新课标理念下学生解题中“会而不对,对而不全”现象的成因与对策--glf198的blog

摘要:新课标提出“要重视学生做数学的过程”。有些同学解题中常出现这样的情况：看看题目不陌生，但做起来，就出错。即使做出来，也不能完全得分,即“会而不对，对而不全”。这种情况不仅影响学生学习的积极性，而且容易产生厌学的思想，最终制约了数学能力的发展。因此，研究 “会而不对，对而不全”现象，对于提高学生的数学能力有十分重要的意义。

本文分两部分.第一部分剖析了该现象的具体表现和形成原因.第二部分是对策。

关键词:会而不对 对而不全 新课标 有效教学

新课标提出“要重视学生做数学的过程”，考试离不开解题，解题教学仍是数学教学的重要组成部分。在笔者近几年连续的高三教学中发现，虽然学生在解题上花费了大量的时间与精力，但有些同学解题中常出现这样的情况：看看题目不陌生、会做，但真正做起来，就会出错，即使做出来，也因考虑不完整而不能完全得分。即“会而不对，对而不全”。这种情况的出现使学生在中低档题目的得分率降低，而难题又得不到分，从而使卷面成绩不理想，长此以往，不仅影响学生学习的积极性，而且容易使学生产生讨厌学数学的思想，最终制约了数学能力的发展。因此，研究数学解题过程中的“会而不对，对而不全”现象的成因与对策，对于提高学生的数学能力有十分重要的意义。

1. 数学解题过程中的“会而不对，对而不全”现象的具体表现和形成原因

1.1概念理解不透彻，概念实质没掌握

普通高中数学课程标准中指出“学生对基础知识和基本技能的理解与掌握是数学教学的基本要求”。教师对概念的传授不到位，没能充分调动学生主动探究的积极性，学生只是被动地接受，就不能把握概念的实质，不会灵活运用。

例1.①已知函数 ，在 上为减函数，则 的范围           。②已知函数 上为增函数，则 的范围           。

错解 本题考查了判断函数单调性的方法。①主要考查学生判断一次函数、指数函数及分段函数单调性的方法，部分学生认为只需考虑每一段中的单调性，故求出答案为 。②主要考查了复合函数的单调性的判断方法。通过对 的讨论及二次函数 的单调性分析，部分学生得出 。

究其原因 对单调性的定义没有真正的理解，从而造成解题失误。教学中教师要引导学生反复揣摩单调函数的定义：定义域为 ,区间 ,对于区间 内的任意两个值 ，当 时，都有 。在题①中要充分理解“任意”两个字的含义，说明还需考虑 时的函数值要恒小于 的函数值，故答案为 。在题②中要特别注意“区间 ”，即要考虑 在 恒大于0，从而答案为 。

评注 新课标要求培养学生探索精神,通过主动参与形成积极的数学体验。教师在概念讲授时，不要面面俱到，要让学生多思考多揣摩，通过学生自主发现及老师的适当点拨，切实搞清概念的内涵和外延，这样学生才能正真理解概念，更好的利用概念解题。

1.2只记住公式形式，忽视公式成立条件

常会有学生对公式的记忆只停留在基本形式上，而忽略了一些存在的前提条件。这一方面与老师当初没能真正引导学生经历公式的探究过程，造成学生死记硬背，印象不深有关；另一方面也与人的记忆规律有关，即对主体部分较能记住，而特殊的地方或是细节的地方容易忽视。

例2.已知数列 ，求 。

错解 利用递推公式 ，化简整理成 ,又 ，所以 ，所以 ，再利用 ，得

究其原因 部分同学只知道递推公式 ，而忽略了该公式成立的前提条件是 ，由于没对 进行讨论而造成错解，故 。

评注 新课改推行的今天，仍有部分老师对学生自主学习的认识不足，学生的认识活动仍流于形式不能深入，使学生只是被动地记忆公式或结论，不能正确的使用。只有让学生主动地参与其中，体验成功的乐趣与失败的教训，才能加深对公式的理解。另一方面也要利用一些记忆规律每隔一段时间对大脑进行反复刺激。

1.3解题反思不到位，变式训练没落实

荷兰数学教育家弗赖登塔尔指出：反思是重要的思维活动。”学生在解题中出现错误是难免的，关键是要把来自学生的错误当做宝贵的教学资源，引导学生从错误中及时反思错误的根源，探究改正的方法，提出防范的措施，并进行适当的变式与强化训练。

例3.已知直线 ，圆 ，若圆 上有两个点到直线 的距离为 ，求此圆 的半径的取值范围。

错解 通过数形结合的方法分析出当直线与圆相离时的某些情况和相切时满足条件，故得出半径 或别的错误答案。

究其原因 学生对图形的分析还不到位，没能充分理解圆心到直线的距离 、圆上的点到直线的距离 、圆的半径 及满足条件的点的个数 四者之间的关系。其实，当圆与直线相交时的某些情况也满足条件。正确答案为 。

