神马文学网常用数学思想专题研究
来源：百度文库 编辑：神马文学网 时间：2024/04/29 10:23:14
第一部分 常用数学思想专题研究
中考专题复习之一：配方法与换元法
一、配方法与换元法的特点：
配方法与换元法是初中数学中的重要方法，近几年的中考题中常常涉及。有时题中指定用配方法或换元法求解，而更多的则是隐含在题目当中，在分析题意的基础上，由考生自己确定选用配方法或换元法，把代数式配成完全平方式的形式，利用完全平方式的特性去求解，以达到快速解题的目的，这是种快捷也是很有效的方法，在初中代数中，占有很重要的地位和份量。
二、配方法与换元法的方法：
配方法与换元法主要依据完全平方公式，由公式a2±2ab+b2=(a±b)2可知，如果一个多项式能够表达成“两个数的平方和，加上或减去这两个数的积的2倍，则这个多项式就可以写成这两个数的和或差的平方。”由完全平方式的性质可知，任何一个实数的平方都是非负数，即(a-b)2≥0，当a=b时，(a-b)2=0。利用这条性质，并可以解决很多与之有联系的数学问题。
而配方法一般有两种形式，一是根据第一项和第二项的系数特点，确定第三项系数或常数项。如二次三项式4 x2+6x+k是完全平方式，试确定k值。这一类的问题只有一解。而更多的是由第一项和第三项的系数特点，确定第二项的系数。如二次三项式4x2+kxy+25 y2是完全平方式，试确定k值。这一类问题一定要考虑正、负值两种情况，结果应为两解才为正确，这一点为不少考生所忽视，一定要考虑周到方可取得好成绩。
三、例题精讲：
例1： 分解因式： ．
分析：四项式的分解因式需要进行适当的分组，分组的原则是：首先看有没有能够构成完全平方的项，然后看看有没有能够构成平方差的项，最后看有没有公因式．本题前三项能够构成完全平方，所以它们应该分成一组，即：，然后做平方差．
解答：
例2、已知△ABC的三边分别为a、b、c，且a2+b2+c2=ab+bc+ac，试判断△ABC的形状。
分析。将等式两边同时乘以2,移项得：2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0，再配方，得（a2-2ab+b2）+( b2-2bc+c2 )+( a2-2ac+c2 ) =0，由此(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0,得 a=b=c 故△ABC为等边三角形。
例3、已知：a、b为实数，且a2+4b2－2a+4b+2=0，求4a2－的值。
分析：利用数学的化归思想，将等式左边的多项式折项配方，（a2－2a+1）+（4b2+4b+1）=0，得（a-1）2+(2b+1)2=0，分别求得a=1，b= -1/2，代入代数式即可。答案是6。
例4、求证：不论m、n为任何实数，关于x的一元二次方程mx2＋(m＋2n)x+2n=0总有两个实数根。
分析：由一元二次方程根的判别式可知，△=b2-4ac=(m＋2n)2－4m·2n, 展开后配方得，△=(m－2n)2≥0，故结论正确。
例5、（技巧题）甲、乙两人同时从A到B，甲前一半路程用速度a，后一半路程用速度b；乙前一半时间用速度a，后一半时间用速度b，问哪个先到？
分析：设A、B两地距离为S，甲从A到B所用时间为t1，乙从A到B所用时间t2,分别用S、a、b表示出t1、t2，t1=(a+b)S/2ab，t2=2S/a+b，t1- t2=〔(a+b)2-4ab〕/2ab(a+b)，配方得，t1- t2=(a-b)2S/2ab(a+b),因为a、b均为正数，再利用一个数的平方为非负数这个结论，得t1- t2＞0，得结论为乙先到；当a=b时，两人同时到。
例6：⑴已知M为△ABC的边AB上的点，且AM2+BM2+CM2=2AM+2BM+2CM－3，则AC2+BC2= 。⑵已知△ABC的三边分别为a、b、c，且a2+b2+c2=ab+bc+ac，则△ABC的形状为 。
分析：（1）移项得（AM2 -2AM +1）+（BM2 -2BM+1）+（CM2-2CM-1）=0，得
