与线段PQ相交，则如图所示直线PM、QM是其变化的边界直线，所以只须求出直线PM、QM的斜率即可确定已知直线的斜率－a的变化范围，从而得到a的变化范围.
解：如图所示,直线l：ax＋y＋2＝0恒过定点M（0，－2），l与线段PQ相交，故kMP≤kl≤kMQ.
∵kl＝－a，kMP＝－ ，kMQ＝
∴－ ≤－a≤ ，∴－ ≤a≤ .
［例3］若－ ＜α＜0，则斜率为－cotα直线的倾斜角为(    )
A.－α            B. ＋α         C.π－α            D. －α
分析：由直线的倾斜角的定义，题中的α角，不能作为直线的倾斜角；也不能错误地认为－α在直线的倾斜角范围内，－α就是直线的倾斜角，必须进行准确的三角变形.
解：设直线的倾斜角为θ，
∵k＝tanθ＝－cotα＝tan（α－ ）
∴θ＝kπ＋α－ （k∈Ｚ）
∵θ∈［0，π），－ ＜α＜0
∴－π＜α－ ＜－ ，∴0＜ ＋α＜
故选B.
说明：求出直线与坐标轴的交点，确定直线在坐标平面内所过的点是画直线的常用方法.
1.如果两条直线的倾斜角相等，则这两条直线的斜率k1与k2的关系是(    )
A.k1=k2                                       B.k1＞k2
C.k1＜k2                                      D.k1与k2的大小关系不能确定
2.已知直线l的倾斜角为α，且0°≤α≤135°，则直线l的斜率的取值范围是(    )
A.［0，＋∞］                   B.(－∞，＋∞)
C.［－1，+∞］                  D.（－∞，－1）∪［0，＋∞］
3.已知直线l的倾斜角为 ，则直线l的斜率是                    .
4.已知直线l的倾斜角为75°，则直线l的斜率是                    .
参考答案：
1.D  2.D  3.－   4.2+
线性规划的实际应用
例题（一）
［例题］已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和300万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地.东车站每年最多能运280万吨煤，西车站每年最多能运360万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/吨和1.5元/吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0.8元/吨和1.6元/吨.煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少?
解：设甲煤矿向东车站运x万吨煤，乙煤矿向东车站运y万吨煤，那么总运费
z=x+1.5(200－x)+0.8y+1.6(300－y)(万元)
即z=780－0.5x－0.8y.
x、y应满足
作出上面的不等式组所表示的平面区域.
设直线x+y=280与y轴的交点为M，则M(0，280)
把直线l：0.5x+0.8y=0向上平移至经过平面区域上的点M时，z的值最小.
∵点M的坐标为(0，280)，
∴甲煤矿生产的煤全部运往西车站、乙煤矿向东车站运280万吨向西车站运20万吨时，总运费最少.
1.某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲种产品1t需耗A种矿石8t、B种矿石8t、煤5t;生产乙种产品1t需耗A种矿石4t、B种矿石8t、煤10t.每1t甲种产品的利润是500元，每1t乙种产品的利润是400元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过320t、B种矿石不超过400t、煤不超过450t.甲、乙两种产品应各生产多少能使利润总额达到最大?
2.某人需要补充维生素，现有甲、乙两种维生素胶囊，这两种胶囊都含有维生素A、C、D、E和最新发现的Z.甲种胶囊每粒含有维生素A、C、D、E、Z分别是1mg、1mg、4mg、4mg、5mg；乙种胶囊每粒含有维生素A、C、D、E、Z分别是3mg、2mg、1mg、3mg、2mg.如果此人每天摄入维生素A至多19mg，维生素C至多13mg，维生素D至多24mg，维生素E至少12mg，那么他每天应服用两种胶囊各多少粒才能满足维生素的需要量，并能得到最大量的维生素Z.
3.张明同学到某汽车运输队调查，得知此运输队有8辆载重量为6t的A型卡车与6辆载重量为10t的B型卡车，有10名驾驶员.此车队承包了每天至少搬运720t沥青的任务.已知每辆卡车每天往返的次数为A型卡车16次，B型卡车12次.每辆卡车每天往返的成本费为A型车240元，B型车378元.根据张明同学的调查写出实习报告，并回答每天派出A型车与B型车各多少辆运输队所花的成本最低?
4.某厂生产A与B两种产品，每公斤的产值分别为600元与400元.又知每生产1公斤A产品需要电力2千瓦、煤4吨；而生产1公斤B产品需要电力3鱭、煤2吨.但该厂的电力供应不得超过100鱭，煤最多只有120吨.问如何安排生产计划以取得最大产值?
5.某钢厂两个炼钢炉同时各用一种方法炼钢.第一种炼法每炉用a小时(包括清炉时间)；第二种炼法每炉用b小时(包括清炉时间).假定这两种炼法，每炉出钢都是k公斤，而炼1公斤钢的平均燃料费第一法为m元，第二法为n元.若要在c小时内炼钢的公斤数不少于d，问应怎样分配两种炼法的任务，才使燃料费用最少?(kac+kbc－dab＞0，m≠n).
