神马文学网中国古代数学家和他们的学问
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作者：我要美元 提交日期：2007-9-26 18:05:00
序
早就想写点什么东西来纪念中国古代的数学家，来怀想一下他们的学问了，但一直没有动手，原因是对于这个题目来说，我收集到的材料还远远的不够，但事实无情的证明，等到材料收集完成了再动手，那就什么也写不成了，于是，这个帖子就这样仓卒之间出炉了。
毛主席曾经说：好好的一锅饭，硬是叫你们做成了夹生饭，夹生饭就夹生饭，将就吃！
千万不要以为数学家的故事不好看，其中的精彩不是一般人可以想象的。我怀着悲壮的心情，从今天开始把这个题目展示在大家面前，不知道会它今后会被写成什么样子。
是为序。
一、 勾股定理
勾股定理是注定要被世界上各个地方的人们发现的，或早或晚，总有这么一天，因为这个定理就时时刻刻的隐藏在人们的身边，在每一块直角三角形里，除非你永远不盖房子，不造马车，不建金字塔，否则，这个定理就会不可避免的被人们发现。
在欧洲，勾股定理被称为毕达哥拉斯定理，因为据说是他，这位古希腊数学的奠基者首先发现了这个定理，当时，这个定理被发现成了一件了不起的大事，为此，人们杀了一千头牛来庆祝这一发现，所以又叫做“千牛定理”。
在中国，勾股定理的发明被归在一个名叫商高的数学家兼天文学家的名下，所以后来又有人管它叫叫“商高定理”。有一天，皇家数学家商高向周朝著名政治家周公解说勾股定理的内容，他用一个绳子圈来作道具，将这个绳子圈围成一个直角的三角形，假如两条靠近直角的边长是三和四，那么剩下的斜边，就一定是五，他说：喏，“勾三股四弦五”。
这一句著名的话被记载在著名的《周髀算经》里。当然，如果仅仅有“勾三股四弦五”这一句话，那还不算真正的发现了勾股定理，因为“勾三股四弦五”只是勾股定理的一个特例，没有普遍性。商高没有说出勾股定理的全部内容，并不说明他不知道完整的勾股定理，只是他们两人的谈话又岔到别的地方去了，商高说：有了这个定理，就可以测量出太阳的高度，周公对此表示怀疑，他说：夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度，数安从出？
对这个问题，以商高为首的科学家胸有成竹，后来，周公的后人陈子也成了一个数学家，是他详细地讲述了测量太阳高度的全套方案，为此，陈子说了一句更为重要的话，同样被记载在《周髀算经》这部书里，他说：求斜至日者，以日下为句，以日高为股，句股各自乘，并以开方除之，得斜至日。
这里我们不得不作一点解释，在陈子的时代，人们以为脚下的大地是一个大得没边的平面，只要知道了太阳的高度，知道了从观察点到太阳正下方的距离，就可以求出太阳到观察者的直线距离，他们把太阳、地面和观察者放在同一个直角三角形里来考察，从观察点到太阳的正下方是勾（以日下为句），太阳到地面的垂直距离是股（以日高为股），剩下观察点到太阳的距离，就是弦（斜至日），如此如此，求斜至日的办法是：勾股各自乘，并开方除之，翻译一下就是：勾和股先自己乘自己一遍，加起来的和再开平方，就得到了弦长。虽然和我们今天对勾股定理的表述在习惯上有点不同，但这也是对勾股定理的完整表达。
据《周髀算经》说，陈子等人的确以勾股定理为工具，求得了太阳与我们之间的距离。为了达到这个目的，他还用了其他一系列的测量方法，比如用一只长八尺，直径一寸的空心竹筒来观察太阳，让太阳恰好装满竹筒的圆孔，这时候太阳的直径与它到观察者之间距离的比例正好是竹筒直径和长度的比例，即一比八十，经过诸如此类让人眼花缭乱的测量和计算，陈子和他的科研小组测得日下六万里，日高八万里，根据勾股定理，求得斜至日整十万里。当然，这个答案是错的。
二、不要问我太阳有多高
看起来，这位陈子一定是当时的数学权威，《周髀算经》这本书，除了最前面一节提到商高以外，剩下的部分说的都是陈子的事。
一天，陈子的一位研究生名叫荣方，跑来请教陈子，说：听说依着您老先生的学问，就可以知道太阳有多高多大，一天之中太阳行多少里，天有多高地有多远，总之想知道什么就知道什么，是吗？
陈子学术权威的派头十足，只回答了一个字：然，翻译成今天的白话就是“对”，“没错”。
荣方等了一阵，不见下文，只好再问：方虽不省，愿夫子幸而说之。像我这样的资质，可以给我讲讲这门学问吗？
陈子答：可以，也没什么难的，不过是运用一些数学的方法就足够了，你回去好好思考一下吧。就这样把荣方打发回去了。
因此看起来荣方这个人还是有一点数学基础的，否则陈子不会这么说。荣方回去想了好几天，茶饭不思，夜不安寝，草图画了一张又一张，最后还是想不出有什么办法，只好又去请教陈子：方思之不能得，敢请问之。
陈子曰：思之未熟。此亦望远起高之术，而子不能得，则子之于数，未能通类，是智有所不及，而神有所穷。一点也不客气地批评荣方在数学方面的智慧还不达标，也可见陈子在当时数学界崇高的学术地位，无人能望其项背。
荣方这倒霉孩子，又被陈子打发回去考虑了好几天，绞尽脑汁，最后还是想不出来，第三次去请教，陈子这才原原本本的把这一套方法给他讲了一遍，自此，一部《周髀算经》直到结尾，都是陈子的讲话记录。
陈子要怎样来测量太阳的高度呢？是搭楼梯呢还是挂绳子呢？楼梯靠在哪面墙上？绳子挂在哪方梁上？他不会是装神弄鬼吧？我们完全有理由怀疑他。
但是，陈子是认真的，他对他的方案是有充分的信心的，举一个例子来说明他不是瞎说。
陈子说：在夏至或者冬至这一天的正午，立一支八尺高的竿来测量日影，根据实测，正南一千里的地方，日影一尺五寸，正北一千里的地方，日影一尺七寸，这是实测，下面就是推理了，越往北去，日影会越来越长，总有一个地方，日影的长会正好是六尺，这样，测竿高八尺，日影长六尺，日影的端点到测竿的端点，正好是十尺，是一个完美的“勾三股四弦五”的直角三角形，而这时候的太阳和地面，正好是这个直角三角形放大若干倍的相似形，而根据刚才实测数据来说，南北移动一千里，日影的长短变化是一寸，那由此往南六万里，测得的日影就该是零，也就是说从这个测点到“日下”，太阳的正下方，正好是六万里，于是推得日高八万里，斜至日整十万里。
陈子讲得口沫横飞，信心满满，根本没有想到这一切都是错的，他要是知道他脚下大的没边的大地，只不过是一个小小的寰球，体积是太阳的一百三十万分之一，就像漂在空中的一粒尘土，真不知道他会是什么表情。
接下来，陈子又讲了一大篇，天有多高地有多大，太阳一天行几度，在他那儿都有答案，所以人们认为《周髀算经》又是一部天文学著作。书的最后部分，陈子指出：一年有三百六十五日四分日之一，有十二月十九分月之七，一月有二十九日九百四十分日之四百九十九，有零有整，而且基本上是对的。
现在大家都知道一年有三百六十五天，好像不算是什么学问，但我要是问你一年为什么有三百六十五天，你该怎么回答呢？你难道会说：今天我过新年，三百六十五天以后我又过新年，所以一年是三百六十五天？
所以，陈子的学问不是那么简单的，虽然他不是全对。
三、 中国出了个刘徽
数学这门学问，在中国父子相传，师徒相授，绵绵不绝的传下来，历代都有数学大师出现，这是毋容置疑的，假设几百年间没有人研究这些学问，没有学科的带头人，那就绝对不会还有《周髀算经》、《九章算术》等这样的书流传下来。但当时的数学课是怎么上的，有哪些杰出的人物，做过何种贡献，我们今天所知甚少，可以肯定的是，中国古代伟大的哲学家、政治理论家、教育家、中国人民的伟大导师孔子，在他办的学校里，是开设有数学课的，虽然他是否曾经亲自上过数学课，他的数学水平究竟如何，我们也搞不清楚。
