神马文学网一、一笔画问题
来源：百度文库 编辑：神马文学网 时间：2024/04/28 10:26:14
问题1 你能一笔画出一个“田”字吗？所谓一笔画出的意思就是在一张纸上（不允许折叠）笔不离纸，而且每一笔划（或称线段）只能画一次，不准重复。对于“串”字或“品”字呢？结果会怎样？（参看图8－1）
通过各种尝试发现，“田”字总也不能一笔画成，而“串”字却可以一笔画成。由于“品”字中的三个“口”字不连在一起，显然也不能一笔画成。
我们把那些能一笔画成的图形叫一笔画。一笔画问题主要讨论什么样的图形可以一笔画成。
例1 下列图形哪些能一笔画成？哪些不能一笔画成？
经过尝试，你会发现，图8－2（a）、（c）、（e）是可以一笔画成的。而且图（c）、（e）可从任意一点出发，一笔画成回到出发点，而图（a）只能从A（或D）点出发，一笔画成到D（或A）点结束。
如果图形非常复杂，用这种逐一尝试的方法，则所花的时间较多，且有时还无法下结论。有没有一种简便的判断方法呢？下面就来研究这个问题。
上面研究的图形都是由点和线段（或弧）组成的，在数学中叫做图。图形中的点叫图的结点，线段（或弧）叫做图的边。作为一个图，其图形还必须满足以下条件：
（1）每条边都有两个端点（可以重合）作为结点；
（2）各条边之间互不相交。
一个图完全由它的结点和边的个数以及它们相互连结的情况来确定，而与边的曲直长短无关。
图中与一个结点相连结的边的条数称为这个结点的度数。度数为偶数的结点叫做偶结点。例如，图8－3中结点C、D、E都是偶结点。度数为奇数的结点叫做奇结点。例如，图8－3中结点A、B、F、G都是奇结点。
任何两点间都有线连接的图称作连通图。（如图8－3中D与G可通过DB、BA、AG连接）
观察例1中的五个图，其结点的奇偶性可列成下表：
从表中可以发现，一个图能否一笔画成，与图的奇结点的个数有密切联系，人们总结出如下规律：
一个图若是一笔画必定是个连通图。
一个连通图，若没有奇结点（即全是偶结点），那么这个图一定可以一笔画成，而且可以从任一偶结点出发，一笔画成回到出发点。
一个连通图，若只有两个奇结点，那么这个图也可以一笔画成。而且只能从某一奇结点出发一笔画成，到另一奇结点结束。
一个图，若奇结点个数多于两个，那么这个图就不能一笔画成。
例2 判断下列各图是否能一笔画出来。
解：其中（b）、（d）、（e）三个图无奇结点，所以可从任一点出发，一笔画成，并且回到出发点；（a）、（f）两图各有两个奇结点，所以可从其中一个奇结点出发，一笔画成，到另一个奇结点结束；而图（C）的八个结点都是奇结点，所以不能一笔画出来。
当作练习，请把例2中能够一笔画的图一笔画出来。
通过各种尝试发现，“田”字总也不能一笔画成，而“串”字却可以一笔画成。由于“品”字中的三个“口”字不连在一起，显然也不能一笔画成。
我们把那些能一笔画成的图形叫一笔画。一笔画问题主要讨论什么样的图形可以一笔画成。
例1 下列图形哪些能一笔画成？哪些不能一笔画成？
经过尝试，你会发现，图8－2（a）、（c）、（e）是可以一笔画成的。而且图（c）、（e）可从任意一点出发，一笔画成回到出发点，而图（a）只能从A（或D）点出发，一笔画成到D（或A）点结束。
如果图形非常复杂，用这种逐一尝试的方法，则所花的时间较多，且有时还无法下结论。有没有一种简便的判断方法呢？下面就来研究这个问题。
上面研究的图形都是由点和线段（或弧）组成的，在数学中叫做图。图形中的点叫图的结点，线段（或弧）叫做图的边。作为一个图，其图形还必须满足以下条件：
（1）每条边都有两个端点（可以重合）作为结点；
（2）各条边之间互不相交。
一个图完全由它的结点和边的个数以及它们相互连结的情况来确定，而与边的曲直长短无关。
图中与一个结点相连结的边的条数称为这个结点的度数。度数为偶数的结点叫做偶结点。例如，图8－3中结点C、D、E都是偶结点。度数为奇数的结点叫做奇结点。例如，图8－3中结点A、B、F、G都是奇结点。
任何两点间都有线连接的图称作连通图。（如图8－3中D与G可通过DB、BA、AG连接）
观察例1中的五个图，其结点的奇偶性可列成下表：
从表中可以发现，一个图能否一笔画成，与图的奇结点的个数有密切联系，人们总结出如下规律：
一个图若是一笔画必定是个连通图。
一个连通图，若没有奇结点（即全是偶结点），那么这个图一定可以一笔画成，而且可以从任一偶结点出发，一笔画成回到出发点。
一个连通图，若只有两个奇结点，那么这个图也可以一笔画成。而且只能从某一奇结点出发一笔画成，到另一奇结点结束。
一个图，若奇结点个数多于两个，那么这个图就不能一笔画成。
例2 判断下列各图是否能一笔画出来。
解：其中（b）、（d）、（e）三个图无奇结点，所以可从任一点出发，一笔画成，并且回到出发点；（a）、（f）两图各有两个奇结点，所以可从其中一个奇结点出发，一笔画成，到另一个奇结点结束；而图（C）的八个结点都是奇结点，所以不能一笔画出来。
当作练习，请把例2中能够一笔画的图一笔画出来。