几何代数和几何计算

  数学是研究现实世界的“数”与“形”的科学。数学就是围绕这两个概念的演变而发展的，也通过这两个基本概念应用到各个不同的领域中去。代数是研究“数”的学科，几何是研究“形”的学科。数学科学发展的历程中两者彼此独立，又相互缠绕。几何（形）的概念用代数（数）表示，几何的目标可经过代数计算实现；反之，代数语言赋有了几何背景，可更加直观地理解它们的意义，发现它们的丰富内涵。吴文俊院士指出：几何代数化，在近代数学的兴起和发展过程中发挥着决定性的作用。

   几何计算的代数化

   16世纪前的欧洲，几何学的发展一直是沿袭综合(synthetic)的方式。这种方式强调从基本几何体和几何关系出发，在某个公理体系内进行几何证明和推断。这种欧几里得的演绎体系长期占据着西方数学的统治地位。

   17世纪初，笛卡儿创立了坐标几何，实现了“数”与“形”的紧密结合，这与中国古代数学的几何代数化思想是相通的。坐标就是变量，坐标几何使变量进入了数学，为微积分的伟大发现创立了前提条件。17世纪后半叶，微积分创始人之一、大数学家莱布尼茨认为，坐标仅仅是数字，一串坐标就是一串数字，然而坐标系作为纯粹的外部参照物，它诱导的代数表示本身没有几何意义，在此基础上进行的只是纯粹的代数计算。通过坐标计算实现几何研究是一种解析(analytic)的方式。他提出：“如何创造一种几何语言，利用它可以直接进行几何计算和几何推理？”这形成莱布尼茨的宏伟设想，即通过几何语言直接进行几何计算，直接处理几何体，从而以一种既解析又综合的方式研究几何学。经过一个半世纪，莱布尼茨的设想才有所实现。

   19世纪中期，首先是格拉斯曼(H.Grassmann)和凯莱(A.Cayley)建立了后来以他们名字命名的向量和多向量的外代数系统。根据格拉斯曼的观点，一个代数用于表示几何的物体，如果通过代数的加、减、乘、除等运算，能够表示纯粹的几何物体的加、减、乘、除等运算，得到的代数运算结果依然是纯粹的几何体，那么，这个代数就是一种几何语言，通过它可以直接进行几何计算。

   格拉斯曼把3维线性空间推广到n维。通过把n维欧氏空间嵌入到n+1维欧氏向量空间，为射影几何建立了真正的几何语言。这种语言根本不用坐标，当需要使用坐标时，可以根据情况选择合适的齐次坐标。其后，哈密顿通过建立四元数系，把微积分推广到向量分析，并建立了向量代数。这是3维欧氏位移空间上的一种几何语言。克利福德(W.Clifford)通过建立对偶四元数，实现了3维欧氏空间中刚体运动的乘法表示，得到比向量代数更接近于几何的语言。1879年，克利福德建立了“几何代数”，即后来的克利福德代数，它是正交几何的真正几何语言。

   非欧几何的创立是几何学发展的划时代事件。19世纪前半叶，罗巴切夫斯基创立了非欧几何。罗氏几何的问世击破了欧氏几何的一统天下，拓展了人们对几何学的认识，使几何学的发展产生革命性的变化。直到19世纪后半叶，罗氏几何的重要性才得到充分认识。非欧几何为黎曼几何的创立提供了条件，而黎曼几何是爱因斯坦相对论的数学基础。

   19世纪中期，大数学家高斯的学生瓦赫特(Wachter )在研究非欧几何时，发现欧氏几何可以在双曲空间的某类球面上等距地实现。1872年，李 （S.Lie）在他的博士论文中首次建立了该模型的代数表示。这个模型为 n 维欧氏几何提供的嵌入空间是 n+2 维闵氏向量空间。由于嵌入空间的正交变换群正好是欧氏空间的共形变换群的双层覆盖，因而这一模型又被称为共形模型。

   遗憾的是，历史上共形模型长期局限于坐标表示，它对构造欧氏几何甚至经典几何的真正几何语言的贡献长期没有表现出来。

   1869年，贝尔特拉米（E.Beltrami）给出罗氏几何的直观解释，说明罗氏平面可以看作负常数曲率的曲面。1871年，克莱因建立了射影度量和非欧几何的关系。他指出，欧氏几何和罗氏几何都可用射影方法构造出来。1882年，庞加莱给出了一种模型：取圆的内部作为罗氏平面，把垂直于已知圆周的圆弧看作罗氏几何的直线，运动是把圆变为自身的反演。这是现代经常使用的非欧几何在欧氏平面上等距实现的模型。

