数学选择题的结构及其常用解题方法举例

选择题作为一种标准化试题，在各类测试中均占有相当的比重．一次测试，尤其是中考的成功与否和正确解答选择题密切相关．但是，现行数学课标就选择题的解法既无典型范例，又无规范练习，教材中选择题的出现只有星星点点，而在考试中出现选择题的分值却占据总分的25%~40%．许多学生因找不到简捷的选择题解法，不仅花费了大量的时间，而且错误率甚高，严重影响着考生的成绩．近年来，通过许多师生的共同努力，在对选择题的研究上，已取得了有效突破，这些方法在考试中的运用，不仅提高了学生的解题速度，更主要的是使学生有章可寻，提高了学生的解答准确度．本文试从选择题的一些常见解法入手，就如何正确认识，辨析选择题，提高学生分析问题和解决问题的能力谈几点看法．
一、选择题的结构
选择题常由解题要求、题干（题设）和题支（选项）组成．解题要求是指解答选择题的指示语，如单选、多选等．题干是指每个选择题的条件，它可以由一个问句或一个半陈述句构成，题支是指备选答案，常有应选答案和迷惑答案组成，一般有四个选项，至少有一个正确的答案，这个正确的答案可叫优支，而不正确的答案可叫干扰支或惑支．数学中的选择题如没有特别说明，都是“四选一”，即有四个选项，其中有唯一的优支，其余的都是干扰支，但在近年的中考中如湖北的黄冈等地也出现了多选题．
例1：（2008年河南省）如图1，阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形又是关于坐标原点O成中心对称的图形．若点A的坐标是（1，3），则点M和点N的坐标分别是（）.
A．M（1,-3）,N（-1,-3） B．M（-1,-3），N（-1,3）
C．M（-1，-3），N（1，-3）D．M（-1,3），N（1，-3）
解析：从问题知点A和点M关于原点对称，点A和点N关于x对称．为了从4个选择支中选出优支，需要明确关于原点对称和关于x轴对称的点的坐标特征，即关于原点对称横坐标和纵坐标均互为相反数；关于x轴对称横坐标不变，纵坐标互为相反数，所以应选择C．而其余3个选项都是干扰支，它们似对非对，表面上看起来差不多，而意义相关甚远，（1，-3）表示的点和A点关于x轴对称，（-1,-3）表示的点和A点关于原点对称，（-1,3）表示的点和A点关于y轴对称．
从上面的例子可以看出，一个选择题的4个选择项总是真伪混杂，疑似之处甚多，3个干扰支从不同的角度迷惑着优支的选出．若对基本概念和基础知识理解不清，掌握不透彻，基本的数学思想和方法不熟练，就会很容易受干扰支影响，从而作出错误判断．这些干扰支就像一口口陷阱，真假难辨，它们似乎是，似乎又不是，学生若明辨能力不强，就可能跳进陷阱．因此，通过解选择题，可以澄清学生一些似是而非的认识，区分一些概念之间的联系与区别，更进一步掌握基本知识和基本方法
二、解选择题的常用方法
方法1：直接法
直接法是解选择题的一种最常用、最基本的方法．它是从选择题的题设条件入手，根据学过的定义、公式、公理、定理、法则进行正确的推理，求出结果得出结论，然后与各选择支比较，从四个选项中选出与已得出结论一致的正确答案的方法．其优点是解题自然，不受选择支的影响，运用数学知识，通过综合法直接得出正确的结论．缺点是有些题的计算和推理冗长，繁杂，要消耗测试者大量的时间和精力，甚至有些题不能用直接法来解．
例2：（2008年上海市）如图2，从圆外一点P引圆O的两条切线PA、PB，切点分别为A、B．如果∠APB＝60°，PA＝8，那么弦AB的长是（）.
A．4B．8
解析：此题主要考查切线长定理和等边三角形的定义，根据切线长定理知，PA＝PB，又∠APB＝60°，知△ABP为等边三角形，所以弦AB＝PA＝8，故选B．
方法2：排除法（也叫筛选法或淘汰法）
所谓排除法就是从题设条件入手，结合选项，通过观察、比较、猜想推理和计算，进行逐一排查，从四个选项中把最不正确的答案一一淘汰，最后得出正确答案的方法．其优点是可通过观察、比较、分析和判断，进行简单的推理和计算出正确的答案，特别对用直接法解之较困难而答案又模棱两可者更有效．其缺点是（1）若对隐含条件挖掘不深或抓不住问题本质特征时，在排查过程中容易出现遗漏；（2）易受干扰支的影响，做出错误判断．
例3：（2008年广西省桂林市）2008年5月12日，四川汶川发生8.0级大地震，我解放军某部火速向灾区推进，最初坐车以某一速度匀速前进，中途由于道路出现泥石流，被阻停下，耽误了一段时间，为了尽快赶到灾区救援，官兵们下车急行军匀速步行前往，下列是官兵们行进的距离s（千米）与行进时间t（小时）的函数大致图像，你认为正确的是（）.
