高考热点——递推数列问题分类解析-数学-学科复习-高考复习-腾龙远程教育网

　　1、线性递推问题　　

　　此类问题的一般模型是已知(或可求得)线性递推关系：a_n+1=ca_n+d，a₁=b(其中b，c，d均为常数，且c≠0，1)求通项a_n。常用下述方法求解：

　　1.1 递推法

　　即以a_n+1=ca_n+d作为递推公式直接进行递推，并归纳得到通项a_n。

　　a_n=ca_n-1+d=c(ca_n-2+d)+d=c²a_n-2+(1+c)d=c²(ca_n-3+d)+(1+c)d=c³a_n-3+(1+c+c²)d=…

　　=c^n-1a₁+(1+c+c²+…+c^n-2)d=c^n-1b+d=

　　∴a_n=①

　　1.2 解方程组法

　　由a_n+2-a_n+1=c(a_n+1-a_n)得：数列{a_n+1-a_n}是首项为a₂-a₁=(c-1)b+d，公比为c的等比数列，

　　∴a_n+1-a_n=[(c-1)b+d]c^n-1=bcⁿ+(d-b)c^n-1，

　　解方程组

　　消去a_n+1即得到通项公式①。

　　1.3 参数法

　　对a_n+1=ca_n+d两端同时加上参数t得：

　　a_n+1+t=ca_n+d+t=c(a_n+)，

　　令t=，得t=，

　　数列{a_n+t}是首项为

　　a₁+t=b+，公比为c的等比数列，

　　∴a_n+t=(b+)c^n-1，

　　将t=代入并移项即得到通项公式①。

　　1.4 求和法

　　对a_n+1=ca_n+d两端除以cⁿ⁺¹得：

　　，即，

　　∴+…+()+

　　=()+

　　=，

　　a_n=cⁿ[]=。

　　1.5 归纳法

　　即先由不完全归纳法得到猜想通项公式①，再应用数学归纳法进行证明。

　　[例1](2000年北京春季高考题)已知函数f(x)=-2x+2，x∈[，1]，设f(x)的反函数为y=g(x)，a₁=1，a₂=g(a₁)，…，a_n=g(a_n-1)，求数列{a_n}的通项公式，并求a_n。

　　解析：由g(x)=-x+1、a₁=1得：

　　a₂=g(a₁)=，

　　a_n=g(a_n-1)=-a_n-1+1，

　　a_n+2-a_n+1=(-)(a_n+1-a_n)，

　　∴a_n+1-a_n=(a₂-a₁)(-)^n-1=(-)ⁿ，

　　a_n=(a_n-a_n-1)+(a_n-1-a_n-2)+…+(a₂-a₁)+a₁=(-)^n-1+(-)^n-2+…+(-)+1=[1-(-)ⁿ]，

　　a_n=。

　　说明：上述五种方法，实际上是给出了将线性递推数列，转化为可求通项的数列的五种转化的办法，这些转化的思想方法，也常用于解决非线性递推问题，应熟练掌握。

　　1.6 当a_n+2=pa_n+1+qa_n时通项的求法(其中p、q为常数且pq≠0)

　　引入参数λ₁、λ₂使

　　a_n+2-λ₁a_n+1=λ₂(a_n+1-λ₁a_n),

　　即a_n+2=(λ₁+λ₂)a_n+1-λ₁λ₂a_n,

　　与原式比较系数得：

　　λ₁+λ₂＝p,λ₁λ₂=-q,

　　即λ₁、λ₂是方程λ²=pλ+q②的根，方程②称为特征方程，解之可得λ₁、λ₂及等比数列{a_n+1-λ₁a_n}，

　　a_n+1-λ₁a_n=(a₂-λ₁a₁)λ，

　　利用求和法可求通项。

　　[例2](2002年春季高考题)已知点的序列A_n(x_n，0)，n∈N，其中x₁=0，x₂=a(a＞0)，A₃是线段A₁A₂的中点，A₄是线段A₂A₃的中点，…，A_n是线段A_n-2A_n-1的中点，…。(I)写出x_n与x_n-1、x_n-2之间的关系式(n≥3)；(II)设a_n=x_n+1-x_n，求数列{a_n}的通项公式；(III)求x_n。

