摆线及相关问题

摆线及相关问题

215003  苏州市教育局教研室  罗强

一、问题的提出

    我们知道沿直线前进的自行车车轮上的点既随着自行车作向前的直线运动，又以车轴为圆心作圆周运动，如果我们仔细观察这个点的运动轨迹，会发现这个点在我们眼前划出了一道道优美的弧线。

其实，很早以前人们就对沿直线前进的马车车轮上的点的轨迹产生了浓厚的研究兴趣，有人认为这个轨迹是一段段周而复始的圆弧，也有人认为这个轨迹是一段段的抛物线。你认为呢？

二、摆线的定义与研究历史

^摆点

^母圆

^基线

探讨摆线的各种性质是十七世纪数学家们的兴趣集中点之一，历史上较早对这种曲线给出定义的是法国数学家梅森（Marin Mersenne，1588年~1648年），他于1615年把当车轮沿地面作无滑动的滚动时，车轮边缘上一个定点的轨迹定义为旋轮线。1637年，法国数学家笛卡尔出版了《几何学》一书，把变量和直角坐标系引进数学，创建了解析几何，成为“数学中的转折点”。之后，有许多著名的学者对摆线进行了长期的研究。例如，法国科学家帕斯卡(Blaise Pascal，1623年~1662年)于1658年出版了《摆线通论》，对摆线进行了充分的研究，这给莱布尼茨很大的启发，促使了微积分的建立；还有荷兰数学家惠更斯，瑞士数学家约翰·伯努利，意大利科学家伽利略，英国数学家牛顿等许多著名的学者都曾研究过摆线，得到了许多重要的成果。随着科学技术的发展，摆线在生产实践中的应用越来越广泛。

三、摆线的方程

图1

a

(P)O

x

y

A

B

P

C

D

设点P(x,y)为轨迹上任意一点，圆心滚动到B点时，圆与直线相切于A点。取∠ABP=θ为参数，作PD⊥Ox，PC⊥AB，垂足分别为D、C，因为OA的长等于的长，得

       因此，所求摆线的参数方程是

            ——（※）

如果消去参数θ，那么可以得到摆线在 内一段的普通方程为

    在这个方程中出现了反三角函数，不便于对它进行讨论和作图，因此通常根据摆线的参数方程（※）来研究摆线的性质。

四、摆线的两个重要性质

    在物理学中，摆线有两项很重要的性质，称为最速降线性质与等时性质。

1.最速降线问题

B

A

意大利科学家伽利略在1630年提出这个问题，并将此抽象为一个分析学的基本问题──“一个质点在重力作用下，从给定点A到不在它垂直下方的另一点B，如果不计摩擦力，问沿着什么曲线滑下所需时间最短。” 显然，直线不可能是最速降线，伽利略认为这曲线是圆弧，但这也是一个错误的答案。

瑞士数学家约翰·伯努利在1696年以挑战的口吻向当时全欧洲的数学家再提出这个最速降线的问题，征求解答。次年，有多位数学家得到了正确答案，其中包括牛顿、莱布尼兹、洛必达、约翰·伯努利和他的哥哥雅各布·伯努利。这个问题的困难之处在于和普通的已知函数求极大值极小值不同，它要求出一个未知函数（曲线）来满足所给条件。这个问题的正确答案是连接两个点上凹的一段摆线。约翰·伯努利的学生——大数学家欧拉也在1726年开始发表有关的论著，并在1744年最先给了这类问题的普遍解法，从而导致了变分法这一新的数学分支的产生。

    2.摆线的等时性质

由于普通单摆的周期与振幅的大小有关，过去的重力齿轮式钟往往走时不准。如果在摆的摆动平面内做两个摆线型挡板，在挡板的限制下，单摆的周期就与振幅的大小无关了，这时摆的运动轨迹也是一段摆线。十七世纪，摆线即以此性质闻名，摆线的名称也就是由此而来的。

C

A

B

荷兰物理学家、天文学家、数学家惠更斯对摆线做了比较充分的研究，1656年开始，惠更斯首先将摆引入时钟，发明了摆钟，并发表了《摆钟》（1658年）及《摆式时钟或用于时钟上的摆的运动的几何证明》（1673年）。在第二本书中，他提出了著名的单摆周期公式，指出单摆的运动不严格等时。而后他从证明摆线的几何性质开始，进而研究摆线在机械上的应用，最终利用摆线理论设计出了包含擒纵器结构的严格等时的摆钟。

图2

图3

哥白尼（Nicoiaus Copernicus,1473年~1543年）曾研究过这么一个问题，如果一个圆在直径2倍于它的圆内沿圆周滚动，则小圆周上的每个点的轨迹都是一条直线段。你能证明或否定这一结论吗？

1.内摆线：当一个圆在与其内切的定圆内作无滑动的滚动时，动圆圆周上一个定点的轨迹叫做内摆线。

2.外摆线：当一个圆沿一个与它外切的定圆作无滑动的滚动时，动圆圆周上一个定点的轨迹叫做外摆线。

内摆线和外摆线的方程、图象和性质请读者自己研究。有一种称为“繁花规”的玩具它画出的实际上就是内摆线型曲线，正如右图所示，摆线家族的成员全都非常美丽，读者不妨自己尝试作一些看看。

    六、摆线的实际应用

一般地，在前进的汽车的车轮上不可能有向后运动的点，因为汽车车轮上的点的运动轨迹只可能是普通摆线或短摆线。但是，飞速前进的火车车轮上是可以找到向后运动的点的，因为火车车轮有着特殊的结构。它由三层圆盘重叠而成，外层的两个圆盘半径大于内层圆盘的半径，当内层圆盘贴着钢轨前进时，外层圆盘上就存在一部分长摆线的摆点。

联合收割机前面的拔禾滚轮的运动轨迹就是长摆线，我们可以看到它是打着圈前进的，首先垂直插入麦穗，再向后拨麦杆让割刀切割后，再垂直抽起，这就是拔禾滚轮的工作原理。

不少农业机械如水稻插秧机秧爪排轴心的运动轨迹，旋耕机刀片端点的运动轨迹都是摆线型曲线。

十五世纪的意大利艺术家、科学家达·芬奇发明了许多机械，也使用了齿轮。但这个时期的齿轮齿与齿之间不能很好地啮合。这样，只能加大齿与齿之间的空隙，而这种过大的间隙必然会产生松驰的现象。后来，为了使齿轮啮合适得更精确，希望通过计算方法得到齿轮的形状。因而，数学家们也参加了齿轮研究工作。1674年，丹麦天文学家雷米尔发表了关于制造齿轮的基准曲线（摆线）的论述。1766年，法国的数学家卡诺又发表了更详细的论述。当前，在机械传动中有很多精密仪器的齿轮采用摆线作为外形线，采用摆线作为外形线的齿轮磨损少，传动平稳，具有省力、耐用和噪音小的特点。例如机械手表中的齿轮就采用摆线齿。此外，目前摆线在工业中广泛应用还有摆线针轮行星减速器、摆线液压马达等。