第十一讲 不定方程（一）

先看一个问题：老师和小王开了一个玩笑。他对小王说，我左、右两个手心里各写一个整数，它们的和是10，你能猜出我左、右手心各写的是什么整数吗？我允许你猜三次呢！小王满有信心地说：能行。于是小王连猜了三次。
第一次猜：左手心写的是9，右手心写的是1，老师说不对。
第二次猜：左手心写的是5，右手心写的也是5，老师又说不对。
第三次猜：左手心写的是8，右手心写的是2，老师还是说不对。
同学们请想一想，如果换一位同学去猜猜一定能猜出吗？
细心的同学可能已经想到，两个整数的和为10，这样的
整数有好多对，除了小王猜过的（9，1）（5，5）（8，2）之外，还有（7，3）（6，4）（10，0）以及左、右手互换后的（1，9）、（2，8）、（3，7）、（4，6）、（0，10）等共有11对，满足条件，不要说请三次，就是猜了十次，还有一组没猜到，老师可以说在左、右手心里写的恰好是没猜到的那一组。
如果设左、右手心写的整数分别为x、y，那么可以列出方程x+y=10
由于未知数的个数多于一个，而且是要求这个方程的整数解，这种方程称为不定方程。
让我们再考虑一个实际问题：在长为158米的地段铺设水管，用的是长17米和长8米的两种同样粗细的水管，问两种长度的水管各用多少根（不截断）正好铺足158米长的地段？
由于总长度为158米，那么17米长的水管至多用9根，可以假设17米长的水管用了9、8、7、6、5、4、3、2、1根，再看剩余的长度是否恰好是8米的整数倍。
这个办法是将17米长的水管可取的各种可能性逐个列举，再看哪种情况合适，这种办法称为穷举法。当可取的情况很多时，这种办法当然不能令人满意，但当情况较少时，还是可行的。
如设17米长的水管用了x根，8米长的水管用了y根，可列出方程
17x+8y=158 （1）
本题要求这个方程的正整数解。
我们用下面的方法来求这个方程的整数解。先将方程变形为：
8y=158-17x （2）
8y=152+6-16x-x （3）
由于152和16x均为8的倍数，因此6-x也应是8的倍数，x只能取6才有可能，用6代x从（2）中可算出y=7。
故17米水管用了6根，8米水管用了7根。
也可由方程（2）两端同除以8得


这种解法叫做整数离析法或整数分离法。
一、二元一次不定方程
象上面讲到的17x+8y=158，这种方程中，有两个未知数，每个未知数的次数都是一次的方程叫做二元一次方程。
一般地，形如ax+by=c的方程，其中a、b、c为整数，且a、b均不为零，称为未知数x、y的二元一次不定方程，人们关心的常是求二元一次不定方程的整数或正整数解。
对于上述方程，通常要考虑下面几个问题：
1.a、b、c是什么样的整数时，方程有整数解或无整数解？
2.如果有解，将有多少解？是否有解的统一表示办法？
3.如何求出所有解？
我们曾用整数离析法求出17x+8y=158的一组正整数解x=6，y=7。是否还有其它的正整数解呢？
以上三个问题已全部解决，下面将通过例题把主要结论介绍给同学们。
如求二元一次不定方程。
3x+9y=23
的整数解。
容易看到等号左端当x、y为整数时，为3的倍数。但23却不是3的倍数，故左、右两端不可能相等，故方程无整数解。
一般的，当（a，b）|c时，ax+by=c无整数解，理由是当x、y为整数时，左端为（a，b）的倍数，但右端却不是（a，b）的倍数，所以原方程无整数解。
再看二元一次方程
6x+9y=21
由于（6，9）=3，而3|21，这种条件下，方程有无整数解呢？
在方程两端同除以（6，9）=3，得
2x+3y=7
容易看出，x=2，y=1就是这个方程的一个解，由于知识的限制，现在所学的整数只有零和自然数。在此范围内，方程可能只有一个或几个解，甚至可能没有解，但如果数的范围加入了负整数，那么只要（a，b）|c，就一定有解。
例如21x+18y=3这个方程中，（a，b）=（21，18）=3，（a，b）|c即（21，18）=3|3。
方程可变为7x+6y=1，这个方程在零和自然数范围内无整数解，在中学学习了负数概念后，还可找到方程的整数解，在本讲中我们只讨论用小学知识可求解的题目，但给出的公式却具有一般性。
在ax+by=c中，如（a，b）|c，那么在方程两端同除以（a，b）后得
a1x+b1y=c1
如x=x0，y=y0是a1x+b1y=c1的一组解，那么方程的所有解为