　　解析：(I)当n≥3时，x_n=；

　　(II)解λ²=λ+，得

　　λ₁=1，λ₂=-，∴a_n+1=-a_n，

　　∵a₁=a，∴a_n=a(-)^n-1(n∈N)；

　　(III)∵x_n=(x_n-x_n-1)+(x_n-1-x_n-2)+…+(x₂-x₁)+x₁=a_n-1+a_n-2+…+a₁，

　　∴x_n==a。

　　2、非线性递推问题

　　下面列举几种非线性递推问题常见类型及其解法。

　　2.1 关于a_n+1=ca_n+f(n)型数列通项的求法

　　此类问题常用上面介绍的前5种方法求解。

　　[例3](1999年高考试题)已知函数y=f(x)的图象是自原点出发的一条折线，当n≤y≤n+1(n=0，1，2，…)时，该图象是斜率为bⁿ的线段(其中正常数b≠1)，设数列{x_n}由f(x_n)=n(n=1，2，…)定义。求x_n的表达式。

　　解析：记x₀=0，依题意有

　　f(x_n)-f(x_n-1)=b^n-1(x_n-x_n-1)=n-(n-1)=1，

　　∴x_n-x_n-1=()^n-1，

　　x_n=(x_n-x_n-1)+(x_n-1-x_n-2)+…+(x₁-x₀)+x₀=()^n-1+()^n-2+…+()+1=。

　　由=f(n)得：

　　a_n=·a₁=f(n-1)f(n-2)…f(1)a₁，

　　即a_n=f(n-1)f(n-2)…f(1)a₁。

　　[例4](2000年高考试题)设{a_n}是正项数列，且(n+1)a-na+a_n+1a_n=0(n=1、2、3…)，则它的通项公式是____。

　　解析：由已知等式得

　　=，a₁=1，

　　∴a_n=·……·1=。

　　2.3 关于a_n+1a_n=f(n)型数列通项的求法(其中a_n≠0)

　　由已知a_n+1a_n=f(n)及

　　a_n=得：当n为偶数时

　　a_n=；

　　当n为奇数时

　　a_n=。

　　2.4 关于a_n+1=型数列通项的求法

　　此类问题常用参数法化等比数列求解。

　　[例5]设数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=，求a_n。

　　解析：对等式两端同加参数t得：

　　a_n+1+t=+t==(2t+5)，

　　令t=，解之可得t=-1，2，

　　代入a_n+1+t=(2t+5)，得

　　a_n+1-1=3，

　　a_n+1+2=9，

　　相除得=·，

　　即{}是首项为=公比为的等比数列，=·3^1-n，解得

　　a_n=。

　　3、递推不等式问题

　　利用递推证明不等式，常用归纳法、不等式性质、基本不等式等；对于线性递推不等式可以将线性递推(等式)的上述方法移植加以运用解决问题。

　　[例6](2002年高考试题)设数列{a_n}满足a_n+1=a-na_n+1，n=1，2，3，…，当a₁≥3时，证明对所有的n≥1，有(I)a_n≥n+2；(II)＜。

　　解析：(I)当n=1时，a₁≥3=1+2，不等式成立，设n=k时不等式成立，即a_k≥k+2，当n=k+1时，

　　a_k+1=a_k(a_k-k)+1≥(k+2)2+1＞k+3，

　　即n=k+1时不等式成立，

　　∴a_n≥n+2；

　　(II)由(I)a_n≥n+2得，

　　a_n+1=a_n(a_n-n)+1≥2a_n+1，

　　即a_n+1≥2a_n+1，

　　∴a_n+1+1≥2(a_n+1)，

　　≤·≤·≤…≤·，

　　对k≥2有

　　≤·≤·。

　　∴≤+≤+==·(2-)＜。

　　[例7](2002年北京高考试题)数列{x_n}由下列条件确定：x₁=a＞0，x_n+1=(x_n+)，n∈N。(I)证明：对n≥2，总有x_n≥；(II)证明：对n≥2，总有x_n≥x_n+1。

　　证明：(I)∵对n≥2，由x₁=a＞0，易推得x_n＞0，∴x_n=(x_n-1+)≥，

　　即x_n≥；

　　(II)∵对n≥2，由(I)得a≤x，

　　∴x_n+1=(x_n+)≤(x_n+)=x_n，

　　即x_n≥x_n+1。

　　4、递推应用问题

　　解决递推应用问题的一般步骤是：先依据题意建立递推关系，再利用递推关系求出相关数列的通项，最后运用通项及其性质解决待求问题。

　　[例8](2002年高考试题)某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同。为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么，每年新增汽车数量不应超过多少辆？