曾经有一大批数学家在中国的土地上活动，在周王开井田的现场，在秦始皇陵的工地上，在汉帝国的税赋中枢，没有这些数学家，这些事情一样也做不成。然而他们是谁？高矮胖瘦？他们的音容笑貌都随风而逝，湮没在几千年尘封的历史中间了。
直到汉朝灭亡，三国魏晋时代，历史才又给我们留下了一个有名有姓的大数学家的名字，他就是刘徽。
根据刘徽的著作，人们推断他生活的时代是“三国魏晋”，到底是三国还是魏晋，没有人说得清楚，他的出身，他的生平事迹也没有人知道，但他的家庭条件比较好应该是可以肯定的，因为打小的时候开始，他就有机会在老师或长辈的指导下研究数学，如他自己所称的那样：幼习九章，长再详览。观阴阳之割裂，总算术之根源，探赜之暇，遂悟其意。学习数学不是一年两年了，很有心得。
刘徽一生的数学成就斐然，说他是一代大师、一代宗师，都不过分，其中他也研究自陈子那时就遗留下来的数学难题：“太阳到底有多高猜想”，经过了几百上千年的探索，他汲取了前人的经验，提出的方案明显更加完美，假如我们脚下的大地真是一个大的没边的平面，那么，用他这套办法就会真的算出太阳的高度，如假包换。他的方案是：
立两表于洛阳之城，令高八尺。南北各尽平地，同日度其正中之景。以景差为法，表高乘表间为实，实如法而一，所得加表高，即日去地也。以南表之景乘表间为实，实如法而一，即为从南表至南戴日下也。以南戴日下及日去地为句、股，为之求弦，即日去人也。
这一段古文不长，也不深奥，但对于较少接触古汉语的数学语言的人来说，还是有点莫名其妙，让我不揣浅陋来翻译一下，大体上说，他的方案是这样：
在洛阳城外的开阔地带，一南一北，各立一根八尺长的竿，在同一天的正午时刻测量太阳给这两根竿的投影，（假设两根竿的影子有长短）以影子长短的差作分母，以竿的长乘以两竿之间的距离做分子，两者相除，所得再加上竿的长，就得到了太阳到地表的垂直高度。再以南边一竿的影长乘上两竿之间的距离作为分子，除以前述影长的差，所得就是南边一竿到太阳正下方的距离。以这两个数字作为直角三角形两条直角边的边长，用勾股定理求直角三角形的弦长，所得就是太阳距观测者的实际距离。
当我们按照刘徽的思路，将他的这一套方案具体到一张几何图中的时候，我们就会惊讶的发现，他的方案运用了相似三角形相应线段的长成比例的原理，巧妙地用一个中介的三角形，将另外两个看似不相干的三角形联系在了一起，这一切，和我们今天在中学平面几何课本中学到的一模一样，如果我们把刘徽这道题里的太阳换成别的光源，把它设计成一道几何证明题兼计算题，放到今天的中学课本里，也是完全没有问题的。
和陈子一样，刘徽测算太阳高度的方案因为前提的错误，当然也是错误的，但这套方案本不是为了测量太阳的高度而设计的，他的目的本是测算地面上的高山大河，测算山有多高，路有多远，只要忽略地球的表面是个球面这一问题，刘徽的方案就完全正确了。
曾经，长沙马王堆汉墓出土过一幅帛画的地图，人们将它和实际的地形比较，发现地图惊人的准确，考古工作者还利用这张将近两千年前的地图所向导，又发现了其他的地下遗迹，这看起来似乎很难让人相信，但有了刘徽所总结的测天量地的方法，这也就不算什么奇迹了。刘徽的这一套数学方法叫做“重差”。
四、 海岛算经
“重差”是刘徽的数学著作，它还有一个名字叫做“海岛算经”，因为这部著作研究的第一个例题就是测算一个海岛有多高多远的问题。这部著作显然篇幅不长，也没有出过单行本，长期以来是附在《九章算术》的后面，流行于世的。
总而言之，刘徽的著作“重差”或“海岛算经”就是一部介绍“重差术”的专著，重差术不一定是从刘徽开始的，但刘徽对重差术进行了比较全面的总结，无论是测量一座山有多高，一条河有多宽，一道沟有多深，都可以用到重差术，其原理就是利用两根或两根以上的标杆，将被测量的对象纳入到一组相关的三角形中间来，又通过三角形之间的关系，算出所要求得对象。
这种方法显然一直沿用到现在，我们看见建筑工地上，或者野外，测量队员们扛着标杆，对着测镜望啊望的，实际上做的都是这种工作，用的都是重差术的原理，尽管现在的仪器设备更先进了，望得更远了，测得更准了，算得更快乐，但它们的原理并没有什么特别的差异。显然，古代的“重差术”，现在叫做“测量”或者“测绘”。
刘徽曾用几句话，非常简单明了的概括重差术的要点：度高者重表，测深者累矩，孤离者三望，离而又旁求者四望。触类而长之，则虽幽遐诡伏，靡所不入。这几句话如果孤立的来看，当然是费解的，但在《九章算术》“勾股”一章中，就有不少的例题可以说明它的意义，到时候我们可以再来详细的讨论，这里简要地说，“度高者重表”一句，意思就是测量一物的高，需用两只前后排列的标杆，其方法就是测算“太阳到底有多高”时用的方法。刘徽自信的说用这种方法：虽天穹之象犹曰可度，又况泰山之高与江海之广哉！
可见重差术的发明，其目的还是为了测量“泰山之高”和“江海之广”，是为现实生活服务的。研究一下重差术，我们会发现，当时的中国数学家对平面几何的问题已经有了很深入的研究和掌握，遗憾的是，他们从来不给出这些结论的证明过程，只给答案，因此看起来好像是故弄玄虚一样，但只要用今天的几何知识来映证一下，我们就知道，他们绝对不是故弄玄虚，其中的奥妙，他们自己心里是倍儿清楚的，只不过他不说。
因为有刘徽海岛算经的附入，历代的《九章算术》都有十章。刘徽一生的数学成就除了著有“重差”一卷以外，另一部份就是为《九章算术》作注，他在他的《九章算术注》中，发展总结了历代以来的数学知识，最显著的例子就是他详细的记录了用“割圆术”算出圆周率“密率”的方法，这在当时绝对是世界领先的数学成就，其精彩的情节，我们还是放在后面适当的地方再说。
以上本文引用了不少刘徽的文字，迄今为止没有超出他为《九章算术注》一书写的序言部分，在这篇序中，他简单的回顾了自己学习数学的渊源，简介了他的重差术的要点，并指出运用重差术不光可以测山量海，甚至可以测出太阳的高度。这篇序是我们了解刘徽和他的思想的重要文件。
五、九章算术之方田
方田章是《九章算术》的第一章，主要的内容是讨论各种面积的计算方法。这一章的第一个问题，也就是整部《九章算术》的第一题如下：
今有田广十五步，从十六步。问为田几何？
答曰：一亩。
一块田，长15步，宽16步，问有多少亩，是一道已知长方形边长而计算其面积的计算题，依这个问题的题意和答案，可知当时240平方步为一亩。“步”是古代的长度单位，最原始的意思大约是一个人左右腿各迈一次所走过的距离，后来这一长度被定成了标准，人们用木条做成“步规”，其形状好像是一支张开腿的圆规，用来丈量土地，步规这种测量工具一直使用到现代，我们在有关土地改革的记录电影里面还可以偶然的一睹它的尊容。那么一步到底有多长呢？请看下一题：
今有田广一里，从一里。问为田几何？
答曰：三顷七十五亩。
方田术告诉我们：百亩为一顷。三顷七十五亩即375亩，每亩是240平方步，所以乘以240得90000平方步，开平方，得300步，也就是说当时的一里等于300步，一平方里等于375亩。
经过对“方田”，即长方形和正方形面积的一系列讨论之后，方田章插入了很大的篇幅来讨论分数四则运算的问题，这一部分我们还是放到后面一点来说。接下来，方田章开始讨论其他几何形状的面积求法，首先是“圭田”：
今有圭田广十二步，正从二十一步。问为田几何？
答曰：一百二十六步。
显然，“圭田”就是三角形的田，方田章给出的面积计算方法是术曰：半广以乘正从。翻译成现代汉语白话就是：二分之一底乘高，是我们今天熟知的三角形面积计算公式。
“邪田”是有一个角为九十度的梯形，“箕田”是“标准”的梯形，其术曰：并踵舌而半之，以乘正从。翻译成现代汉语白话：上底加下底的一半乘以高，和我们小学数学课上熟背的梯形面积公式：上底加下底乘以高除以二，略有差别。
