關於“否定之否定”的笑話

前些天收到某位網友來信，他說他看了我談辯證法的文章，“大汗淋漓，快感連連，像打通任脈督脈一般”，這話給我極大鼓舞。過去也有許多網友來信這麼說過，但不如他的“任脈督脈”形象生動，於是決定把《百科淺嘗》搞個精華本，控制在25萬字以下，也就是弄成出版形式（因為書太厚賣不出去）。但即使如此，我想也不會有哪個出版商願意接受這種賣不出去的東西。所以準備最後還是以自費方式出版，貼錢印上一千冊，只要能進入港台大學的圖書館就行，這樣總有一天會傳入大陸，破除我黨強加給全民的致愚魔咒。

下面是修改了的《恩格斯辯證法批判》中批“否定之否定”的“數學證明”的一段，過去寫那文章時限於篇幅沒批，這次補上。原稿是用繁體字寫的，貼出前作了繁轉簡。但我現在又覺得那書只對大陸人有用，或許還是該用簡體字出。

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“在高等分析中，即在杜林先生自己称为数学的最高运算而在普通人的语言里称为微积分的‘求无限小总合的运算’中，否定的否定表现得更加明显。这些计算方式是怎样实现的呢？例如，我在某一课题中有两个变数x和y，两者之中有一个变化，另一个也按照条件所规定的关系同时变化。我们微分x和y，就是说，我把x和y当成无限小，使得它们同任何一个无论怎样小的实数比起来都趋于消失，使得x和y除了它们那种没有任何所谓物质基础的相互关系，即除了没有任何数量的数量关系，就什么也没有剩下。所以dy/dx，即x和y的两个微分之间的关系=0/0，可是这0/0是y/x的表现。我只附带指出，两个已经消失的数的这种关系，它们消失的确定的时刻，本身就是一种矛盾；但是这种矛盾不可能妨碍我们，正像它差不多二百年来根本没有妨碍数学一样。那末我是不是除了否定x和y之外就什么也没有做吗？但是，我不是像形而上学者否定它们那样，否定了它们，就不再顾及它们了，而是根据适合于条件的方式否定了它们。这样，我就在我面前的公式或方程式中得到了x和y的否定来代替x和y，即dx和dy。现在我继续运算这些公式，把dx和dy当做实数——虽然是服从某些特殊规律的数，并且在某一点上我否定了否定，就是说，我把微分式加以积分，于是又重新得到实数x和y来代替dx和dy，这样，我并不是又回到了出发点，而是由此解决了普通的几何和代数也许碰得头破血流也无法解决的课题。”

这里的低级错误真是一言难尽，当真是“虽人有百手，手有百指，不能指其一端；人有百口，口有百舌，不能名其一处也”，无法想象一个人怎么能制造出这么多光怪陆离、变幻莫测的垃圾来，当真是“随机变化信如神”。

首先，他在此提出了新的“数学否定”概念，那就是“消失”，成了“没有任何数量的数量关系”，也就是变成零。这就否定了他在上段推出的“数学否定”方式，使得“否定之否定”的胡言乱语陷入更加无从修补的困境。这点我已在上面指出了：若把变成零当成“数学否定”，那“否定之否定”就只能是零，不可能变成一个更高级的数。恩格斯在作“初等数学证明”时靠诡辩绕过了这个难题，却迟钝到没有意识到他在作出“高等数学证明”时又跌进了同一陷阱。

其次，在同一段论述中，他的基本概念都能游走不定。例如无穷小量到底是趋近于零，还是变成零，dx和dy是“趋于消失”，还是“已经消失”，他都能变来变去：开头是“趋近于零” “趋于消失”，后来则确凿地变成了零，因为他不但把dy/dx直接写成了0/0，而且强调dy和dy是“两个已经消失的数”。如果不是故意诡辩，那莫非他连“趋近于零”和“等于零”完全不同都不知道？

第三，此段大概是马克思替他写的，因为与马克思数学手稿的精神一模一样。马克思在那手稿中闹的最大的笑话，便是悍然把无穷小量当成零，不知道这两者完全是两回事：无穷小量是个以零为极限的变量，而零则是个常量。辩证法专家居然没有运动观念，把变化与静止混为一谈，岂非咄咄怪事？而且，无穷小量有所谓“高阶无穷小量”，“同阶无穷小量”之分。如果无穷小量就是零，那零也该有“高阶零”，“低阶零”，“同阶零”了，这算是什么笑话？

