神马文学网数学是什么
来源：百度文库 编辑：神马文学网 时间：2024/04/28 12:06:35
第一章
概述
第一节 数学是什么
一. 数学的“定义”
1．古今数学家的说法
（美）R·柯朗：
“数学，作为人类智慧的一种表达形式，反
映生动活泼的意念，深入细致的思考，以及完美和谐的愿望，它
的基础是逻辑和直觉，分析和推理，共性和个性。
”
（法）E·波莱尔：
“数学是我们确切知道我们在说什么，并
肯定我们说的是否对的唯一的一门科学。
”
（英）罗素：
“数学是所有形如 p 蕴含 q 的命题的类”
，而最
前面的命题 p 是否对，却无法判断。因此“数学是我们永远不知
道我们在说什么，也不知道我们说的是否对的一门学科。
”
2．数学的 15 个“定义”《数学文化导论》的收集）
（
这十五种“定义”都有它的道理，也都有片面性，但可使我
们从各个角度考察、理解数学。
1） 哲学说
来自古希腊；亚里士多德、欧几里德。
哲学是研究最广泛的事物，数学也是研究最广泛的事物，这
是它们的共同点。但是，数学与哲学的研究对象不同，研究方法
也不同。两者虽有相似之处，但数学不是哲学的一部分，哲学也
不是数学的一部分。现在有人说“哲学从一门学科中退出，那就
11
意味着这门学科的建立；而数学进入一门学科，就意味着这门学
科的成熟。
”
2） 符号说
3） 科学说
4） 工具说
5） 逻辑说
6） 创新说
7） 直觉说
8） 集合说
9） 结构说（或关系说）
10） 模型说
11） 活动说
12） 精神说
13） 审美说
14） 艺术说
15） 万物皆数说
方延明：
数学是研究现实世界中数与形之间各种形式模型的
结构的一门科学。
徐利治：
数学是
“实在世界的最一般的量与空间形式的科学，
同时又作为实在世界中最具有特殊性、
实践性及多样性的量与空
间形式的科学”
。
[思]：请你在学习“数学文化”课的过程中，始终带着下面
12
的问题——在学完
“数学文化”
课后，
给出一个你自己对
“数学”
的定义。
二、数学的特点
第一是抽象性，第二是精确性，第三是应用的广泛性。
1．抽象性
从中学和大学数学的学习中我们已经体会到数学的抽象性
了。直线、平面、空间都是抽象的概念， n 维空间以至无穷维
空间更是抽象的概念。
不过，抽象不是数学独有的特性，任何一门科学都具有这一
特性。数学抽象的特点在于：第一，在数学的抽象中只保留量的
关系和空间形式而舍弃了其他一切；第二，数学的抽象是一级一
级逐步提高的，
它们所达到的抽象程度大大超过了其它学科中的
抽象；
第三，
数学本身几乎全在处理抽象概念和它们的相互关系。
2．精确性
数学的精确性表现在数学推理的逻辑严格性和数学结论的
确定无疑性。
数学的精确性不同于物理、化学等其它大多数学科。汉克尔
说：
“在大多数科学里，一代人要推倒另一代人所修筑的东西，
只有数学，每一代人都能在旧建筑上增添一层楼。
”
两个例子：
① 地心说→日心说→开普勒三定律
② 高温超导的上界（朱棣文）30º→90º→120ºK
13
3．应用的广泛性
华罗庚：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球
之变，生物之谜，日用之繁，数学无处不在。
例子：①哈雷彗星的发现；②海王星的发现；③电磁波的发
现。
三、 数学与其它领域的联系
数学文化的外延广泛，数学与物理、化学、生物、天文等学
科的联系是大家比较了解的。我们从另外几个学科来看。
1.数学与教育
数学对于受教育者，不仅仅是学会一门课程、一门知识、更
重要的是学习数学的思想、方法、精神，把数学作为成才的基本
素质要求。
1） 波利亚：
“让我们教猜想吧！
”
波利亚还说：
“在数学家证明一个定理之前，必须猜想到这
个定理；在他完成证明的细节之前，必须先猜想出证明的主导思
想。
”
事实上，教育并不总是在让学生认知，教育在很大程度上是
让学生欣赏，只有这样，才有最佳的教育效益。
2）作为数学教授的大学校长：丁石孙——北大，苏步青—
—复旦，谷超豪——科大，潘承洞——山东大学，齐民友——武
汉大学，伍卓群——吉林大学，侯自新——南开大学，李岳生—
—中山大学，曹策问——郑州大学，杨思明——湘潭大学，展涛