（AM-1）2+（BM-1）2+（CM-1）2=0，∴AM=BM=CM=1，故△ABC 是直角三角形，则AC2+BC2= AB2=4。(2)将等式两边同时乘以2,移项得：2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0，再配方，得（a2-2ab+b2）+( b2-2bc+c2 )+( a2-2ac+c2 ) =0，由此(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0,得 a=b=c 故△ABC为等边三角形。
例7、解方程：
分析：设x+1/x=y，原方程配方为 2【（x+1/x）2-2】-9(x+1/x)+14=0,
2（x+1/x）2-9(x+1/x)+10=0，由原方程为：2y2-9y+10=0, 解之得y=2或5/2。当y=2时，即x+1/x=2，解得x1=x2=1；当y=5/2时，即x+1/x=5/2，解得x3=2，x4=1/2，经检验，x1=x2=1，x3=2，x4=1/2都符合题意，都是原方程的解。
例8：关于x的方程x2－(2a－1)x+(a－3)=0。
⑴求证：无论a为任何实数该方程总有两个不等实数根；
⑵以该方程的两根为一直角三角形的两直角边长，已知该三角形斜边上的中线长为 ，求实数a的值。
分析：（1）由一元二次方程根的判别式可知，△=(2a-1)2-4(a-3), 展开后配方得，
△=4(a-1) 2+9＞0，得结论。（2）设方程的两根分别为x1、x2 ，则有x1+x2=2a-1 ①，x1x2= a-3 ②，又∵x1、x2为一直角三角形的两直角边长，且该三角形斜边上的中线长为，∴x12+x22=35 ③，将①式两边平方得x12+2 x1x2+x22=（2a-1）2，将 ②③代入得2 a2-3a-14=0，解之得a=-2或7/2，当a= -2时不符合题意，应舍去，故a=7/2。
例9：已知二次函数y = ( k－1)x 2－2kx +k +2，（1）当k为何值时，图象的顶点在坐标轴上？（2）当k为何值时，图象与x轴的两交点间的距离为2 ？
分析：（1）由二次函数性质可知，图像的顶点坐标为（b/2a，4ac－b2/4ac）由题意得
b/2a=0或4ac－b2/4ac=0，即 由－2k/2 ( k－1)=0得 k=0；由【4 ( k－1)（k +2）－（－2k）2】÷ 4 ( k－1)（k +2）=0得k=2。（2）设图象与x轴的两交点坐标分别为（x1，0），（x2，0），则有x1＋x2=2k/ ( k－1) ①，x1·x2= k +2/ ( k－1) ②，由题意得︱x1－x2︱=2 ，∴（x1－x2）2=8，配方得（x1＋x2）2-4x1x2=8 ③，将①②代入③并解之得k=0或3/2。
四、闯关夺冠：
1．已知x2+y2+4x－2y+5=0，则3x-2y -2的值是 。
2．已知M=x2－8x+22，N=－x2+6x－3，则M、N的大小关系为 。
3、若x+1/x=2,则x-1/x=___________。
4．用配方法把二次函数y=2x2+3x+1写成y=a(x+m)2+k的形式 。
5．设方程x2+2x－1=0的两实根为x1，x2，则（x1－x2）2= 。
6．将二次三项式x2+2x－2进行配方，其结果为 。
7、（08上海）用换元法解分式方程2x-1/x-x/2x-1=2时，如果设2x-1/x=y，并将原方程化为关于y的整式方程，那么这个方程为_____________。
8．已知方程x2－kx+k=0的两根平方和为3，则k的值为 。
9．若x、y为实数，且的值等于 。
10．代数式a2+5b2-4ab+2b+100的最小值为——————————。
11、不论m、n为何值，代数式m2+n2-2m+4n+5的值总是 （ ）
A 非负数 B 正数 C 负数 D 0
12、设y= 变为 ( )
A． 2y2 – 7y+3=0. B．2y2 – 7y=0 .
C．2 2 – 7 +3=0. D．2y2 – 7y+1=0.