再接下来的“圆田”，就出问题了。请看第31题：
今有圆田，周三十步，径十步。问为田几何？
首先，题目既给出圆的直径，又给出圆的周长，纯属多余，因为一个圆的要素只有一个，就是这个圆的半径，半径一确定，整个圆的一切即都已确定。现在我们知道，若有一块圆田，直径为十步，它的周长一定约为三十一点四步，世上并不存在直径为十，周长为三十的圆。
整个一部《九章算术》，凡是遇到圆的问题，所用的圆周率都是3，而且给出的求圆面积的公式也很古怪，叫做“半周半径相乘得积步”，今天我们知道，一个圆，只要知道了它的半径，就可以算出它的面积，根本和它的周长无关，欲知它的面积，既要量它的直径，又要量它的周长，无疑是没有必要的或者是错的，放在今天的网络时代，非“汗一个”不可。
六、 神秘莫测的圆周率
要计算一个圆的面积，乍看起来好象有点无从着手，这东西，圆不留丢的，没有一条直线，怎么算才好呢？其实很简单，简单到就象一层窗户纸一样，一捅就破的程度。
大家试在纸上画一个圆，将这个圆沿任意一条直径分成两个半圆，然后，注意，精彩的来了：分别将两个半圆象切西瓜一样割成六块，再然后，将半个圆弧拉成直线，让它们像切好的六块西瓜一个挨一个放在桌子上一样，或者，想象它们是一把只有六个齿的梳子，现在我们有两把这样的梳子，再将这两只梳子齿对齿的插在一起，于是就凑成了一个近似的长方形，它的短边正好是这个圆的半径，它的长边不是一条直线，而是由六段弧线构成的。让我们来作进一步假设，假设，我们当时不是将半圆分成六份，而是分成了六十份，甚至三百六十份，那么，这条长边就会成为一段近似的直线，假设我们不停的分下去，将这个半圆分成数不清的等份，这条近似的直线也就越来越接近半个圆周的长度了。
以上的整个过程确实很难仅仅用文字来说清楚，但我想我已经说清楚了，如果有谁还不明白的话，请参考小学数学课本，上面就有这样的示意图。因此，圆的面积等于半周乘半径是绝对正确的，这一点毫无疑问。
我们的古人实在是太有才华了，不管是中国的外国的，数学家们居然如此巧妙地找到了计算圆面积的方法，让人想不佩服都不行。
但是——万事就怕但是，“半周乘半径”却是一种很难操作的计算方法，假设你在地上画一个圆，半径容易确定，而圆的周长就不那么容易量出准确的数据来，或者说，根本就无法量出准确的数据，如果是一个圆柱体，我们用一段绳子来量它的周长，似乎容易测量一些，其实恰恰相反，更不容易测量准确，你得保证测量的圆周确实垂直于这个圆柱，否则的话，你需要测的圆就成了一个椭圆，根本不是你想要的东西。
我相信，我们的古人吃够了这种苦头，这些圆的周长老是测不准，几个人测就有几个答案，真是伤脑筋。这时候必然有聪明的人站出来说：圆的周长测不准，然而通过计算，是不是能得到准确的数据呢？实践反复告诉人们，圆的直径和圆的周长之间有一定的比例关系的，这个比例大约是三，只不过还要再多那么一点。
数学家们和圆周率的较劲，就从这一刻开始了，他们决心把圆的周长和圆的直径之间的比例到底是多少这个秘密挖出来，不挖出来绝不收兵。可是这个秘密藏得太深了，理论上说，这个秘密是永远挖不完的，因为这个比例是一个无限的不循环的小数，就算你算到了小数点以后的一百万位，还有一百万零一位在后面等着你。造物主的这个玩笑真是开大了，不知道有多少人为了找出这个秘密，耗尽了一生的心血。
刘徽就是所有追求这个秘密的人中间非常成功的一位，他计算圆周率的方法记载在《九章算术注》中，就在方田这一章里，他运用的方法是“割圆术”，据他记载，割圆术还有一套专门的工具，早在王莽时代就已经发明了，刘徽运用了这一思想，进行了大量的演算，最重要的是：他计算无误，让他终于站上了当时这一数学难题的顶峰。
要详细地说明利用割圆术计算圆周率的全部内容，很不容易，也没有必要，这里，我们引用书上现成的说法来说明：魏晋时代的大数学家刘徽在为《九章算术》作注的时候，详细的记载了用割圆术计算圆周率的方法，他正确的计算出了圆内接正192边形和3072边形的面积，从而得到圆周率3.14和3.1416的数值，成为当时领先世界的数学成就。
七、 分数的四则运算
《九章算术》的方田章中间，有很大的一部分篇幅是在讲“分数的四则运算”，这一部分的内容当然很简单，而且和今天的小学数学课本的相关部分内容非常相似，共有“约分术”、“合分术”、“减分术”、“课分术”、“乘分术”、“经分术”等名目，分别对应今天分数运算中的“约分”、“分数的加法”、“分数的减法”、“比较两个分数的大小”、“分数的乘法”、“分数的除法”，都是上小学的时候，数学老师要大家反复练习，而我们当年又老是糊里糊涂闹不大清楚的运算方法。
比较有趣的是，在约分术的部分，当年有一种特别的办法，大家上小学的时候大概都没有学过，是这样：
约分术曰：可半者半之，不可半者，副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。
可半者半之，即分子分母同除以二，不用多说了，不可半的，将分子分母的数字摆在一旁，以少减多，所余数再减较小的数，反复减下去，这样就可以求到它们的公约数，术中称公约数为“其等”，这样就可以约分了。“副置分母子之数”，意思是将分母分子放在一旁进行计算，相当于我们今天说“在草稿纸上”计算。
以下面这道题为例：
又有九十一分之四十九。问约之得几何？
答曰：十三分之七。
就这道题来看：91减49等于42，再用49减42，等于7，这就是“更相减损”的意思，得到的答案7正是91和49的公约数。
乍看起来，这种办法有点古怪，有点神秘，其实也是有它的道理的。究其原因，在于既然两数有共同的约数，这两个数就可以看成是这个公约数的若干倍（13×7和7×7），经过“可半者半之”的步骤，这个倍数就成了互为质数的两个数（13和7），也就是说这两个数除了一以外，没有其他的公因数，这样的两个数有一个特点，就是经过若干次的加减以后，一定会得到1这个结果，这样就求得了原来两个数的公约数。考虑到当时人们用的是“筹算”的计算方法，这样“更相减损”起来是很方便的。
当时的数学语言晦涩难懂，这里只举一个例子，来作一点说明。如合分术曰：母互乘子，并以为实，母相乘为法，实如法而一。不满法者，以法命之。其母同者，直相从之。
用今天小学数学课本里的话来对照，就比较容易懂了，分数的加法：不同分母的分数相加，分母相乘作为新的分母，一个分数的分子乘以另一个分数的分母，两者相加作为新的分子。和这里的做法没有两样。
所谓“法”和“实”是两个基本的概念，“法”就是衡量的标准，“实”就是实际所有的数量，比如问480平方步合几亩？那么每240平方步合一亩就是衡量的标准，即“法”，480平方步就是实际所有的数量，即“实”，“法”放在分母的位置，“实”放在分子的位置，实际上将“法”和“实”直接翻译成分母和分子，也完全不错。
“实如法而一”，直译出来是“分子分母相等得一”，其实说的就是除法。考虑到当时的人们用算筹作计算的工具，我们可以想象用减法的方式来做除法比较简便，即是按照分母的数字来数分子，相等的一份为“一”，相当于我们今天说“三个一数”、“五个一数”等等，这就是“实如法而一”的意思。
“不满法者，以法命之”意思是实少于法时，法是多少就读成多少分之几。
比如说法是5，实是21，将21这个数按每次5个来数，可以数到4，剩下1，是“不满法者”，以法命之即为五分之一。
同分母的分数相加，将分子直接加起来就成了。
以上这一大篇，就是对合分术短短一句话的解释，从这点来看，中国古代的书面语言是中国古代文明的载体，同时也可能是中国古代数学发展的障碍之一。
八、九章算术之粟米
