神马文学网数学思想是求解问题的核心
来源：百度文库 编辑：神马文学网 时间：2024/04/27 04:43:06
江苏 刘顿
转眼之间又到了期中复习阶段了，相信同学们一定掌握不少的数学知识，有了这些数学知识就能很方便地解答问题，但同学们你曾想到若在解题时能灵活运用数学思想，往往会使求解避繁就简.不信我们看下面几例：
一、对应的思想
对应的思想方法具体表现在平面直角坐标系中的一个点对应着一对有序数对，即点的坐标；而每一对有序数对确定的坐标对应着平面中的一个点.具体地说，一对有序数对与平面直角坐标系中的点成一一对应的关系.
例1 在直角坐标系中，依次连接点(1，0)、(1，3)、(7，3)、(7，0)、(1，0)和点(0，3)、(8，3)、(4，5)、(0，3)两组图形共同组成了一个什么图形?如果将上面各点的横坐标都加上1，纵坐标都减1，那么用同样方式连接相应各点所得的图形发生了哪些变化?
简析 如图1，在直角坐标系中，依次连接点(1，0)、(1，3)、(7，3)、(7，0)、(1，0)和点(0，3)、(8，3)、(4，5)、(0，3)则共组成的图形是“小房子”.若将上面各点的横坐标都加上1，纵坐标都减1，再连接相应各点所得图形的形状、大小都不变，只是位置沿水平方向向右平移一个单位，再向下平移一个单位.
1
A
B
C
D
E
F
G
M
N
50°
图2
图1
x
y
2
4
7
5
6
4
7
3
1
9
2
－1
1
6
－1
8
3
O
5
说明 这里运用了对应，使图形在平移过程中只改变其位置，而不改变图形的大小和形状.
图3
二、转化的思想
转化的思想就是设法把待解决的问题通过某种转化归结到一类己经解决或容易解决的问题，最终获得解原题的一种手段或方法.如，在研究平行线时，通常要进行平行线与角之间的互相转化，在利用平移知识解决问题时通常要一般的图形转化为特殊的图形.等等.
例2 如图2，在△ABC中，D、E、F分别在AB、BC、AC上，且EF∥AB，要使DF∥BC，只需再有下列条件中的（ ）即可
A.∠1＝∠2 B.∠1＝∠DFE C.∠1＝∠AFD D.∠2＝∠AFD
简析 由图形可知，要使DF∥BC，只要能找到同位角相等或内错角相等或同旁内角互补即可.因为EF∥AB，所以∠1＝∠2，∠2＝∠DFE，即∠1＝∠DFE，故应选B.
说明 本题的求解过程是进行的平行线与角之间的转化.
例3 如图3，多边形的相邻两边均互相垂直，则这个多边形的周长为（ ）
A.21 B.26 C.37 D.42
简析 若要求此图形的周长，还真有点难度，但若考虑将图形中的阶梯线条向外围平移，就可以得到一个长为16，宽为5的长方形，于是就可以将此多边形看成是一个长为16，宽为5的长方形，则此多边形的周长是42，故应选D.
说明 本题在过程中是利用平移的知识将图形由一般向特殊转化，从而使问题简洁求解.
三、方程思想
方程思想就是从问题的数量关系分析入手，运用数学语言将问题中的条件变换为数学模型，如一元一次方程等等，然后通过解方程来使问题获解.
例4 已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分，求这个三角形的腰长.
简析 设等腰△ABC中，腰AB＝xcm，底BC＝ycm，D为AC边的中点.根据题意，得x+ x＝12，且y+ x＝21；或x+ x＝21，且y+ x＝12.解得x＝8，y＝17；或x＝14，y＝5.显然当x＝8，y＝17时，8＋8＜17不符合定理，应舍去.故此三角形的腰长是14cm.
说明 利用方程思想求解这类问题，不但方便快速，而且还容易让同学们接受.
例5 已知一个多边形的每一个内角都相等，且一个内角等于它相邻外角的9倍，求这个多边形的边数.
简析 若设多边形的每一个外角为x，则它的每一个内角为9x，根据题意，得x+9x＝180°.解得x＝18°，所以这个多边形共有 ＝20个外角，即多边形边数为20.
说明 本题还可以根据多边形内角和与外角和的整体关系求解.