其中t可取任意整数（包括负整数）
这就是说，如能求出一组解x=x0，y=y0，就可直接写出方程a1x+b1y=c1的所有解。
如求方程4x+3y=17的所有整数解。
由于（4，3）=1，1|17。故这个方程肯定有整数解。
容易看到x=2，y=3，是方程的一个解，那么4x+3y=17的所有解为

t为任意整数。
当t=0时的解即为x=2，y=3，但当t为正整数时，x为正整数，y却不是正整数了。
例1 大汽车能容纳54人，小汽车能容纳36人，现有378人要乘车，问要大、小汽车各几辆才能使每个人都能上车且各车都正好坐满。
分析：设需大车x辆，小车y辆，可得方程
54x+36y=378
由（54，36）=18，18|378，原方程可化为
3x+2y=21
且一定有整数解。
容易看到x=1，y=9就是3x+2y=21的整数解，那么，3x+2y=21的所有整数解为

t为任意整数。
3x+2y=21除t=0时，有整数解x=1，y=9之外，
当t=1时，有整数解x=3，y=6。
当t=2时，有整数解x=5，y=3。
当t=3时，有整数解x=7，y=0。
因此，可要大车1辆，小车9辆；或大车3辆，小车6辆；或大车5辆，小车3辆；也可只要7辆大车，不要小车，都能使378名乘客都上车且车都坐满。
当t≤4时，由于y不再是0和正整数，从而使解失去实际意义。
例2 解不定方程
31x+47y=265
由于（31，47）=1，1|265，故方程肯定有整数解，但要想看出一组整数解，却并不容易，又不愿意让x依次取0，1，2，3，……设法求y的一个个对应值。
让我们还是用整数分离法求方程的整数解。
将原方程变形为：
31x=265-47y






将 k=16t-1代入（2）中，得
y=1-2（16t-1）+t
=1-32t+2+t
=3-31t
将k=16t-1，y=3-31t代入（1），得
x=8-（3-31t）+16t-1
x=47t+4
即原方程解为

其中t为任意整数。
从上式可看出x=4，y=3为原方程的一组正整数解。

y将得不到0或正整数，故x=4，y=3为唯一的一组正整数解。
例3解不定方程
5x+7y=978（1）
并求正整数解的个数。
解：由（5，7）=1，1|978，原方程有整数解。
由（1）5x=978-7y




2t=1-k
k=1-2t
将k=l-2t代入（3）得
y=1-2（1-2t）+t
y=5t-1
将k=1-2代入（2）得
x=195-（5t-1）+k
x=195-（5t-1）+（1-2t）
x=197-7t
即（1）的解为

t为任意整数。
要求得正整数解，需要

满足这个条件的整数t有1，2，3，……28，故原方程应有28组正整数解。
如t=1时，x=190，y=4；
t=2时，x=183，y=9
…………………………
t=28时，x=1，y=139
从以上几例可知；二元一次不定方程的正整数解的组数多少并不固定。
二、三元一次不定方程组
先从一个古代问题谈起
“一百马，一百瓦，大马驮三，中马驮两，两个小马驮一片瓦，最后不剩马和瓦，问有多少大马、中马和小马？”
解：设大马、中马、小马分别有x匹、y匹、z匹。
由题意可列出方程，由马有100匹
x+y+z=100 （1）
由瓦有100片