评注 解题的过程中，教师对学生的答案不要简单地用对或错来评判，要引导学生认真地对解题过程进行反思，特别提倡通过同学间相互的讨论进行纠错，充分剖析错误的根源，必要时老师做适当的引导，并可通过一些变式训练进一步加深对此类题目的认识与理解。①若圆 上有四个点到直线 的距离为 ？三个点？一个点？没有点呢？②推广到一般，若已知圆心到直线的距离 、圆上的点到直线的距离 及满足条件的点的个数 ，如何求圆的半径 满足的条件？③已知直线 ，   ，若圆 的半径为3，则圆 上到直线 的距离为 的点的个数为多少？④若已知圆心到直线的距离 、圆上的点到直线的距离 及圆的半径 ,如何求满足条件的点的个数 ？通过层层递进的变式探究，让学生灵活地掌握解此类题的思路与方法。

1.4省题不细致，没能区分关键词

审题是解题的第一步，细致深入的审题是解题成功的必要前提。著名数学教育家波利亚说：“最糟糕的情况是学生没弄清问题就进行演算和作图。”事实上，学生常对此掉以轻心，致使解题失误或陷入繁琐之中。

例4．①求曲线 过点 的切线方程。

②已知 ，若 有解，求 的取值范围。

错解 ① ，以 为切点的切线的斜率为 ，故切线方程为 。② 有解即为 ，故 ，又 ，所以 。

究其原因 ①中学生对“过点 的切线”的含义没理解到位，以为一定以这 为切点，其实不一定。要分两种情况进行讨论：当 为切点时，切线方程为 ；当 不为切点时，另设 为切点，则以 为切点的切线方程为 ，把 代入，整理得 ，此时的切线方程为 。②中学生对“ 有解”没能正确理解，“有解”要求某范围内存在 使不等式成立即可，即 ，又 ，所以 。此题关键让学生区分“有解”与“恒成立”。“有解”要求某范围内存在 使不等式成立，故   ， ；“恒成立”要求对某范围内任意 不等式都成立，故  

评注 解题中学生常会因省题不清而对一些容易混淆的关键词认识不到位，产生错解。所以教学中教师一方面要努力培养学生养成认真审题、周密思考的习惯，另一方面要对一些容易混淆的关键词作专门的分析与研究。先让学生充分暴露问题，经历失败，再通过对问题的深入剖析，找出问题之所在，并形成区分此类问题的行之有效的方法，这样才能加深对错误的认识。

1.5不善于归纳整理，不能使思维优化

每道题目一般都会有不止一种的解法，平时要学会归纳整理、优化组合不同的思路与方法，从而提高自身的思维水平。

例5．已知实数 的最大值为多少？

错解 思路1： ，所以 。

思路2：13= ，即 。

究其原因 思路1中用了两次基本不等式，当且仅当 时两次“等号”成立，但此时4=9，所以两次“等号”不能同时取得，最大值 取不到。思路2两次运用了“完全平方非负”进行放缩，同样道理，两次“等号”不能同时取得。由这两种错误的思路得到启示，此题可作如下的求解：因为 ，则 ，即36 当且仅当 时取等号，所以 。为培养学生思维的广阔性和发散性，此题还可尝试其他的方法。法二：令 ，则 ，即 。法三：设 ，则   ，故 。

评注 通过教师引导，让学生自我纠正，归纳整理，并且通过一题多解，培养学生思维的发散性。另外，为了培养学生思维的深刻性和创造性，还可让学生试着总结与推广，如本题可得出以下结论：

1）  

 2）

3） ，当且仅当 时取等号（柯西不等式）。在这样的教学活动中，学生思维的火花在智慧的碰撞中闪光，学生的知识技能得到巩固，数学思想得以渗透，思维品质和思维能力得以优化和发展。

2.克服数学解题过程中的“会而不对，对而不全”现象的对策

2.1有效教学

2.1.1创设自主探究的教学氛围

《普通高中数学课程标准（实验）》指出：在高中数学教学中，教师的讲授仍是重要的教学方式之一，但要注意的是必须关注学生的自主参与，师生互动”。有效的教学要面向全体，学生对群体参与互相启发所产生的互补、促进效应是个人“单打独斗”无法比拟的。教师的一个重要任务是强化学生主体参与的意识，创设主体参与的良好课堂环境和氛围，鼓励学生积极参与教学活动，通过师生、生生之间的对话、提问、分享观点、合作交流等方式促进学生对数学知识的深刻理解，帮助学生不断克服由于自身认识局限所导致的主观性偏差，引导学生的思路往辩证、深刻、合理的方向发展。当学生思维出现“盲区”时，教师要善于搭建平台，遵循“最近发展区”的原则，巧妙地设置坡度适中的阶梯式问题，引领学生积极参与，让学生沿着一个个台阶自然地登上题目的“峰顶”。这样的自主探究，能真正提高学生数学综合能力，从而减少“会而不对，对而不全”现象的出现。

