神马文学网弦切角定理
来源：百度文库 编辑：神马文学网 时间：2024/04/29 09:29:49
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弦切角定理
定义弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半. (弦切角就是切线与弦所夹的角）
证明
已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧是弦切角∠BAC所夹的弧.
求证：.
证明：分三种情况：
（1） 圆心O在∠BAC的一边AC上
∵AC为直径，AB切⊙O于A，
∴.
∵为半圆,
∴,
∴.
（2） 圆心O在∠BAC的内部.
过A作直径AD交⊙O于D,
那么
.
（3） 圆心O在∠BAC的外部,
过A作直径AD交⊙O于D
那么
.
∴.
由弦切角定理可以得到：
推论：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.
应用举例
例1：如图，在中，,,，以AB为弦的⊙O与AC相切于点A，求长.
解：连结OA，OB.
∵在中, ∠C=Rt∠
∴
∵ （弦切角定理）
∴
又∵AO=BO
∴为等边三角形
∴AO=AB==
∴
例2：如图，AD是ΔABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB，AC分别相交于E，F.
求证：EF∥BC.
证明：连DF.
AD是∠BAC的平分线 ∠BAD=∠DAC
∠EFD=∠BAD
∠EFD=∠DAC
⊙O切BC于D ∠FDC=∠DAC
∠EFD=∠FDC
EF∥BC
例3：如图，ΔABC内接于⊙O，AB是⊙O直径，CD⊥AB于D，MN切⊙O于C，
求证：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD.
证明：∵AB是⊙O直径
∴∠ACB=90
∵CD⊥AB
∴∠ACD=∠B，
∵MN切⊙O于C
∴∠MCA=∠B，
∴∠MCA=∠ACD，
即AC平分∠MCD，
同理：BC平分∠NCD.