《九章算术》的第二章叫做“粟米”。本章一开头，就给读者列出了一张当时各种粮食之间的兑换表：
粟米之法：
粟率五十，粝米三十，粺米二十七，凿米二十四，御米二十一，
小<麦啇>（麦旁加啇合成的一个字，以下黑圆点代表此字）十三半，大●五十四，
粝饭七十五，粺饭五十四，凿饭四十八，御饭四十二，
菽、荅、麻、麦各四十五，
稻六十，
豉六十三，
飧九十，
熟菽一百三半，
櫱一百七十五。
这是一个什么东东呢？为了便于大家理解，我把它好有一比：这就像今天我们的金融机构公布的人民币外汇牌价，每一百元人民币，兑换美元多少，欧元多少，日元多少，等等，“粟米之法”的意思也是，每五十斤粟米，可兑换粝米三十，粺米二十七，凿米二十四，御米二十一……
作为数学著作，这一部分的内容可能过于简单了，但我们可以通过这里的内容，了解当时人们的生活，也是有趣的事情。
粟是小米，可能是当时人们的主食，所以兼有一般等价物的地位，糙米、粺米、凿米、御米可能是当时比较珍贵的稻米，分成四种不同的质量等级，“粺”就是精米的意思，御米可能就是皇室享用的极品米，用五十斤粟来换，可换到的越来越少。
米之后是面粉，面粉之后是饭。饭也分粝、粺、凿、御四种，无疑是用这四种米做成的饭，做成饭以后，他们的价值反而更低了，如果不算所费的柴禾、水和人工，这是合理的，跟我们今天到饭馆里去吃饭，概念有些不同。
接下来是杂粮，菽和荅是豆类，菽是大豆，荅是小豆。麦就是麦，出现在杂粮这一类里面，总有它的道理。麻是某种粮食作物，也可能是今天我们所称的芝麻。
明朝宋应星所著的《天工开物》一书，讲到了有关“麻”这种作物的问题，他说：“凡麻可粒可油者，惟火麻、胡麻二种。胡麻即脂麻，相传西汉始自大宛来。古者以麻为五谷之一，若专以火麻当之，义岂有当哉？窃意《诗》、《书》五谷之麻，或其种已灭，或即菽、粟之别种，而渐讹其名号，皆未可知也。”又说：“今胡麻味美而功高，即以冠百谷不为过。火麻子粒压油无多，皮为疏恶布，其值几何？”
这里的麻的价值高于粟而不多，可能是指脂麻，也就是芝麻。也可能如宋应星所说“其种已灭”或“即菽、粟之别种”。
以下的稻，显然就是带壳的稻米，豉是豆类煮熟后的盐渍物，今天我们还在食用。飧的意思字典上介绍有几种：一、晚饭。二、熟食。三、便宴。四、用水泡饭。五、吃。大概第四项较符合这里的意思，用水泡的饭，其值很低，几乎是粟的一半。熟菽无疑就是熟菽。櫱同蘖，是指植物始生，这里大概是指用粟来交换初生的秧苗，或者是豆芽？谁知道。
粟米章讲了粟和以上各物之间交换的算法以后，又不厌其烦地大讲其他各物之间的相互交换，从数学的意义上来讲，没有什么意义。
九、繁荣的商品交易
粟米章接下来的部分，主要讲平均价格的求法和不同计量单位之间的换算。平均价格的计算当然是很简单的，如：
今有出钱一百六十，买瓴甓十八枚。问枚几何？
答曰：一枚，八钱、九分钱之八。
瓴甓，即是砖，是重要的建筑材料。
当时的度量衡单位，和今天比起来已经有很大的不同，为了研究本章以下的内容，我曾经花了一点小小的功夫，翻了一些书，现将我翻书得到的结论列出来，然后我们再来看下面的内容：
斛，容量单位，宋以前十斗为一斛。
匹，纺织品计量单位，《汉书》中记载说：布帛广二尺二寸为幅，长四丈为匹。可知当时的一匹布帛，长四丈，宽二尺二寸。
石和钧，都是重量单位，《汉书》：三十斤为钧，四钧为石。
两，重量单位，一斤的十六分之一。
铢，重量单位，一两的二十四分之一。
研究完以上的内容，我们来看下面一道题：
今有出钱一万三千九百七十，买丝一石二钧二十八斤三两五铢。欲其贵贱石率之，问各几何？
答曰：其一钧九两一十二铢，石八千五十一钱。其一石一钧二十七斤九两一十七铢，石八千五十二钱。
很明显，这道题就是在考读者单位换算的知识，一不小心，很容易弄错。我们不上他的当，慢慢来：一石为一石，二钧为2/4石，二十八斤为28/120石，三两为3/1920石，五铢为5/46080石，通分后相加得：
46080/46080+23040/46080+10752/46080+72/46080+5/46080=79949/46080石。
将钱数和石数两项相除，得平均价格约8051.853。但原题的答案有两个，一部分为8051钱，一部分为8052钱，这又有一套专门的算法，因为过于繁琐又意义不大，这里就略过了。
丝是重要的纺织品原料，是中国人的发明，很早以前就是大宗的出口商品。当时的商品中间还有一些比较奇怪的东西，今天我们几乎想不到这些东西有什么用：
今有出钱六百一十，买羽二千一百翭。欲其贵贱率之，问各几何？
翭的意思是羽根，这里当作量词用，就是羽毛多少“根”的意思。
今有出钱九百八十，买矢簳五千八百二十枚。欲其贵贱率之，问各几何？
簳本意即是箭杆。李贺有句诗写道：“白翎金簳雨中尽”。显然，这两题中涉及的商品，都是当时的军事工业的原材料。
刘徽
生平
(生于公元250年左右)，三国后期魏国人，是中国古代杰出的数学家，也是中国古典数学理论的奠基者之一．其生卒年月、生平事迹，史书上很少记载。据有限史料推测，他是魏晋时代山东临淄或淄川一带人。终生未做官。
著作
刘徽的数学著作留传后世的很少，所留之作均为久经辗转传抄。他的主要著作有： 《九章算术注》10卷；《重差》1卷，至唐代易名为《海岛算经》；《九章重差图》l卷，可惜后两种都在宋代失传。
数学成就大致为两方面：
一是清理中国古代数学体系并奠定了它的理论基础。这方面集中体现在《九章算术注》中。它实已形成为一个比较完整的理论体系：
①在数系理论方面
用数的同类与异类阐述了通分、约分、四则运算，以及繁分数化简等的运算法则；在开方术的注释中，他从开方不尽的意义出发，论述了无理方根的存在，并引进了新数，创造了用十进分数无限逼近无理根的方法。
②在筹式演算理论方面
先给率以比较明确的定义，又以遍乘、通约、齐同等三种基本运算为基础，建立了数与式运算的统一的理论基础，他还用“率”来定义中国古代数学中的“方程”，即现代数学中线性方程组的增广矩阵。
③在勾股理论方面
逐一论证了有关勾股定理与解勾股形的计算原理，建立了相似勾股形理论，发展了勾股测量术，通过对“勾中容横”与“股中容直”之类的典型图形的论析，形成了中国特色的相似理论。
④在面积与体积理论方面
用出入相补、以盈补虚的原理及“割圆术”的极限方法提出了刘徽原理，并解决了多种几何形、几何体的面积、体积计算问题。这些方面的理论价值至今仍闪烁着余辉。
二是在继承的基础上提出了自己的创见。这方面主要体现为以下几项有代表性的创见：
①割圆术与圆周率
他在《九章算术•圆田术》注中，用割圆术证明了圆面积的精确公式，并给出了计算圆周率的科学方法。他首先从圆内接六边形开始割圆，每次边数倍增，算到192边形的面积，得到π=157/50=3.14，又算到3072边形的面积，得到π=3927/1250=3.1416，称为“徽率”。
②刘徽原理
在《九章算术•阳马术》注中，他在用无限分割的方法解决锥体体积时，提出了关于多面体体积计算的刘徽原理。
③“牟合方盖”说
在《九章算术•开立圆术》注中引入了“牟合方盖”这一著名的几何模型。“牟合方盖”是指正方体的两个轴互相垂直的内切圆柱体的贯交部分。
④方程新术
在《九章算术•方程术》注中，他提出了解线性方程组的新方法，运用了比率算法的思想。
⑤重差术
在白撰《海岛算经》中，他提出了重差术，采用了重表、连索和累矩等测高测远方法。他还运用“类推衍化”的方法，使重差术由两次测望，发展为“三望”、“四望”。而印度在7世纪，欧洲在15～16世纪才开始研究两次测望的问题。
贡献和地位
