生物学中非线性数学模型的构建与应用

生物学中非线性数学模型的构建与应用

    【摘要】  提出了非线性数学模型在生物学中的两种主要构建模式,并通过非线性数学模型在生物学中的具体应用,得出简单明了的数学公式在解析复杂多变的生物学问题中的重要意义。
    【关键词】  生物学 非线性数学模型 构建 应用
    现代生物学的理论基础是建立在线性程度较高的数学、物理以及化学的基础之上,然而在生物学研究中,由于生物机体的复杂性,且所受影响因素众多,故在各种变量之间大量存在的是非线性关系,如细菌增殖过程、泌乳、产蛋、生长过程、种群增长规律、药物效应变化过程、对激素的感受能力变化过程等都是典型的非线性关系。因此,为了更好地研究生物规律性,有必要深入研究生物的非线性数学模型。
    1   非线性数学模型
    所谓数学模型是指用来描述某种现象的特征或本质的数学关系式。线性数学模型是反映自变量与因变量之间线性对应关系的数学表达式,一般也称这种关系为直线回归。非线性数学模型是相对于线性数学模型而言,其自变量与因变量间不能在坐标空间表示为线性对应关系,一般也称这种变量间的关系为曲线回归。非线性数学模型的一般形式为:
    y=f(x,β)+ε
    其中,f(x,β)为某种形式的函数,依不同的情况而异。所以从广义的角度看,线性数学模型仅是非线性摸型的特殊形式,它最简单,也最有用,因而得到广泛应用。然而在实践中,由于事物的相互联系和相互作用,真正能表现出高度线性对应关系的情况是不多的。在生物学研究中非线性关系大量存在,生物的非线性数学模型的构建,有助于我们更好的探索与研究。
    2  非线性数学模型在生物遗传中的构建
    我们从经验、实验数据、已有的模型推出一个新的模型来解释生物,然后发现不够精确,接着就推翻原有的模型建立新的模型。这样周而复始,从中我们可以体会到生物学是非线性的。非线性数学模型本身的特点就决定了其多样性,在不同的变量间,甚至在相同的变量间而在不同的场合中,都有不同的非线性关系,因而也就需要用不同的适宜模型来处理。建立模型是处理非线性关系时最根本、最关键、最费力的工作。一个适宜的模型应准确地刻画变量间的相互关系,正确反映其内在规律性;而一个不当的模型则可能带有较大的系统误差,因而会歪曲变量间的关系,据此只能得到错误的结论。
    2.1  推理模型
    即通过具体学科的研究揭示出变量间的相互关系后应用数学分析的手段建立模型。如logistic方程,这个方程最早由德国生物数学家Verhaulst于1837年提出其雏形,但未能引起重视,1920年Pearl等在研究美国人口自1790年以来的变化规律时总结出其一般形式。他们考虑问题的出发点是,人口的变化在无灾难性减少和生育控制时是一个连续的增加过程,其变化速率正比于人口数量和剩余环境容量,即:
    dNdt=μ′N(Nf-N)=μN(1-NNf)
    式中,Nf为环境最大容量,N为当时人口数量,μ=μ′Nf ,为生长系数。通过常规的数学分析方法,对上式积分后即可得到logistic方程:
    N=Nf1+(Nf-Ne)N0e-μt
    其一般形式为:
    N(t)=A1+e-k(t-b)
    这就是一个表示种群大小随时间变化的模型。由于生物生长过程也基本符合上述条件,故此式也被广泛用来描述动植物的生长过程。
    这类模型有一定生物学基础,故其参数具有生物学意义,对于生产和科研都有较大的指导作用。
    2.2  经验模型
    对一些还无法用推理方法得到的关系,或者那些可以经推理得到但过于复杂的关系,往往可以用适当的函数形式直接拟合变量间关系的表现形式,建立纯经验性的模型。如在奶牛泌乳曲线的研究中,因泌乳的机制很复杂,目前还很难从生理学的角度表示出泌乳变化的数学关系式。因此只能根据表现出来的泌乳变化形式,用各种函数进行拟合,其中最常用的是不完全γ函数模型: y(t)=atbe-et。目前由于大量先进数学方法(如随机过程)的引入,经验模型发展很快,形式多样。但这类模型的参数多数没有直接的生物学意义,使模型的应用受到局限。
    3  非线性数学模型在生物遗传中的应用
    生长曲线描述动植物体重或某部分大小随年龄增长而发生的规律性变化,一般表现为S形曲线,它反映了生物整体或各个体组成部分生长成熟的内在动力与这种动力进行表达时所处的环境之间的终身相互关系。
    生长的机制相对来说较简单,人们从各种不同的假定出发,建立了许多适合不同情况的数学模型。
    前述logistic方程即是其中应用相当广泛的一种。式中,参数A表示体重极限,k为接近这一极限的速率,b为达最大生长率时的时间,当t=b时,体重N=A/2,生长曲线达到拐点。用logistic方程拟合的生长曲线对称于点(b,A/2),所以可用这个方程来描述较均衡、对称的生长过程。另一个被广泛应用的方程是Gompertz方程,其一般形式为: W=Ae-be-kt。
    式中,A为生长极限,b、k为参数,这一曲线方程与logis