国培学习三：从算术到代数 - htzhf的日志 - 网易博客

国培学习三：从算术到代数

——整体地把握小学数学课程

首都师范大学  王尚志

认识数学课程内容的重点

数学沿革、发展

实际需求

认识数学新课程变化三个基本视角

数学视角

教育视角

学生视角  三个角度并重

目录

第一部分  背景

21世纪基本能力

对数学的认识

对数学和科学、技术、文化等联系的认识

对数学教育的认识

数学发展对数学教育的影响

第二部分  从算术到代数

例子：鸡兔同笼问题

算术、代数方法特征

第三部分 整体把握课程

基本结构

主要脉络

关键词

算术、代数、整数

第四部分  21世纪基本能力

基本能力维度的分类：知识维度、能力维度、态度维度

全世界企业和大学的调查，最重要的是什么？

高中毕业生：职业道德、合作精神、沟通能力、社会责任感、终身学习

挑战：全球竞争和合作

服务经济

信息能力的增长

我们的学生：质疑者、解决问题的人、自我定向的人（往那个方向去发展）

是不是好的合作者?很好的适应能力和创造者。

帮助学生：学会认知、学会做事、学会与人共处、学会生存；

APK：终身学习、学会定向、问题解决、自我管理、团队意识；

数学与科学教育、语言教育、日本和美国特别注重这些；职业教育、信息交流技术和系统改革；

（二）对数学的认识

数学是研究现实中数量关系和空间形式的科学——恩格斯

数学是研究数量关系和空间形式的科学

——前苏联《数学的内容、方法和意义》一套书三本；

数学是研究模式和科学的数学。2061计划

提出把数学科学与自然科学的并列。——2061计划

模式：把一个规律搞清楚，作为一批东西的规律，是数学中重要的东西；

克莱因的对于数学的认识；

（二）对数学的认识

数学是科学

数学是理论

数学是语言

数学是工具

数学是技术（高科技本质上是数学技术。数学已经从幕后走到台前，首先为社会做出价值——江伯驹）

数学是文化（让数学融入中国的文化；如果没有数学的哲学就没有真正的哲学，技能后面的东西，数学的价值要得以体现）

数学是伙伴（是所有科学的伙伴——美国）

数学的基本特征：

抽象性

严格性

应用广泛性

影响数学发展的基本思想：抽象、推理、模型（史宁中）

李大潜院士：20世纪数学教育的大的变化强调了模型和数学建模，是很重要的事情。

（四）对数学教育的认识

两千多年来，人们已知认为每一个受教育者都必须具备一定的数学知识。但是，今天，数学教育的传统地位却陷入了严重的危机之中，而且遗憾的是数学工作者要对此负一定的责任。数学教学有时竟变成空洞的解题训练。这种训练虽然可以提高形式推理的能力，但却不能导致真正的理解与深入的独立思考，而忽视了数学的应用以及与其他领域的联系。不过，这种状况不能证明紧缩数学教育政策是合理的。相反，那些醒悟到培养思维重要性的人，必然会采取完全不同的做法，即更加重视和加强数学教学。

——《什么是数学》罗伯特.柯朗

由于对学校教育的影响，一般人认为数学仅仅是对科学家、工程师，或许还有金融家才有的一系列技巧。这样的教育导致了对这门学科的厌恶和对它的忽视。

由于学校数学教学的影响，这些权威性的诊断和流行的看法竟被看成是正确的！数学学科并不是一系列的技巧，这些技巧只不过是它微不足道的方面：它们远不能代表数学，诸如调配颜色不能当做绘画一样，技巧是将数学的激情、推理、

——《古今数学思想史》克莱因

好多数学的开始都是从小学开始的，我们重要的第一个数学模型就是自然数；上帝创造了自然数；建立起了一一对应的想法；

数学发展那对数学教育的影响

1、交叉、综合化：围绕一些问题解决，不断的地对不同数学分支、研究方向、不同方法进行综合，形成新德尔分支、研究方向。

我们不仅教一个个知识点，而要把完整的东西教给学生。

2、数学广泛应用：形成新的研究分支、方向。

数学的重要性，数学对历史非常有用；数量历史学。从数理的方式研究语言学。对生活产生很大影响的科学。

3、数学与计算机科学深度结合。

4、在自然科学、人文社会科学、生产和社会活动实际中，向数学不断提出问题、寻求问题的解决思路、方法、工具，成为数学力量的源泉。

5、创新成为社会发展的起点。

数学中的归纳推理得以强化（合情推理）是创新的起点，从小学开始的。演绎推理可以验证一些结果；计算必须有故事，其实就是从生活找到合理的原型。

生物+数学=生物数学

X +数学=X数学

有一个开放的胸怀接纳对数学的理解。

第二部分 从算术到代数

——从鸡兔同笼谈起

钢笔7元，铅笔4元，46元买10枝笔，应如何购买？

有两种思维方法：

算术办法：尝试、调整

          穷举、列表

          假设、推理

代数方法：分析问题中的量，确定等量关系、设未知数、列方程（不同方式），解决问题。

有秩序地思考问题，秩序就是对自然数的认识；学生的思维依然有逻辑；学生是用换的想法。把孩子的逻辑激发起来。当孩子认为是自己想出来的结果感觉完全不一样。好的数学老师帮助了学生，学生不知道，以为是自己作出来，我有自信一定能做出来，我有自信。把孩子的想法作为出发点，作一个引导。孩子们的想法都是有背景的，数学活动经验的添加。我们需要知道孩子可能怎么想？在没讲模式之前。

