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Β函数，又称为贝塔函数或第一类欧拉积分，是一个特殊函数，由下式定义：

其中。

目录

[隐藏]
  • 1 性质
  • 2 伽玛函数与贝塔函数之间的关系
  • 3 导数
  • 4 估计
  • 5 不完全贝塔函数
    • 5.1 性质
  • 6 参见
  • 7 参考文献
  • 8 外部链接

[编辑] 性质

Β函数是对称的，也就是说：

它有许多其它的形式，包括：

其中是伽玛函数。

就像伽玛函数描述了阶乘一样，我们也可以用贝塔函数来定义二项式系数：

[编辑] 伽玛函数与贝塔函数之间的关系

为了推出两种函数之间的关系，我们把两个阶乘的乘积写为：

现在，设, ，因此：

利用变量代换a = rcosθ和b = rsinθ，可得：

因此，有：

[编辑] 导数

贝塔函数的导数是：

其中ψ(x)是双伽玛函数。

[编辑] 估计

斯特灵公式给出了一个用来近似计算贝塔函数的公式：

[编辑] 不完全贝塔函数

不完全贝塔函数是贝塔函数的一个推广，把贝塔函数中的定积分用不定积分来代替，就像不完全伽玛函数是伽玛函数的推广一样。

不完全贝塔函数定义为：

当x = 1，上式即化为贝塔函数。

正则不完全贝塔函数（或简称正则贝塔函数）由贝塔函数和不完全贝塔函数来定义：

当a和b是整数时，计算以上的积分（可以用分部积分法），可得：

[编辑] 性质

[编辑] 参见

  • 贝塔分布
  • 二项分布
  • 伽玛函数

[编辑] 参考文献

  • M. Zelen and N. C. Severo. in Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. （See §6.2, 6.6, and 26.5）
  • W. H. Press, B. P. Flannery, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1992. Second edition. (See section 6.4)
  • PlanetMath上用拉普拉斯变换来计算贝塔函数的资料。

[编辑] 外部链接

  • 贝塔函数计算器
  • 不完全贝塔函数计算器
  • 正则不完全贝塔函数计算器
取自“http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%CE%92%E5%87%BD%E6%95%B0”2个分类: 特殊超几何函数 | 伽玛及相关函数
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