神马文学网《分形市场分析》：混沌理论应用于投资
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《分形市场分析》：混沌理论应用于投资
2009年08月15日 星期六 17:44
1991年的《资本市场的混沌与秩序》，主要是以“分形几何”这一新的几何思想（分形空间和分形时间），对资本市场进行了重新认识。1994年的这本《分形市场分析》，主要是以“混沌理论”当时最新的科学思想，对市场进行了重新阐述，并提出了“分形市场假说”。在1999年的《复杂性、风险与金融市场》中，主要是将当时最新的复杂性理论的科学思想，对金融市场的运行进行重新梳理。
作者Edgar E. Peters的三部重要著作，恰好分别出现在90年代早期、中期和末期，而这个时间段，也刚好是分形几何、混沌理论和复杂性理论取得重要进展的时期，说明Peters非常迅捷地将最新的科学思想运用在对市场新的思考上，这一点非常令人敬佩。
清楚了这三部著作的思想来源，则可以进一步地理解它们：《资本市场的混沌与秩序》仅仅是对市场有了一个分形的重新认为，算是个开始；《分形市场分析》则是将分形几何的运用提到了分形市场假说的高度，并结合了混沌理论的各种新的建模方法，几乎成为了一部学院派的数理金融著作了；最后，到了《复杂性、风险与金融市场》，因为复杂性理论超越了混沌理论，他对市场的研究也离开了那些庞杂的数量建模，作者又回归了简单。
由此可以看出，我个人最喜欢的，还是这3本著作中的最后一本，也就是《复杂性、风险与金融市场》。相比较而言，作者的这本《分形市场分析》过于复杂和陷入了建模的传统误区，全书大部分的内容都交给了分形市场假说，以及对它进行验证的R/S建模方法。这是没有必要的：的确，我们知道了确定性的丧失、随机性的丧失，有效市场假说的无效，但也并不一定就要新建立一个新的市场假说。
市场的假说是需要的，只是，我认为它们不可能是数量化的模型，而只能是一个简单的框架。这个框架只是助于我们去理解市场的运行，比如力量投机理论中的时间力量和空间力量，但绝对不可能根据它们去建构一个模型，并用这个模型去模拟市场的运行，当然也就更不可能用这个模型去预测市场未来的运行了。
1、传统：对光滑与对称的痴迷
“西方文化长期窘迫于光滑与对称。并非所有的文化同样沉迷于此，而是西方（指欧洲人衍生的、推知的）很长时间以来一直认为，总的看来对称和光滑及其整体性是为完美的形式。我们到处寻找典范和对称性。通常情况下，我们强加于自己一个实际上并不存在的模型；同时，我们拒绝承认那些与我们的整体概念性的框架不符合的模型。那就是，当模型不是对称与光滑时，我们就将其归到幻想、病态一类，认为其不符合‘实际’。 “这一尘世与理念的冲突能够追溯到古希腊。为了向人们形象地描述我们的实体性世界，古希腊的学者们依据单一性、对称性以及光滑的形式创造了几何学。Plato说，‘真实’的世界是由这些几何形状构成的，这些形状是由称之为‘真’的力和实体所创造的；‘真’的世界仅仅是偶然通过意念能够被睇眄。我们所生存的世界是这种‘真’世界的一个不完美的副本，而且是由称作‘尘世’Demiurge的另外这样一个不同的实体所创造的。这个仅次于‘真’世界的‘尘世’注定要创造出真实世界的较低级的副本来。这些副本既粗糙又不对称，而且还是一个注定要衰败的副本。就这一点上来讲，Plato协调了稍晚由Euclid所形式化的希腊几何的无能为力，他做到了前辈们没有做到的事情：用几何学来描述我们的世界（这里指尘世）。他所解决的问题不是在于几何学，而是在于我们自己的世界。
“分形几何是一个‘尘世’的几何学，与欧几里德几何（Euclidean Geometry）不同，它繁荣兴旺于粗糙和非对称性。客观物体在几个完美和对称的形式上是不变的，可它却是无限复杂的。你越接近地观察分形，就能揭示出越多的细节来。”（P3-4）
2、介于确定性和随机性之间
“本书阐述了这样一个主题，一个能被总结为随机性和确定性之间冲突的主题。一方面，那些市场分析家们，他们认为市场确确实实是确定性的。另一方面，有一群人，他们认为市场完全是随机的。我们将发现，随机与确定二者都被恰当的限定在一个范围里是有可能的。但是，从以上这些部分的真理导出的结果完全不同于上述两家任何一方所期望的结论。
