一元二次方程与二次函数

中考数学重难点专题讲座
第四讲 一元二次方程与二次函数
智康·刘豪
【前言】前三讲，笔者主要是和大家探讨中考中的几何综合问题，在这一类问题当中，尤以第三讲涉及的动态几何问题最为艰难。几何问题的难点在于想象，构造，往往有时候一条辅助线没有想到，整个一道题就卡壳了。相比几何综合题来说，代数综合题倒不需要太多巧妙的方法，但是对考生的计算能力以及代数功底有了比较高的要求。中考数学当中，代数问题往往是以一元二次方程与二次函数为主体，多种其他知识点辅助的形式出现的。所以在接下来的专题当中，我们将对代数综合问题进行仔细的探讨和分析。
一元二次方程与二次函数问题当中，纯粹的一元二次方程解法通常会以简单解答题的方式考察。但是在后面的中难档大题当中，通常会和根的判别式，整数根和抛物线等知识点结合，所以我们继续通过真题来看看此类问题的一般解法。
第一部分  真题精讲
【例1】2010，西城，一模
已知：关于的方程．
⑴求证：取任何实数时，方程总有实数根；
⑵若二次函数的图象关于轴对称．
①求二次函数的解析式；
②已知一次函数，证明：在实数范围内，对于的同一个值，这两个函数所对应的函数值均成立；
⑶在⑵条件下，若二次函数的图象经过点，且在实数范围内，对于的同一个值，这三个函数所对应的函数值，均成立，求二次函数的解析式．
【思路分析】本题是一道典型的从方程转函数的问题，这是比较常见的关于一元二次方程与二次函数的考查方式。由于并未说明该方程是否是一元二次方程，所以需要讨论M=0和M≠0两种情况，然后利用根的判别式去判断。第二问的第一小问考关于Y轴对称的二次函数的性质，即一次项系数为0，然后求得解析式。第二问加入了一个一次函数，证明因变量的大小关系，直接相减即可。事实上这个一次函数恰好是抛物线的一条切线，只有一个公共点（1，0）。根据这个信息，第三问的函数如果要取不等式等号，也必须过该点。于是通过代点，将用只含a的表达式表示出来,再利用,构建两个不等式,最终分析出a为何值时不等式取等号,于是可以得出结果.
【解析】
解：（1）分两种情况：
当时，原方程化为，解得， （不要遗漏）
∴当，原方程有实数根.
当时，原方程为关于的一元二次方程，
∵.
∴原方程有两个实数根. （如果上面的方程不是完全平方式该怎样办？再来一次根的判定，让判别式小于0就可以了，不过中考如果不是压轴题基本判别式都会是完全平方式，大家注意就是了）
综上所述，取任何实数时，方程总有实数根.
（2）①∵关于的二次函数的图象关于轴对称，
∴.（关于Y轴对称的二次函数一次项系数一定为0）
∴.
∴抛物线的解析式为.
②∵，（判断大小直接做差）
∴（当且仅当时，等号成立）.
（3）由②知，当时，.
∴、的图象都经过.     （很重要，要对那个等号有敏锐的感觉）
∵对于的同一个值，，
∴的图象必经过.
又∵经过，
∴. （巧妙的将表达式化成两点式，避免繁琐计算）
设.
∵对于的同一个值，这三个函数所对应的函数值均成立，
∴，

∴.
又根据、的图象可得 ，
∴.（a>0时,顶点纵坐标就是函数的最小值）
∴.
∴.
而.
只有，解得.
∴抛物线的解析式为.
【例2】2010，门头沟，一模
关于的一元二次方程.
（1）当为何值时，方程有两个不相等的实数根；
（2）点是抛物线上的点，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，若点与点关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物线只交于点的直线，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由.
【思路分析】第一问判别式依然要注意二次项系数不为零这一条件。第二问给点求解析式，比较简单。值得关注的是第三问，要注意如果有一次函数和二次函数只有一个交点，则需要设直线y=kx+b以后联立，新得到的一元二次方程的根的判别式是否为零，但是这样还不够，因为y=kx+b的形式并未包括斜率不存在即垂直于x轴的直线,恰恰这种直线也是和抛物线仅有一个交点,所以需要分情况讨论,不要遗漏任何一种可能.
【解析】：
（1）由题意得
解得

解得
当且时，方程有两个不相等的实数根.
（2）由题意得
解得（舍） (始终牢记二次项系数不为0)

