数学建模理论在解题中的运用

“能够运用所学知识解决简单的实际问题”是九年义务教育数学教学大纲规定的初中数学教学目的之一。学生通过初中的学习应该要具备这种能力，这也是中考中考核的最重要的知识点之一。在最近几年的中考中这类题型层出不穷，它们或多或少都有一些数学建模思想。下面我主要通过2005年的全国各地中考题型分析来阐述建模理论的应用。
1.      数学建模的理论
数学建模是对科学技术领域、经济管理、生产实际等现实生活中所遇到的实际问题，利用数学的思想、方法、知识解决的过程，主要程序如下所示：
实际情景      实际问题      数学问题
反馈↑                                          ↓求解
实际结果      检验数学结果       数学结果
2.建模理论的实际应用:
2.1．例题：
例1：小明家使用的是分时电表，按平时段（6：00－22：00）和谷时段（22：00－次日6：00）分别计费，平时段每度电价为0.61元，谷时段每度电价为0.30元，小明将家里2005年1月至5月的平时段和谷时段的用电量分别用折线图表示（如图7），同时将前4个月的用电量和相应电费制成表格（如表1）
根据上述信息，解答下列问题：
（1）   计算5月份的用电量和相应电费，将所得结果填入表1中；
（2）   小明家这5个月的月平均用电量为　　　　　度；
（3）   小明家这5个月的月平均用电量呈　　　　　趋势（选择“上升”或“下降”）；这5个月每月电费呈　　　　　趋势（选择“上升”或“下降”）；
月用电量（度）
电费（元）
1月
90
51.80
2月
92
50.85
3月
98
49.24
4月
105
48.55
5月
（4）   小明预计7月份家中用电量很大，估计7月份用电量可达500度，相应电费将达243元，请你根据小明的估计，计算出7月份小明家平时段用电量和谷时段用电量.
2.2评析:
（1）实际背景：近几年来随着科学技术的迅猛发展带来了能源的紧缺，电力能源远远不够，在这个背景下，电力部门采取了分时计费的方式，这样暂时缓解了供电紧张的局面。
（2）数学问题：编制考题的老师为了能够让学生的答案统一、有利于阅卷，因此他们直接将这样的实际问题自己抽象成了数学问题，并且设计了以上几个问题，学生给予解答并去检验是否符合实际。
（3）设计缺陷：此类题型看是来自实际，但是学生的实际运用能力的提高相对教弱，它仍然无法测试学生的实际抽象能力，仅仅考察了学生根据已知的数学问题，利用已学知识然后去解决问题的能力。但是一个重要的环节忽视了，那就是他们的抽象概括能力或者说是他们发现问题的能力。当然，新教材的出现也带来了很多弥补考试中的不足，比如研究性课题的出现，让学生自己探索，自己设计问题并解决问题。再比如现在有很多中学生建模比赛，数学知识比赛等等。
2.3例题：
例2：某厂从2001年起开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的生产成本不断降低，具体数据
如下表：
年    度
2001
2002
2003
2004
投入技改资金z(万元)
2.5
3
4
4.5
产品成本，(万元／件)
7.2
6
4.5
4
(1)请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数、二次函数和反比例函数中确定哪种函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其它函数的理由，并求出它的解析式；
(2)按照这种变化规律，若2005年已投人技改资金5万元．
①预计生产成本每件比2004年降低多少万元?
②如果打算在2005年把每件产品成本降低到3.2万元，则还需投入技改资金多少万元（结果精确到0.01万元)?
(1)解：设其为一次函数，解析式为
当 时， ；  当 =3时， 6．
解得 ，
∴一次函数解析式为
把 时， 代人此函数解析式，
左边≠右边．
∴其不是一次函数．
同理．其也不是二次函数．
设其为反比例函数．解析式为 。
当 时， ，可得 解得
∴反比例函数是 。验证：当 =3时， ，符合反比例函数。
同理可验证 4时， ， 时， 成立。
可用反比例函数 表示其变化规律。
(2)解：①当 5万元时，， 。 （万元），
∴生产成本每件比2004年降低0．4万元。
②当 时， 。
∴ ∴ （万元）
∴还约需投入0.63万元．
2.4评析:
（1）此题的背景不如上题，同样与上题有类似的缺陷，不利于考察学生的抽象概括能力。
（2）此题要求学生运用知识的能力非常强、要求教高，它要求学生对一次函数、二次函数和反比例函数的表达式灵活运用，同时此题最经典之处就是它用上了数学建模思想中的曲线拟合思想，并要求学生除了自己选择适当的模型之外，还要自己去验证此模型，比如一次函数、二次函数在此题中均不符合，但是反比例函数确可以。后来又要求学生利用所给模型去解决实际问题，笔者认为此题非常好。
3．总结：
这类题型在中考中越来越显得非常重要，这就要求我们教师在平时的教学中不断
探索，多让学生自己去发现问题，自己去将一些实际问题抽象概括为数学问题，从
而使他们的数学应用能力得到提高。
参考文献：
1．徐稼红，《中学数学应用与建模》，苏州大学出版社，2001年7月