刘徽的工作，不仅对中国古代数学发展产生了深远影响，而且在世界数学吏上也确立了崇高的历史地位。鉴于刘徽的巨大贡献，所以不少书上把他称作“中国数学史上的牛顿”。
序
早就想写点什么东西来纪念中国古代的数学家，来怀想一下他们的学问了，但一直没有动手，原因是对于这个题目来说，我收集到的材料还远远的不够，但事实无情的证明，等到材料收集完成了再动手，那就什么也写不成了，于是，这个帖子就这样仓卒之间出炉了。
毛主席曾经说：好好的一锅饭，硬是叫你们做成了夹生饭，夹生饭就夹生饭，将就吃！
千万不要以为数学家的故事不好看，其中的精彩不是一般人可以想象的。我怀着悲壮的心情，从今天开始把这个题目展示在大家面前，不知道会它今后会被写成什么样子。
是为序。
一、 勾股定理
勾股定理是注定要被世界上各个地方的人们发现的，或早或晚，总有这么一天，因为这个定理就时时刻刻的隐藏在人们的身边，在每一块直角三角形里，除非你永远不盖房子，不造马车，不建金字塔，否则，这个定理就会不可避免的被人们发现。
在欧洲，勾股定理被称为毕达哥拉斯定理，因为据说是他，这位古希腊数学的奠基者首先发现了这个定理，当时，这个定理被发现成了一件了不起的大事，为此，人们杀了一千头牛来庆祝这一发现，所以又叫做“千牛定理”。
在中国，勾股定理的发明被归在一个名叫商高的数学家兼天文学家的名下，所以后来又有人管它叫叫“商高定理”。有一天，皇家数学家商高向周朝著名政治家周公解说勾股定理的内容，他用一个绳子圈来作道具，将这个绳子圈围成一个直角的三角形，假如两条靠近直角的边长是三和四，那么剩下的斜边，就一定是五，他说：喏，“勾三股四弦五”。
这一句著名的话被记载在著名的《周髀算经》里。当然，如果仅仅有“勾三股四弦五”这一句话，那还不算真正的发现了勾股定理，因为“勾三股四弦五”只是勾股定理的一个特例，没有普遍性。商高没有说出勾股定理的全部内容，并不说明他不知道完整的勾股定理，只是他们两人的谈话又岔到别的地方去了，商高说：有了这个定理，就可以测量出太阳的高度，周公对此表示怀疑，他说：夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度，数安从出？
对这个问题，以商高为首的科学家胸有成竹，后来，周公的后人陈子也成了一个数学家，是他详细地讲述了测量太阳高度的全套方案，为此，陈子说了一句更为重要的话，同样被记载在《周髀算经》这部书里，他说：求斜至日者，以日下为句，以日高为股，句股各自乘，并以开方除之，得斜至日。
这里我们不得不作一点解释，在陈子的时代，人们以为脚下的大地是一个大得没边的平面，只要知道了太阳的高度，知道了从观察点到太阳正下方的距离，就可以求出太阳到观察者的直线距离，他们把太阳、地面和观察者放在同一个直角三角形里来考察，从观察点到太阳的正下方是勾（以日下为句），太阳到地面的垂直距离是股（以日高为股），剩下观察点到太阳的距离，就是弦（斜至日），如此如此，求斜至日的办法是：勾股各自乘，并开方除之，翻译一下就是：勾和股先自己乘自己一遍，加起来的和再开平方，就得到了弦长。虽然和我们今天对勾股定理的表述在习惯上有点不同，但这也是对勾股定理的完整表达。
据《周髀算经》说，陈子等人的确以勾股定理为工具，求得了太阳与我们之间的距离。为了达到这个目的，他还用了其他一系列的测量方法，比如用一只长八尺，直径一寸的空心竹筒来观察太阳，让太阳恰好装满竹筒的圆孔，这时候太阳的直径与它到观察者之间距离的比例正好是竹筒直径和长度的比例，即一比八十，经过诸如此类让人眼花缭乱的测量和计算，陈子和他的科研小组测得日下六万里，日高八万里，根据勾股定理，求得斜至日整十万里。当然，这个答案是错的。
二、不要问我太阳有多高
看起来，这位陈子一定是当时的数学权威，《周髀算经》这本书，除了最前面一节提到商高以外，剩下的部分说的都是陈子的事。
一天，陈子的一位研究生名叫荣方，跑来请教陈子，说：听说依着您老先生的学问，就可以知道太阳有多高多大，一天之中太阳行多少里，天有多高地有多远，总之想知道什么就知道什么，是吗？
陈子学术权威的派头十足，只回答了一个字：然，翻译成今天的白话就是“对”，“没错”。
荣方等了一阵，不见下文，只好再问：方虽不省，愿夫子幸而说之。像我这样的资质，可以给我讲讲这门学问吗？
陈子答：可以，也没什么难的，不过是运用一些数学的方法就足够了，你回去好好思考一下吧。就这样把荣方打发回去了。
因此看起来荣方这个人还是有一点数学基础的，否则陈子不会这么说。荣方回去想了好几天，茶饭不思，夜不安寝，草图画了一张又一张，最后还是想不出有什么办法，只好又去请教陈子：方思之不能得，敢请问之。
陈子曰：思之未熟。此亦望远起高之术，而子不能得，则子之于数，未能通类，是智有所不及，而神有所穷。一点也不客气地批评荣方在数学方面的智慧还不达标，也可见陈子在当时数学界崇高的学术地位，无人能望其项背。
荣方这倒霉孩子，又被陈子打发回去考虑了好几天，绞尽脑汁，最后还是想不出来，第三次去请教，陈子这才原原本本的把这一套方法给他讲了一遍，自此，一部《周髀算经》直到结尾，都是陈子的讲话记录。
陈子要怎样来测量太阳的高度呢？是搭楼梯呢还是挂绳子呢？楼梯靠在哪面墙上？绳子挂在哪方梁上？他不会是装神弄鬼吧？我们完全有理由怀疑他。
但是，陈子是认真的，他对他的方案是有充分的信心的，举一个例子来说明他不是瞎说。
陈子说：在夏至或者冬至这一天的正午，立一支八尺高的竿来测量日影，根据实测，正南一千里的地方，日影一尺五寸，正北一千里的地方，日影一尺七寸，这是实测，下面就是推理了，越往北去，日影会越来越长，总有一个地方，日影的长会正好是六尺，这样，测竿高八尺，日影长六尺，日影的端点到测竿的端点，正好是十尺，是一个完美的“勾三股四弦五”的直角三角形，而这时候的太阳和地面，正好是这个直角三角形放大若干倍的相似形，而根据刚才实测数据来说，南北移动一千里，日影的长短变化是一寸，那由此往南六万里，测得的日影就该是零，也就是说从这个测点到“日下”，太阳的正下方，正好是六万里，于是推得日高八万里，斜至日整十万里。
陈子讲得口沫横飞，信心满满，根本没有想到这一切都是错的，他要是知道他脚下大的没边的大地，只不过是一个小小的寰球，体积是太阳的一百三十万分之一，就像漂在空中的一粒尘土，真不知道他会是什么表情。
接下来，陈子又讲了一大篇，天有多高地有多大，太阳一天行几度，在他那儿都有答案，所以人们认为《周髀算经》又是一部天文学著作。书的最后部分，陈子指出：一年有三百六十五日四分日之一，有十二月十九分月之七，一月有二十九日九百四十分日之四百九十九，有零有整，而且基本上是对的。
现在大家都知道一年有三百六十五天，好像不算是什么学问，但我要是问你一年为什么有三百六十五天，你该怎么回答呢？你难道会说：今天我过新年，三百六十五天以后我又过新年，所以一年是三百六十五天？
所以，陈子的学问不是那么简单的，虽然他不是全对。
三、 中国出了个刘徽
数学这门学问，在中国父子相传，师徒相授，绵绵不绝的传下来，历代都有数学大师出现，这是毋容置疑的，假设几百年间没有人研究这些学问，没有学科的带头人，那就绝对不会还有《周髀算经》、《九章算术》等这样的书流传下来。但当时的数学课是怎么上的，有哪些杰出的人物，做过何种贡献，我们今天所知甚少，可以肯定的是，中国古代伟大的哲学家、政治理论家、教育家、中国人民的伟大导师孔子，在他办的学校里，是开设有数学课的，虽然他是否曾经亲自上过数学课，他的数学水平究竟如何，我们也搞不清楚。
曾经有一大批数学家在中国的土地上活动，在周王开井田的现场，在秦始皇陵的工地上，在汉帝国的税赋中枢，没有这些数学家，这些事情一样也做不成。然而他们是谁？高矮胖瘦？他们的音容笑貌都随风而逝，湮没在几千年尘封的历史中间了。