14
——山东大学，黄达人——中山大学，吴传喜——湖北大学，周
明儒——徐州师大，王梓坤——北师大，陆善镇——北师大，王
建磐——华东师大，史宁中——东北师大，路钢——华中师大，
邱玉辉——西南师大，王国俊——陕西师大。
大学校长是综合素质比较好的学者；
众多大学校长都是数学
教授，这也说明数学教育对人的综合素质的提高影响很大。
2.数学与文学
1）用数学方法对作品和语言进行写作风格分析和句型频谱
分析
《红楼梦》 80 回与后 40 回的作者不同；
例：
前
《静静的顿河》
的作者是肖洛霍夫。
2） 语言学好比一个公理系统
（语法好比法则和定理）
3）语音学（关于语调）的研究
计算机模拟人的语调，
是南开大学中文系与计算机系合作的
一个成果，曾获得国家级教学成果二等奖。
3.数学与史学
1）史衡学
数学的介入，使史学的研究成果更加客观、严谨，较多地排
除了人为因素。
2）考古对数学史的推进
1986 年上海陆家咀发现元朝玉挂，谈祥柏教授研究后发现，
15
它是一个四阶完全幻方。过去以为只有印度历史上才有这种“完
全幻方”
。
4.数学与哲学
1）数学中无限的概念、连续的概念，一出现，便成了哲学
研究的对象。
2） “没有数学，我们无法看透哲学的深度，没有哲学，人
们也无法看透数学的深度，而若没有两者，人们就什么也看不
透。
”
3）哲学系的“逻辑学”与数学系的“数理逻辑”
5.数学与经济
1）普遍运用数学建立经济模型
2）获诺贝尔经济学奖的学者中，数学家出身的和有数学背
景的人占一半以上
6.数学与社会学
1）定量社会学、实证社会学已经形成了一套逻辑严密的研
究模式
2） “社会科学的许多重要领域已经发展到不懂数学的人望
尘莫及的阶段。
”
7.数学与工程技术
“1991 年的海湾战争就是信息战争、数学战争”
1）
2）数学与工程技术的相互渗透，非常广泛、深刻
16
2000 年是联合国宣布的“世界数学年”
，联合国教科文组织
指出：
“纯粹数学与应用数学是理解世界及其发展的一把主要钥
匙。
”
概述
第一节 数学是什么
一. 数学的“定义”
1．古今数学家的说法
（美）R·柯朗：
“数学，作为人类智慧的一种表达形式，反
映生动活泼的意念，深入细致的思考，以及完美和谐的愿望，它
的基础是逻辑和直觉，分析和推理，共性和个性。
”
（法）E·波莱尔：
“数学是我们确切知道我们在说什么，并
肯定我们说的是否对的唯一的一门科学。
”
（英）罗素：
“数学是所有形如 p 蕴含 q 的命题的类”
，而最
前面的命题 p 是否对，却无法判断。因此“数学是我们永远不知
道我们在说什么，也不知道我们说的是否对的一门学科。
”
2．数学的 15 个“定义”《数学文化导论》的收集）
（
这十五种“定义”都有它的道理，也都有片面性，但可使我
们从各个角度考察、理解数学。
1） 哲学说
来自古希腊；亚里士多德、欧几里德。
哲学是研究最广泛的事物，数学也是研究最广泛的事物，这
是它们的共同点。但是，数学与哲学的研究对象不同，研究方法
也不同。两者虽有相似之处，但数学不是哲学的一部分，哲学也
不是数学的一部分。现在有人说“哲学从一门学科中退出，那就
11
意味着这门学科的建立；而数学进入一门学科，就意味着这门学
科的成熟。
”
2） 符号说
3） 科学说
4） 工具说
5） 逻辑说
6） 创新说
7） 直觉说
8） 集合说
9） 结构说（或关系说）
10） 模型说
11） 活动说
12） 精神说
13） 审美说
14） 艺术说
15） 万物皆数说
方延明：
数学是研究现实世界中数与形之间各种形式模型的
结构的一门科学。
徐利治：
数学是
“实在世界的最一般的量与空间形式的科学，
同时又作为实在世界中最具有特殊性、
实践性及多样性的量与空
间形式的科学”
。
[思]：请你在学习“数学文化”课的过程中，始终带着下面
12
的问题——在学完
“数学文化”
课后，
给出一个你自己对
“数学”
的定义。
二、数学的特点
第一是抽象性，第二是精确性，第三是应用的广泛性。
1．抽象性
从中学和大学数学的学习中我们已经体会到数学的抽象性
了。直线、平面、空间都是抽象的概念， n 维空间以至无穷维
空间更是抽象的概念。