综上所述，数学思想方法反映着数学概念、原理及规律的联系和本质，是同学们形成良好知识结构的纽带，是培养我们能力的桥梁.因此，同学们在求解题目时应及时地运用数学思想，这对全面提高数学成绩是大有裨益的.
转眼之间又到了期中复习阶段了，相信同学们一定掌握不少的数学知识，有了这些数学知识就能很方便地解答问题，但同学们你曾想到若在解题时能灵活运用数学思想，往往会使求解避繁就简.不信我们看下面几例：
一、对应的思想
对应的思想方法具体表现在平面直角坐标系中的一个点对应着一对有序数对，即点的坐标；而每一对有序数对确定的坐标对应着平面中的一个点.具体地说，一对有序数对与平面直角坐标系中的点成一一对应的关系.
例1 在直角坐标系中，依次连接点(1，0)、(1，3)、(7，3)、(7，0)、(1，0)和点(0，3)、(8，3)、(4，5)、(0，3)两组图形共同组成了一个什么图形?如果将上面各点的横坐标都加上1，纵坐标都减1，那么用同样方式连接相应各点所得的图形发生了哪些变化?
简析 如图1，在直角坐标系中，依次连接点(1，0)、(1，3)、(7，3)、(7，0)、(1，0)和点(0，3)、(8，3)、(4，5)、(0，3)则共组成的图形是“小房子”.若将上面各点的横坐标都加上1，纵坐标都减1，再连接相应各点所得图形的形状、大小都不变，只是位置沿水平方向向右平移一个单位，再向下平移一个单位.
1
A
B
C
D
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图2
图1
x
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－1
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5
说明 这里运用了对应，使图形在平移过程中只改变其位置，而不改变图形的大小和形状.
图3
二、转化的思想
转化的思想就是设法把待解决的问题通过某种转化归结到一类己经解决或容易解决的问题，最终获得解原题的一种手段或方法.如，在研究平行线时，通常要进行平行线与角之间的互相转化，在利用平移知识解决问题时通常要一般的图形转化为特殊的图形.等等.
例2 如图2，在△ABC中，D、E、F分别在AB、BC、AC上，且EF∥AB，要使DF∥BC，只需再有下列条件中的（ ）即可
A.∠1＝∠2 B.∠1＝∠DFE C.∠1＝∠AFD D.∠2＝∠AFD
简析 由图形可知，要使DF∥BC，只要能找到同位角相等或内错角相等或同旁内角互补即可.因为EF∥AB，所以∠1＝∠2，∠2＝∠DFE，即∠1＝∠DFE，故应选B.
说明 本题的求解过程是进行的平行线与角之间的转化.
例3 如图3，多边形的相邻两边均互相垂直，则这个多边形的周长为（ ）
A.21 B.26 C.37 D.42
简析 若要求此图形的周长，还真有点难度，但若考虑将图形中的阶梯线条向外围平移，就可以得到一个长为16，宽为5的长方形，于是就可以将此多边形看成是一个长为16，宽为5的长方形，则此多边形的周长是42，故应选D.
说明 本题在过程中是利用平移的知识将图形由一般向特殊转化，从而使问题简洁求解.
三、方程思想
方程思想就是从问题的数量关系分析入手，运用数学语言将问题中的条件变换为数学模型，如一元一次方程等等，然后通过解方程来使问题获解.
例4 已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分，求这个三角形的腰长.
简析 设等腰△ABC中，腰AB＝xcm，底BC＝ycm，D为AC边的中点.根据题意，得x+ x＝12，且y+ x＝21；或x+ x＝21，且y+ x＝12.解得x＝8，y＝17；或x＝14，y＝5.显然当x＝8，y＝17时，8＋8＜17不符合定理，应舍去.故此三角形的腰长是14cm.
说明 利用方程思想求解这类问题，不但方便快速，而且还容易让同学们接受.
例5 已知一个多边形的每一个内角都相等，且一个内角等于它相邻外角的9倍，求这个多边形的边数.
简析 若设多边形的每一个外角为x，则它的每一个内角为9x，根据题意，得x+9x＝180°.解得x＝18°，所以这个多边形共有 ＝20个外角，即多边形边数为20.
说明 本题还可以根据多边形内角和与外角和的整体关系求解.
综上所述，数学思想方法反映着数学概念、原理及规律的联系和本质，是同学们形成良好知识结构的纽带，是培养我们能力的桥梁.因此，同学们在求解题目时应及时地运用数学思想，这对全面提高数学成绩是大有裨益的.
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