二次二次函数

　二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象

　　考点扫描

　　1．会用描点法画出二次函数的图象．

　　2．能利用图象或配方法确定抛物线的开口方向及对称轴、顶点的位置．

　　3．会根据已知图象上三个点的坐标求出二次函数的解析式．

　　名师精讲

　　1．二次函数y=ax²，y=a(x-h)²，y=a(x-h)²+k，y=ax²+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表： 

解析式

y=ax²

y=a(x-h)²

y=a(x-h)²+k

y=ax²+bx+c

顶点坐标

(0，0)

(h，0)

(h，k)

()

对 称 轴

x=0

x=h

x=h

x=

　　当h>0时，y=a(x-h)²的图象可由抛物线y=ax²向右平行移动h个单位得到，
　　当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到．
　　当h>0,k>0时，将抛物线y=ax²向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)²+k的图象；
　　当h>0,k<0时，将抛物线y=ax²向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象；
　　当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象；
　　当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象；
　　因此，研究抛物线 y=ax²+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)²+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便．

　　2．抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=，顶点坐标是()．

　　3．抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)，若a>0，当x≤时，y随x的增大而减小；当x≥时，y随x的增大而增大．若a<0，当x≤时，y随x的增大而增大；当x≥时，y随x的增大而减小．

　　4．抛物线y=ax²+bx+c的图象与坐标轴的交点：

　　(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；

　　(2)当△=b²-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x₁,0)和B(x₂,0)，其中的x₁,x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0
(a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x₂-x₁|=．

　　当△=0．图象与x轴只有一个交点；

　　当△<0．图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0．

　　5．抛物线y=ax²+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，则当x=时，y_{最小(大)值}=．

　　顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值．

　　6．用待定系数法求二次函数的解析式

　　(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：
y=ax²+bx+c(a≠0)．

　　(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)²+k(a≠0)．

　　(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x₁)(x-x₂)(a≠0)．

　　7．二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现．

中考典例

　　1．(北京西城区)抛物线y=x²-2x+1的对称轴是(　 )

　　(A)直线x=1　　　 (B)直线x=-1　　 (C)直线x=2　　　 (D)直线x=-2

　　考点：二次函数y=ax²+bx+c的对称轴．

　　评析：因为抛物线y=ax²+bx+c的对称轴方程是：y=-，将已知抛物线中的a=1，b=-2代入，求得x=1，故选项A正确．

　　另一种方法：可将抛物线配方为y=a(x-h)²+k的形式，对称轴为x=h，已知抛物线可配方为y=(x-1)²，所以对称轴x=1，应选A．

　　2．( 北京东城区)有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：

　　甲：对称轴是直线x=4；

　　乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；

　　丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3．

　　请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式：　　　　　　　　　　　　　　　　 ．

　　考点：二次函数y=ax²+bx+c的求法

　　评析：设所求解析式为y=a(x-x₁)(x-x₂)，且设x₁＜x₂，则其图象与y轴两交点分别是A(x₁，0)，B(x₂，0)，与y轴交点坐标是(0，ax₁x₂).

　　∵抛物线对称轴是直线x=4，

　　∴x₂-4=4 - x₁即：x₁+ x₂=8　　　　①

　　∵S_△ABC=3，∴(x₂- x₁)·|a x₁ x₂|= 3，

　　即：x₂- x₁=　　　　②

　　①②两式相加减，可得：x₂=4+，x₁=4-

　　∵x₁，x₂是整数，ax₁x₂也是整数，∴ax₁x₂是3的约数，共可取值为：±1，±3。

　　当ax₁x₂=±1时，x₂=7，x₁=1，a=±

　　当ax₁x₂=±3时，x₂=5，x₁=3，a=±

　　因此，所求解析式为：y=±(x-7)(x-1)或y=±(x-5)(x-3)

　　即：y=x²-x+1 或y=-x²+x-1 或y=x²-x+3 或y=-x²+x-3

　　说明：本题中，只要填出一个解析式即可，也可用猜测验证法。例如：猜测与x轴交点为A(5，0)，B(3，0)。再由题设条件求出a，看C是否整数。若是，则猜测得以验证，填上即可。

　　5．( 河北省)如图13-28所示，二次函数y=x²-4x+3的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，则△ABC的面积为(　 )

　　A、6　　　　B、4　　　　C、3　　　　D、1

　　考点：二次函数y=ax²+bx+c的图象及性质的运用。

　　评析：由函数图象可知C点坐标为(0，3)，再由x²-4x+3=0可得x₁=1，x₂=3所以A、B两点之间的距离为2。那么△ABC的面积为3，故应选C。

图13-28　　

　　6．( 安徽省)心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位：分)之间满足函数关系：y=-0.1x²+2.6x+43(0＜x＜30)。y值越大，表示接受能力越强。

　　(1)x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？

　　(2)第10分时，学生的接受能力是什么？

　　(3)第几分时，学生的接受能力最强？

　　考点：二次函数y=ax²+bx+c的性质。

　　评析：将抛物线y=-0.1x²+2.6x+43变为顶点式为：y=-0.1(x-13)²+59.9，根据抛物线的性质可知开口向下，当x≤13时，y随x的增大而增大，当x>13时，y随x的增大而减小。而该函数自变量的范围为：0≤x≤30，所以两个范围应为0≤x≤13；13≤x≤30。将x=10代入，求函数值即可。由顶点解析式可知在第13分钟时接受能力为最强。解题过程如下：

　　解：(1)y=-0.1x²+2.6x+43=-0.1(x-13)²+59.9

　　所以，当0≤x≤13时，学生的接受能力逐步增强。

　　当13＜x≤30时，学生的接受能力逐步下降。

　　(2)当x=10时，y=-0.1(10-13)²+59.9=59。

　　第10分时，学生的接受能力为59。

　　(3)x=13时，y取得最大值，

　　所以，在第13分时，学生的接受能力最强。

　　9．( 河北省)某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题：

　　(1)当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；

　　(2)设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数关系式(不必写出x的取值范围)；

　　(3)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？

　　解：(1)当销售单价定为每千克55元时，月销售量为：500–(55–50)×10=450(千克)，所以月销售利润为
:(55–40)×450=6750(元)．

　　(2)当销售单价定为每千克x元时，月销售量为：[500–(x–50)×10]千克而每千克的销售利润是:(x–40)元，所以月销售利润为：

　　y=(x–40)[500–(x–50)×10]=(x–40)(1000–10x)=–10x²+1400x–40000(元)，

　　∴y与x的函数解析式为：y =–10x²+1400x–40000．

　　(3)要使月销售利润达到8000元，即y=8000，∴–10x²+1400x–40000=8000，

　　即：x²–140x+4800=0，

　　解得：x₁=60，x₂=80．

　　当销售单价定为每千克60元时，月销售量为：500–(60–50)×10=400(千克)，月销售成本为：
40×400=16000(元)；

　　当销售单价定为每千克80元时，月销售量为：500–(80–50)×10=200(千克)，月销售单价成本为：
40×200=8000(元)；

　　由于8000＜10000＜16000，而月销售成本不能超过10000元，所以销售单价应定为每千克80元．