　　解析：设每年新增汽车x万辆，第n年末汽车保有量为a_n万辆，依题意a₁=30，

　　a_n+1=0.94a_n+x，

　　由a_n+2=0.94a_n+1+x，得　　

　　a_n+2-a_n+1=0.94(a_n+1-a_n)，

　　∴a_n+1-a_n=(a₂-a₁)·0.94^n-1=(x-1.8)·0.94^n-1，

　　a_n+1=(a_n+1-a_n)+(a_n-a_n-1)+…+(a₂-a₁)+a₁=(x-1.8)·(0.94^n-1+0.94^n-2+…+1)+30=30+(x-1.8)，

　　当x＞1.8时，数列{a_n}递增，

　　由a_n=，解≤60，

　　得x≤3.6；

　　当x≤1.8时，数列{a_n}不增，

　　a_n+1≤a_n≤…≤a₁=30＜60，

　　综上，每年新增汽车不应超过3.6万辆。

　　5、归纳递推问题

　　解决此类问题的思想方法是由特殊到一般，即先通过不完全归纳，发现递推规律(提出猜想)，再运用归纳法进行一般证明。

　　[例9](2002年天津高考试题)已知{a_n}是由非负整数组成的数列，满足a₁=0，a₂=3，a_n+1a_n=(a_n-1+2)(a_n-2+2)，n=3，4，5，…。(I)求a₃；(II)证明a_n=a_n-2+2，n=3，4，5，…；(III)求{a_n}的通项公式及其前n项和S_n。

　　解：(I)∵{a_n}是非负整数组成的数列，在已知等式中分别取n=3、4、5可得：

　　a₄a₃=10①

　　a₅a₄=5(a₃+2)②

　　a₆a₅=(a₄+2)(a₃+2)③

　　由①知a₃只能取1、2、5、10，由②知a₃取1、5时a₅不是整数，由③知a₃取10时a₆不是整数，∴a₃=2；

　　(II)当n=3时，a₃=2=a₁+2，

　　设n=k时，a_k=a_k-2+2，

　　即=1，

　　而当n=k+1时，

　　a_k+1a_k=(a_k-1+2)(a_k-2+2)·=1=1，

　　即a_k+1=a_k-1+2，∴a_n=a_n-2+2。

　　(III)由a_n-a_n-2=2，a₁=0，a₂=3及等差数列通项公式知：

　　a_2k-1=0+(k-1)2=2(k-1)，

　　a_2k=3+(k-1)2=2k+1，

　　k=1、2、3…，

　　即a_n=n+(-1)ⁿ，

　　S_n=

　　6、利用递推求极限

　　即在已知(或可求出)递推式时，求相关数列的极限(极限存在)，一般方法是：先设出极限值，再对等式两端求极限，最后解方程求得极限值。

　　[例10](2002年北京高考试题)数列{x_n}由下列条件确定：x₁=a＞0，x_n+1=(x_n+)，n∈N。若数列{x_n}的极限存在，且大于零，求x_n的值。

　　解析：设x_n=A，由x₁=a＞0及已知递推关系易知x_n＞0，A＞0，对x_n+1=(x_n+)两边取极限得A=(A+)即A²=a，A=，x_n=A=。

　　7、利用函数方程递推

　　即利用已知函数方程或其等价形式作为递推关系，建立新的递推式，利用之求得数列的通项公式，并解决相关问题。

　　[例11](2002年北京高考试题)已知f(x)是定义在R上不恒为零的函数，且对于任意a、b∈R都满足f(a·b)=af(b)+bf(a)。若f(2)=2，u_n=(n∈N)，求数列{u_n}的前n项和S_n。

　　解：由f(a·b)=af(b)+bf(a)得：

　　f(1)=0，，

　　令g(x)=，则有

　　g(ab)=g(a)+g(b)，g(aⁿ)=ng(a)，

　　即f(aⁿ)=na^n-1f(a)(n∈N)，

　　∵f(2)=2，

　　∴f(1)=f(2·)=2f()+f(2)=2f()+1=0，

　　∴f()=-，

　　u_n==f[()ⁿ]=(-)()^n-1，

　　S_n=()ⁿ-1。

　　顺应素质教育和高考改革的需要，重基础、考能力、考素质，是当今高考命题的主旋律。递推数列问题之所以成为近年来高考的热点，是因为解决它，需要扎实的基础知识和融知识、能力与素质于一体的较高的思维品位，能够真正考查出考生的学习潜能。

邹明

载自《理科考试研究》(高中)

2003年2月