解析：此题可逐个判断排除.A图表示我解放军某部火速向灾区推进，最初坐车以某一速度匀速前进，中途由于道路出现泥石流，被阻后没有停下，只是匀速前进的速度比开始速度要慢，与题意不符；B图表示我解放军某部火速向灾区推进，最初坐车以某一速度匀速前进，中途由于道路出现泥石流，被阻停下，耽误了一段时间，后又以一定的速度返回，与题意不符；D图表示我解放军某部火速向灾区推进，最初坐车以某一速度匀速前进，中途由于道路出现泥石流，被阻停下，耽误了一段时间，后又以开始时的速度继续前进，这与人的速度应比车的速度慢这一实事不符，而C图即表示出了我解放军某部火速向灾区推进，最初坐车以某一速度匀速前进，各中途由于道路出现泥石流，被阻停下，耽误了一段时间，又准确地表示出了官兵心系灾区，为了尽快赶到灾区救援，下车急行军匀速步行前往这一实事，故选C．
方法3：验证法（或叫择扰验证法）
当某些问题如方程、函数的一些问题较复杂时，可采用逆向思维的思路，即不求原题的结果，改成检验选择支的正确性，把选择支代入已知条件中使之问题简化，从而迅速找到优支的方法称为验证法．它要求测试者先分析题意，结合选择支，再依据与问题有关的数学知识，把自己经过分析和判断，认为最有可能的正确选项代入检验，若验证正确，即可直接选取，其余选项为干扰支可不再验证；若不正确，再验证第二可能选项，依次类推，若验证了3个均不正确，第4个不必验证，就可选取，若选项中有包含项，在验证被包含项成立后，还需验证包含项；验证被包含项不成立时，就否定了包含项．其优点是，题目条件把握准确，分析判断有据，一次到两次的验证就能得到正确答案，方法简便，准确率高；缺点是，若分析判断不准确，就需要验证达3次，计算和推理量大．
例4：（2008年湖北省随州市）若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（）.
A．50° B．80°
C．65°或50° D．50°或80°
分析：D选项包含A选项和B选项，所以应首先对A选项和B选项进行验证，这两个选项的正确与否，决定着D选项该不该选.通过验证A选项和B选项均符合题意，故选D.
例5：（2008年福建省福州市）已知三角形的两边长分别为4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（）.
A．13cmB．6cmC．5cmD．4cm
分析：本题可通过将选项与已知三角形的两边长进行比较，验证是否满足定理“三角形两边之和大于第三边”及其推论“三角形两边之差小于第三边”即可，通过验证知此题选B
方法4：取特殊值法
对于比较抽象，又具有一般性的结论，判断时较难，可在符合条件的允许值范围内，用某些特殊的数值替代题目的字母或一项，然后再做出特殊情况下的判断，类推出一般性结果，并判断出优支的方法叫取特殊值法．其优点是简单方便，减少了繁杂的计算和推理；缺点是易把不合题目要求的值代入计算，从而导致错误的结论．
例6：（2008年江苏省扬州市）若关于x的一元二次方程ax2+2x-5=0的两根在0与1之间（不含0和1），则a的取值范围是（）.
A. a＜3B.a＞3 C.a＜-3D.a＞-3
解析：对于A选项和D选项，可取a=0，知方程化为2x-5=0，与题目条件关于x的一元二次方程不符，故舍去；对于C选项，可取a=4，由于二次项系数和常数项异号，故方程一定有两个实数根，且一个根为正数，一个根为负数，故舍去，从而知本题选C．
方法5：图形法（或叫数形结合法）
有些选择题计算、推理和判断比较复杂，条件和结论似是而非，但这样难作判断的题目，一般能画出图形和图像来描述，从而借助图形、图像来进行直观判断，或结合题意和图像、图形进行简单的计算和推理，找出正确答案．其优点是形象直观，易于把复杂的计算、推理和判断简单化；缺点是把问题图形和图像化，需要学生有很强的数学基础知识和空间想象能力，容易造成一遇到较复杂的计算、推理和判断问题时，学生总在想能不能通过一个简单的图像和图形法进行解决，有时，反而适得其反，耽误了正常的计算和推理或寻找其他合适办法的时间，所以图形法应建立在应有数学能力的基础上，平时要加强训练，以求考试时能灵活应用．
例7：(2008年陕西省)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（其中a＞0，b＞0，c＜0），关于这个二次函数的图像有如下说法：①图像的开口一定向上；②图像的顶点一定在第四象限；③图像与x轴的交点至少有一个在y轴的右侧．以上说法正确的个数为（）.