   这么多杰出的数学家参与几何代数和几何模型的研究，关注莱布尼茨宏伟设想的具体实现，充分说明这一数学课题的重要性。迟缓的进展表明，几何代数和几何计算的研究面对的道路将是艰难而漫长的。

   非欧几何问世的前前后后相继产生了多种几何。各类几何也出现了相应的几何代数语言。如今，人们将射影几何、仿射几何、欧氏几何、罗氏几何、球几何等几何统称为经典几何。对几何代数化而言，自然的问题是能否建立一种几何代数语言，可用于经典几何的统一表示，使得此类几何代数语言的运算结果同时在不同的几何中都具有明确的几何解释，亦即同一个几何计算的结果，在各类不同的几何之中具有相应的几何意义，代表着相应的几何结论。这是实现几何计算代数化必须面对的新挑战。

   几何代数语言

   对于最常用的经典几何，如何设计统一的几何语言，如何应用几何语言进行几何计算呢？应用代数方法进行几何计算，需要通过三个步骤。

   建模 给出几何的代数表示。同一个几何问题可以有各种各样的代数表示。所谓用“真正的几何语言”直接进行几何计算，就要求代数表示没有任何外部参照物。

   计算 建立代数处理的算法。要求给出的代数表示能够实现几何不变量代数的高效计算。

   还原 代数结果的几何解释。要求给出的代数表示在计算过程中和得到的计算结果能够做出明确的几何解释。

   从数学理论的发展来看，经典几何的基本要素包括几何体、几何量、几何关系、几何变换等，它们的有效表示主要依靠协变量，即更高维数几何空间中的不变量。因此，几何表示的核心是构造合适的协变量代数，几何计算的核心是解决不变量代数的符号计算问题。

   对于经典几何，有一类以统一模式生成的协变量代数，称为几何代数，它有四大基本成分：表示几何体的格拉斯曼结构；表示几何关系的克利福德乘法；表示几何变换的旋量或张量；表示几何量的括号。

   在此需要对协变量代数、格拉斯曼结构和括号系统做一简要介绍。

   协变量代数包括三个基本成分：基本协变量，协变量之间的乘法，它们之间的代数关系。以平面仿射几何为例，基本协变量是表示点和方向的向量、表示直线的2-向量和表示平面的3-向量，它们组成格拉斯曼结构；协变量之间的乘法是格拉斯曼的外积和凯莱的交积；协变量之间的代数关系是由克拉默法则给出的任意4个向量（或2-向量）之间的线性依赖关系。这个协变量代数称为2维格拉斯曼-凯莱代数。

   格拉斯曼结构是表示基本几何体的一种代数结构。它具有分层结构，其要与格拉斯曼外积、凯莱交积以及克利福德对偶运算相容，即这种代数结构在这些代数运算之下是封闭的。相应的外积、交积和对偶算子正好对应几何体的扩张、交和对偶。例如，在射影几何、仿射几何和正交几何中，所有的点、线、面等的集合具有格拉斯曼结构；在共形几何代数表示的欧氏、双曲和椭圆几何中，所有的点、线、圆、面、球等的集合具有格拉斯曼结构。

   表示几何量的括号系统，就是应用代数表示进行几何计算，不变量一般采用抽象符号表示，相应的不变量系统就是各种括号代数。

   仍以平面仿射几何为例，三角形 ABC 的面积可以用三个顶点的齐次坐标组成的 3×3行列式表示（坐标多项式），也可以用三个顶点字母的括号 [ABC] 表示，其中括号算子具有多重线性、结合、反对称性，并满足以下的仿射格拉斯曼-普吕克关系：对任何平面上的点 A，B，C，D，E，F，[A][BCD]-[B][ACD]+[C][ABD]-[D][ABC]= 0，[AEF][BCD]-[BEF][ACD]+[CEF][ABD]-[DEF][ABC]=0。

   平面仿射几何的基本不变量系统就是由两种括号 [A]，[ABC]（即所谓基本不变量）生成的多项式环，模去由上式的左端生成的理想（即所谓基本代数关系）得到的商环，称为2维仿射括号代数。