直到汉朝灭亡，三国魏晋时代，历史才又给我们留下了一个有名有姓的大数学家的名字，他就是刘徽。
根据刘徽的著作，人们推断他生活的时代是“三国魏晋”，到底是三国还是魏晋，没有人说得清楚，他的出身，他的生平事迹也没有人知道，但他的家庭条件比较好应该是可以肯定的，因为打小的时候开始，他就有机会在老师或长辈的指导下研究数学，如他自己所称的那样：幼习九章，长再详览。观阴阳之割裂，总算术之根源，探赜之暇，遂悟其意。学习数学不是一年两年了，很有心得。
刘徽一生的数学成就斐然，说他是一代大师、一代宗师，都不过分，其中他也研究自陈子那时就遗留下来的数学难题：“太阳到底有多高猜想”，经过了几百上千年的探索，他汲取了前人的经验，提出的方案明显更加完美，假如我们脚下的大地真是一个大的没边的平面，那么，用他这套办法就会真的算出太阳的高度，如假包换。他的方案是：
立两表于洛阳之城，令高八尺。南北各尽平地，同日度其正中之景。以景差为法，表高乘表间为实，实如法而一，所得加表高，即日去地也。以南表之景乘表间为实，实如法而一，即为从南表至南戴日下也。以南戴日下及日去地为句、股，为之求弦，即日去人也。
这一段古文不长，也不深奥，但对于较少接触古汉语的数学语言的人来说，还是有点莫名其妙，让我不揣浅陋来翻译一下，大体上说，他的方案是这样：
在洛阳城外的开阔地带，一南一北，各立一根八尺长的竿，在同一天的正午时刻测量太阳给这两根竿的投影，（假设两根竿的影子有长短）以影子长短的差作分母，以竿的长乘以两竿之间的距离做分子，两者相除，所得再加上竿的长，就得到了太阳到地表的垂直高度。再以南边一竿的影长乘上两竿之间的距离作为分子，除以前述影长的差，所得就是南边一竿到太阳正下方的距离。以这两个数字作为直角三角形两条直角边的边长，用勾股定理求直角三角形的弦长，所得就是太阳距观测者的实际距离。
当我们按照刘徽的思路，将他的这一套方案具体到一张几何图中的时候，我们就会惊讶的发现，他的方案运用了相似三角形相应线段的长成比例的原理，巧妙地用一个中介的三角形，将另外两个看似不相干的三角形联系在了一起，这一切，和我们今天在中学平面几何课本中学到的一模一样，如果我们把刘徽这道题里的太阳换成别的光源，把它设计成一道几何证明题兼计算题，放到今天的中学课本里，也是完全没有问题的。
和陈子一样，刘徽测算太阳高度的方案因为前提的错误，当然也是错误的，但这套方案本不是为了测量太阳的高度而设计的，他的目的本是测算地面上的高山大河，测算山有多高，路有多远，只要忽略地球的表面是个球面这一问题，刘徽的方案就完全正确了。
曾经，长沙马王堆汉墓出土过一幅帛画的地图，人们将它和实际的地形比较，发现地图惊人的准确，考古工作者还利用这张将近两千年前的地图所向导，又发现了其他的地下遗迹，这看起来似乎很难让人相信，但有了刘徽所总结的测天量地的方法，这也就不算什么奇迹了。刘徽的这一套数学方法叫做“重差”。
四、 海岛算经
“重差”是刘徽的数学著作，它还有一个名字叫做“海岛算经”，因为这部著作研究的第一个例题就是测算一个海岛有多高多远的问题。这部著作显然篇幅不长，也没有出过单行本，长期以来是附在《九章算术》的后面，流行于世的。
总而言之，刘徽的著作“重差”或“海岛算经”就是一部介绍“重差术”的专著，重差术不一定是从刘徽开始的，但刘徽对重差术进行了比较全面的总结，无论是测量一座山有多高，一条河有多宽，一道沟有多深，都可以用到重差术，其原理就是利用两根或两根以上的标杆，将被测量的对象纳入到一组相关的三角形中间来，又通过三角形之间的关系，算出所要求得对象。
这种方法显然一直沿用到现在，我们看见建筑工地上，或者野外，测量队员们扛着标杆，对着测镜望啊望的，实际上做的都是这种工作，用的都是重差术的原理，尽管现在的仪器设备更先进了，望得更远了，测得更准了，算得更快乐，但它们的原理并没有什么特别的差异。显然，古代的“重差术”，现在叫做“测量”或者“测绘”。
刘徽曾用几句话，非常简单明了的概括重差术的要点：度高者重表，测深者累矩，孤离者三望，离而又旁求者四望。触类而长之，则虽幽遐诡伏，靡所不入。这几句话如果孤立的来看，当然是费解的，但在《九章算术》“勾股”一章中，就有不少的例题可以说明它的意义，到时候我们可以再来详细的讨论，这里简要地说，“度高者重表”一句，意思就是测量一物的高，需用两只前后排列的标杆，其方法就是测算“太阳到底有多高”时用的方法。刘徽自信的说用这种方法：虽天穹之象犹曰可度，又况泰山之高与江海之广哉！
可见重差术的发明，其目的还是为了测量“泰山之高”和“江海之广”，是为现实生活服务的。研究一下重差术，我们会发现，当时的中国数学家对平面几何的问题已经有了很深入的研究和掌握，遗憾的是，他们从来不给出这些结论的证明过程，只给答案，因此看起来好像是故弄玄虚一样，但只要用今天的几何知识来映证一下，我们就知道，他们绝对不是故弄玄虚，其中的奥妙，他们自己心里是倍儿清楚的，只不过他不说。
因为有刘徽海岛算经的附入，历代的《九章算术》都有十章。刘徽一生的数学成就除了著有“重差”一卷以外，另一部份就是为《九章算术》作注，他在他的《九章算术注》中，发展总结了历代以来的数学知识，最显著的例子就是他详细的记录了用“割圆术”算出圆周率“密率”的方法，这在当时绝对是世界领先的数学成就，其精彩的情节，我们还是放在后面适当的地方再说。
以上本文引用了不少刘徽的文字，迄今为止没有超出他为《九章算术注》一书写的序言部分，在这篇序中，他简单的回顾了自己学习数学的渊源，简介了他的重差术的要点，并指出运用重差术不光可以测山量海，甚至可以测出太阳的高度。这篇序是我们了解刘徽和他的思想的重要文件。
五、九章算术之方田
方田章是《九章算术》的第一章，主要的内容是讨论各种面积的计算方法。这一章的第一个问题，也就是整部《九章算术》的第一题如下：
今有田广十五步，从十六步。问为田几何？
答曰：一亩。
一块田，长15步，宽16步，问有多少亩，是一道已知长方形边长而计算其面积的计算题，依这个问题的题意和答案，可知当时240平方步为一亩。“步”是古代的长度单位，最原始的意思大约是一个人左右腿各迈一次所走过的距离，后来这一长度被定成了标准，人们用木条做成“步规”，其形状好像是一支张开腿的圆规，用来丈量土地，步规这种测量工具一直使用到现代，我们在有关土地改革的记录电影里面还可以偶然的一睹它的尊容。那么一步到底有多长呢？请看下一题：
今有田广一里，从一里。问为田几何？
答曰：三顷七十五亩。
方田术告诉我们：百亩为一顷。三顷七十五亩即375亩，每亩是240平方步，所以乘以240得90000平方步，开平方，得300步，也就是说当时的一里等于300步，一平方里等于375亩。
经过对“方田”，即长方形和正方形面积的一系列讨论之后，方田章插入了很大的篇幅来讨论分数四则运算的问题，这一部分我们还是放到后面一点来说。接下来，方田章开始讨论其他几何形状的面积求法，首先是“圭田”：
今有圭田广十二步，正从二十一步。问为田几何？
答曰：一百二十六步。
显然，“圭田”就是三角形的田，方田章给出的面积计算方法是术曰：半广以乘正从。翻译成现代汉语白话就是：二分之一底乘高，是我们今天熟知的三角形面积计算公式。
“邪田”是有一个角为九十度的梯形，“箕田”是“标准”的梯形，其术曰：并踵舌而半之，以乘正从。翻译成现代汉语白话：上底加下底的一半乘以高，和我们小学数学课上熟背的梯形面积公式：上底加下底乘以高除以二，略有差别。
再接下来的“圆田”，就出问题了。请看第31题：
