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§8.6 微分法在几何上的应用
一、空间曲线的切线与法平面
1、曲线由参数方程给出的情形
设空间曲线 的参数方程为
(1)
假定(1)式中的三个函数均可导。
考虑 上对应于 的一点 及对应于 的邻近一点 ,其割线 的方程为
对等式同除以 得
当 时, ,曲线 在点 处的切线方程为
(2)
这里自然假定了 不能都为零。
切线的方向向量称为曲线的切向量,向量
就是曲线 在点 处的一个切向量。
过点 与切线垂直的平面称为曲线 在点 处的法平面,它是过点 ,以 为法向量的平面,此法平面方程为
(3)
2、曲线由特殊参数方程给出的情形
此方程可看作
若 在 处可导,则 ,曲线 在点 处的切线方程为
(4)
曲线 在点 处的法平面方程为
(5)
3、曲线由一般方程给出的情形
是曲线上的一点,此函数方程组可确定 是 的隐函数,即曲线可用(隐式)方程 来表示。
由第2部分的讨论,现在的关键是求 。
将 看作 的隐函数，方程两边分别对 求导数,可得
ð
ð
ð
ð ð
类似地,有
曲线在点 处的切向量本来为 ,但也可取向量
即
曲线的切线方程为
(6)
曲线的法平面方程为
(7)
当然,上述推导需要一些条件, 具有一阶连续偏导数,且
中至少有一个不为零。
【例1】求曲线
在点 处的切线方程与法平面方程。
解:
曲线的切线方程为
曲线的法平面方程为
二、曲面的切平面与法线
1、曲面方程由 给出的情形
设曲面 由方程
(9)
给出, 是 上的一点,假设函数 的偏导数在该点连续且不同时为零。
在 上,过点 任意引一条曲线 ,设它的参数方程为
对应于参数 ,且 不全为零。
则曲线 在点 的切线方程为
下证事实:
上过点 且具有切线的任何曲线 ,它们在点 处的切线均位于同一平面。
因为曲线 在曲面 上,故有
据假设有 ，即
(10)
引入向量
(10)式表明： 。
因为 是过 点且在 上的任意一条曲线,它们在点 的切线均垂直于同一非零向量 ,所以, 上过点 的一切曲线在 点的切线都位于同一个平面上。
这个平面称为曲面 在点 的切平面,其切平面方程为
(11)
过点 而垂直于切平面(11)的直线称为曲面在该点的法线,其法线方程为:
(12)
曲面在一点的切平面之法向量称为曲面在该点的法向量,因此,向量
便是曲面 在点 处的一个法向量。
2、曲面方程由 给出的情形
若曲面 由方程
给出,令
则
当偏导数 在点 连续时,曲面在点 的切平面方程为
(14)
曲面的法向量有两个
对于第一式,法向量的方向余弦为
由 ,法向量与 轴正向的夹角应为锐角,故此法向量的指向是朝上的。自然地,另一个法向量的指向是朝下的。
(13)式具有鲜明的几何意义
方程的右端恰好是函数在点 处的全微分；
方程的左端是切平面上点 的竖坐标的增量。
特别地,当 时
曲面在点 处的切平面为 ,此切平面平行于 坐标面,即曲面在点 处具有水平的切平面。
【例2】求球面 在点 处的切平面及法线方程。
解:
切平面方程为
法线方程为
因为点 在法线上,可见法线通过球心。
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