数学分析理论整理

一、实数完备性：
1. 关于实数完备性的基本定理
◇确界原理（该教材的理论基础、最基本定理）（用实数的无限小数表示证明）
◇单调有界定理（用确界原理证明）
◇区间套定理（用单调有界定理证明）
◇有限覆盖定理（用区间套定理证明）
◇聚点定理（用区间套定理证明）
推论：致密性定理
◇柯西收敛准则（用区间套定理或致密性定理证明）
2. 上极限和下极限
◇有界点列至少有一个聚点，且存在最大聚点与最小聚点（类似聚点定理，用区间套定理证明）
◇A为{an}上极限<＝> (i)存在N＞0，使得当n＞N时有an＜A+ε；(ii)存在子列{ank}，ank＞A-ε
◇A为{an}上极限<＝>任何α＞A，大于α的项有限个；任何β＜A，大于β的项无限多个
◇上、下极限保不等式性
◇A为{an}上极限<＝>A=limsup{ak} (n→∞, k≥n)
二、极限
1. 收敛数列的性质：
◇唯一性
◇有界性
◇保号性
◇保不等式性
◇迫敛性
◇四则运算法则
◇数列{an}收敛<＝>{an}的任何非平凡子列都收敛
2. 数列极限存在的条件：
◇单调有界定理（用确界原理证明）
◇柯西收敛准则（用区间套定理或致密性定理证明）
3. 函数极限的性质
◇唯一性
◇局部有界性
◇局部保号性
◇保不等式性
◇迫敛性
◇四则运算法则
4. 函数极限存在的条件
◇归结原则
◇单调有界定理（适用于单侧极限）
◇柯西准则（用归结原则和数列柯西收敛准则证明）
5. 无穷小量与无穷大量
◇若f与g为等价无穷小量，则lim(f*h)=lim(g*h)，lim(h/f)=lim(h/g)
◇若f为x→x0时的无穷小量（且在空心邻域内不等于0），则1/f为x→x0时的无穷大量
◇若g为x→x0时的无穷大量，则1/g为x→x0时的无穷小量
三、函数的连续性
1. 连续函数的性质
◇局部有界性
◇局部保号性
◇四则运算法则
◇若f在x0连续，g在u0=f(x0)连续，则g(f(x))在x0连续
◇有界性定理（适用于闭区间）（用局部有界性与有限覆盖定理证明）
◇最大最小值定理（适用于闭区间）（用有界性定理和确界原理证明）
◇根的存在定理（适用于闭区间）（用局部保号性和区间套定理证明）
◇介值性定理（适用于闭区间）（用根的存在定理证明）
◇一致连续性定理（用有限覆盖定理证明）
四、导数和微分
1. 导数的概念
◇费马定理（可导函数极值的必要条件）（用连续函数局部保号性证明）
◇导函数的介值定理（用最大最小值定理和费马定理证明）
2. 求导法则
◇四则运算法则
◇反函数的导数
◇复合函数的导数及其引理
◇参变量函数的导数
◇高阶导数
3. 微分
◇可微<＝>可导，且微分AΔx中的A等于导数（用有限增量公式证明）
◇微分运算法则（由导数运算法则推出）
◇高阶微分
◇一阶微分形式的不变性 / 高阶微分不具有形式不变性
4. 微分中值定理
◇罗尔中值定理（用连续函数最大最小值定理与费马定理证明）
◇拉格朗日中值定理（用罗尔中值定理证明）
◇导数极限定理（用拉格朗日中值定理证明）
◇函数（严格）单调递增（减）的充要条件（用拉格朗日中值定理证明）
◇柯西中值定理（用罗尔中值定理证明）
◇洛必达法则（用柯西中值定理证明）
5. 泰勒公式
◇佩亚诺余项（用洛必达法则证明）
◇拉格朗日余项（泰勒定理）（用柯西中值定理证明）
◇积分型余项（用推广的定积分分部积分法证明）
◇柯西型余项（对积分型余项使用积分第一中值定理得）
6. 函数的极值
◇极值的第三充分条件：设f在x0某邻域内存在n-1阶导函数，在x0处可导，且f(k)(x0)=0 (k=1,2,...,n-1)，f(n)(x0)≠0，则：(i) 当n为偶数时，f在x0取极值，且当f(n)(x0) ＜0时取极大值，当f(n)(x0) ＞0时取极小值；(ii) 当n为奇数时，f在x0处不取极值（在x0处用n阶泰勒公式（佩亚诺余项）证明，极值第二充分条件可作为其推论）
7. 凸函数的性质
◇充要条件：对I上的任意三点x1＜x2＜x3，总有(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)≤(f(x3)-f(x2))/(x3-x2)
◇充要条件：对I上的任意三点x1＜x2＜x3，总有(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)≤(f(x3)-f(x1))/(x3-x1)≤(f(x3)-f(x2))/(x3-x2)
◇充要条件：f’为I上的增函数（用上两条（引理）证）
◇充要条件：对I上的任意两点x1、x2，f(x2) ≥ f(x1)+f’(x1)(x2- x1)（用拉格朗日中值定理与上一条定理证）