13、已知关于x的方程 的两个实数 、 满足，则a的值为 （ ）
A．－3 B .－3，1 C.3，－1 D.1
14、已知一个四边形ABCD的边长分别为a、b、c、d，其中a、c为对边，且a2+b2+c2+d2=2ac+2bd，则四边形是 （ ）
A 任意四边形； B 梯形；
C 平行四边形； D 对角线互相垂直的四边形；
15、对于分式1/x2-2x+m，不论x 取何实数都有意义，则m的取值范围为 （ ）
A m≥1， B m≤1， C m＞1， D m＜1
16、若a、b、c是三角形的三边长，则代数式a2 –2ab+b2 –c2的值 （ ）
A 大于零 B 等于零 C 小于零 D 不能确定
17、若2x2－kx+9是一个完全平方式，求k的值.
18、已知：菱形的两条对角线长之和为2+2 ，菱形的面积为2 ，求菱形的周长。
19．解方程：（1）2x2-6x+3=0(配方法) （2）
20、已知抛物线经过点A（2，4）和点B（－1，－8），且在x轴上截得的线段长为3，
求抛物线的解析式。
21、已知a=2008x+2004，b=2008x+2006，c=2008x+2008，求代数式a2+b2+c2-ac-bc-ca的值。
22、试判断2005×2006×2007×2008+1是否是一个完全平方数。
23、已知：△ABC的三这分别为a、b、c，且满足等式3(a2+b2+c2)=(a+b+c)2，试说明该三角形是等边三角形。
24、已知 ， ，则 的值.
25、已知x1、x2是关于x的方程x2-6x+k=0的两个实数根，且x12x22-x1-x2=115，
（1）求k的值；（2）求x12+x22+8的值.
26、用换元法解方程：
27、观察下列各式的特点，并回答下列问题：
（1）用＞、=、＜填空： 32+42————2×3×4，（-1）2+82————2×（-1）×8，
（-3）2+（-5）2—————2×（-3）×（-5），（-6）2+（-6）2——————2×（-6）×（-6）
（2）若a、b为实数，则a2+b2、2ab的大小关系为a2+b2_______2ab，并证明其正确。
28、已知二次函数图象经过 ，对称轴 ，抛物线与 轴两交点距离为4，求这个二次函数的解析式？
中考专题复习之一：配方法与换元法
一、配方法与换元法的特点：
配方法与换元法是初中数学中的重要方法，近几年的中考题中常常涉及。有时题中指定用配方法或换元法求解，而更多的则是隐含在题目当中，在分析题意的基础上，由考生自己确定选用配方法或换元法，把代数式配成完全平方式的形式，利用完全平方式的特性去求解，以达到快速解题的目的，这是种快捷也是很有效的方法，在初中代数中，占有很重要的地位和份量。
二、配方法与换元法的方法：
配方法与换元法主要依据完全平方公式，由公式a2±2ab+b2=(a±b)2可知，如果一个多项式能够表达成“两个数的平方和，加上或减去这两个数的积的2倍，则这个多项式就可以写成这两个数的和或差的平方。”由完全平方式的性质可知，任何一个实数的平方都是非负数，即(a-b)2≥0，当a=b时，(a-b)2=0。利用这条性质，并可以解决很多与之有联系的数学问题。
而配方法一般有两种形式，一是根据第一项和第二项的系数特点，确定第三项系数或常数项。如二次三项式4 x2+6x+k是完全平方式，试确定k值。这一类的问题只有一解。而更多的是由第一项和第三项的系数特点，确定第二项的系数。如二次三项式4x2+kxy+25 y2是完全平方式，试确定k值。这一类问题一定要考虑正、负值两种情况，结果应为两解才为正确，这一点为不少考生所忽视，一定要考虑周到方可取得好成绩。
三、例题精讲：
例1： 分解因式： ．
分析：四项式的分解因式需要进行适当的分组，分组的原则是：首先看有没有能够构成完全平方的项，然后看看有没有能够构成平方差的项，最后看有没有公因式．本题前三项能够构成完全平方，所以它们应该分成一组，即：，然后做平方差．
解答：
例2、已知△ABC的三边分别为a、b、c，且a2+b2+c2=ab+bc+ac，试判断△ABC的形状。