A．0B．1 C．2D．3
分析：此题较抽象，可先画出符合条件的图形：据据a＞0知开口向上，据-＜0，知对称轴在y轴左侧，再有c＜0，知图像与y轴交点的位置在y轴负半轴，据此，画出符合要求的二次函数图像（图略），结合图像可知，该二次函数图像开口向上，顶点在第三象限，与x轴有两个交点，一个在x轴正半轴，一个在x轴负半轴，故本题应选C．
方法6：特例法（或叫特图法）
利用符合题设条件的某个特殊图形代替有关的一般图形，进行演绎推理，以达到判断各个选择支正确或错误的目的，这种解答选选择题的方法称为特例法．特例法的关键在于寻找特例，即寻找的特殊图形必须符合题设的要求，又有利于对问题的分析和解决．其优点是利用简单、特殊的图形，减少了繁杂的计算和推理；缺点是易把题目特殊成不合题目要求的图形，从而导致错误的结论．
例8：（2008年山东省济南市）如图3：等腰直角△ABC位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A在直线y＝x上，其中A点的横坐标为1，且两条直角边AB、AC分别平行于x轴、y轴，若双曲线y＝（k≠0）与△ABC有交点，则k的取值范围是（）.
A．1＜k＜2 B．1≤k≤3
C．1≤k≤4 D．1≤k＜4
解析：根据题目条件可求出A（1，1），B（3，1），C（1，3），本题若用直接法求k的取值范围，要分双曲线与边AB、AC、BC有交点3种情况来计算，计算量比较大．特例法较好地解决了这一问题，我们取双曲线与边AB、AC、BC有交点的特殊情况来计算：当双曲线过点A时，可计算出k＝1，当双曲线过点B时，同时过点C，可计算出k＝3，答案A可排除，但此时，我们发现当计算出k＝1到计算出k＝3，双四线向右移动的过程中始终没有与边BC相交，答案B不完全，被排除，是选C还是选D，我们再取特殊点，由于直线y＝x与BC的交点坐标易看出为（2，2），而双曲线过此点时，可算出k＝4，故选C．
方法7：转化法
转化法是指通过观察、分析、类比、联想等思维过程，借助某些性质、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，并选择运用恰当的数学方法加以变换，从而达到将复杂化为简单，将未知转化为已知，将抽象转化为具体的一种解题方法．
例9：（2008年辽宁省沈阳市）一次函数y＝kx＋b的图像如图4所示，当y＜0时，x的取值范围是（）.
A．x＞0B．x＜0
C．x＞2D．x＜2
解析：本题可直接根据题目条件求出一次函数y＝kx＋b的解析式为y＝-x＋3，再由y＜0时，得-x＋3＜0，从而将问题转化为解不等式的问题求出x的范围.但这种做法计算量有些大，问题中y＜0应转化为函数的值小于零，对于一次函数y＝kx＋b的图像来说，应是x轴下方的图像，从图中知，此时x＞2，故选C.虽然此题的两种解法都用到了转化的数学方法，但难易程度依然不同．
方法8：估算法
估算法适用于带一定计算因素的选择题，是通过对数据进行粗略、近似的估算，从而确定正确答案的一种解题方法．这类考题主要不在“数”，而在“理”，不追求数据精确，而追求方法正确．采用“估算”的方法可以忽略次要因素，抓住问题的本质，以达到快速求解的目的．
例10：（2008年黑龙江省哈尔滨市）如图5，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是（）．
A．3cmB．4cm
C．5cmD．6cm
解析：本题可通过在Rt△CEN中运用勾股定理求出线段CN的长，但运用估算的方法会使该题更简单：由于点E是BC的中点，所以EC＝4cm，在Rt△CEN中，由于EN是斜边，所以EN＞EC，即EN＞4 cm，又EN＝DN，而DN＋CN＝8 cm，可知CN＜4 cm，故选A．
方法9：观察法
观察法是指通过观察题目中数、式的变化规律，条件与结论之间的关系，题目的结构特点及图形的特征，从而发现题目中数量关系或变化特征，选出正确答案的种解题方法．在解答数学题时，必须先观察，有时根据需要，还要做出数学模型便于观察．观察是基础，是发现问题、解决问题的首要步骤．例如整体代入法，就是通过观察题目中数、式的变化规律，从而发现题设中的某些部分可以作为一个整体，采用换元或代入的方法解决，从而使问题得到简化．
例11：（2008年北京市）如图6，已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如右图所示.若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（）.
解析：本题中，一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹是关键，根据“两点之间，线段最短”知，蜗牛从P点出发，最后又回到P点，走的应该是一条线段，据此，通过观察四个选项，只有C、D符合，再进一步观察C、D两个选项，可以发现沿OM将圆锥侧面剪开并展开后，P点到点O的距离应相等，据此应选D.另外，解答本题最好的办法是制作一个圆锥，在圆锥上大致画出蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹，然后沿OM将圆锥侧面剪开并展开，观察和哪个选项一致．这种动手操作的实践能力，也是本题考查的初衷．