“我们将会用到许许多多的不同的分析方法，然而，本书主要使用的是R/S分析方法，或者称为重标极差方法。R/S分析方法能够从其他的时间序列之类别中辨别出分形，它向我们揭示了统计结构的自相似性。这个结构符合一个被称为分形市场假说的市场结构理论。”（P16）
“在这一点，我可以看到，作为它们的频率分布和它们的易变性的期限结构的证据，在短期内，股票、债券和通货是非线性随机过程的可能。因此，股票和债券表现了长期决定论的迹象。再一次，我们看到了局部的随机性和整体的决定性。”（P36）
3、分形市场假说：替换有效市场假说和资产定价模型
“资本市场并不能被正态分布和随机游走理论很好地描述。而有效市场假说（EMH）作为市场如何运行继续是统治性的范例。
“……我们将返回基础理论：为什么市场存在？参加者对于市场的预期和要求是什么？从那里我们将系统地提出分形市场假说（Fractal Market Hypothesis, FMH）。分形市场假说是有效市场假说的替换物，它不仅仅是资产定价模型（CAPM）的替换物；因为它是依据有效市场理论而来，资产定价模型也需要替换。毋庸置疑，即使不依据分形市场假说，这样的替换也将会发展起来。
“对于分形市场分析，分形市场假说给出了一个经济和数学的结构。通过分形市场假说，我们能够理解为什么自相似性统计结构存在，以及风险是如何固有的分布于投资者之间。”（P38）
“我们还必须说明，为什么标准的高斯统计有些时候似乎还表现得不错，而大多数情况下则表现不佳。这就是众所周知的时断时续的相关特征和易变性高度的不稳定。除此而外，资产定价模型的β通常是稳定的，但也不总是如此。混淆了针对有效市场假说所进行的争论，事实上是——人们发现那个时间周期能够支持争论的双方。当市场被认为是‘稳定的’，有效市场假说和资产定价模型似乎运行的很好。可是，在恐慌和混乱期间，那些模型像物理学的‘奇点’一样崩溃了。这不是所预期的，因为有效市场假说和资产定价模型是均衡模型。他们不能处理通向混乱的转变。新的市场假设需有能够解释这个被交易的市场的奇异特性的能力。”（P44）
4、分形市场假说：不同的投资起点形成了市场的稳定
“分形市场假说强调了流动性的影响以及基于投资者行为之上的投资起点。……分形市场假说的目的是给予一个符合我们观察的投资者行为和市场价格运动的模型。
“市场的存在，向交易者提供了一个稳定性和流动性环境。投资者总希望得到一个好价格，可是在经济意义上，它未必是一个‘公平’的价格。例如，短期的补进很少在公平的价格上发生。当有许多投资者参与并具有许多个投资起点时市场保持稳定性。……基于这一点，投资者必定分担了相同的风险水平（一旦对于投资起点的规模变化作一个调整），而且他们分担的风险解释了为什么收益的频繁分布在不同的投资起点看起来是相同的。由于自相似性的统计结构，我们称这个提议为分形市场假说。
“当分形结构崩溃时市场变得不稳定。当具有长期投资起点的投资者或者在市场停止参与或者他们自己成为短期投资者时崩溃发生。当投资者感到，他们用来进行市场评价的基础——较长期的基本信息——不再重要或不可信赖时，崩溃就会发生。经济周期或政治危机，当长期展望变得高度的不确定时，是最能说明这些崩溃事件的。
“这一不稳定的类型不同于熊市。熊市是依赖正在下降的基础评价。不稳定性是由短期易变性的极高水平来表现的。最终的结果可能是一个实质性的下跌，或是一个实质性的攀升，或是对于起动的一个价格等价物——这些都发生在一个极短的时间内。并且，前两个结果似乎比后者更常见。”（P44-45）
“因为是一个稳定结构，所以统计分形结构存在。
“……在市场中，对于不同投资起点，统计分布的范围履行了同样的作用。只要具有不同投资起点的投资者参与市场交易，那么在一个投资起点的恐慌就能够被其他投资起点作为买（卖）机会而吸收。所以，假如整个市场具有相同的投资起点，它将因流动性缺乏而呈现恐慌。