分析。将等式两边同时乘以2,移项得：2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0，再配方，得（a2-2ab+b2）+( b2-2bc+c2 )+( a2-2ac+c2 ) =0，由此(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0,得 a=b=c 故△ABC为等边三角形。
例3、已知：a、b为实数，且a2+4b2－2a+4b+2=0，求4a2－的值。
分析：利用数学的化归思想，将等式左边的多项式折项配方，（a2－2a+1）+（4b2+4b+1）=0，得（a-1）2+(2b+1)2=0，分别求得a=1，b= -1/2，代入代数式即可。答案是6。
例4、求证：不论m、n为任何实数，关于x的一元二次方程mx2＋(m＋2n)x+2n=0总有两个实数根。
分析：由一元二次方程根的判别式可知，△=b2-4ac=(m＋2n)2－4m·2n, 展开后配方得，△=(m－2n)2≥0，故结论正确。
例5、（技巧题）甲、乙两人同时从A到B，甲前一半路程用速度a，后一半路程用速度b；乙前一半时间用速度a，后一半时间用速度b，问哪个先到？
分析：设A、B两地距离为S，甲从A到B所用时间为t1，乙从A到B所用时间t2,分别用S、a、b表示出t1、t2，t1=(a+b)S/2ab，t2=2S/a+b，t1- t2=〔(a+b)2-4ab〕/2ab(a+b)，配方得，t1- t2=(a-b)2S/2ab(a+b),因为a、b均为正数，再利用一个数的平方为非负数这个结论，得t1- t2＞0，得结论为乙先到；当a=b时，两人同时到。
例6：⑴已知M为△ABC的边AB上的点，且AM2+BM2+CM2=2AM+2BM+2CM－3，则AC2+BC2= 。⑵已知△ABC的三边分别为a、b、c，且a2+b2+c2=ab+bc+ac，则△ABC的形状为 。
分析：（1）移项得（AM2 -2AM +1）+（BM2 -2BM+1）+（CM2-2CM-1）=0，得
（AM-1）2+（BM-1）2+（CM-1）2=0，∴AM=BM=CM=1，故△ABC 是直角三角形，则AC2+BC2= AB2=4。(2)将等式两边同时乘以2,移项得：2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0，再配方，得（a2-2ab+b2）+( b2-2bc+c2 )+( a2-2ac+c2 ) =0，由此(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0,得 a=b=c 故△ABC为等边三角形。
例7、解方程：
分析：设x+1/x=y，原方程配方为 2【（x+1/x）2-2】-9(x+1/x)+14=0,
2（x+1/x）2-9(x+1/x)+10=0，由原方程为：2y2-9y+10=0, 解之得y=2或5/2。当y=2时，即x+1/x=2，解得x1=x2=1；当y=5/2时，即x+1/x=5/2，解得x3=2，x4=1/2，经检验，x1=x2=1，x3=2，x4=1/2都符合题意，都是原方程的解。
例8：关于x的方程x2－(2a－1)x+(a－3)=0。
⑴求证：无论a为任何实数该方程总有两个不等实数根；
⑵以该方程的两根为一直角三角形的两直角边长，已知该三角形斜边上的中线长为 ，求实数a的值。
分析：（1）由一元二次方程根的判别式可知，△=(2a-1)2-4(a-3), 展开后配方得，
△=4(a-1) 2+9＞0，得结论。（2）设方程的两根分别为x1、x2 ，则有x1+x2=2a-1 ①，x1x2= a-3 ②，又∵x1、x2为一直角三角形的两直角边长，且该三角形斜边上的中线长为，∴x12+x22=35 ③，将①式两边平方得x12+2 x1x2+x22=（2a-1）2，将 ②③代入得2 a2-3a-14=0，解之得a=-2或7/2，当a= -2时不符合题意，应舍去，故a=7/2。
例9：已知二次函数y = ( k－1)x 2－2kx +k +2，（1）当k为何值时，图象的顶点在坐标轴上？（2）当k为何值时，图象与x轴的两交点间的距离为2 ？