由（1）（2）组成的三元一次方程组，比起二元一次方程多了一个方程，多了一个未知数，设法消去一个未知数化为二元一次方程，求解后再求出消去的第三个未知数的值
由（2）得
6x+4y+z=200 （3）
（3）-（1）得
5x+3y=100 （4）
由（5，3）=1，1|100，（4）有整数解。
由3y=100-5x

y为整数，故3|20-x。
当x依次取2，5，8，11，14，17，20时，y依次得30，25，20，15，10，5，0。
代入（1）得，z=68，70，72，74，76，78，80。
即有七组解

不过y=0说明不用中马，作为求正整数解可不考虑。
例4 如果一只兔可换2只鸡，2只兔可换3只鸭，5只兔可换7只鹅，某人用20只兔换得鸡、鸭、鹅共30只，问其中鸡、鸭、鹅各多少只？
解：设鸡、鸭、鹅的数目分别为x、y、z。
由一只兔可换2只鸡，那么一只鸡可换1/2只兔，二只兔可换3只鸭，那么一只鸭可换2/3只兔，5只兔可换7只鹅，那么一只鹅可换5/7只兔。
按题意可知

（其中方程（2）表示x只鸡、y只鸭、z只鹅共可换得20只兔）
（2）可化为 21x+28y+30z=840 （3）
将（1）化为 21x+21y+21z=630 （4）
（3）─（4）得 7y+9z=210 （5）




k=2t
将k=2t代入（7）得
z=3（2t）+t=7t
将k=2t，z=7t代入（6）得
y=30-7t-k
y=30-7t-2t=30-9t
将y=30-9t，z=7t代入（1）得
x=30-y-z
x=30-（30-9t）-7t
x=2t

若要求正整数解，需要

t可取1，2，3。
当t=1，2，3时，有解

如对原题细心研究，就会发现如下关系：如鸡增加2只，鹅增加7只，鸭减少9只。


即并不影响兔仍为20只，这说明如能求出问题的一个解（x、y、z的一组值），将鸡增加2只，鹅增加7只，鸭减少9只后仍是一组解，即x+2，y-9，z+7也是解。
由于2只兔可换3只鸭，20只兔可换30只鸭，即x=0，y=30，z=0是原方程的一个解。
那么，x=2，y=21，z=7（鸡增2，鸭减9，鹅增7）
x=4，y=12，z=14
x=6，y=3，z=21
都是原方程组的正整数解，且正整数解只有上面这三组解。
习题十一
1.将118写成两个整数的和，使一个整数为11的倍数，另一个整数为17的倍数。
2.求不定方程
5x-14y=11
的最小正整数解。
3.解不定方程
7x+11y=1288
并求正整数解的组数。
4.大小两种盒，大盒可装48粒巧克力，小盒可装30粒巧克力，现有306粒巧克力，问要大、小盒各几个才能将巧克力全部装入盒内，且每盒都装满。
5.求三元一次方程组

6.在1500年前的“张立建算经”里，曾提出了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题：“今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一，凡百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？”
7.用整数离析法求不定方程
5x-3y=-7
的一组正整数解并写出全部解的表示式，这个方程有多少组正整数解？
8.由一个同学把他出生的月份乘以31，再把出生的日期乘以12，然后加起来，把总数告诉你，你能准确推算出他的生日吗？
如果小李告诉你的是170，小李的生日是哪一天？
9.甲说：“我和乙、丙共有100元”，乙说：“如果甲的钱是现有的6倍，我的钱是现有的1/3，丙的钱不变，我们三人仍有钱100元”，丙说：“我的钱连30元都不到”，问三人原来各有多少钱？
10.小赵买胶卷要付19元，但小赵身上的钱全是两元一张的，商店的钱全是五元一张的，问小赵怎样付钱，商店如何找钱？