“当投资起点成为同一的时候，市场成为‘自由落体’；那就是，在价格序列呈现不连续性。在高斯环境下，大的变化是许多小变化的总和。因此，在恐慌和混乱期间，市场通常跳过价格。间断导致大的变化，而且肥尾呈现在收益频率分布中。再者，这些间断点是由于市场参与者的同一投资起点的出现而导致的流动性缺乏的结果。”（P45、46）
“当市场完成了这一稳定的统计结构时，市场动态的和动力的变化就如同扩大了投资起点的范围。投资起点越短，技术因素、交易活动以及形成流动性就越重要。投资者相互追寻这一趋势，群体行为能左右局面。随着投资起点的增加，技术性因素逐步的让位于基础的和经济的因素。价格作为这个结果，反映了这一关系，而且，价格会随着收入预期的升降而升降。收入一般随时间逐步上升。假如在经济方向上感觉有变化，收入预期也能迅速反转。假如市场同经济循环没有关系，或这一关系很弱，这样一来，交易活动和流动性继续显出它们的重要性，即便在长期投资起点也是如此。
“假如市场在很长时间里系于经济的增长，这样风险将因经济循环占主导而随之下降。经济活动的易变性小于交易活动，它将使得长期股票收益的易变性也变小。这一关系将导致方差有界。
“……最终，信息自身对于价格也不是惟一的影响，相反，信息可能被不同的投资起点不同的吸收消化（见仁见智的问题）。技术重组（股票的价格止跌）对于长期投资者仅仅是慢慢地变得明显和重要，同样，经济因素将改变预期。当长期投资者改变他们的评价而开始交易，技术倾向显示和影响短期投资者。因为在公平价格上有一般的约定俗成，在短期，价格变化可被认为是某种程度的噪音，被认为是环绕公平价格的可接受带，是一个比较大的总收入要素。较长的投资起点，有更多的时间消化信息，而且对合适的价格有更多的一致意见。作为结果，投资起点越长，时间序列越光滑。”（P46-47）
5、分形市场假说：总结性观点
“1.当覆盖大量投资起点的投资者共存时，市场是稳定的。这确保了对于交易者存在充分流动性。
“2.信息集在短期内比在长期内更多地涉及到市场敏感性和技术性。只要投资起点存在，较长期的基础信息就占主导地位。这样，价格变化，仅仅对于那个投资起点可能反映信息的重要性。
“3.假如一个事件发生，使得基础信息的正确性发生问题，长期投资者在市场可能停止交易，或开始依照短期信息集交易。当市场所有投资起点收缩为一个水平，市场就开始变得不稳定。长期投资者不再对短期投资者提供流动性以稳定市场。
“4.价格反映了短期技术交易和长期基础评价的结合。这样一来，短期价格变化似乎比长期价格变化更具易变性，或者更具有一定程度的噪音。市场的基础倾向是依据经济环境的变化，所预期的收益变化的反映。短期倾向更像是群体（Crowd）行为的结果。没有理由相信短期倾向的长度涉及长期经济倾向。
“5.假如证券与经济循环无关的话，那么，就不会有长期倾向。交易、流动性和短期信息将占主导地位。
“不同于有效市场假说EMH，分形市场假说FMH认为，信息依其投资者的投资起点而被评价。因为不同的投资起点对信息的估价是不同的，信息的传播也是参差不齐的。价格不可能每一次都反映所有可适合的信息，而只反映对投资起点重要的信息。”（P47-48）
6、在市场与经济里，对循环的研究都已证明无效
“对于一些技术性分析，发现循环是市场分析的同义词。意念中的市场，像许多自然现象一样，有规律性的落潮和流动，是有些令人兴奋和鼓舞。这些技术人员相信，隐藏在噪声和不规则扰动背后，存在一个规律的市场循环，这个循环驾驭和驱使着市场的基础的，像钟表一样工作的机制。这一‘循环’对粗心大意的投资者已证明是无常和易变的。有时它们循环，有时它们不循环。诸如谱分析这样的统计检验，仅仅发现相关噪声。所有与之相涉的，在市场与经济里对循环的研究都已证明无效。
“遗憾的是，西方科学通常研究规律或周期性循环，或那些具有可预测性的发生的事物的程序表。这一传统大概可以追溯到科学的源头。最初，周期性或规律表现在季节上有变化，而且对于季节变化狩猎和农业提出计划的要求。再者是天文学揭示了月亮和太阳的规律性的循环。基础性的构架，像Stonehenge那样，是依据春分和秋分的点的规律做出的。因为古希腊人也揭示它们是光滑、对称和规律的循环。他们甚至相信自然绝对是一个完美的循环，而且，Aristotle创建了一个在完美循环中天体运动的宇宙模型。后来，像钟摆这样的机器，就是依据规律而周期运动，这在传统上发展起来了Newton的机械力学和数学形式上的周期循环的分析。”（P82）
