平方根与算术平方根概念辨析

来源：百度文库 编辑：神马文学网 时间：2024/04/30 05:24:36
平方根与算术平方根是初中数学中的两个重要概念，因为它们定义相近，联系紧密，所以初学的同学很容易混淆。为帮助同学们正确理解和区分这两个概念，现将它们的区别与联系总结如下：
一、区别：
1、定义不同。
平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x叫做a的平方根。例如，，2是4的平方根，，－2是4的平方根，即2和－2都是4的平方根。
算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根（特别规定：0的算术平方根是0）。例如，，正数2是4的算术平方根。虽然，但－2不是正数，所以－2不是4的算术平方根。
2、表示方法不同。
平方根：一个非负数a的平方根记做。例如，5的平方根记做。
算术平方根：一个非负数a的算术平方根记作。例如，5的算术平方根记作。
3、个数不同。
平方根：一个正数有两个平方根，它们互为相反数。例如，16的平方根有两个，一个是4，另一个是－4。
算术平方根：一个正数的算术平方根只有一个，且这个数是正数。例如，16的算术平方根只有一个，是4。
二、联系
1、二者之间存在着从属关系。
一个正数的平方根包含了这个正数的算术平方根，算术平方根是平方根中的一个。
例如，的两个平方根是，其中是的算术平方根。
2、二者被开方数的取值范围相同。
只有非负数才有平方根，负数没有平方根。
只有非负数才有算术平方根，负数没有算术平方根。
一个数没有平方根，它一定也没有算术平方根。
三、典型例题
例1  求下列各数的平方根。
（1）121 （2）（3）0 （4）
解：（1）因，故121的平方根是。
（2）因，故的平方根是。
（3）因，故0的平方根是0。
（4）因，故的平方根是。
评析：求数a的平方根，就是要把平方后等于a的数都找出来。正数的平方根有两个，不要丢掉负的平方根。
例2  求下列各数的算术平方根。
（1）225． （2）（3）0.49 （4）
解：（1）因，故225的平方根是，取正的平方根，即225的算术平方根是15。
（2）因，故的算术平方根是，即。
（3）因，故0.49的算术平方根是0.7，即。
（4）因，而，所以的算术平方根是5。
评析：求正数a的算术平方根，只需找出平方后等于a的正数。
例3  下列说法是否正确？为什么？
（1）5是25的平方根。
（2）25的平方根是5。
解：（1）正确。因，所以5是25的平方根。
（2）不正确。因都等于25，所以25的平方根是。
评析：判断x是不是a的平方根，只需看是否等于a，若，那么x就是a的平方根，求a的平方根，则需将所有平方后等于a的数全部找出来。
例4  下列说法正确的是（    ）
A. －5是的算术平方根
B. 81的平方根是
C. 2是－4的算术平方根
D. 9的算术平方根是
解：选B。
评析：解答此题的关键是理解、掌握平方根和算术平方根的联系和区别。只有非负数才有平方根和算术平方根，所以选项C错误；一个正数有两个平方根，其中正的平方根才叫做算术平方根，所以选项A、D错误。
例5  求下列各式的值。
（1）（2）（3）（4）
解：（1）
（2）
（3）
（4）
评析：解这类题的关键是弄清三种符号的意义：表示a的平方根，表示a的算术平方根，表示a的负的平方根。
例6  下列各式正确的是（    ）
A. B. 
C. D. 
解：选D
评析：解答此题的关键是掌握平方根和算术平方根的定义和表示方法。一个正数a的平方根记为，它的结果是互为相反数的两个数，所以C错误。一个正数a的算术平方根记为，它的结果是一个正数，所以A、B错误。
平方根与算术平方根概念辨析 算术平方根 迭代法求平方根 关于平方根的思考 电子商务与网络营销概念辨析 分子与细胞 概念辨析 计算正整数平方根的整数部分(J2ME) - 网络猎狐犬 excel函数问题（尾数和余数问题，平方及平方根） 合作学习与协作学习概念辨析（英文） 【重要】合作学习与协作学习概念辨析（英文） 应急管理与危机管理的概念辨析 封建"概念辨析 乡村概念辨析 封建概念辨析 “马克思哲学”概念辨析 合作学习与协作学习概念辨析：collaborative learning versus cooperative learning 概念辨析：交换，路由与第三层交换|中国IT实验室 物价上涨与通货膨胀的概念辨析及其后果[兴华论坛] 秦宣：“中国模式”之概念辨析 “概念图”与“思维导图”辨析(转载) ET资源类 ET资源类 晴海泛舟——我的教育技术家园 社会形态中的DNA——Meme概念辨析 网络远程教育概念辨析及中英文术语互译研究 网络远程教育概念辨析及中英文术语互译研究 概念辨析：dBm, dBi, dBd, dB, dBc, dBuV