第四，把dy/dx当成0/0，暴露了马克思和恩格斯连数学是怎么回事都不知道。整个数学的基础，就是建立在“等式两边进行相同运算后，等式仍然成立”这个“等量公理”上的。否定了这个公设，则整个数学大厦立即崩摧。因此，虽然“把运算进行到底”的内在冲动驱使数学家们不断突破原来的禁区，从而不断扩大了数的范围：“除不尽”的数变成了分数或小数，小数减大数减出了负数，负数开平方开出了虚数，但从来没人去尝试突破“零不能作除数”这个武断规定。这是因为一旦假定零可以作除数，则必然颠覆“等式两边进行相同运算后，等式仍然成立”的等量公理。而这公设一旦被颠覆，则一切运算都无法进行，世间也就没有数学了。

具体说明一下：假定零可以作除数，用一个不等于零的数A作被除数，所得商为B，亦即

A/0=B

等式两边同时乘以零，可得：

0×A/0=0×B，左边的乘数与被乘数的分母相约，即得：

A=0

而这与A不等于零的前提矛盾。等式两边进行的是相同运算，所得却不相等，这就颠覆了等量公理。

第五，马恩连微积分是怎么回事都没摸到边，竟然说出“我们微分x和y，就是说，我把x和y当成无限小，使得它们同任何一个无论怎样小的实数比起来都趋于消失”的昏话来。他俩不知道，这儿的x是自变量，y是随x而变的函数（又称“因变量”）。dy/dx并不是y/x，更不是把“x和y当成无限小”。当成无限小的是x的增量（写为Δx），不是x本身。因为y随x而变，当Δx无限趋近于零时，y的增量（Δy）当然也随之趋近于零、但这不是x和y趋近于零，而是它们的增量趋近于零。我教过的最笨的学生都没闹过这种惊人的概念混乱的笑话。

第六，马恩完全不懂“极限”这个高等数学的柱石概念，不明白dy/dx的涵义。那不是两个零相除，而是当自变量x的增量无限趋近于零时，函数y的增量与它的比值的极限，也就是在Δx无限趋近于零时，Δy/Δx无穷逼近的那个数值。这个数值称为“导数”。求导数的目的，是把运动引入初等数学，求出在y不是线性函数时用初等数学无法算出的Δy/Δx。最常见的问题，就是物体在作加速运动时，如何求出它在某点的速度。如果Δx和Δy都是零，那就必然堕入芝诺的“飞箭不动”悖论：没有距离变化，何来速度？更不用说运算也就无法进行了。

第七，由上解释可知，对函数y求导不是什么“否定”，而是求它的变化率，马恩只看见Δx和Δy趋近于零，便以为两者都变成了零，而零显然是一种“否定”，于是便把求导当成“否定”，当真是滑宇宙之大稽。而且，如上所述，求导本身就能解决初等数学无法解决的问题，用不着等下一次“否定”。微分和积分各有各的用处，正如加法与减法，乘法与除法，乘方与开方一般，在解决问题时常单独运用，并不是如马恩想象的那样必须联合使用。而且，只有他们那种完全彻底的科盲，才会误以为对同一函数先微分后积分能解决什么问题。

第八，马恩接着又搞了与上举初等数学“证明”相似的诡辩，偷换了“否定”的涵义。第一次“否定”既然是求导，则第二次“否定”也该是求导。如果这么做，则第二次“否定”的结果就不可能回到原来那个函数去。例如x2求导一次，得出2x，再求导一次，便得出2，并不是原来的x2。为了逃避这困境，马恩便不惜再次使用诡辩，把求积分当成是“第二次否定”，然而求积分乃是求导的逆运算，并不是它的否定，正如乘法不是对除法的否定一般。如果这种论辩方式成立，则我们也可以说8除以2，得出的4是对8的否定，再否定一次，乘以2，则又回到了原来的8。类似地，恩格斯在上面给出的“初等数学证明”也该如此进行：a自乘一次，“否定”了自身，得出a2，再开平方，再“否定”一次，得出±a，“这样，我并不是又回到了出发点，而是由此解决了”山顶洞人“也许碰得头破血流也无法解决的课题”！

第九，“我把微分式加以积分，于是又重新得到实数x和y来代替dx和dy”一语，再次证明马恩丝毫不懂高等数学。任何一个一年级理工科大学生都知道，求导后再积分，得出来的是无穷多个解，在原来的函数之外多出了个常数项，并不是什么“实数x和y”。这是因为常数求导后为零（这倒真是“否定”，可惜马恩不知道用这个例子来证明他们的“否定之否定”），所以只有常数项差异的函数的导数相等，逆运算当然也就会得出无穷多的解来。

综上所述，所谓“否定之否定”完全是低等智力笑话。