7、高斯假说和正态分布的现实失效
“我们已多次地阐述过，正态分布不适合描述市场收益。到目前为止，我们还没特别强调过应该由什么来替代它。我们会提出一个很多读者不喜欢的建议。首先，我们必须重新考察高斯假说广泛地被人们接受的原因（市场运行是非常随机的并被正态分布很好地描述）。
“正态分布有许多诱人的特性。它的性质已被充分地研究过了。它的分散测度极易理解。在过程都为随机的假定下，大量实际应用已被公式化，且只能被正态分布所描述。许多这样例子的群体，确实是随机的。暂时，它似乎像是：正态分布能够描述任何以复杂为特征的情形。
“……显然，Francis Galton是Plato的信徒，他真正信奉‘真’的造物。对他和大多数数学家来说，正态分布是无秩序之上的最终有序，并且是非常正当的最终要求。他研究了许多组并演示了它们，证明其呈现正态分布，从有用的（生命历程）到滑稽的（打哈欠的频率）。不幸的是，有许许多多的过程不呈现正态分布。哪怕系统呈现无上的复杂性，‘无由无上法则’也并不经常保持其统治地位。
“它失败的原因在于它的假定。Gauss显示过，独立同分布的随机变量系列的极限分布是正态分布。这就是著名的大数法则，或更为正式一些的叫法是，中心极限定理。正是由于Gauss的方程，我们才倾向把这些过程称高斯过程（Gaussian）。然而，也有与大数法则不相符的情况。特别是有些例子，放大在极值上产生的。发生了这种情形常带出一个长尾的分布。
“例如，Pareto（1897），他是一位经济学家，他发现，占总体97%的个人的收入分布接近对数正态分布。然而，对于最后的3%，被发现增加迅速。未必某个人将活得多于生命预期平均数的5倍，可是对于某个人5次多于平均值的财富未必不可能。”（P187-188）
8、市场：无限方差与无限均值
“对于那些在标准高斯统计里被训练的人来说，无限的均值或方差从理念听上去荒唐而又不正当。我们总能计算出一个样本的方差或均值。它如何变成无限的呢？我们又要对所有的情况应用高斯统计这一特殊情形了。在稳定分布的大家庭里，正态分布是一个当α=2.0时存在的特例。此时，总体均值与方差确实存在。所谓无限方差是指，当分布趋向于极限时，就不存在‘总体方差’。当我们取一个样本方差时，我们就这样做，利用高斯假定作为未知总体方差的估计。Sharpe（1863）说过，贝塔[在现代资产组合理论（MPT）的意义上]从5年的每月数据应该能够被计算出来。他选择5年是因为，它给出了必须估计总体方差的统计上显著的样本方差。仅仅因为基础分布是高斯的，所以5年是统计上显著的。假如它不是高斯的，而且α＜2.0，那么，这个样本方差就说明不了总体方差，这是因为，此时没有总体方差。样本方差被预期是不稳定的且不趋向任何数值，甚至当样本容量增加时也做不到。假如α≤1.0，同样可应用于均值，而均值在极限里也不存在。”（P190）
“当我指出，市场被无限方差所特征化，并不是说方差真是无限的。如同所有的分形结构，最终有一个分形规模变化停止应用的时间框架。在前几章里我讲过，树是分形结构。我们知道，树枝并不是呈现无限的小。这就像对市场收益，存在一个方差确为有限的样本容量。然而，我们在这里可以看到，在100年的日数据之后，标准差仍没收敛。因此，为完全实用的目的，市场收益将亦如它们是无限方差分布而运转。至少我们能断言，在我们的有生之年，它们都将表现得似乎是无限方差。”（P193）
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《分形市场分析》：
Fractal Market Analysis:
将混沌理论应用到投资与经济理论上
Applying Chaos Theory to Investment and Economics
[美]埃德加.E.彼得斯Edgar E. Peters
1994年初版于美国
经济科学出版社
2002年7月第1版