   基于不变量的几何计算研究相当困难，进展缓慢。亟待解决的基本问题包括如下三项：（1）计算思想的改进：不变量的几何计算的关键是控制中间过程表达式的爆炸式膨胀。原有的不变量计算是采用标准化(normalization)思想，它不仅不能控制中间过程的爆炸，反而助长爆炸。为此，必须抛弃部分原有的思想，建立新的计算思想。（2）基本运算效能的提高：基本的不变量代数运算包括展开和化简。展开通常指将高级不变量表示为低级不变量的多项式形式；化简包括因式分解和项的合并。原有的不变量计算是基于拉直(straightening)算法，它仅仅解决了是否一个不变量多项式等于0的恒等性判断（需要指出，这是相当不平凡的事情）。对于展开和化简等基本运算，在经典不变量代数中从未系统地研究过。（3）高级不变量系统的建立：几何问题中出现的不变量常常是基本不变量的有理多项式，这说明基本不变量用于几何计算过于低级，需要构造高级不变量来简化几何计算。实用的高级不变量系统应该满足，实际问题中的不变量一般是高级不变量的有理单项式。

   共形几何代数(Conformal Geometric Algebra，CGA)最初称作广义齐次坐标，是新的几何表示和计算系统。它是完全不依赖于坐标的经典几何的统一语言，不仅拥有用于几何建模的协变量代数，而且拥有用于几何计算的高级不变量算法。在表示方面，CGA结合共形模型和几何代数，提供了表示几何体的格拉斯曼结构，表示几何变换的统一旋量作用，和表示几何量的括号系统。在计算方面，CGA拥有新的高级不变量代数，即零括号代数(Null Brackets Algebra，NBA)；拥有新的计算思想，即基于括号的表示、消元和展开以得到分解和最短的结果；拥有不变量的展开和化简的高效计算技术。从而，可以用来进行极其复杂的符号几何计算，是初等几何最实用的不变量系统，在几何数据处理和几何计算方面表现出很大的优势。

   共形几何代数的创立，是几何代数和几何计算研究令人瞩目的实质性进展，是莱布尼茨宏伟设想迄今为止最成功的实现。

   共形几何代数的表示工具

   作为几何的高级不变量和协变量系统的结合，CGA为经典几何提供了统一和简洁的齐性代数框架。与经典的共形模型不同的是CGA无需实行仿射化，不需引入原点，欧氏几何的表示完全不依赖于坐标。CGA使代数运算和几何计算相一致。

   CGA的格拉斯曼结构

   经典的共形模型是建立CGA的基础，它是n+2维闵氏向量空间上的几何代数，记为?詚n+1,1 。设a=(a1,a2，…，an+1,an+2),b=(b1,b2,…,bn+1,bn+2)是?詚n+1,1 中的向量，在标准正交基之下，它们的闵氏内积定义是(a·b)=a1b1+a2b2+…+an+1bn+1-an+2bn+2 。?詚n+1,1中的非零向量x，其自身的内积为0，即（x·x)=x2=0，称为null向量。null向量的集合记为N。

   詚n+1,1具有自然的格拉斯曼结构，表示闵氏正交变换的旋量作用，是几何代数诱导的括号系统。因此，它是n+2维闵氏正交几何的一种经典语言。经典的共形模型是依赖于坐标选择的。

   詚n+1,1中的正向量s(自身的内积大于0的向量)表示Rn的超平面（经过无穷远点）或超球面（不经过无穷远点），由null向量x表示的点x在由正向量s表示的超平面或超球面上，当且仅当x与 s的内积为0。

   要内蕴地表示几何体，多向量的原点不能在几何空间内。因此，在真正的几何语言中，几何表示一般是齐性的。道理是这样的：如果原点是一个几何对象，那么它作为代数乘法的零元素，乘以任何其他几何对象都得到自己。这样，在齐性空间的几何变换下，由原点表示的几何对象可以变换到空间任何同类对象。由于代数乘法作为几何操作，在几何变换下具有不变性，因此，得到的结论只能是几何空间仅包含唯一几何体，它就是原点本身。对一般的几何空间，这显然是不合理的。

   CGA是在经典共形模型的基础之上建立的。CGA的构造，就是从?詚n+1,1中选择一类格拉斯曼子结构，一类旋量商群和一类括号子系统，给它们赋予欧氏几何或其他经典几何的解释，从而得到经典几何的协变量代数表示。

   CGA和经典的共形模型的根本区别在于：在CGA中，?詚n+1,1中的null向量在表示欧氏几何中的点时，不必做仿射化和正交投影，因而是齐性的（表示差一个非零数量因子唯一）。其次，唯一的无穷远点e完全确定了唯一的n维欧氏空间，无需引入原点，因而欧氏几何的表示完全不依赖于坐标。

