铂程斋--数学帝

“2010年,江苏数学帝葛军!一个人——秒杀江苏52万考生!”猫扑大杂烩里一篇关于数学帝的帖子引来30多万网友的点击。

“数学帝”何许人士?因何受到如此关注?一切源于高考,2010年高考尘埃落定,众多江苏考生反映数学试题难度很大,有考生是哭着离开考场的。

“考完数学,我的心都碎了”,一名江苏考生在网上发出如此感叹。据报道称,江苏省2003年的数学高考卷被认为是难卷的标杆,当时150分的卷子平均分为68分。而南京市有监考老师看过试卷后认为今年的数学考题难度已超越了2003年,堪称最难。

原帖：

葛军，男，1964年10月生，江苏人。副教授，硕士生导师，

南京师范大学数学与计算机科学学院
中国数学奥林匹克高级教练，

《数学通讯》杂志通讯编委。

江苏省数学会普及工作委员会副主任，

江苏省珠算协会理事，

南京数学会常务理事。

从事数学课程与教学论的研究，工作涉及：数学哲学，数学思想方法论，数学教学论，数学课程论，数学教育评价，教育数学（现代数学基本理论、思想方法，初等数学，竞赛数学），数学解题 ，数学传播等。

不过，现在他有了更传奇的经历。。。

他，如神一般。。秒杀了52万江苏考生。。

他，打破了江苏03年高考数学的历史。

他，破坏了和谐社会。

他，让几百万群众所愤怒，

他，出了2010年江苏高考数学卷。。。

他，告诉江苏考生，你们活不到2012。。。
一、填空题
1、设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a2+4},A∩B={3}，则实数a=______▲________
2、设复数z满足z(2-3i)=6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为______▲________
3、盒子中有大小相同的3只小球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是_▲__
4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有_▲___根在棉花纤维的长度小于20mm。
5、设函数f(x)=x(ex+ae-x),x∈R，是偶函数，则实数a=_______▲_________
2010年江苏高考数学试题

6、在平面直角坐标系xOy中，双曲线上一点M，点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点的距离是___▲_______
7、右图是一个算法的流程图，则输出S的值是______▲_______

8、函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+bk为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=____▲_____
9、在平面直角坐标系xOy中，已知圆上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是______▲_____
10、定义在区间上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1,直线PP1与y=sinx的图像交于点P2,则线段P1P2的长为_______▲_____
11、已知函数 ,则满足不等式 的x的范围是____▲____
12、设实数x,y满足3≤ ≤8，4≤ ≤9，则的最大值是_____▲____
13、在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c， ，则 __▲
14、将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S= ,则S的最小值是_______▲_______
二、解答题
15、（14分）在平面直角坐标系xOy中，点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1)
(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长
(2)设实数t满足( )＆＃8226; =0，求t的值
16、（14分）如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1,AB=2,AB‖DC，∠BCD=900
(1)求证：PC⊥BC
(2)求点A到平面PBC的距离

17、（14分）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位m），如示意图，垂直放置的标杆BC高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β
(1)该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24,tanβ=1.20,,请据此算出H的值
(2)该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d（单位m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为125m，问d为多少时，α-β最大
18.（16分）在平面直角坐标系 中，如图，已知椭圆 的左右顶点为A,B，右顶点为F，设过点T（ ）的直线TA,TB与椭圆分别交于点M ， ，其中m>0,
①设动点P满足 ,求点P的轨迹
②设 ，求点T的坐标
③设 ,求证：直线MN必过x轴上的一定点
（其坐标与m无关）

19．（16分）设各项均为正数的数列 的前n项和为 ，已知 ，数列 是公差为 的等差数列.
①求数列 的通项公式（用 表示）
②设为实数，对满足 的任意正整数 ，不等式 都成立。求证： 的最大值为

20.（16分）设 使定义在区间 上的函数，其导函数为.如果存在实数 和函数 ，其中 对任意的 都有 >0，使得 ，则称函数 具有性质 .
(1)设函数 ，其中 为实数
①求证：函数 具有性质
②求函数 的单调区间
(2)已知函数 具有性质 ，给定 ， ，且 ，若| |<| |,求 的取值范围


【理科附加题】
21（从以下四个题中任选两个作答，每题10分）
(1)几何证明选讲
AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，过点D作⊙O的切线交AB延长线于C，若DA=DC，求证AB=2BC

(2)矩阵与变换
在平面直角坐标系xOy中，A(0,0),B(-3,),C(-2,1),设k≠0，k∈R，M= ,N=,点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点A1,B1,C1,△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍，求实数k的值
(3)参数方程与极坐标
在极坐标系中，圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值
(4)不等式证明选讲
已知实数a,b≥0，求证：
22、（10分）某厂生产甲、乙两种产品，生产甲产品一等品80%，二等品20%；生产乙产品，一等品90%，二等品10%。生产一件甲产品，如果是一等品可获利4万元，若是二等品则要亏损1万元；生产一件乙产品，如果是一等品可获利6万元，若是二等品则要亏损2万元。设生产各种产品相互独立
（1）记x（单位：万元）为生产1件甲产品和件乙产品可获得的总利润，求x的分布列
（2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率
23、（10分）已知△ABC的三边长为有理数
（1）求证cosA是有理数
（2）对任意正整数n，求证cosnA也是有理数