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《分形市场分析》：混沌理论应用于投资
2009年08月15日 星期六 17:44
1991年的《资本市场的混沌与秩序》，主要是以“分形几何”这一新的几何思想（分形空间和分形时间），对资本市场进行了重新认识。1994年的这本《分形市场分析》，主要是以“混沌理论”当时最新的科学思想，对市场进行了重新阐述，并提出了“分形市场假说”。在1999年的《复杂性、风险与金融市场》中，主要是将当时最新的复杂性理论的科学思想，对金融市场的运行进行重新梳理。
作者Edgar E. Peters的三部重要著作，恰好分别出现在90年代早期、中期和末期，而这个时间段，也刚好是分形几何、混沌理论和复杂性理论取得重要进展的时期，说明Peters非常迅捷地将最新的科学思想运用在对市场新的思考上，这一点非常令人敬佩。
清楚了这三部著作的思想来源，则可以进一步地理解它们：《资本市场的混沌与秩序》仅仅是对市场有了一个分形的重新认为，算是个开始；《分形市场分析》则是将分形几何的运用提到了分形市场假说的高度，并结合了混沌理论的各种新的建模方法，几乎成为了一部学院派的数理金融著作了；最后，到了《复杂性、风险与金融市场》，因为复杂性理论超越了混沌理论，他对市场的研究也离开了那些庞杂的数量建模，作者又回归了简单。
由此可以看出，我个人最喜欢的，还是这3本著作中的最后一本，也就是《复杂性、风险与金融市场》。相比较而言，作者的这本《分形市场分析》过于复杂和陷入了建模的传统误区，全书大部分的内容都交给了分形市场假说，以及对它进行验证的R/S建模方法。这是没有必要的：的确，我们知道了确定性的丧失、随机性的丧失，有效市场假说的无效，但也并不一定就要新建立一个新的市场假说。
市场的假说是需要的，只是，我认为它们不可能是数量化的模型，而只能是一个简单的框架。这个框架只是助于我们去理解市场的运行，比如力量投机理论中的时间力量和空间力量，但绝对不可能根据它们去建构一个模型，并用这个模型去模拟市场的运行，当然也就更不可能用这个模型去预测市场未来的运行了。
1、传统：对光滑与对称的痴迷
“西方文化长期窘迫于光滑与对称。并非所有的文化同样沉迷于此，而是西方（指欧洲人衍生的、推知的）很长时间以来一直认为，总的看来对称和光滑及其整体性是为完美的形式。我们到处寻找典范和对称性。通常情况下，我们强加于自己一个实际上并不存在的模型；同时，我们拒绝承认那些与我们的整体概念性的框架不符合的模型。那就是，当模型不是对称与光滑时，我们就将其归到幻想、病态一类，认为其不符合‘实际’。 “这一尘世与理念的冲突能够追溯到古希腊。为了向人们形象地描述我们的实体性世界，古希腊的学者们依据单一性、对称性以及光滑的形式创造了几何学。Plato说，‘真实’的世界是由这些几何形状构成的，这些形状是由称之为‘真’的力和实体所创造的；‘真’的世界仅仅是偶然通过意念能够被睇眄。我们所生存的世界是这种‘真’世界的一个不完美的副本，而且是由称作‘尘世’Demiurge的另外这样一个不同的实体所创造的。这个仅次于‘真’世界的‘尘世’注定要创造出真实世界的较低级的副本来。这些副本既粗糙又不对称，而且还是一个注定要衰败的副本。就这一点上来讲，Plato协调了稍晚由Euclid所形式化的希腊几何的无能为力，他做到了前辈们没有做到的事情：用几何学来描述我们的世界（这里指尘世）。他所解决的问题不是在于几何学，而是在于我们自己的世界。
“分形几何是一个‘尘世’的几何学，与欧几里德几何（Euclidean Geometry）不同，它繁荣兴旺于粗糙和非对称性。客观物体在几个完美和对称的形式上是不变的，可它却是无限复杂的。你越接近地观察分形，就能揭示出越多的细节来。”（P3-4）
2、介于确定性和随机性之间
“本书阐述了这样一个主题，一个能被总结为随机性和确定性之间冲突的主题。一方面，那些市场分析家们，他们认为市场确确实实是确定性的。另一方面，有一群人，他们认为市场完全是随机的。我们将发现，随机与确定二者都被恰当的限定在一个范围里是有可能的。但是，从以上这些部分的真理导出的结果完全不同于上述两家任何一方所期望的结论。
