神马文学网布丰的投针试验
来源：百度文库 编辑：神马文学网 时间：2024/04/27 20:26:50
公元1777年的一天，法国著名的科学家布丰(Comte de Buffon)的家里宾客如云，原来他们是应邀前来观看一次奇特试验的。
试验拉开了序幕，只见年已古稀的布丰先生兴致勃勃地拿出一张纸来，纸上预先画好了一条条等距离的平行线。接着他又抓出一大把原先准备好的小针，这些小针的长度都是平行线间距离的一半。然后布丰先生宣布；“请诸位把这些小针一根一根往纸上掷吧！不过，请大家一定要把扔下的针是否与纸上的平行线相交告诉我
。”客人们不知布丰先生要干什么，也只能客随主便，一个个加入了试验的行列。一把小针扔完了，把它捡起来又扔。而布丰先生本人则不停地在一直数着、记着，于是这样忙碌了将近一个钟头。最终，布丰先生高声宣布：“朋友们，我这里记录各位刚才的投针结果，共投针2212次，而这其中与平行线相交的共有704次。总数2212与相交数704的比值为3.142。”
说到这里，布丰先生故意停了停，还对大家报以神秘的一笑，接着有意提高声调说：“先生们，这就是圆周率π的近似值!”
众宾哗然，一时议论纷纷，都感到很难理解，圆周率?这可是与圆半点也不沾边的呀。
布丰先生似乎猜透了大家的心思，得意洋洋地解释道：“各位，这里用的是概率的原理，若大家有耐心的话，再增加投针的次数．还能够得到”的更为精确的近似值。不过，要想弄清其间的道理，只好请大家去看敝人的新作了。”然后布丰先生扬了杨自己于上的一本《算术试验》的书。
π在这种纷坛杂志的场合出现，确实出乎意料，但它却是千真万确的事实。因为投针试验的问题，是布丰先生最先提出的，所以数学史上就称它为布丰问题。布丰得出的一般结果是：若纸上两平行线间相距为d，小针长为l、投针的次数为n，所投的针当中与平行线相交的次数是m，则当n相当大时有：π≈2ln/dm
在上面故事中，针长l等于平行线距离d的一半，入上面公式简化得：π≈n/m
布丰先生投针试验(needle problem)的原理，一个简单而巧妙的证明。
找一根铁丝弯成一个圆圈，使其直径恰恰等于平行线间的距离d，可以想象得到，对于这样的圆圈来说，不管怎么扔下，都将和平行线有两个交点。所以，若圆圈扔下的次数为n次，那么相交的交点总数必为2n。
现假想把圆圈拉直，变成—条长为πd的铁丝。很明显，这样的铁丝扔下时与平行线相交的情形要比圆圈复杂些，可能有4个交点，3个交点，2个交点，1个交点，甚至于都不相交。
因为圆圈和直线的长度同为πd，根据机会均等的原理，当它们投掷次数较多，并且相等时，两者与平行线相交点的总数有望是一样的。也就是说，当长为d的铁丝扔下n次时，与平行线相交的交点总数应大致为2n。
现再来讨论铁丝长为l的情形。当投掷次数n增大的时候，这种铁丝跟平行线相交的交点总数m应与长度l成正比，所以有： m＝k l 式中K是比例系数。
为求出K来，只需注意到，对于l=π的的特殊情形，Kπd＝2n。于是求得K＝2n/πd。代入前式就有 m≈2ln/dπ，π≈2ln/dm
这就是是著名的布丰公式。
利用布丰公式，还可以设计出求2^(1/2),3^(1/2),5^(1/2)等效的近似值的投针试验。
现在简化一下，布丰投针问题就是：有一块用平行等距木纹铺成的地板，现在随意抛一支长度比木纹之间距离小的针，求针和其中一条木纹相交的概率。
设针的长度是
，平行线之间的距离为t，x为针的中心和最近的平行线的距离，θ为针和线之间的锐角。
x∈[0,t/2]的机率密度函数为
，θ∈[0,π/2] 的机率密度函数为
。
x，θ两个随机变量互相独立，因此两者结合的机率密度函数只是两者的积：
。
当
时，针和线相交。
求上式的积分，得针与线相交的机率：
抛n支针，其中有h支针与线相交的机率是：
由此可求得π：
试验拉开了序幕，只见年已古稀的布丰先生兴致勃勃地拿出一张纸来，纸上预先画好了一条条等距离的平行线。接着他又抓出一大把原先准备好的小针，这些小针的长度都是平行线间距离的一半。然后布丰先生宣布；“请诸位把这些小针一根一根往纸上掷吧！不过，请大家一定要把扔下的针是否与纸上的平行线相交告诉我
。”客人们不知布丰先生要干什么，也只能客随主便，一个个加入了试验的行列。一把小针扔完了，把它捡起来又扔。而布丰先生本人则不停地在一直数着、记着，于是这样忙碌了将近一个钟头。最终，布丰先生高声宣布：“朋友们，我这里记录各位刚才的投针结果，共投针2212次，而这其中与平行线相交的共有704次。总数2212与相交数704的比值为3.142。”
说到这里，布丰先生故意停了停，还对大家报以神秘的一笑，接着有意提高声调说：“先生们，这就是圆周率π的近似值!”