（3）抛物线的对称轴是
由题意得  (关于对称轴对称的点的性质要掌握)
与抛物线有且只有一个交点  (这种情况考试中容易遗漏)
另设过点的直线（）
把代入，得，


整理得
有且只有一个交点，
解得

综上，与抛物线有且只有一个交点的直线的解析式有，
【例3】
已知P（)和Q（1，）是抛物线上的两点．
（1）求的值；
（2）判断关于的一元二次方程=0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由；
（3）将抛物线的图象向上平移（是正整数）个单位，使平移后的图象与轴无交点，求的最小值．
【思路分析】 拿到题目，很多同学不假思索就直接开始代点，然后建立二元方程组，
十分麻烦，计算量大，浪费时间并且可能出错。但是仔细看题，发现P,Q纵坐标是一样的，说明他们关于抛物线的对称轴对称。而抛物线只有一个未知系数，所以轻松写出对称轴求出b。 第二问依然是判别式问题，比较简单。第三问考平移，也是这类问题的一个热点，在其他区县的模拟题中也有类似的考察。考生一定要把握平移后解析式发生的变化，即左加右减(单独的x),上加下减(表达式整体)然后求出结果。
【解析】
(1)因为点P 、Q在抛物线上且纵坐标相同，所以P、Q关于抛物线对称轴对称并且到对称轴距离相等．
所以，抛物线对称轴，所以，．
（2）由（1）可知，关于的一元二次方程为=0．
因为，=16-8=80．
所以，方程有两个不同的实数根，分别是
，．
（3）由（1）可知，抛物线的图象向上平移（是正整数）个单位后的解析式为．
若使抛物线的图象与轴无交点，只需 无实数解即可．
由==<0，得
又是正整数，所以得最小值为2．
【例4】2010，昌平，一模
已知抛物线，其中是常数．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）若，且抛物线与轴交于整数点（坐标为整数的点），求此抛物线的解析式．
【思路分析】本题第一问较为简单，用直接求顶点的公式也可以算，但是如果巧妙的将a提出来,里面就是一个关于X的完全平方式,从而得到抛物线的顶点式,节省了时间.第二问则需要把握抛物线与X轴交于整数点的判别式性质.这和一元二次方程有整数根是一样的.尤其注意利用题中所给,合理变换以后代入判别式,求得整点的可能取值.
（1）依题意，得，
∴

∴抛物线的顶点坐标为
（2）∵抛物线与轴交于整数点，
∴的根是整数．
∴是整数．
∵，
∴是整数．
∴是整数的完全平方数．
∵，
∴．  (很多考生想不到这种变化而导致后面无从下手)
∴取1，4，
当时，； 当时， ．
∴的值为2或 ．
∴抛物线的解析式为或．
【例5】2010，平谷，一模
已知：关于的一元二次方程（为实数）
（1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；
（2）在（1）的条件下，求证：无论取何值，抛物线总过轴上的一个固定点；
（3）若是整数，且关于的一元二次方程有两个不相等的整数根，把抛物线向右平移个单位长度，求平移后的解析式．
【思路分析】本题第一问比较简单，直接判别式≥0就可以了，依然不能遗漏的是m-1≠0。第二问则是比较常见的题型.一般来说求固定点既是求一个和未知系数无关的X,Y的取值.对于本题来说,直接将抛物线中的m提出,对其进行因式分解得到y=(mx-x-1)(x+1)就可以看出当x=-1时,Y=0，而这一点恰是抛物线横过的X轴上固定点.如果想不到因式分解,由于本题固定点的特殊性(在X轴上),也可以直接用求根公式求出两个根,标准答案既是如此,但是有些麻烦,不如直接因式分解来得快.至于第三问,又是整数根问题+平移问题,因为第二问中已求出另一根,所以直接令其为整数即可,比较简单.
解：（1）
∵方程有两个不相等的实数根,
∴
∵,
∴的取值范围是且.
（2）证明：令得.
∴.
∴ (这样做是因为已经知道判别式是,计算量比较小,如果根号内不是完全平方就需要注意了)
∴抛物线与轴的交点坐标为,
∴无论取何值，抛物线总过定点
（3）∵是整数  ∴只需是整数.
∵是整数，且,
∴
当时，抛物线为．
把它的图象向右平移个单位长度，得到的抛物线解析式为