“我们将会用到许许多多的不同的分析方法，然而，本书主要使用的是R/S分析方法，或者称为重标极差方法。R/S分析方法能够从其他的时间序列之类别中辨别出分形，它向我们揭示了统计结构的自相似性。这个结构符合一个被称为分形市场假说的市场结构理论。”（P16）
“在这一点，我可以看到，作为它们的频率分布和它们的易变性的期限结构的证据，在短期内，股票、债券和通货是非线性随机过程的可能。因此，股票和债券表现了长期决定论的迹象。再一次，我们看到了局部的随机性和整体的决定性。”（P36）
3、分形市场假说：替换有效市场假说和资产定价模型
“资本市场并不能被正态分布和随机游走理论很好地描述。而有效市场假说（EMH）作为市场如何运行继续是统治性的范例。
“……我们将返回基础理论：为什么市场存在？参加者对于市场的预期和要求是什么？从那里我们将系统地提出分形市场假说（Fractal Market Hypothesis, FMH）。分形市场假说是有效市场假说的替换物，它不仅仅是资产定价模型（CAPM）的替换物；因为它是依据有效市场理论而来，资产定价模型也需要替换。毋庸置疑，即使不依据分形市场假说，这样的替换也将会发展起来。
“对于分形市场分析，分形市场假说给出了一个经济和数学的结构。通过分形市场假说，我们能够理解为什么自相似性统计结构存在，以及风险是如何固有的分布于投资者之间。”（P38）
“我们还必须说明，为什么标准的高斯统计有些时候似乎还表现得不错，而大多数情况下则表现不佳。这就是众所周知的时断时续的相关特征和易变性高度的不稳定。除此而外，资产定价模型的β通常是稳定的，但也不总是如此。混淆了针对有效市场假说所进行的争论，事实上是——人们发现那个时间周期能够支持争论的双方。当市场被认为是‘稳定的’，有效市场假说和资产定价模型似乎运行的很好。可是，在恐慌和混乱期间，那些模型像物理学的‘奇点’一样崩溃了。这不是所预期的，因为有效市场假说和资产定价模型是均衡模型。他们不能处理通向混乱的转变。新的市场假设需有能够解释这个被交易的市场的奇异特性的能力。”（P44）
4、分形市场假说：不同的投资起点形成了市场的稳定
“分形市场假说强调了流动性的影响以及基于投资者行为之上的投资起点。……分形市场假说的目的是给予一个符合我们观察的投资者行为和市场价格运动的模型。
“市场的存在，向交易者提供了一个稳定性和流动性环境。投资者总希望得到一个好价格，可是在经济意义上，它未必是一个‘公平’的价格。例如，短期的补进很少在公平的价格上发生。当有许多投资者参与并具有许多个投资起点时市场保持稳定性。……基于这一点，投资者必定分担了相同的风险水平（一旦对于投资起点的规模变化作一个调整），而且他们分担的风险解释了为什么收益的频繁分布在不同的投资起点看起来是相同的。由于自相似性的统计结构，我们称这个提议为分形市场假说。
“当分形结构崩溃时市场变得不稳定。当具有长期投资起点的投资者或者在市场停止参与或者他们自己成为短期投资者时崩溃发生。当投资者感到，他们用来进行市场评价的基础——较长期的基本信息——不再重要或不可信赖时，崩溃就会发生。经济周期或政治危机，当长期展望变得高度的不确定时，是最能说明这些崩溃事件的。
“这一不稳定的类型不同于熊市。熊市是依赖正在下降的基础评价。不稳定性是由短期易变性的极高水平来表现的。最终的结果可能是一个实质性的下跌，或是一个实质性的攀升，或是对于起动的一个价格等价物——这些都发生在一个极短的时间内。并且，前两个结果似乎比后者更常见。”（P44-45）
“因为是一个稳定结构，所以统计分形结构存在。
“……在市场中，对于不同投资起点，统计分布的范围履行了同样的作用。只要具有不同投资起点的投资者参与市场交易，那么在一个投资起点的恐慌就能够被其他投资起点作为买（卖）机会而吸收。所以，假如整个市场具有相同的投资起点，它将因流动性缺乏而呈现恐慌。
“当投资起点成为同一的时候，市场成为‘自由落体’；那就是，在价格序列呈现不连续性。在高斯环境下，大的变化是许多小变化的总和。因此，在恐慌和混乱期间，市场通常跳过价格。间断导致大的变化，而且肥尾呈现在收益频率分布中。再者，这些间断点是由于市场参与者的同一投资起点的出现而导致的流动性缺乏的结果。”（P45、46）