4+3=7，7-4=3如何把学生的基础上提升认识，对于一年级的孩子来说，等号是用来执行运算的。

加——减——乘——除

从实际的需要来说，从会数数，加法定义4+7，先数4，从4开始数到7个数，计算结果是唯一的。自然数帮助我们引入加法。加法到减法，加法引入乘法，简化，简便运算，是处理加法问题的特殊办法，不是一般用法。除法是比加、减、乘更加丰富的对象，一个角度：直接从自然数引入除法：等分。为什么从高位除起？500个500个拿。另一个角度：乘法引入除法。引入孩子很多原创性的思想。7-3=4的时候，不要把程式化的东西教给学生。孩子的成长和认识有一个过程。

快、敏捷、聪明的标志窄了点。过分追求速度，不是我们的规律。

长和宽，谁是长，谁是宽？长方形的面积一定是长×宽。真正对学生有用的是讲道理。用数与代数培养学生的推理；对几何怎么看？

哪些量，哪些基本关系说清楚：铅笔+钢笔=10；铅笔钱+钢笔钱=46元；形式是需要的，但是形式束缚思维一定是不行的。

前两种办法不仅子鸡兔同笼中适用，在其他方面也同样用，适用范围。

方法一：

二分法

排序

优选法

微积分、数值计算等大部分数学课程

这种方法本质上是逼近，在数学研究特别是数学应用中，她是非常基本的数学思想，也是一种重要的方法。

方法二：穷举、列表

学生很容易在老师的诱导下，通过穷举、列表法做出判断。

在分类讨论是数学思考问题的基本思想，穷举列表是最基本的、重要的方法，本质是有条理地去列举。

不是以追求快，不是数学的教育目标。

方法四、代数的办法、算术的办法

算术方法：

基本特征：算-数（加减乘除）

基本特征：用术到算（有规律地算）

基本特征：不同的算法——不同的计算途径或程序

基本特征：解决一个一个的具体问题

通过术和算解决的问题是算术问题

通过术和算体现逻辑思维——演绎。

什么是本质不同的途径，什么是表面不同的途径？把谁作为出发点，学生可以随便，我们现在规定的方法多了一些。分类是必要的，用什么标准去分类？如应用题。数学中的很多问题不是弄清楚添加进来，而是社会需要添加进来。这个判断很重要，否则学生的记忆量越来越多。是特点可能也是弱点。

首先从算术到代数的过渡绝不意味着放弃算术，算术还是具有很大作用，按规律算，养成好的学习习惯。我们需要深入了解学生的错误的根源，老师老想取巧，老想消掉。存在习惯的问题。

第二一定要将道理，培养学生逻辑推理的能力。

数与代数，怎样培养学生的逻辑推理能力，让学生觉得自然，好接受，能养成自觉的习惯。

代数方法

基本特征： 用字母代替数

基本特征：用字母表示规律，量之间的相等关系、不等关系、函数关系；

基本特征：通过字母的运算和运算规律——解决问题

基本特征：不同的算法——不同的计算途径和程序

基本特征：一类一类地解决问题。

符号有好处，也有坏处，符号多了就混了。

什么是规律？通过规律计算数和字母就是代数。库朗的书。

代数方法可以一类一类地解决问题。

通过运算和规律体现逻辑推理——演绎。

算术方法和代数方法：

共性:通过算和算律解决问题

通过算和算律体现数学的逻辑思维

不同：算数——算字母

解决具体问题——解决一类问题。

在数与代数里，运算非常重要，模型很重要。代数是一类类解决问题。运算从那几个角度来认识：

一是认识清楚运算的对象；算什么，对象的意义是什么？数，代数式；变换、置换都看做运算，在不断拓展，数学走到哪里就跟到哪里？

二是运算的规律，从自然数——拓展，到了自然数通行无阻地做加法、乘法，有限地做乘法、有限地做除法；整数，可以；分数，有理数，加减乘除均可以。到实数也是如此，在头脑中有完整的认识。运算和运算规律尊重的原则就是结果的唯一性。运算的规律大体有三类:运算律、顺序、与关系的关系。（等式关系、不等式关系。和关系的联系。）

三是运算的应用：解决三类问题：方程、不等式、函数的问题(价格、行程等)。

让学生形成对数学有一个完整的认识。学数学不能一个知识点一个知识点往上学，要教给学生一个完整的数学。把书念厚，把书读薄。

模型是个关键的东西。

有哪些模型：

1、自然数的模型。不仅仅是1、2、3、4、也包括0、10、20、30、40…，0、二分之一、二分之二、二分之三…也包括0、100、200、300…他们的差别只是一个差别。同分母有统一的单位，可以整数化，5个苹果+6个梨，单位是水果；二分之一+三分之一统一乘六分之几，

分数除以分数为什么是分数除以除数的倒数。用自然数的规律解释一下。与单位没有关系，与物质没有关系，五分之三除以七分之四，前后各乘七分之七、五分之五，核心是单位，单位的认识小学数学很重要。

2、路程、速度和时间模型。

3、总价、单价、数量模型。有时可以是离散的（按个的），也可以是连续的（称斤）。

4、植树模型。

问题：

1、从算术到代数从过程中哪几个地方是关键点，符号的认识是关键点，对等号的认识是关键点。

2、在培养学生算术能力上哪些地方是关键点？

3、对符号的认识哪些是关键点？有两个符号另眼相待，一个是分数的符号：一个符号有多重含义，一个是—5，--5，代表数字，有时代表运算，梳理这些地方。

建议：

整体理解小学的过程。解析几何在小学的体现。能够有一个完整的理解。

脑子里要有问题。越来越有生命力。