   在CGA中，?詚n+1,1中的闵氏r-外张量（即r个向量的外积并具有闵氏度规）表示 n维欧氏空间中的r-2维球面或平面，其中2≤r≤n+1。由null向量x表示的点x在由r-外张量 A表示的平面或球面上，当且仅当x与A的外积为0。这些r-外张量、null向量和表示n维欧氏空间的 (n+2)-外张量，构成CGA的格拉斯曼结构。在该结构上，格拉斯曼的外积“∧”表示几何体的扩张，凯莱的交积“∨”表示几何体的交，克利福德的对偶算子“~”和正交投影算子P表示几何体的对偶和正交投影。

   例如，在欧氏平面上，一些典型的几何体和几何量的表示如下：

   直线ab： e∧a∧b

   圆abc： a∧b∧c

   圆所在平面： e∧a∧b∧c

   圆abc与a’b’c’之交：（a∧b∧c）∨（a’∧b’∧c’）

   圆abc的半径的平方：（a∧b∧c）2/（e∧a∧b∧c）2几何构造经过正交投影算子P和克利福德的对偶算子“~”给出相应的几何特征：

   点c到直线ab的垂足： Pe∧a∧b(c) mod e

   圆abc的圆心： (a∧b∧c)~mod e

   直线ab的法向量：(e∧a∧b)~mod e

   三角形abc的面积：(e∧a∧b∧c)~/2.i.e.,[eabc]/2

   CGA的格拉斯曼结构提供了一种分级表示，它与几何体的扩张、相交、对偶和正交投影恰好相容。因为点的表示完全不依赖于坐标，从而分级表示也完全不依赖于坐标。

   相比之下，在由李提出并经布拉施凯(W.Blaschke)发展的李球几何的代数模型中，尽管将n维欧氏几何嵌入到n+3维向量空间，使得可以用等式的方式表示定向，但是该代数模型的格拉斯曼结构没有几何意义，因而无法构成经典几何语言。

   CGA的统一旋量作用

   在共形模型中，闵氏嵌入空间的正交变换在旋量表示下实现了欧氏空间的共形变换。例如，保持null向量e不变的正交变换实现了欧氏变换，保持由e张成的1维子空间不变的正交变换实现了相似变换，等等。

   由于CGA的格拉斯曼结构在闵氏嵌入空间的正交变换下不变，因而对分级表示的几何体，它们的共形变换具有相同的旋量作用。这一特点使得CGA的旋量和作为3维刚体运动表示的对偶四元数和超旋量有很大区别，因为后两者在不同的几何体（例如点、线、面）上的作用是不同的。

   例如，3维的刚体运动群可以由8个参数刻画，满足两个约束。这一点在CGA、对偶四元数和超旋量表示中都是相同的，但是由于后两者对点、线、面的表示没有格拉斯曼分级结构，因而刚体运动群对不同几何体的作用方式无法统一。而CGA具有格拉斯曼分级结构，刚体运动群对不同几何体的作用是一致的。另外，对偶四元数和超旋量只适用于表示3维物体及其刚体运动，要推广到高维几何的表示，则需要借助于CGA。

   CGA的基本不变量系统

   经典的不变量理论研究的是在一般线性群下不变的多项式环。从几何观点看，由于射影几何的变换群是特殊线性群，因而经典的不变量理论构成射影几何在齐性表示的不变量代数。这种代数的基本元素是所谓的括号，因此，这种环也称为括号代数。例如，在 n-1 维射影空间中取n个点a1,a2,…，an，用括号[a1 a2…an]表示n个点的齐次坐标组成的n×n阶行列式。

   括号代数作为多项式环的商环，即多项式环模掉一个理想。 定义括号代数(商环)的理想是多项式生成的所谓格拉斯曼-普吕克 syzygy理想。对于正交几何，它的代数不变量都是向量的括号和内积的多项式，相应的基本不变量代数称为内积括号代数，是多项式环模去两类多项式生成的所谓内积格拉斯曼-普吕克syzygy理想而得到的商环。

   CGA的基本不变量系统就是闵氏嵌入空间的内积括号代数。这些不变量尽管比较低级，已经可以用来进行相当不平凡的几何计算和几何定理自动推广了。

   例如，经典的西摩松定理说的是：如果平面上四点0，1，2，3共圆，那么从其中任一点，例如0点，向其他三点组成的三角形的三边引垂线，得到垂足1’，2’，3’，则三个垂足共线。

   现在问，如果0，1，2，3不共圆，那么1’，2’，3’离共线差多少？

   利用内积括号代数，可以得到以下等式：

   这个齐性等式在进行几何解释时，可以采用共形模型的仿射化形式，得到西摩松定理的推广：对平面上任何四点0，1，2，3，设1’，2’，3’是自0向三角形 123 的三边所引的垂足，则有

