中学数学探究课选材的四个视角

数学探究课旨在通过组织学生利用已有的数学知识独立地或合作地对老师创设的数学探究情境中的问题进行观察、归纳、分析、综合，从而提出假设并验证结论，在这一系列积极的数学活动中获得数学创造和发现经验的数学课堂教学方法。这种方法是美国教育家布鲁纳所倡导的，在美国教育现代化运动中曾相当流行，因为按照这种探索过程，“则‘发现学习’容易形成学生独立地学习的倾向性，使学习过程不再是一种负担，而是一种应该有的精神解放”。这种方法的有效使用，可促使学生掌握数学发现的方法，形成迁移能力，并最终养成学生勇于创造的态度。但是探究课教学要求教师对所教内容做出较好的教法加工和组织，否则就难以取得好的效果。
数学教学中不是任何内容都能有效地运用探究的方法去组织教学，教师应把握好时机，精选出一些富有挑战性，能激发起学生探究兴趣，且可使学生在探究之后能获得成就感的数学材料来组织探究式的课堂教学。
一、选择具有较强横向联系的材料
20世纪科学发展的一大特点就是交叉学科的不断涌现，科学发展呈现出既综合又分化的趋势。而在这种发展中数学方法以其超强的渗透力在许多学科都发挥了作用，促进了这些学科的完善和发展，成为推动科技发展的强大动力。数学作为工具学科，在中学课程中就与其它许多学科具有很大的关联性。这种关联性即我们所说的“横向联系”，教师深刻挖掘数学内容与相关学科的这种横向联系，选择联系较强的内容，设置探究情境，呈现给学生，就会引起他们极大的探究热情，而且在探究这种材料的同时，对数学的内容，和它的方法也能有较深刻的认识，学生在提高探究能力的同时，还可对相关学科的研究与学习也产生促进作用，有效地避免偏科现象，真正起到数学的工具性学科的作用，但这些材料一般是隐藏在数学材料之中，因而需要教师在教学设计时做认真的挖掘和钻研工作。
例1    在平面几何中，一个极为普通的结论：两点之间距离最短，它在课本中是作为公理出现的，但这一公理在以后的推论过程中却与物理学中的光学现象发生了联系，其原因是：光线传播时走最短路线。在几何课本中有这样一个实际问题：在铁路a的同侧有两个工厂A、B，要在铁路边上建一货场C，使得A、B两厂到C的距离之和最小，求C点的位置。
在教师设计出这一问题的解之后，再从光学角度设计下列问题：设光线从A点出发，经镜面a反射后到达B点，试做出光线的传播路线图。
学生就会发现这两个图完全一样，此时他们自然会提出诸如以下的问题并能够积极地展开探索活动：
问题1     光线从A点射向镜面a，反射光线与已知直线b：①平行；②垂直，试画出光线传播图。
问题2     自己设置一些使光线随意反射传播的问题。
问题3     如果设太阳光线平行地射向地球，试设计一个太阳灶。（材料：平面镜，玻璃刀，钢丝架，玻璃胶等。）
学生们的这一兴趣能使课堂探究延续到课外，去动手搞些小制作，这又有利于提高他们的创造能力和动手能力。
二、选择纵向联系特征较强的材料
数学具有极强的逻辑严密性，这一特点决定了数学问题解决有其独特的思维方法，一种数学思想或方法往往会渗透到不同的数学内容中去，这就使这些不同的数学内容之间以这种思想或方法为纽带建立了纵向联系，而在这种纵向联系中体现了数学的美的特征，因而掌握数学思想方法，对数学问题进行探索就具有极大的魅力，而这种纵向联系也需要教师带领学生去进行揭示、探索，因而事先去挖掘这些联系，就成为探究课选材的一个视角。数学各不同分支之间方法的互用就是一种很普遍的数学事实。如用几何方法解决代数问题，等等。从小的方面讲，我们为什么不能把学生从“去括号——去分母……一方程两边同除以未知数系数”的机械记忆中解放出来呢？我们只要由简到繁地写出若干方程，然后与学生共同在探究中体会数学的“化归转化思想”，则学生的学习就会变成一种“自由的学习”，即掌握思想而免于机械记忆之苦，同时也培养了学生独立学习数学的能力，那么当学生进一步遇到二元一次方程组的情形时，就会琢磨：怎么能转换成我会解的一元一次方程呢？学生的这种探究意识就会促使他产生一系列的探究过程，最终以发现的方式达成学习目标。