不过，抽象不是数学独有的特性，任何一门科学都具有这一
特性。数学抽象的特点在于：第一，在数学的抽象中只保留量的
关系和空间形式而舍弃了其他一切；第二，数学的抽象是一级一
级逐步提高的，
它们所达到的抽象程度大大超过了其它学科中的
抽象；
第三，
数学本身几乎全在处理抽象概念和它们的相互关系。
2．精确性
数学的精确性表现在数学推理的逻辑严格性和数学结论的
确定无疑性。
数学的精确性不同于物理、化学等其它大多数学科。汉克尔
说：
“在大多数科学里，一代人要推倒另一代人所修筑的东西，
只有数学，每一代人都能在旧建筑上增添一层楼。
”
两个例子：
① 地心说→日心说→开普勒三定律
② 高温超导的上界（朱棣文）30º→90º→120ºK
13
3．应用的广泛性
华罗庚：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球
之变，生物之谜，日用之繁，数学无处不在。
例子：①哈雷彗星的发现；②海王星的发现；③电磁波的发
现。
三、 数学与其它领域的联系
数学文化的外延广泛，数学与物理、化学、生物、天文等学
科的联系是大家比较了解的。我们从另外几个学科来看。
1.数学与教育
数学对于受教育者，不仅仅是学会一门课程、一门知识、更
重要的是学习数学的思想、方法、精神，把数学作为成才的基本
素质要求。
1） 波利亚：
“让我们教猜想吧！
”
波利亚还说：
“在数学家证明一个定理之前，必须猜想到这
个定理；在他完成证明的细节之前，必须先猜想出证明的主导思
想。
”
事实上，教育并不总是在让学生认知，教育在很大程度上是
让学生欣赏，只有这样，才有最佳的教育效益。
2）作为数学教授的大学校长：丁石孙——北大，苏步青—
—复旦，谷超豪——科大，潘承洞——山东大学，齐民友——武
汉大学，伍卓群——吉林大学，侯自新——南开大学，李岳生—
—中山大学，曹策问——郑州大学，杨思明——湘潭大学，展涛
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——山东大学，黄达人——中山大学，吴传喜——湖北大学，周
明儒——徐州师大，王梓坤——北师大，陆善镇——北师大，王
建磐——华东师大，史宁中——东北师大，路钢——华中师大，
邱玉辉——西南师大，王国俊——陕西师大。
大学校长是综合素质比较好的学者；
众多大学校长都是数学
教授，这也说明数学教育对人的综合素质的提高影响很大。
2.数学与文学
1）用数学方法对作品和语言进行写作风格分析和句型频谱
分析
《红楼梦》 80 回与后 40 回的作者不同；
例：
前
《静静的顿河》
的作者是肖洛霍夫。
2） 语言学好比一个公理系统
（语法好比法则和定理）
3）语音学（关于语调）的研究
计算机模拟人的语调，
是南开大学中文系与计算机系合作的
一个成果，曾获得国家级教学成果二等奖。
3.数学与史学
1）史衡学
数学的介入，使史学的研究成果更加客观、严谨，较多地排
除了人为因素。
2）考古对数学史的推进
1986 年上海陆家咀发现元朝玉挂，谈祥柏教授研究后发现，
15
它是一个四阶完全幻方。过去以为只有印度历史上才有这种“完
全幻方”
。
4.数学与哲学
1）数学中无限的概念、连续的概念，一出现，便成了哲学
研究的对象。
2） “没有数学，我们无法看透哲学的深度，没有哲学，人
们也无法看透数学的深度，而若没有两者，人们就什么也看不
透。
”
3）哲学系的“逻辑学”与数学系的“数理逻辑”
5.数学与经济
1）普遍运用数学建立经济模型
2）获诺贝尔经济学奖的学者中，数学家出身的和有数学背
景的人占一半以上
6.数学与社会学
1）定量社会学、实证社会学已经形成了一套逻辑严密的研
究模式
2） “社会科学的许多重要领域已经发展到不懂数学的人望
尘莫及的阶段。
”
7.数学与工程技术
“1991 年的海湾战争就是信息战争、数学战争”
1）
2）数学与工程技术的相互渗透，非常广泛、深刻
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2000 年是联合国宣布的“世界数学年”
，联合国教科文组织
指出：
“纯粹数学与应用数学是理解世界及其发展的一把主要钥
匙。
”