算术与代数--“数学之家　”－－邓中数学科组博客

　　　人类有数的概念，与人类开始用火一样古老，大约在三十万年前就有了。但是有文字记载的数学到公元前3400年左右才出现。至于数字的四则运算则更晚，在我国，《九章算术》是古代数学最重要的著作，是从先秦到西汉中叶的众多学者不断修改、补充而成的一部数学著作，成书年代至迟在公元前一世纪。这是一本问题集形式的书，全书共246个题，分成九章，包含十分丰富的内容。在这本书中有分数的四则运算法则、比例算法、盈不足术、解三元线性代数方程组、正负数、开方以及一些计算几何图形的面积与体积等。在西方，也或迟或早地出现了这些内容，而这些内容包括我们从小学一直到中学所学习“算术”课程的全部内容。也就是说人类经过了几千年才逐步弄明白建立起来的“算术”的内容，现在每个人在童年时代花几年才逐步弄明白建立起来的“算术”的内容，现在每个人在童年时代花几年就全部学会了。对于“算术”来讲，“真正的进展”是由于“更有力的工具和更简单的方法的发现”，这个工具与方法是“数字符号化”，从而产生了另一门数学“代数”，即现在中学中的“代数”课程的内容。

　　在我国，这已是宋元时代（约十三世纪五六十年代），当时的著作中，有“天元术”和“四元术”，也就是让未知数记作为“天元”、“x”，后来将二个、三个及四个未知数记作为“天”、“地”、“人”、“物”等四元，也就是相当于现在用x，y，z，w来表达四个未知数，有了这些“元”，也就可以解一些代数方程与联立线性代数方程组了。在西方彻底完成数字符号化是在十六世纪。现在中学生学习的“代数”的内容：包括一元二次方程的解，多元（一般为二元，三元至多四元）联立方程的解等。当然在“数字符号化”之前，一元二次方程的解，多元联立方程的解也是已经出现，例如我国古代已经有一些解一般数字系数的代数方程的“算法程序”，但这些都是用文字来表达的，直到“数字符号化”之后，才出现了现在中学代数的内容的形式。

　　由“数字符号化”而产生的中学“代数”的内容，的的确确是“数学中真正的进展”。“代数”的确是“更有力的工具和更简单的方法”，“算术”顾名思义，可以理解为“计算的方法”，而“代数”可以理解为“以符号替代数字”，即“数字符号化”。人类从“算术”走向“代数”经历了千年。但在中学的课程中，却只花短短的几年，就可以全部学会这些内容。

　　回忆我在童年时代，在小学学习“算术”课程时，感到很难，例如：求解“鸡兔同笼”题，即：一个笼子中关着若干只鸡，若干只兔，已知共有多少个头，多少只脚，求有多少只鸡，多少只兔？当时老师讲的求解的方法，现在已完全记不得了，留下的印象是感到很难，而且纳闷的是：鸡与兔为何要关在一个笼子里？既数得清有多少个头及多少只脚？为何数不清有多少只鸡与多少只兔？等到初中时，学习了“代数”课程，才恍然大悟，这不过是二元一次联立代数方程组，解方程组十分简单方便，这不仅可以用来解“鸡兔同笼”，即使将鸭与狗关在一个房间中，来数头数与脚数，不妨叫做“鸭狗同室”问题，对这样的问题一样可以解。因之，“代数”显然比“算术”来得“高级”，这的确是“更有力的工具和更简单的方法”，而这些工具和方法同时会有助于理解已有的理论并把“陈旧的、复杂的东西抛到一边”，也就是从“代数”的角度来理解“算术”可以理解得更深刻，而可以把“算术”中一些复杂的，处理个别问题的方法抛到一边去。

　　在这里，我要重复说一遍，尽管中学的“代数”比小学的“算术”来得“高级”，是“更有力的工具与更简单的方法”，但并不意味着小学的“算术”就可以不必学了，因为：

　　（1）“算术”中的一些内容不能完全被“代数”所替代，如四则运算等；

　　（2）即使能被替代的内容，适当的学习一些，有利于对“代数”内容的认识与理解；

　　（3）从教育学的角度考虑，这里有循序渐进的问题，有学生不同年龄段的接受能力的问题等等。

　　作为中学“代数”中的一个重要内容是解多元一次联立方程组，在中学“代数”的教材中，一般着重讲二元或三元一次联立方程组，所用的方法往往是消元法。但是如果变元为四个或更多时，就得另想办法来建立起多元一次联立方程组的理论。经过很多年的努力，矩阵的想法产生了，这不但给出了多元一次联立代数方程组的一般理论，而且由此建立起一门新的学科“线性代数”。这是又一次“数学中真正的进展”，由于“更有力的工具和更简单的方法”，即“矩阵”的发现，不仅对多元一次联立代数方程组的理解更为清楚、更为深刻，由于有了统一处理方法，可以把个别地处理方程组的方法“抛到一边”。

　　当然，“线性代数”是大学的课程，但它的产生的确再次印证了Hilbert所说的那段话。在中学“代数”中的另一个重要内容是解一元二次方程，在古代，例如《九章算术》中已有解一般一元二次方程的算法，后来有很多的发展，直到al-khowarizmi（约783—850）相当于给出了一般形式的一元二次方程。

　　1545年G.Cardano（1501-1576）公布了由N.Fontana（1499－1557）发现了解一元三次方程的解，而一元四次方程的解由L.Ferrari（1522—1565）所解决。于是当时大批的数学家致力于更高次方程的求根式解，即企图只对方程的系数作加、减、乘、除和求正整数次方根等运算来表达方程的解。经过了二个世纪的努力，大批数学家都失败了，直到1770年J.·Lagrange（1736—1813）看到了五次及高次方程不可能做到这点，又过了半个世纪，1824年，N.·Abel（1802—1829）解决了这个问题，即对于一般的五次和五次以上的方程求根式解是不可能的。但什么样的特殊的代数方程能用根式来求解，这是E·Galois（1811—1832）所解决，而更为重要的是：为了解决这个问题，他建立起“群”的概念，这就意味着现代代数理论的产生，这是又一次“数学中真正的进展”。它是由于“更有力的工具和更简单的方法”，即“群”的发现而造成的，有了“群”以及后来发展起来的现代代数理论，可以更清楚、更深刻地理解以往高次代数方程求根式解的问题，而的确可以把以往那些“陈旧的、复杂的东西抛到一边”。