“当市场完成了这一稳定的统计结构时，市场动态的和动力的变化就如同扩大了投资起点的范围。投资起点越短，技术因素、交易活动以及形成流动性就越重要。投资者相互追寻这一趋势，群体行为能左右局面。随着投资起点的增加，技术性因素逐步的让位于基础的和经济的因素。价格作为这个结果，反映了这一关系，而且，价格会随着收入预期的升降而升降。收入一般随时间逐步上升。假如在经济方向上感觉有变化，收入预期也能迅速反转。假如市场同经济循环没有关系，或这一关系很弱，这样一来，交易活动和流动性继续显出它们的重要性，即便在长期投资起点也是如此。
“假如市场在很长时间里系于经济的增长，这样风险将因经济循环占主导而随之下降。经济活动的易变性小于交易活动，它将使得长期股票收益的易变性也变小。这一关系将导致方差有界。
“……最终，信息自身对于价格也不是惟一的影响，相反，信息可能被不同的投资起点不同的吸收消化（见仁见智的问题）。技术重组（股票的价格止跌）对于长期投资者仅仅是慢慢地变得明显和重要，同样，经济因素将改变预期。当长期投资者改变他们的评价而开始交易，技术倾向显示和影响短期投资者。因为在公平价格上有一般的约定俗成，在短期，价格变化可被认为是某种程度的噪音，被认为是环绕公平价格的可接受带，是一个比较大的总收入要素。较长的投资起点，有更多的时间消化信息，而且对合适的价格有更多的一致意见。作为结果，投资起点越长，时间序列越光滑。”（P46-47）
5、分形市场假说：总结性观点
“1.当覆盖大量投资起点的投资者共存时，市场是稳定的。这确保了对于交易者存在充分流动性。
“2.信息集在短期内比在长期内更多地涉及到市场敏感性和技术性。只要投资起点存在，较长期的基础信息就占主导地位。这样，价格变化，仅仅对于那个投资起点可能反映信息的重要性。
“3.假如一个事件发生，使得基础信息的正确性发生问题，长期投资者在市场可能停止交易，或开始依照短期信息集交易。当市场所有投资起点收缩为一个水平，市场就开始变得不稳定。长期投资者不再对短期投资者提供流动性以稳定市场。
“4.价格反映了短期技术交易和长期基础评价的结合。这样一来，短期价格变化似乎比长期价格变化更具易变性，或者更具有一定程度的噪音。市场的基础倾向是依据经济环境的变化，所预期的收益变化的反映。短期倾向更像是群体（Crowd）行为的结果。没有理由相信短期倾向的长度涉及长期经济倾向。
“5.假如证券与经济循环无关的话，那么，就不会有长期倾向。交易、流动性和短期信息将占主导地位。
“不同于有效市场假说EMH，分形市场假说FMH认为，信息依其投资者的投资起点而被评价。因为不同的投资起点对信息的估价是不同的，信息的传播也是参差不齐的。价格不可能每一次都反映所有可适合的信息，而只反映对投资起点重要的信息。”（P47-48）
6、在市场与经济里，对循环的研究都已证明无效
“对于一些技术性分析，发现循环是市场分析的同义词。意念中的市场，像许多自然现象一样，有规律性的落潮和流动，是有些令人兴奋和鼓舞。这些技术人员相信，隐藏在噪声和不规则扰动背后，存在一个规律的市场循环，这个循环驾驭和驱使着市场的基础的，像钟表一样工作的机制。这一‘循环’对粗心大意的投资者已证明是无常和易变的。有时它们循环，有时它们不循环。诸如谱分析这样的统计检验，仅仅发现相关噪声。所有与之相涉的，在市场与经济里对循环的研究都已证明无效。
“遗憾的是，西方科学通常研究规律或周期性循环，或那些具有可预测性的发生的事物的程序表。这一传统大概可以追溯到科学的源头。最初，周期性或规律表现在季节上有变化，而且对于季节变化狩猎和农业提出计划的要求。再者是天文学揭示了月亮和太阳的规律性的循环。基础性的构架，像Stonehenge那样，是依据春分和秋分的点的规律做出的。因为古希腊人也揭示它们是光滑、对称和规律的循环。他们甚至相信自然绝对是一个完美的循环，而且，Aristotle创建了一个在完美循环中天体运动的宇宙模型。后来，像钟摆这样的机器，就是依据规律而周期运动，这在传统上发展起来了Newton的机械力学和数学形式上的周期循环的分析。”（P82）