今有圆田，周三十步，径十步。问为田几何？
首先，题目既给出圆的直径，又给出圆的周长，纯属多余，因为一个圆的要素只有一个，就是这个圆的半径，半径一确定，整个圆的一切即都已确定。现在我们知道，若有一块圆田，直径为十步，它的周长一定约为三十一点四步，世上并不存在直径为十，周长为三十的圆。
整个一部《九章算术》，凡是遇到圆的问题，所用的圆周率都是3，而且给出的求圆面积的公式也很古怪，叫做“半周半径相乘得积步”，今天我们知道，一个圆，只要知道了它的半径，就可以算出它的面积，根本和它的周长无关，欲知它的面积，既要量它的直径，又要量它的周长，无疑是没有必要的或者是错的，放在今天的网络时代，非“汗一个”不可。
六、 神秘莫测的圆周率
要计算一个圆的面积，乍看起来好象有点无从着手，这东西，圆不留丢的，没有一条直线，怎么算才好呢？其实很简单，简单到就象一层窗户纸一样，一捅就破的程度。
大家试在纸上画一个圆，将这个圆沿任意一条直径分成两个半圆，然后，注意，精彩的来了：分别将两个半圆象切西瓜一样割成六块，再然后，将半个圆弧拉成直线，让它们像切好的六块西瓜一个挨一个放在桌子上一样，或者，想象它们是一把只有六个齿的梳子，现在我们有两把这样的梳子，再将这两只梳子齿对齿的插在一起，于是就凑成了一个近似的长方形，它的短边正好是这个圆的半径，它的长边不是一条直线，而是由六段弧线构成的。让我们来作进一步假设，假设，我们当时不是将半圆分成六份，而是分成了六十份，甚至三百六十份，那么，这条长边就会成为一段近似的直线，假设我们不停的分下去，将这个半圆分成数不清的等份，这条近似的直线也就越来越接近半个圆周的长度了。
以上的整个过程确实很难仅仅用文字来说清楚，但我想我已经说清楚了，如果有谁还不明白的话，请参考小学数学课本，上面就有这样的示意图。因此，圆的面积等于半周乘半径是绝对正确的，这一点毫无疑问。
我们的古人实在是太有才华了，不管是中国的外国的，数学家们居然如此巧妙地找到了计算圆面积的方法，让人想不佩服都不行。
但是——万事就怕但是，“半周乘半径”却是一种很难操作的计算方法，假设你在地上画一个圆，半径容易确定，而圆的周长就不那么容易量出准确的数据来，或者说，根本就无法量出准确的数据，如果是一个圆柱体，我们用一段绳子来量它的周长，似乎容易测量一些，其实恰恰相反，更不容易测量准确，你得保证测量的圆周确实垂直于这个圆柱，否则的话，你需要测的圆就成了一个椭圆，根本不是你想要的东西。
我相信，我们的古人吃够了这种苦头，这些圆的周长老是测不准，几个人测就有几个答案，真是伤脑筋。这时候必然有聪明的人站出来说：圆的周长测不准，然而通过计算，是不是能得到准确的数据呢？实践反复告诉人们，圆的直径和圆的周长之间有一定的比例关系的，这个比例大约是三，只不过还要再多那么一点。
数学家们和圆周率的较劲，就从这一刻开始了，他们决心把圆的周长和圆的直径之间的比例到底是多少这个秘密挖出来，不挖出来绝不收兵。可是这个秘密藏得太深了，理论上说，这个秘密是永远挖不完的，因为这个比例是一个无限的不循环的小数，就算你算到了小数点以后的一百万位，还有一百万零一位在后面等着你。造物主的这个玩笑真是开大了，不知道有多少人为了找出这个秘密，耗尽了一生的心血。
刘徽就是所有追求这个秘密的人中间非常成功的一位，他计算圆周率的方法记载在《九章算术注》中，就在方田这一章里，他运用的方法是“割圆术”，据他记载，割圆术还有一套专门的工具，早在王莽时代就已经发明了，刘徽运用了这一思想，进行了大量的演算，最重要的是：他计算无误，让他终于站上了当时这一数学难题的顶峰。
要详细地说明利用割圆术计算圆周率的全部内容，很不容易，也没有必要，这里，我们引用书上现成的说法来说明：魏晋时代的大数学家刘徽在为《九章算术》作注的时候，详细的记载了用割圆术计算圆周率的方法，他正确的计算出了圆内接正192边形和3072边形的面积，从而得到圆周率3.14和3.1416的数值，成为当时领先世界的数学成就。
七、 分数的四则运算
《九章算术》的方田章中间，有很大的一部分篇幅是在讲“分数的四则运算”，这一部分的内容当然很简单，而且和今天的小学数学课本的相关部分内容非常相似，共有“约分术”、“合分术”、“减分术”、“课分术”、“乘分术”、“经分术”等名目，分别对应今天分数运算中的“约分”、“分数的加法”、“分数的减法”、“比较两个分数的大小”、“分数的乘法”、“分数的除法”，都是上小学的时候，数学老师要大家反复练习，而我们当年又老是糊里糊涂闹不大清楚的运算方法。
比较有趣的是，在约分术的部分，当年有一种特别的办法，大家上小学的时候大概都没有学过，是这样：
约分术曰：可半者半之，不可半者，副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。
可半者半之，即分子分母同除以二，不用多说了，不可半的，将分子分母的数字摆在一旁，以少减多，所余数再减较小的数，反复减下去，这样就可以求到它们的公约数，术中称公约数为“其等”，这样就可以约分了。“副置分母子之数”，意思是将分母分子放在一旁进行计算，相当于我们今天说“在草稿纸上”计算。
以下面这道题为例：
又有九十一分之四十九。问约之得几何？
答曰：十三分之七。
就这道题来看：91减49等于42，再用49减42，等于7，这就是“更相减损”的意思，得到的答案7正是91和49的公约数。
乍看起来，这种办法有点古怪，有点神秘，其实也是有它的道理的。究其原因，在于既然两数有共同的约数，这两个数就可以看成是这个公约数的若干倍（13×7和7×7），经过“可半者半之”的步骤，这个倍数就成了互为质数的两个数（13和7），也就是说这两个数除了一以外，没有其他的公因数，这样的两个数有一个特点，就是经过若干次的加减以后，一定会得到1这个结果，这样就求得了原来两个数的公约数。考虑到当时人们用的是“筹算”的计算方法，这样“更相减损”起来是很方便的。
当时的数学语言晦涩难懂，这里只举一个例子，来作一点说明。如合分术曰：母互乘子，并以为实，母相乘为法，实如法而一。不满法者，以法命之。其母同者，直相从之。
用今天小学数学课本里的话来对照，就比较容易懂了，分数的加法：不同分母的分数相加，分母相乘作为新的分母，一个分数的分子乘以另一个分数的分母，两者相加作为新的分子。和这里的做法没有两样。
所谓“法”和“实”是两个基本的概念，“法”就是衡量的标准，“实”就是实际所有的数量，比如问480平方步合几亩？那么每240平方步合一亩就是衡量的标准，即“法”，480平方步就是实际所有的数量，即“实”，“法”放在分母的位置，“实”放在分子的位置，实际上将“法”和“实”直接翻译成分母和分子，也完全不错。
“实如法而一”，直译出来是“分子分母相等得一”，其实说的就是除法。考虑到当时的人们用算筹作计算的工具，我们可以想象用减法的方式来做除法比较简便，即是按照分母的数字来数分子，相等的一份为“一”，相当于我们今天说“三个一数”、“五个一数”等等，这就是“实如法而一”的意思。
“不满法者，以法命之”意思是实少于法时，法是多少就读成多少分之几。
比如说法是5，实是21，将21这个数按每次5个来数，可以数到4，剩下1，是“不满法者”，以法命之即为五分之一。
同分母的分数相加，将分子直接加起来就成了。
以上这一大篇，就是对合分术短短一句话的解释，从这点来看，中国古代的书面语言是中国古代文明的载体，同时也可能是中国古代数学发展的障碍之一。
八、九章算术之粟米
《九章算术》的第二章叫做“粟米”。本章一开头，就给读者列出了一张当时各种粮食之间的兑换表：
粟米之法：
