神马文学网三等分任意角浅思
来源：百度文库 编辑：神马文学网 时间：2024/04/28 12:50:01
概述：三等分任意角是古希腊三大作图名题（1.作一立方体，其体积为所知立方体体积的两倍；2.画圆为方，即作一正方形使其面积为已知圆的面积；3.尺规三等分任意角）之一。众所周知，二等分任意给定角用尺规很容易就能解决。而充满探索与挑战精神的人们又会想到用尺规如何三等分任意给定角，此后，许多数学家纷投入这一问题的解决。直到十九世纪，人们才严格证明了三等分任意角仅凭尺规不可能实现。到此，这一问题才告一段落。期间，有许多超越了尺规限制的作图方法：比如：希皮阿斯发明的割圆曲线，阿基米德螺线和尼科梅德斯蚌线等。
人们万万也不会想到但他们在潜心研究一些未解决的问题的时候，许多新的发现也会应运而生……
科学需要大胆的想象,或许引入数学公式可以实现超越尺规而三等分角,于是我想到了倍角的相关公式,引发了以下一系列的思考:
一:n倍角的正切值展开通式:
……
有如下特征：
①
②
即：对正相加分别作为下式相应项的分子系数；由下往上左偏相减作为下式相应项的分母系数。
③分子以“nt”开头，分母以“1”；若从第一项开始每两项为一对，
分子上：
奇数对的基数项（简称奇对奇项）以"t的n次方"结尾，奇对偶项以“n 倍的t的n-1次方”结尾；偶对奇项以"负的t的n次方"结尾，偶对偶项以“-n 倍t的n-1次方”结尾；
分母上：
奇对奇项以“n 倍的t的n-1次方”结尾，奇对偶项以“- t的n次方”结尾；偶对奇项以"n 倍的t的n-1次方"结尾；偶对偶项以"t的n次方"结尾。
注意：奇数项中分子.分母的项数相同，偶数项中分母项数比分子项数多一项。
综合以上特征和八个式子的系数关系，我们不难发现：
B下面我们用数学归纳法来验证上式的正确：
二：“T”型架三等分任意角
原理：如图设 AOB是要等分的任意角，O-MN“T”型架(MOp=NOp,MN┷OOp),作OB的平行线a（如图虚线），使OB与a的距离d=MOp=NOp.然后让“T”型架绕点O转动，当M点N点恰好分别落在OA与a上时，则得到的夹角 COB为其三等分角。易证明∠COB=∠AOOp=∠COOp.
上面的是‘1T ’型杆。一般地, ‘NT ’ 型杆可以‘2N+1’等分任意角。下面是五等分角示例：如图设 AOB是要等分的任意角，OT-MN为双“T”型架，作OB的平行线a（如图虚线），使OB与a的距离d=MO2=NO3.然后让“T”型架绕双T交汇点O1旋转，刚好使M.N.OT点分别落在OA.a.线上和O点上，则此时AOO2角即为五等分角。