7、高斯假说和正态分布的现实失效
“我们已多次地阐述过，正态分布不适合描述市场收益。到目前为止，我们还没特别强调过应该由什么来替代它。我们会提出一个很多读者不喜欢的建议。首先，我们必须重新考察高斯假说广泛地被人们接受的原因（市场运行是非常随机的并被正态分布很好地描述）。
“正态分布有许多诱人的特性。它的性质已被充分地研究过了。它的分散测度极易理解。在过程都为随机的假定下，大量实际应用已被公式化，且只能被正态分布所描述。许多这样例子的群体，确实是随机的。暂时，它似乎像是：正态分布能够描述任何以复杂为特征的情形。
“……显然，Francis Galton是Plato的信徒，他真正信奉‘真’的造物。对他和大多数数学家来说，正态分布是无秩序之上的最终有序，并且是非常正当的最终要求。他研究了许多组并演示了它们，证明其呈现正态分布，从有用的（生命历程）到滑稽的（打哈欠的频率）。不幸的是，有许许多多的过程不呈现正态分布。哪怕系统呈现无上的复杂性，‘无由无上法则’也并不经常保持其统治地位。
“它失败的原因在于它的假定。Gauss显示过，独立同分布的随机变量系列的极限分布是正态分布。这就是著名的大数法则，或更为正式一些的叫法是，中心极限定理。正是由于Gauss的方程，我们才倾向把这些过程称高斯过程（Gaussian）。然而，也有与大数法则不相符的情况。特别是有些例子，放大在极值上产生的。发生了这种情形常带出一个长尾的分布。
“例如，Pareto（1897），他是一位经济学家，他发现，占总体97%的个人的收入分布接近对数正态分布。然而，对于最后的3%，被发现增加迅速。未必某个人将活得多于生命预期平均数的5倍，可是对于某个人5次多于平均值的财富未必不可能。”（P187-188）
8、市场：无限方差与无限均值
“对于那些在标准高斯统计里被训练的人来说，无限的均值或方差从理念听上去荒唐而又不正当。我们总能计算出一个样本的方差或均值。它如何变成无限的呢？我们又要对所有的情况应用高斯统计这一特殊情形了。在稳定分布的大家庭里，正态分布是一个当α=2.0时存在的特例。此时，总体均值与方差确实存在。所谓无限方差是指，当分布趋向于极限时，就不存在‘总体方差’。当我们取一个样本方差时，我们就这样做，利用高斯假定作为未知总体方差的估计。Sharpe（1863）说过，贝塔[在现代资产组合理论（MPT）的意义上]从5年的每月数据应该能够被计算出来。他选择5年是因为，它给出了必须估计总体方差的统计上显著的样本方差。仅仅因为基础分布是高斯的，所以5年是统计上显著的。假如它不是高斯的，而且α＜2.0，那么，这个样本方差就说明不了总体方差，这是因为，此时没有总体方差。样本方差被预期是不稳定的且不趋向任何数值，甚至当样本容量增加时也做不到。假如α≤1.0，同样可应用于均值，而均值在极限里也不存在。”（P190）
“当我指出，市场被无限方差所特征化，并不是说方差真是无限的。如同所有的分形结构，最终有一个分形规模变化停止应用的时间框架。在前几章里我讲过，树是分形结构。我们知道，树枝并不是呈现无限的小。这就像对市场收益，存在一个方差确为有限的样本容量。然而，我们在这里可以看到，在100年的日数据之后，标准差仍没收敛。因此，为完全实用的目的，市场收益将亦如它们是无限方差分布而运转。至少我们能断言，在我们的有生之年，它们都将表现得似乎是无限方差。”（P193）
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《分形市场分析》：
Fractal Market Analysis:
将混沌理论应用到投资与经济理论上
Applying Chaos Theory to Investment and Economics
[美]埃德加.E.彼得斯Edgar E. Peters
1994年初版于美国
经济科学出版社
2002年7月第1版
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