庄子与无限

《庄子》与无限
首先说明，这里所说的《庄子》是指一部书，并非庄周其人。因为在《庄子》这部书里，有些内容并不是庄子本人的思想和言论。《庄子》的思想博大精深，是一个说不尽道不完的话题。本文只是管中窥豹，仅涉及《庄子》哲学思想的一斑。
庄子处在两千三百年前的战国时代。由于当时的科学水平还不甚发达，人们对事物的认识受到一定的局限，认为世界是有限的。然而庄子却以其深邃的洞察力，一针见血地指出“彼其物无穷，而人皆以为有终。”（《庄子》.在宥）意思是说，宇宙间的事物是没有穷尽的，但人们却以为有个尽头。这种“无限”的思想是庄子宇宙观的体现。“有实而无乎处者，宇也；有长而无本剽者，宙也。”（《庄子》.庚桑楚）宇，指空间的总称；宙，指时间的总称。空间是无边无际的，时间是无始无终的，宇宙是无穷无尽的。庄子的思想就是在那飘渺无穷的时空里遨游。“孰能登天游雾，挠挑无极，相忘以生，无所终穷？”（《庄子》.大宗师）意思是说，谁能登上高天巡游雾里，循环升登于无穷的太空，忘掉自己的存在，而永远没有终结和穷尽？“忘年忘义，振于无竟，故寓诸无竟。”（《庄子》.齐物论）意思是说，忘掉死生，忘掉是非，到达无穷无尽的境界，因此圣人总是把自己寄托于无穷无尽的境域之中。“若夫乘天地之正，而御六气之辩，以游无穷者，彼且恶乎待哉？”（《庄子》.逍遥游）意思是说，如果遵循宇宙万物的规律，把握“六气”的变化，遨游于无穷无尽的境域，他还依赖什么呢？庄子这种“无限”的思想与儒家那种封闭的思想体系不同，为人们提供了一种开放性的思路，在人类的认识史上，是一次伟大的飞跃。
数学家赫尔曼.外尔（weyl Hermann）说：“数学是无穷的科学”，人们对无限的认识总是和数学密不可分的。《庄子》亦然。在庄子看来，天地与我包融为一，万物与我通达为一。“一与言为二，二与一为三。自此以往，巧历不能得，而况其凡乎！”（《庄子》.齐物论）意思是说，客观存在的一体，加上我的议论和看法，就成了“二”，“二”如果再加上一个“一”，就成了“三”，依次类推，最精明的计算也不能求得最后的数字，何况大家都是凡夫俗子！这里庄子给出了一个正整数集
{1，2，3，…，n,…}
并指出这一集合是无限集，1的后继数是2，2的后继数是3，……每一个自然数都有一个后继数。这与近百年才形成的皮亚诺公理已很接近。说明庄子对自然数集的无限性，已有了清晰的认识。在庄子之前的老子似乎也有类似的议论：“道生一，一生二，二生三，三生万物。”（〈老子〉第四十二章）但老子对自然数集的认识远没有庄子深刻。
庄子认为万物皆无限，却否认有限的存在。他说：“天下之水，莫大于海，万川归之，不知何时止而不盈；尾闾泄之，不知何时已而不虚；春秋不变，水旱不知。此其过江河之流，不可为量数。”（《庄子》. 秋水）意思是说，天下的水，没有比海更大的了。万条河川流入大海，不知何时停止而大海却未曾满溢。海底的尾闾泄漏海水，不知何时停止而海水却未见减少。春天和秋天都没有变化，水涝和干旱都没有感觉。这是因为大海的蓄水远远超过江河，无法计量。在这里，庄子肯定了空间的无限性，但也有其片面性。大海不管有多大，其海水数量总是有限的，也总是可以计量的。正如一个筐里的桃子总是有限的，所以是有限集。庄子把有限集（海水）说成无限集，只能是诡辩，容易引导人们通向不可知论。
其实，无限并不神秘。人们在实践中，历来是从有限来认识无限的。例如，自然数集是无限集，人们是在认识了一个个自然数1，2，3，……之后，最后认识了自然数集；直线是无限延伸的，人们是在认识了线段之后，才认识直线的；无理数是无限不循环小数，人们也是从有理数的有限性开始，逐渐逼近，最后才认识无理数的，……然而庄子却不承认这一点。他说：“吾生也有涯，而知也无涯。以有涯随无涯，殆矣，已而为知者，殆而已矣！”（《庄子》.养生主）意思是说，人们的生命是有限的，而知识是无限的。以有限的生命去追求无限的知识，势必体乏神伤。既然如此，还在不停地追求知识，那可真是十分危险的了。这里，庄子明确反对从有限来认识无限，认为无限是不可到达不可认识的。显然这是唯心主义的观点。正如 恩格斯所说：“事实上一切真实的、详尽无遗的认识都只在于：我们在思想中把个别的东西从个别性提高到特殊性，然后再从特殊性提高到普遍性；我们从有限中找到无限，从暂时中找到永久，并使之确定起来。然而普遍性的形式是自我完成的形式，因而是无限的形式；它是把许多有限的东西综合为无限的东西。”（《自然辩证法》）在数学家的眼里，经验的提示并不是数学，只有当经验寓于某种无限之中，才是数学。