粟率五十，粝米三十，粺米二十七，凿米二十四，御米二十一，
小<麦啇>（麦旁加啇合成的一个字，以下黑圆点代表此字）十三半，大●五十四，
粝饭七十五，粺饭五十四，凿饭四十八，御饭四十二，
菽、荅、麻、麦各四十五，
稻六十，
豉六十三，
飧九十，
熟菽一百三半，
櫱一百七十五。
这是一个什么东东呢？为了便于大家理解，我把它好有一比：这就像今天我们的金融机构公布的人民币外汇牌价，每一百元人民币，兑换美元多少，欧元多少，日元多少，等等，“粟米之法”的意思也是，每五十斤粟米，可兑换粝米三十，粺米二十七，凿米二十四，御米二十一……
作为数学著作，这一部分的内容可能过于简单了，但我们可以通过这里的内容，了解当时人们的生活，也是有趣的事情。
粟是小米，可能是当时人们的主食，所以兼有一般等价物的地位，糙米、粺米、凿米、御米可能是当时比较珍贵的稻米，分成四种不同的质量等级，“粺”就是精米的意思，御米可能就是皇室享用的极品米，用五十斤粟来换，可换到的越来越少。
米之后是面粉，面粉之后是饭。饭也分粝、粺、凿、御四种，无疑是用这四种米做成的饭，做成饭以后，他们的价值反而更低了，如果不算所费的柴禾、水和人工，这是合理的，跟我们今天到饭馆里去吃饭，概念有些不同。
接下来是杂粮，菽和荅是豆类，菽是大豆，荅是小豆。麦就是麦，出现在杂粮这一类里面，总有它的道理。麻是某种粮食作物，也可能是今天我们所称的芝麻。
明朝宋应星所著的《天工开物》一书，讲到了有关“麻”这种作物的问题，他说：“凡麻可粒可油者，惟火麻、胡麻二种。胡麻即脂麻，相传西汉始自大宛来。古者以麻为五谷之一，若专以火麻当之，义岂有当哉？窃意《诗》、《书》五谷之麻，或其种已灭，或即菽、粟之别种，而渐讹其名号，皆未可知也。”又说：“今胡麻味美而功高，即以冠百谷不为过。火麻子粒压油无多，皮为疏恶布，其值几何？”
这里的麻的价值高于粟而不多，可能是指脂麻，也就是芝麻。也可能如宋应星所说“其种已灭”或“即菽、粟之别种”。
以下的稻，显然就是带壳的稻米，豉是豆类煮熟后的盐渍物，今天我们还在食用。飧的意思字典上介绍有几种：一、晚饭。二、熟食。三、便宴。四、用水泡饭。五、吃。大概第四项较符合这里的意思，用水泡的饭，其值很低，几乎是粟的一半。熟菽无疑就是熟菽。櫱同蘖，是指植物始生，这里大概是指用粟来交换初生的秧苗，或者是豆芽？谁知道。
粟米章讲了粟和以上各物之间交换的算法以后，又不厌其烦地大讲其他各物之间的相互交换，从数学的意义上来讲，没有什么意义。
九、繁荣的商品交易
粟米章接下来的部分，主要讲平均价格的求法和不同计量单位之间的换算。平均价格的计算当然是很简单的，如：
今有出钱一百六十，买瓴甓十八枚。问枚几何？
答曰：一枚，八钱、九分钱之八。
瓴甓，即是砖，是重要的建筑材料。
当时的度量衡单位，和今天比起来已经有很大的不同，为了研究本章以下的内容，我曾经花了一点小小的功夫，翻了一些书，现将我翻书得到的结论列出来，然后我们再来看下面的内容：
斛，容量单位，宋以前十斗为一斛。
匹，纺织品计量单位，《汉书》中记载说：布帛广二尺二寸为幅，长四丈为匹。可知当时的一匹布帛，长四丈，宽二尺二寸。
石和钧，都是重量单位，《汉书》：三十斤为钧，四钧为石。
两，重量单位，一斤的十六分之一。
铢，重量单位，一两的二十四分之一。
研究完以上的内容，我们来看下面一道题：
今有出钱一万三千九百七十，买丝一石二钧二十八斤三两五铢。欲其贵贱石率之，问各几何？
答曰：其一钧九两一十二铢，石八千五十一钱。其一石一钧二十七斤九两一十七铢，石八千五十二钱。
很明显，这道题就是在考读者单位换算的知识，一不小心，很容易弄错。我们不上他的当，慢慢来：一石为一石，二钧为2/4石，二十八斤为28/120石，三两为3/1920石，五铢为5/46080石，通分后相加得：
46080/46080+23040/46080+10752/46080+72/46080+5/46080=79949/46080石。
将钱数和石数两项相除，得平均价格约8051.853。但原题的答案有两个，一部分为8051钱，一部分为8052钱，这又有一套专门的算法，因为过于繁琐又意义不大，这里就略过了。
丝是重要的纺织品原料，是中国人的发明，很早以前就是大宗的出口商品。当时的商品中间还有一些比较奇怪的东西，今天我们几乎想不到这些东西有什么用：
今有出钱六百一十，买羽二千一百翭。欲其贵贱率之，问各几何？
翭的意思是羽根，这里当作量词用，就是羽毛多少“根”的意思。
今有出钱九百八十，买矢簳五千八百二十枚。欲其贵贱率之，问各几何？
簳本意即是箭杆。李贺有句诗写道：“白翎金簳雨中尽”。显然，这两题中涉及的商品，都是当时的军事工业的原材料。
刘徽
生平
(生于公元250年左右)，三国后期魏国人，是中国古代杰出的数学家，也是中国古典数学理论的奠基者之一．其生卒年月、生平事迹，史书上很少记载。据有限史料推测，他是魏晋时代山东临淄或淄川一带人。终生未做官。
著作
刘徽的数学著作留传后世的很少，所留之作均为久经辗转传抄。他的主要著作有： 《九章算术注》10卷；《重差》1卷，至唐代易名为《海岛算经》；《九章重差图》l卷，可惜后两种都在宋代失传。
数学成就大致为两方面：
一是清理中国古代数学体系并奠定了它的理论基础。这方面集中体现在《九章算术注》中。它实已形成为一个比较完整的理论体系：
①在数系理论方面
用数的同类与异类阐述了通分、约分、四则运算，以及繁分数化简等的运算法则；在开方术的注释中，他从开方不尽的意义出发，论述了无理方根的存在，并引进了新数，创造了用十进分数无限逼近无理根的方法。
②在筹式演算理论方面
先给率以比较明确的定义，又以遍乘、通约、齐同等三种基本运算为基础，建立了数与式运算的统一的理论基础，他还用“率”来定义中国古代数学中的“方程”，即现代数学中线性方程组的增广矩阵。
③在勾股理论方面
逐一论证了有关勾股定理与解勾股形的计算原理，建立了相似勾股形理论，发展了勾股测量术，通过对“勾中容横”与“股中容直”之类的典型图形的论析，形成了中国特色的相似理论。
④在面积与体积理论方面
用出入相补、以盈补虚的原理及“割圆术”的极限方法提出了刘徽原理，并解决了多种几何形、几何体的面积、体积计算问题。这些方面的理论价值至今仍闪烁着余辉。
二是在继承的基础上提出了自己的创见。这方面主要体现为以下几项有代表性的创见：
①割圆术与圆周率
他在《九章算术•圆田术》注中，用割圆术证明了圆面积的精确公式，并给出了计算圆周率的科学方法。他首先从圆内接六边形开始割圆，每次边数倍增，算到192边形的面积，得到π=157/50=3.14，又算到3072边形的面积，得到π=3927/1250=3.1416，称为“徽率”。
②刘徽原理
在《九章算术•阳马术》注中，他在用无限分割的方法解决锥体体积时，提出了关于多面体体积计算的刘徽原理。
③“牟合方盖”说
在《九章算术•开立圆术》注中引入了“牟合方盖”这一著名的几何模型。“牟合方盖”是指正方体的两个轴互相垂直的内切圆柱体的贯交部分。
④方程新术
在《九章算术•方程术》注中，他提出了解线性方程组的新方法，运用了比率算法的思想。
⑤重差术
在白撰《海岛算经》中，他提出了重差术，采用了重表、连索和累矩等测高测远方法。他还运用“类推衍化”的方法，使重差术由两次测望，发展为“三望”、“四望”。而印度在7世纪，欧洲在15～16世纪才开始研究两次测望的问题。
贡献和地位
刘徽的工作，不仅对中国古代数学发展产生了深远影响，而且在世界数学吏上也确立了崇高的历史地位。鉴于刘徽的巨大贡献，所以不少书上把他称作“中国数学史上的牛顿”。