三、选择能推广或拓广结论的数学问题类材料
长期以来，在数学教学中，问题解决在教学中得到了足够的重视，但其实更具挑战胜，更具魅力的还在于问题的提出，即通过观察、归纳、类比、一般化或特殊化等方法，依据已有结论，提出新的数学问题，再去利用演绎的方法证明或证伪。在中学数学中蕴含着许多可以拓广或推广的材料，可用来让学生在探究中提出问题。
例2  我们可以把对平行四边形5个判定定理列出，并对其结构进行分析，发现前4个判定定理在结构上的特点是：在条件上包含单一的四边形元素，而且包括了这种元素的全部，这些元素所满足的条件也相同。如“两组对边分别相等”所包括的元素是四边形的对边，而且两组都包括，且两组对边所满足的条件也相同，都是相等。第五个判定定理“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”在结构上与前面 4个定理不同，但又有联系，它只包括了一组对边，但这组对边却要求同时满足两个条件：相等和平行。它似乎可以被看作是从前面两个定理的条件中各取一个。（从两组对边分别平行中取一组对边平行：从两组对边分别相等中取一组对边相等）复合而成，因此，问题情境就已经明确地展现出来了：根据这种构成方式，我们是否还能发现一些其它的判定方式呢？学生就可用类比拓广的方式展开探究发现的过程。
四、选择开放性的数学问题
长期以来，我们的数学教学都在设计和解决那些条件完备且有惟一正确的标准答案的数学问题。这就很容易造成一种错觉：数学问题就是有惟一正确答案的问题，误导了学生，也阻碍了其积极参与的热情。而数学开放题具有题目条件不完备，解题策略多样化和结论的不确定等特点。开放性问题的引人，给数学教育注入活力，使学生对数学的本质产生一种新的领悟。由于这种多变性，使得学生对数学问题的探究充满激情，能够极大地发挥他们的主体作用。在选编开放性问题时，要取材于学生所熟悉的背景材料之中。在引导学生积极探索之后，可以及时地导出一般的结论或据此提出新的问题，以提高学生的概括能力和迁移能力。
例3  在钟表上的1～12个数的某些数的前面添上负号，使钟面上所有数之和为零，这一问题可让初一学生去探究，教师引导学生找出规律，即因1+2+3+…+12=78，所以要使钟面上的某些数字添上负号后其数之和为零，应添负号的各数之和应为39，在师生共同探究到此之时，教师可引导学生提出问题：如果要在添加符号之后，使答案变成1，2，…12，或其它数，则又如何添？这就使问题的探究又延伸了一步。同时学生在探究过程中又可总结出哪类问题没有答案，哪类问题有多个答案，然后再引导学生将结论一般化为：如果有1到n共n个自然数，能否在某些数之前添上负号，使它们的和为数m（m≥0）。在探究这一问题时，则又可从特殊情况入手，进行分析。
例4  在x2+7x－18这一代数式中，把7变成字母c，提出探究性的问题：x2+cx－18可以在整数范围内作因式分解，那么c应取哪些整数值？因x2+7x－18大家都会分解，现在引入一个不确定的数c，要求c的取值，这就可激发学生的求知动机，积极地参与探究活动。在探究之后，还可鼓励学生自己来设置类似问题，如把上式变为x2+7x+a，a的值如何，等等。教师可组织学生通过集体讨论，小组合作或个别探讨等方式进行探究学习。
随着数学教育理论与实践的发展，数学探究课这一反映现代教育特点的教学方法正倍受重视，也取得了长足的发展，在选材加工方面的视角当然也不止本文所述的这些。如现在数学教育界强调的数学建模等，也应是探究课的很好的视角。