【总结】 中考中一元二次方程与二次函数几乎也是必考内容，但是考点无非也就是因式分解，判别式，对称轴，两根范围，平移以及直线与抛物线的交点问题。总体来说这类题目不难，但是需要计算认真，尤其是求根公式的应用一定要注意计算的准确性。这种题目大多包涵多个小问。第一问往往是考验判别式大于0，不要忘记二次项系数为0或者不为0的情况。第2,3问基于函数或者方程对其他知识点进行考察，考生需要熟记对称轴，顶点坐标等多个公式的直接应用。至于根与系数的关系（韦达定理）近年来中考已经尽量避免提及，虽不提倡但是应用了也不会扣分，考生还是尽量掌握为好，在实际应用中能节省大量的时间。
第二部分 发散思考
【思考1】. 2010，北京中考
已知关于的一元二次方程有实数根，为正整数.
（1）求的值；
（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于的二次函数的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；
（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线
与此图象有两个公共点时，的取值范围.
【思路分析】去年中考原题,相信有些同学已经做过了.第一问自不必说，判别式大于0加上k为正整数的条件求k很简单.第二问要分情况讨论当k取何值时方程有整数根,一个个代进去看就是了,平移倒是不难,向下平移就是整个表达式减去8.但是注意第三问,函数关于对称轴的翻折,旋转问题也是比较容易在中考中出现的问题,一定要熟练掌握关于对称轴翻折之后函数哪些地方发生了变化,哪些地方没有变.然后利用画图解决问题.
【思考2】2009，东城，一模
已知：关于的一元二次方程
（1）若求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若12＜m＜40的整数，且方程有两个整数根，求的值．
【思路分析】本题也是整根问题，但是不像上题，就三个值一个个试就可以试出来结果。本题给定一个比较大的区间,所以就需要直接用求根公式来计算.利用已知区间去求根的判别式的区间,也对解不等式做出了考察.
【思考3】2009，海淀，一模
已知: 关于x的一元一次方程kx=x+2 ①的根为正实数，二次函数y=ax2-bx+kc
（c≠0）的图象与x轴一个交点的横坐标为1.
（1）若方程①的根为正整数，求整数k的值；
（2）求代数式的值；
（3）求证: 关于x的一元二次方程ax2-bx+c=0 ②必有两个不相等的实数根.
【思路分析】本题有一定难度，属于拉分题目。第一问还好，分类讨论K的取值即可。第二问则需要将k用a,b表示出来,然后代入代数式进行转化.第三问则比较繁琐,需要利用题中一次方程的根为正实数这一条件所带来的不等式,去证明二次方程根的判别式大于0.但是实际的考试过程中,考生在化简判别式的过程中想不到利用已知条件去套未知条件,从而无从下手导致失分.
【思考4】2009，顺义,一模
. 已知：关于的一元二次方程．
（1）求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根满足，求的值．
【思路分析】这一题第二问有些同学想到直接平方来去绝对值,然后用韦达定理进行求解,但是这样的话计算量就会非常大,所以此题绕过韦达定理,直接用根的判别式写出,
发现都是关于m的一次表达式, 做差之后会得到一个定值.于是问题轻松求解. 这个题目告诉我们高级方法不一定简单,有的时候最笨的办法也是最好的办法.
第三部分 思考题解析
【思考1解析】
解：（1）由题意得，．
∴．
∵为正整数，
∴．
（2）当时，方程有一个根为零；
当时，方程无整数根；
当时，方程有两个非零的整数根．
综上所述，和不合题意，舍去；符合题意．
当时，二次函数为，把它的图象向下平移8个单位得到的图象的解析式为．
（3）设二次函数的图象与轴交于
两点，则，．
依题意翻折后的图象如图所示．
当直线经过点时，可得；
当直线经过点时，可得．
由图象可知，符合题意的的取值范围为．
【思考2解析】
证明： 
 
∴方程有两个不相等的实数根。
（2）
∵方程有两个整数根，必须使且m为整数．
又∵12＜m＜40，

∴　5＜＜9．

∴m=24
【思考3解析】
解：由 kx=x+2，得(k-1) x=2.
依题意 k-1≠0.
∴ .
∵ 方程的根为正整数，k为整数,
∴ k-1=1或k-1=2.
∴ k1= 2, k2=3.
（2）解：依题意，二次函数y=ax2-bx+kc的图象经过点（1，0），
∴ 0 =a-b+kc,  kc = b-a .
∴
=
（3）证明：方程②的判别式为 Δ=(-b)2-4ac= b2-4ac.
由a≠0, c≠0, 得ac≠0.
( i ) 若ac<0, 则-4ac>0. 故Δ=b2-4ac>0. 此时方程②有两个不相等的实数
根.
( ii ) 证法一: 若ac>0, 由(2)知a-b+kc =0, 故 b=a+kc.
Δ=b2-4ac= (a+kc)2-4ac=a2+2kac+(kc)2-4ac = a2-2kac+(kc)2+4kac-4ac
=(a-kc)2+4ac(k-1).
∵ 方程kx=x+2的根为正实数，
∴ 方程(k-1) x=2的根为正实数.
由 x>0, 2>0, 得 k-1>0.
∴ 4ac(k-1)>0.
∵ (a-kc)2³0,
∴Δ=(a-kc)2+4ac(k-1)>0. 此时方程②有两个不相等的实数根.
证法二: 若ac>0,
∵ 抛物线y=ax2-bx+kc与x轴有交点,
∴ Δ1=(-b)2-4akc =b2-4akc³0.
(b2-4ac)-( b2-4akc)=4ac(k-1).
由证法一知 k-1>0,
∴ b2-4ac> b2-4akc³0.
∴ Δ= b2-4ac>0. 此时方程②有两个不相等的实数根.
综上, 方程②有两个不相等的实数根.
【思考4解析】
（1）-


不论取何值，方程总有两个不相等实数根
（2）由原方程可得
∴ --
∴ 
又∵ 
∴
∴-
经检验：符合题意．
∴ 的值为4．