参考答案：
1.甲产品30t、乙产品20t
2.5粒甲种胶囊，4粒乙种胶囊
3.A型车5辆，B型车2辆
4.A产品20公斤、B产品20公斤
5.当m＞n时，第一种炼法应炼 公斤，第二种炼法应炼 公斤；当m＜n时，第一种炼法应炼 公斤，第二种炼法应炼 公斤
直线的倾斜角和斜率
一、教学目标
(一)知识教学点
知道一次函数的图象是直线，了解直线方程的概念，掌握直线的倾斜角和斜率的概念以及直线的斜率公式．
(二)能力训练点
通过对研究直线方程的必要性的分析，培养学生分析、提出问题的能力；通过建立直线上的点与直线的方程的解的一一对应关系、方程和直线的对应关系，培养学生的知识转化、迁移能力．
(三)学科渗透点
分析问题、提出问题的思维品质，事物之间相互联系、互相转化的辩证唯物主义思想．
二、教材分析
1．重点：通过对一次函数的研究，学生对直线的方程已有所了解，要对进一步研究直线方程的内容进行介绍，以激发学生学习这一部分知识的兴趣；直线的倾斜角和斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，是研究两条直线位置关系的重要依据，要正确理解概念；斜率公式要在熟练运用上多下功夫．
2．难点：一次函数与其图象的对应关系、直线方程与直线的对应关系是难点．由于以后还要专门研究曲线与方程，对这一点只需一般介绍就可以了．
3．疑点：是否有继续研究直线方程的必要？
三、活动设计
启发、思考、问答、讨论、练习．
四、教学过程
(一)复习一次函数及其图象
已知一次函数y=2x+1，试判断点A(1，2)和点B(2，1)是否在函数图象上．
初中我们是这样解答的：
∵A(1，2)的坐标满足函数式，
∴点A在函数图象上．
∵B(2，1)的坐标不满足函数式，
∴点B不在函数图象上．
现在我们问：这样解答的理论依据是什么？(这个问题是本课的难点，要给足够的时间让学生思考、体会．)
讨论作答：判断点A在函数图象上的理论依据是：满足函数关系式的点都在函数的图象上；判断点B不在函数图象上的理论依据是：函数图象上的点的坐标应满足函数关系式．简言之，就是函数图象上的点与满足函数式的有序数对具有一一对应关系．
(二)直线的方程
引导学生思考：直角坐标平面内，一次函数的图象都是直线吗？直线都是一次函数的图象吗？
一次函数的图象是直线，直线不一定是一次函数的图象，如直线x=a连函数都不是．
一次函数y=kx+b，x=a都可以看作二元一次方程，这个方程的解和它所表示的直线上的点一一对应．
以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解．这时，这个方程就叫做这条直线的方程；这条直线就叫做这个方程的直线．
上面的定义可简言之：(方程)有一个解(直线上)就有一个点；(直线上)有一个点(方程)就有一个解，即方程的解与直线上的点是一一对应的．
显然，直线的方程是比一次函数包含对象更广泛的一个概念．
(三)进一步研究直线方程的必要性
通过研究一次函数，我们对直线的方程已有了一些了解，但有些问题还没有完全解决，如y=kx+b中k的几何含意、已知直线上一点和直线的方向怎样求直线的方程、怎样通过直线的方程来研究两条直线的位置关系等都有待于我们继续研究．
(四)直线的倾斜角
一条直线l向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角，叫做这条直线的倾斜角，如图1-21中的α．特别地，当直线l和x轴平行时，我们规定它的倾斜角为0°，因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°．
直线倾斜角角的定义有下面三个要点：(1)以x轴正向作为参考方向(始边)；(2)直线向上的方向作为终边；(3)最小正角．
按照这个定义不难看出：直线与倾角是多对一的映射关系．
(五)直线的斜率
倾斜角不是90°的直线．它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率．直线的斜率常用k表示，即
直线与斜率之间的对应不是映射，因为垂直于x轴的直线没有斜率．
(六)过两点的直线的斜率公式
在坐标平面上，已知两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，由于两点可以确定一条直线，直线P1P2就是确定的．当x1≠x2时，直线的倾角不等于90°时，这条直线的斜率也是确定的．怎样用P2和P1的坐标来表示这条直线的斜率？
P2分别向x轴作垂线P1M1、P2M2，再作P1Q⊥P2M，垂足分别是M1、M2、Q．那么：
α=∠QP1P2(图1-22甲)或α=π-∠P2P1Q(图1-22乙)
综上所述，我们得到经过点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)两点的直线的斜率公式：
对于上面的斜率公式要注意下面四点：(1)当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)k与P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到．
(七)例题
例1　 如图1-23，直线l1的倾斜角α1=30°，直线l2⊥l1，求l1、l2的斜率．

∵l2的倾斜角α2=90°+30°=120°，
本例题是用来复习巩固直线的倾斜角和斜率以及它们之间的关系的，可由学生课堂练习，学生演板．
例2　 求经过A(-2，0)、B(-5，3)两点的直线的斜率和倾斜角．
∴tgα=-1．
∵0°≤α＜180°，
∴α=135°．
因此，这条直线的斜率是-1，倾斜角是135°．
讲此例题时，要进一步强调k与P1P2的顺序无关，直线的斜率和倾斜角可通过直线上的两点的坐标求得．
(八)课后小结
(1)直线的方程的倾斜角的概念．
(2)直线的倾斜角和斜率的概念．
(3)直线的斜率公式．