众宾哗然，一时议论纷纷，都感到很难理解，圆周率?这可是与圆半点也不沾边的呀。
布丰先生似乎猜透了大家的心思，得意洋洋地解释道：“各位，这里用的是概率的原理，若大家有耐心的话，再增加投针的次数．还能够得到”的更为精确的近似值。不过，要想弄清其间的道理，只好请大家去看敝人的新作了。”然后布丰先生扬了杨自己于上的一本《算术试验》的书。
π在这种纷坛杂志的场合出现，确实出乎意料，但它却是千真万确的事实。因为投针试验的问题，是布丰先生最先提出的，所以数学史上就称它为布丰问题。布丰得出的一般结果是：若纸上两平行线间相距为d，小针长为l、投针的次数为n，所投的针当中与平行线相交的次数是m，则当n相当大时有：π≈2ln/dm
在上面故事中，针长l等于平行线距离d的一半，入上面公式简化得：π≈n/m
布丰先生投针试验(needle problem)的原理，一个简单而巧妙的证明。
找一根铁丝弯成一个圆圈，使其直径恰恰等于平行线间的距离d，可以想象得到，对于这样的圆圈来说，不管怎么扔下，都将和平行线有两个交点。所以，若圆圈扔下的次数为n次，那么相交的交点总数必为2n。
现假想把圆圈拉直，变成—条长为πd的铁丝。很明显，这样的铁丝扔下时与平行线相交的情形要比圆圈复杂些，可能有4个交点，3个交点，2个交点，1个交点，甚至于都不相交。
因为圆圈和直线的长度同为πd，根据机会均等的原理，当它们投掷次数较多，并且相等时，两者与平行线相交点的总数有望是一样的。也就是说，当长为d的铁丝扔下n次时，与平行线相交的交点总数应大致为2n。
现再来讨论铁丝长为l的情形。当投掷次数n增大的时候，这种铁丝跟平行线相交的交点总数m应与长度l成正比，所以有： m＝k l 式中K是比例系数。
为求出K来，只需注意到，对于l=π的的特殊情形，Kπd＝2n。于是求得K＝2n/πd。代入前式就有 m≈2ln/dπ，π≈2ln/dm
这就是是著名的布丰公式。
利用布丰公式，还可以设计出求2^(1/2),3^(1/2),5^(1/2)等效的近似值的投针试验。
现在简化一下，布丰投针问题就是：有一块用平行等距木纹铺成的地板，现在随意抛一支长度比木纹之间距离小的针，求针和其中一条木纹相交的概率。
设针的长度是
，平行线之间的距离为t，x为针的中心和最近的平行线的距离，θ为针和线之间的锐角。x∈[0,t/2]的机率密度函数为
，θ∈[0,π/2] 的机率密度函数为。x，θ两个随机变量互相独立，因此两者结合的机率密度函数只是两者的积：
。当
时，针和线相交。求上式的积分，得针与线相交的机率：
抛n支针，其中有h支针与线相交的机率是：
由此可求得π：