◇Jensen不等式（用数学归纳法证）
五、积分
1. 不定积分法
◇换元积分法（用复合函数求导法验证）
◇分部积分法（由乘积求导法推出）
2. 可积性理论
◇可积必有界
◇上和是所有积分和的上确界，下和是所有积分和的下确界
◇T’为T添加p个新分点后的分割，则S(T) ≥S(T’) ≥S(T)-(M-m)p||T||，s(T) ≤s(T’) ≤s(T)+(M-m)p||T||
◇达布定理：limS(T)=S，lims(T)=s (||T||→0)（用上一条性质证明）
◇可积第一充要条件：S=s（用达布定理证明）
◇可积第二充要条件（可积准则）：S(T)-s(T) ＜ε，即∑ωΔx＜ε（用可积第一充要条件证明）
◇可积第三充要条件：任可正数ε、η，T中ω≥ε的区间总长∑Δx＜η（用可积第二充要条件证明）
◇闭区间上连续函数可积（用可积准则证明）
◇闭区间上有限间断点的函数可积（用可积准则证明）
◇闭区间上单调函数可积（用可积准则证明）
3. 定积分性质
◇牛顿—莱布尼茨公式（用拉格朗日中值定理证明）
◇线性性质
◇f、g可积则fg可积（用可积准则证明）
◇积分区间可加性（用可积准则证明）
◇保号性
推论：积分不等式性
◇f可积则|f|也可积，且|∫fdx|＜∫|f|dx（用绝对值不等式与可积准则证明）
◇积分第一中值定理（用连续函数最大最小值定理和介值性定理证明）
◇推广的积分第一中值定理（用连续函数最大最小值定理和介值性定理证明）
◇变限积分在[a,b]上连续（用积分区间可加性和可积必有界证明）
◇原函数存在定理（微积分学基本定理）（用积分第一中值定理证明）
◇积分第二中值定理（用变限积分连续、连续函数最大最小值定理、介值性定理、积分区间可加性、可积准则证明）
推论：[a, b]上f可积，g单调，则存在ξ使∫f(x)g(x)dx=g(a) ∫aξf(x)dx+g(b) ∫ξbf(x)dx
◇换元积分法、分部积分法（类似不定积分，由微分法逆得）
4. 定积分的应用
◇平面图形的面积A=∫|f(x)|dx=∫|y(t)x’(t)|dt
◇由平行截面面积求体积V=∫A(x)dx
◇平面曲线的弧长s=∫ (x’2(t)+y’2(t))^(1/2)dt（用拉格朗日中值定理证明）
◇平面曲线的曲率K=|x’y’’-x’’y’|/(x’2+y’2)^(3/2)（由弧微分推得）
◇旋转曲面的面积S=2π∫y(t)(x’2(t)+y’2(t))^(1/2)dt
5. 反常积分
◇无穷积分收敛的充要条件：任给正数ε，存在G，只要a, b＞G，|∫abf(x)dx|＜ε（即柯西准则）
◇无穷积分线性性质
◇无穷积分区间可加性
◇无穷积分收敛的充要条件：任给正数ε，存在G，只要u＞G，|∫u∞f(x)dx|＜ε（由区间可加结合收敛定义证明）
◇|f|收敛则f也可积，且|∫a∞fdx|＜∫a∞|f|dx（用柯西收敛准则、定积分绝对值不等式、极限保不等式性证明）
◇无穷积分比较法则（用单调有界定理证明）
推论：(i) |f(x)| ≤1/xp且p＞1时，∫a∞|f(x)|dx 收敛；(ii) |f(x)| ≥1/xp且p≤1时，∫a∞|f(x)|dx 发散
◇若f和g都在[a,u]上可积，g(x) ＞0，且lim|f(x)|/g(x)=c，则(i)0＜c＜+∞时，∫a∞g(x)dx与∫a∞|f(x)|dx 同敛态；(ii)c=0时，∫a∞g(x)dx收敛时∫a∞|f(x)|dx必收敛；(iii) ∫a∞g(x)dx发散时∫a∞|f(x)|dx必发散（用比较法则证明）
推论：limxp|f(x)|=c，(i)p＞1，0≤c＜+∞时，∫a∞|f(x)|dx 收敛；(ii)p≤1，0＜c≤+∞时，∫a∞|f(x)|dx发散
◇狄里克雷判别法（用积分第二中值定理和柯西收敛准则证明）
◇阿贝尔判别法（用积分第二中值定理或狄里克雷判别法证明）
◇瑕积分收敛柯西准则（类似无穷积分）
◇瑕积分线性性质（类似无穷积分）
◇瑕积分区间可加性（类似无穷积分）
◇瑕积分绝对值不等式（类似无穷积分）
◇瑕积分比较法则及推论（类似无穷积分）
◇瑕积分比较法则极限形式及推论（类似无穷积分）
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注：
1. 该整理是由包晨风根据华东师大数学系编的《数学分析（上册）》完成的
2. 斜体字为证明方法提示（并不唯一，只是个人觉得较方便的方法），无斜体字的均可由定义证出
3. 该整理不包括任何定义，部分定理的叙述从简，并不严谨
4. 该整理的编排顺序与教材不同，除了泰勒公式的积分型余项和柯西型余项，其余定理或性质的证明所需的前置定理均可在前文中找到
5. 请大家多指教