随着人们对“无限”的进一步认识，必然产生“极限”的概念。然而庄子却不承认有极限。“彼其物无测，而人皆以为有极。”（《庄子》.在宥）这句话说明庄子对人们认为事物有极限是持批判态度的。而与庄子同时代的惠施对此却有了进一步的认识。他有一个著名命题“至大无外，谓之大一；至小无内，谓之小一。”（《庄子》.天下）这里的“大一”，就是现代数学中的“无穷大”；“小一”就是现代数学中的“无穷小”。对“大一”的解释就是找不到比它更大的了，对“小一”的解释就是找不到比它更小的了。惠子认为有一个抽象的无穷大和一个抽象的无穷小存在，这是对无限思想的进一步深化。当时与惠施辩论的辩者也提出一个重要命题“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”（《庄子》.天下）按照当时常人的认识水平，一尺长的棒槌，每天锯掉一半，锯之又锯，锯到不能锯的时候（也就是“无测”的时候），不就完了吗？而辩者却看到了这一过程的无限性。第一天锯掉一半，剩一半 ；第二天再锯掉一半，还剩四分之一 ；第三天又锯掉一半，还剩 八分之一，……如此继续下去，是一个无穷尽的过程。这一命题给出了一个无穷数列
1 ，1/2 ，1/4 ，1/8 ，…，1/n ，…
但辩者没有看到这一无穷的过程得到了有穷的结果。该数列的极限为0。而他们却认为这一过程没有极限。当时惠施是如何反驳的，我们无从查考。在庄子的心目中，虽然承认“惠施多方”，但却讥笑他“其道舛驳,其言也不中。”（《庄子》.天下）庄子是把上述命题作为奇谈怪论加以嘲弄的。所以我们可以断言庄子只认识了“无限”，而没有认识“极限”。正如现在的中学生总认为 0.999... 比1 小，不承认0.999... =1一样，是因为他们没有真正确立极限概念的缘故。而惠子作为辩论的反方，我们倒可以猜测他可能萌生了极限的想法。
唯物辩证法告诉我们，无限和有限是可以互相转化的。正如毛泽东所说：“事物内部矛盾着的两方面，因为一定的条件而各向着和自己相反的方面转化了去，向着它的对立方面所处的地位转化了去。”（《矛盾论》）例如，求定积分就是求极限，是一个无限的过程。有了微积分基本定理，又把求定积分转化为求原函数的增量。把无限转化为有限。当积分区间 变为 无穷时，得到广义积分，又从有限转化为无限。这些都是在庄子和惠子之后两千年，人们才认识的。庄子否认有限的存在，当然就不可能认识到有限和无限的转化。但是惠子却有了有限和无限互相转化的思想。“南方无穷而有穷”（《庄子》天下）是说任何“南方”，对于它稍南的地方来说，又都是北方，因此“南方”是无穷的。而任何“南方”又都会相对的成为“北方”。南方尽管是无穷的，但最后还是有终穷的地方。这就是说无穷可以转化为有穷，而有穷之中又有无穷。
数学上点、线、面的概念是很抽象的，因为面是没有厚度的，线也没有宽度，点没有大小，一般人很难想象出来。惠施和他的辩友们已有了清晰的认识。辩友们提出“轮不蹍地”（《庄子》.天下）的命题，实际上就是说，车论和地面相切处只是一条“无厚”的线段，在地面上找不到车论碾压的地方，所以说轮不蹍地。惠施还提出一个重要命题：“无厚不可积也，其大千里。” （《庄子》.天下）意思是说，没有厚度的面不能累积成体，但却可以无限延展。他认为很多“无”相加，结果还是“无” 。这是一种无穷小量不可积的观点。这里仅体现了无限的思想，却不是微积分的思想。但有人却说这句话是“无厚，可积也，其厚千里”之误。（《文史杂志》2006-06 王红旗 《庄子与惠子： 智者的辩论与科学精神在中国的流失》）并由此断言庄子已经有了定积分的思想。我认为这纯属主观臆断，在没有任何证据的情况下，怎能把原来的命题来个大翻个呢？如众周知，微积分的思想是建立在极限概念的基础之上的。前面我们已经说过庄子时代，根本没有形成极限思想，更不可能产生微积分。在我国真正形成极限思想，并且成功运用这一方法的当属魏晋时期的数学家刘徽。
综上所述，我认为《庄子》已经跳出有限的樊篱，来认识无限的事物，并且有了无穷大、无穷小的概念，这在人类认识史上是一次了不起的飞跃。然而《庄子》没有形成极限的概念，当然也就不具备微积分的思想。我们在评价先人时，不能过分苛求。不能要求人们在两千年前就达到现在的认识水平，但也不能生拉硬扯，往老祖宗脸上贴金。