   其中，S123是三角形 123 的面积，ρ123是三点1，2，3确定的圆的半径，O123是三点1，2，3确定的圆的圆心，d0O123是点0和圆心O123之间的距离。

   CGA对经典几何的统一表示

   本节所讲的经典几何是指一个齐性空间，其变换群是一般线性群的某个李子群。经典几何包括射影、仿射、欧氏、椭圆、双曲、共形几何等。由于CGA的齐性表示性质和具有格拉斯曼结构，n维射影和仿射几何可以通过某非零向量做透视投影得到。具体步骤是，对任意取定的非零向量a，a决定的透视投影是x|→ a∧x 。它将n+2维闵氏向量空间?詚n+1,1 映为n维射影空间P n。事实上，任一null向量x∈?詚n+1,1 ，a∧x是?詚n+1,1 中的直线，再将直线a∧x看做一点，即得到n维射影空间P n。该射影空间在仿射超平面 {x | x·a= -1}上的限制，正好是n维仿射空间。

   在n+2维闵氏向量空间中，有三种不同的向量，它们与自身的内积分别等于0、大于0或小于0。由它们确定的三种仿射化得到三种不同几何的等距模型：欧氏、双曲和椭圆。

   如果不进行仿射化，则三种几何的代数框架正好都是CGA，具有相同的格拉斯曼结构和对应的几何计算。这样，在CGA中的一个等式可以在不同的几何中进行不同的几何解释，从而实现经典几何的统一表示。这种表示的共形性质是显然的，因为不同的仿射化对几何度量的影响仅相差一个与切空间无关的非零因子，而这正是共形度量的定义。这种统一表示提供了大量强有力工具。

   以前面所说的西摩松定理为例，它的几何构型可以用如下方程组描述：

   [0123]=0 0，1，2，3共圆

   [e123]≠0 1,2,3不共线

   （e∧0∧1’）·（e∧2∧3）=0

   [e1’23]=0

   （e∧0∧2’）·（e∧1∧3）=0

   [e12’3]=0

   （e∧0∧3’）·（e∧1∧2）=0

   [e123’]=0

   结论是： [e1’2’3’]=0 (1’,2’,3’共线）。

   现在对上面方程组中的几何对象做出另外一种解释：不把e解释成无穷远点，而是解释成有限点；相反地，我们把0解释成无穷远点。于是在上述方程组中，通过互换e，0，得到如下的方程组，这些方程的几何意义已明显改变：

   [e123]=0 1，2，3共线

   [0123]≠0 0,1,2,3不共线

   （e∧0∧1’）·（0∧2∧3）=0

   [01’23]=0

   （e∧0∧2’）·（0∧1∧3）=0

   [012’3]=0

   （e∧0∧3’）·（0∧1∧2）=0

   [0123’]=0

   结论变为：[01’2’3’]=0（0，1’，2’，3’共圆）

   这样得到新的几何构型。由于圆的直径的第二个端点可以线性构造，例如过 0 引入直线02的垂线和直线03的垂线，它们的交点就是点1’。这样新的几何构型完全是线性构造了。

   进一步分析发现，通过将新的条件写成如下等价的线性构造序列：

   2是0向1’3’引的垂足

   3是0向1’2’引的垂足

   1是0向2’3’引的垂足

   0，1，2，3不共线

   1，2，3共线

   新的几何构型恰好是西摩松定理的逆定理，只不过三点组1，2，3和1’，2’，3’发生了对换。

   对几何构造中的几何对象做出另外一种解释，可以将非线性问题变成线性问题，可以得到新的几何构型，可以使假设条件转移为结论，这是CGA所蕴含的强大功能之一，对几何建模和几何推理将有重要意义。

   （本文获“国家基础研究发展规划项目”支持，编号2004CB318000。）

   关键词: 共形几何代数 几何代数化 几何建模

   几何计算 零括号代数

   S1’2’3’==S123(1-)

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   几何代数和几何计算（一）

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   01’是圆023的直径

   02’是圆013的直径

   03’是圆012的直径

   1’是0向23引的垂足

   2’是0向13引的垂足

   3’是0向12引的垂足

   石赫，李洪波：研究员，中国科学院数学与系统科学研究院数学机械化重点实验室，北京100080。

   Shi He, Li Hongbo：Professor, Key Laboratory of Mathematics

   Machanization，Chinese Academy of Science，Beijing 100080.

   庞加莱模型：二维双曲空间

   在欧氏平面的共形实现

   西摩松定理 1’, 2’, 3’是O向三边的垂足，则此三点共线。

   自2005年10月1日起，本刊编辑部启用新的电话及地址：