2.1.2教师要学会精讲

    新课标不是全盘地否定教师的教师讲，而是反对教师以陈旧的教学理念来看待教学过程。新课标支持教师必要而精当的讲。因为教师必要而精当的讲授可以引导学生学得更扎实、有效。现行的课堂教学评价有一种片面的观点，错误理解了新课程的理念，盲目反对教师的讲授，似乎讲的越少越好，越少越能体现教育理念的先进性。在这样的观念的影响下，有些老师该讲的不敢讲，本来一句话就能点明的问题，非要和学生“兜圈子”、“捉迷藏”。大大降低了课堂教学的有效性。总之，课堂上讲的多与少并不一定是教学理念先进与落后的评判标准，也不是启发式与注入式的分水岭。我们要遵循这样的原则：可讲可不讲的坚决不讲，有利于发挥教师主体作用的要讲，内容上没必要让学生亲自发现或学生很难发现的要讲。教师要花功夫去研究“讲”的艺术，要讲的精彩，善于化繁为简、化难为易、化抽象为形象，把复杂、深奥的道理用新鲜、活泼、简明、流畅的语言表达出来，使学生茅塞顿开、恍然大悟，从而使“讲”这种常规的教学手段发挥出时代的光彩!通过老师的精讲，学生对问题的实质得到了全面深刻的理解，也就能逐步避免 “会而不对，对而不全”现象的出现。

2.1.3关注反思，提高元认知能力

课堂教学中的反思其目的是给学生以发现、探究、总结、发展的空间。教师要运用认知上的矛盾冲突，引导学生不断反思。解题后要对问题进行观察分析、归纳类比、抽象概括、变形拓展，对问题中蕴含的数学思想和方法进行不断的思考并作出新的判断，让学生体会解题带来的乐趣，体验反思带来的成就感。

反思活动的展开提高了数学的元认知能力。数学元认知是指认知主体对自己的认知过程、结果或与之相关的活动的认识。其实质是对认知的认知。数学知识的学习过程不仅是对所学材料的识别、加工和理解的认知过程，也是对学习活动自我调节自我监控的元认知过程。元认知能力强的学生能对自身从事的认知活动自我意识、自我评价和自我调整，它不仅能提高具体认识活动的有效性而且能使认知结构和认知策略得到优化。所以，这也是克服“会而不对，对而不全”现象有效途径。

2．2．学法指导

2.2.1重视知识梳理，进行整理消化

    高中阶段的知识点非常多，因此要让学生养成及时整理消化的习惯，每天整理消化当天的内容，每星期整理消化当周的内容，每个章节结束也要求学生做好知识点的归纳与总结。在具体的整理过程中，对每个知识点都设计一些有代表性的基础题和中档提，把知识点以练习的形式渗透进去，在具体的解题中进一步体会知识点，达到真正的消化与理解。这样以点带面，到期末时或高三复习时就能不慌不忙、充满自信、游刃有余了。当基础知识掌握的非常牢固时，“会而不对，对而不全”现象出现的可能性就减少了。。

2.2.2建立错误档案，自我完善解题经验

产生错误没关系，关键是决不能在同一个问题上再次犯错。教师应引导学生“珍惜”错误，最大限度地发挥错题功能，进行错题辨析、挖掘隐藏信息、升华知识水平与能力水平，进一步杜绝同一类错误的产生。所以要求每位同学准备一本“错题本”，把平时作业中和测验中错题整理在上面，并写明错因，建立错误档案。这份错误档案将作为学生重要的复习资料而经常翻阅，从而启发学生自我发现、自我纠正、自我总结，通过错题的失败教训和终于醒悟的收获，给学生以警醒的效果，从而不断完善解题经验，杜绝 “会而不对，对而不全”现象的出现。

总之，“会而不对，对而不全”现象是学生解题的顽疾，它产生的原因是多方面的。教学过程中，教师要根据学生的不同情况，有的放矢，把改进工作落到实处，从而全面提高学生的数学能力。

参考文献：

1.    高中数学课程标准(实验).人民教育出版社.2003

2.    新课标下高中数学实施有效教学的实践与思考.王焕元.数学教学研究.2009.4

3.    数学教学中学生元认知能力的培养.曹勇兵. 数学教学研究.2009.1