分析：（1）由二次函数性质可知，图像的顶点坐标为（b/2a，4ac－b2/4ac）由题意得
b/2a=0或4ac－b2/4ac=0，即 由－2k/2 ( k－1)=0得 k=0；由【4 ( k－1)（k +2）－（－2k）2】÷ 4 ( k－1)（k +2）=0得k=2。（2）设图象与x轴的两交点坐标分别为（x1，0），（x2，0），则有x1＋x2=2k/ ( k－1) ①，x1·x2= k +2/ ( k－1) ②，由题意得︱x1－x2︱=2 ，∴（x1－x2）2=8，配方得（x1＋x2）2-4x1x2=8 ③，将①②代入③并解之得k=0或3/2。
四、闯关夺冠：
1．已知x2+y2+4x－2y+5=0，则3x-2y -2的值是 。
2．已知M=x2－8x+22，N=－x2+6x－3，则M、N的大小关系为 。
3、若x+1/x=2,则x-1/x=___________。
4．用配方法把二次函数y=2x2+3x+1写成y=a(x+m)2+k的形式 。
5．设方程x2+2x－1=0的两实根为x1，x2，则（x1－x2）2= 。
6．将二次三项式x2+2x－2进行配方，其结果为 。
7、（08上海）用换元法解分式方程2x-1/x-x/2x-1=2时，如果设2x-1/x=y，并将原方程化为关于y的整式方程，那么这个方程为_____________。
8．已知方程x2－kx+k=0的两根平方和为3，则k的值为 。
9．若x、y为实数，且的值等于 。
10．代数式a2+5b2-4ab+2b+100的最小值为——————————。
11、不论m、n为何值，代数式m2+n2-2m+4n+5的值总是 （ ）
A 非负数 B 正数 C 负数 D 0
12、设y= 变为 ( )
A． 2y2 – 7y+3=0. B．2y2 – 7y=0 .
C．2 2 – 7 +3=0. D．2y2 – 7y+1=0.
13、已知关于x的方程 的两个实数 、 满足，则a的值为 （ ）
A．－3 B .－3，1 C.3，－1 D.1
14、已知一个四边形ABCD的边长分别为a、b、c、d，其中a、c为对边，且a2+b2+c2+d2=2ac+2bd，则四边形是 （ ）
A 任意四边形； B 梯形；
C 平行四边形； D 对角线互相垂直的四边形；
15、对于分式1/x2-2x+m，不论x 取何实数都有意义，则m的取值范围为 （ ）
A m≥1， B m≤1， C m＞1， D m＜1
16、若a、b、c是三角形的三边长，则代数式a2 –2ab+b2 –c2的值 （ ）
A 大于零 B 等于零 C 小于零 D 不能确定
17、若2x2－kx+9是一个完全平方式，求k的值.
18、已知：菱形的两条对角线长之和为2+2 ，菱形的面积为2 ，求菱形的周长。
19．解方程：（1）2x2-6x+3=0(配方法) （2）
20、已知抛物线经过点A（2，4）和点B（－1，－8），且在x轴上截得的线段长为3，
求抛物线的解析式。
21、已知a=2008x+2004，b=2008x+2006，c=2008x+2008，求代数式a2+b2+c2-ac-bc-ca的值。
22、试判断2005×2006×2007×2008+1是否是一个完全平方数。
23、已知：△ABC的三这分别为a、b、c，且满足等式3(a2+b2+c2)=(a+b+c)2，试说明该三角形是等边三角形。
24、已知 ， ，则 的值.
25、已知x1、x2是关于x的方程x2-6x+k=0的两个实数根，且x12x22-x1-x2=115，
（1）求k的值；（2）求x12+x22+8的值.
26、用换元法解方程：
27、观察下列各式的特点，并回答下列问题：
（1）用＞、=、＜填空： 32+42————2×3×4，（-1）2+82————2×（-1）×8，
（-3）2+（-5）2—————2×（-3）×（-5），（-6）2+（-6）2——————2×（-6）×（-6）
（2）若a、b为实数，则a2+b2、2ab的大小关系为a2+b2_______2ab，并证明其正确。
28、已知二次函数图象经过 ，对称轴 ，抛物线与 轴两交点距离为4，求这个二次函数的解析式？